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扬州市 2025 年初中毕业升学考试
数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第88题，
其20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题
卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题
卡的规定位置，在试卷第一面的右下角填写好座位号．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的
指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列温度中，比 低的温度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比 小的数即可．
【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知 ，
所以比 低的温度是 ．
故选： ．
2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴
对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
1【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形
沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个
点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称
和轴对称的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 明天下雨是随机事件
B. 调查长江中现有鱼的种类，适宜采用普查的方式
C. 描述一周内每天最高气温的变化情况，适宜采用折线统计图
D. 若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据更稳定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了随机事件、调查方式、统计图选择及方差的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据相关知识点进行判断即可．
【详解】A：明天下雨的结果不确定，属于随机事件，正确，故该选项不符合题意；
B：长江鱼种类调查范围广、个体多，应采用抽样调查，错误，故该选项符合题意；
C：折线统计图适用于展示数据变化趋势，描述气温变化合适，正确，故该选项不符合题意；
D：方差越小数据越稳定，乙方差更小，更稳定，正确，故该选项不符合题意．
故选：B．
4. 关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况
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【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当 时，方程有两个
不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式 ，即可判断方程根的情况．
【详解】解： ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5. 如图，数轴上点 表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点 表示的数为 ，根据点在数轴上的位置，判断出
的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点 表示的数为 ，由图可知： ，
∵ ，即： ，故选项A不符合题意；
∵ ，即： ，故选项B不符合题意；
∵ ，即： ，故选项C符合题意；
∵ ，即： ，故选项D不符合题意；
故选C．
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6. 在如图的房屋人字梁架中， ，点 在 上，下列条件不能说明 的是（ ）
A. B. C. D. 平分
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可．
【详解】解：当 时，
∵点 在 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故选项A不符合题意；
∵ ，
∴ ，不能得到 ；故选项B符合题意；
∵ ，
∴当 或 平分 时， ；故选项C，D均不符合题意；
故选B
7. 如图，平行于主光轴 的光线 和 经过凸透镜折射后，折射光线 ， 交于主光轴上一点
，若 ， ，则 的度数是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出 的度数，再根据角的
和差关系和对顶角相等，求出 的度数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C
8. 已知 ，则一次函数 的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键．先根据
可得 ，从而可得 ，再可得 ，然后根据一次
函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
当 时， ， ，与 矛盾，
当 时， ， ，与 矛盾，
5【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
当 时， ， ，与 矛盾，
当 时， ， ，与 矛盾，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直
接填写在答题卡相应位置上）
9. 2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名
跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种
记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定 的值时，要看把原数变成 时，
小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
10. 分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组
分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得．
【详解】解： ，
故答案为： ．
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11. 计算： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，
再计算分式的除法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
12. 若 ，则代数式 的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将 变形为
，再将 变形为 ，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
13. 若多边形的每个内角都是 ，则这个多边形的边数为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题关键．
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先求出这个多边形的每个外角都是 ，再根据多边形的外角和等于 求解即可得．
【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是 ，
∴这个多边形的每个外角都是 ，
∴这个多边形的边数为 ，
故答案为：9．
14. 如图，点 ， ， 在 上， ，则 ______ ．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定
理可得 ，再根据等腰三角形的性质即可得．
【详解】解：∵点 在 上， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：40．
15. 如图，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，点 在线段 的延长线上，且
，若 ， ，则 的长是______．
8【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的
中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得 ，再根据直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半可得 ，然后根据 求解即可得．
【详解】解：∵在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
16. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，
不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股
数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为
______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数
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字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为 ，则第3个数为 ，根据勾
股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为 ，则第3个数为 ，
由勾股定理，得： ，
解得： ，
∴ ；
∴第⑤组勾股数为 ；
故答案为： ．
17. 如图1，棱长为 的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度 ．将此正方
体放在坡角为 的斜坡上，此时水面 恰好与点 齐平，其主视图如图2所示，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握
正切的定义是解题关键．延长 ，交直线 于点 ，设 ，则 ，
先根据水的体积不变建立方程，解方程可得 的值，再根据平行线的性质可得 ，然
后根据正切的定义计算即可得．
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：如图，延长 ，交直线 于点 ，
由题意得： ，
设 ，则 ，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为 的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为
的斜坡上时，水的体积等于长为 、宽为 、高为 的长方体的体积与长为 、宽为
、高为 的长方体的体积的一半之和，
∴ ，
解得 ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
18. 如图，在矩形 中， ， ，点 是 边上的动点，将 沿直线 翻折
得到 ，过点 作 ，垂足为 ，点 是线段 上一点，且 ．当点 从点
运动到点 时，点 运动的路径长是______．
【答案】
【解析】
【分析】分点 在矩形内部和点 在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点 在矩形内部时，作
，交 于点 ，证明 ，进而得到 ，进而得到点 在以
为直径 圆的上运动，得到当点 从点 开始运动直至点 落在 上时，点 的运动轨迹为半圆 ，当
点 在矩形外部时，同法可得，点 在以 为直径的圆上，得到当点 运动到点 时，点 的运动轨迹
是圆心角为 的 ，求出两段路径的和即可得出结果．
【详解】解：∵矩形 ，
∴ ，
∵翻折，
∴ ，
当点 在矩形内部时，作 ，交 于点 ，则： ，
12【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在以 为直径的圆上运动，
∴当点 从点 开始运动直至点 落在 上时，点 的运动轨迹为半圆 ，
∴点 的运动路径长为： ；
当点 在矩形 的外部时，作 ，交 的延长线于点 ，
同法可得： ， ，
13【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，点 在以 为直径的 上运动，连接 ，
当点 运动到点 时，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的运动轨迹为圆心角为 的 ，路径长为 ，
∴点 的运动路径总长为： ；
故答案为：
【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌
握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点 的运动轨迹，是解题的关键．
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三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了含特殊角 三的角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解
题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算
即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
20. 解不等式组 ，并写出它的所有负整数解．
【答案】不等式组的解集为 ，它的所有负整数解为
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式
15【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
所以不等式组的解集为 ，它的所有负整数解为 ．
21. 为角逐市校园“音乐达人”大赛，小红和小丽参加了校内选拔赛，10位评委的评分情况如下（单位：
分）．
表1评委评分数据
评委 评委评分
小红 7 8 7 8 7 7 7 8 7 9
小丽 7 7 6 8 8 8 8 8 7 8
表2评委评分数据分析
中位
选手 平均数 众数
数
小红 7
小丽 8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表2中 ______， ______， ______；
（2）你认为小红和小丽谁的成绩较好？请说明理由．
【答案】（1） ；7；8
（2）小丽的成绩较好，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数，熟知平均数，中位数和众数的定义是解题的关键．
（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可；
（2）两人平均成绩相同，而小丽的中位数和众数大，据此可得结论．
【小问1详解】
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解：由题意得， ；
把小红的10位评委的评分按照从低到高排列为：7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，
∴小红的10位评委的评分的中位数为 分，即 ；
∵小丽的10位评委的评分中，评分为8分的人数最多，
∴小丽的10位评委的评分的众数为8，即 ；
【小问2详解】
解：小丽的成绩较好，理由如下：
从平均数来看，两人的平均成绩相同，从中位数和众数来看，小丽的中位数和众数均大于小红的中位数和
众数，故小丽的成绩较好．
22. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，
B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．
（1）若小明在这4种体育活动中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
（1）根据概率公式直接求解；
（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解
即可．
【小问1详解】
解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，
∴选中“乒乓球”的概率是 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：画树状图为：
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由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的结果数有4
种，
∴小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是 ．
23. 某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的
倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．
【答案】乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设乙款书签价格为 （元），则甲款书签价格为 （元），根据“用100元购买甲款书签的数量比用128
元购买乙款书签的数量少3个”建立分式方程求解即可．
【详解】解：设乙款书签价格为 （元），则甲款书签价格为 （元），
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，且符合题意，
∴则甲款书签价格为 （元）
答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点 ，
．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）求 的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为
（2）8
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键．
（1）将点 代入可得反比例函数的解析式，再求出点 的坐标，然后利用待定系数法求出一次函
数的解析式即可得；
（2）设一次函数的图象与 轴的交点为点 ，先求出点 的坐标，再根据 的面积等于 与
的面积之和即可得．
【小问1详解】
解：由题意得：将点 代入 得： ，
所以反比例函数的表达式为 ；
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
将点 代入 可得： ，
∴ ，
将点 ， 代入 得： ，解得 ，
所以一次函数的表达式为 ．
【小问2详解】
解：如图，设一次函数的图象与 轴的交点为点 ，
将 代入一次函数 得： ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
由（1）已得： ， ，
∴ 的 边上的高为 ， 的 边上的高为 ，
∴ 的面积为 ．
25. 如图，在 中，对角线 的垂直平分线与边 ， 分别相交于点 ， ．
20【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ， 平分 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先证明 得到 ，根据 得到 ，那么可得
四边形 是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到 ，即可证明其为菱形；
（2）根据菱形的性质结合已知条件证明 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵对角线 的垂直平分线是 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；
【小问2详解】
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解：如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵菱形 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
26. 材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内
部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心
的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点 或点 ）所作的气−液界线的切线与固
−液界线的夹角，图1中的 就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图
痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度 和底面圆的半径 ，求出 的度数，
进而求出接触角 的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角 与 之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与 相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提
出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）图见解析（2）变强（3） ，理由见解析（4）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解
题的关键．
（1）圆弧上取一点 ，交界面与圆弧的交点为 ，连接 ，分别作 的中垂线，交于
点 ，则点 为圆弧的圆心，连接 ，过点 作 ，则 为圆 的切线， 即为所
求；
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（2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
（3）连接 ，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到
，进而得到 即可；
（4）可以根据 ，进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可．
【详解】解：（1）①圆弧上取一点 ，交界面与圆弧的交点为 ，连接 ；
②分别作 的中垂线，交于点 ，则点 为圆弧的圆心；
③连接 ，过点 作 ，则 为圆 的切线，故 即为所求；
（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强；
故答案为：变强；
（3） ，理由如下：
连接 ，则： ，
∴ ，
∵ 为切线，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（4）∵水滴弧的长度为： ，
∴ ，
∴可以根据 的大小，进行判断， 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象（记为 ）与 轴交于点 ， ，与
轴交于点 ，二次函数 的图象（记为 ）经过点 ， ．直线 与两个图象 ，
分别交于点 ， ，与 轴交于点 ．
的
（1）求 ， 值．
（2）当点 在线段 上时，求 的最大值．
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（3）设点 ， 到直线 的距离分别为 ， ．当 时，对应的 值有______个；当
时，对应的 值有______个；当 时，对应的 值有______个；当 时，对应的 值有
______个．
【答案】（1） ，
（2）
（3）2，0，4，无数
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，一元二次
方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先求出抛物线 与坐标轴的交点坐标，再将 代入 ，解方程组即可
求解；
（ 2 ） 表 示 出 ， ， 则
，再利用二次函数的性质求解最值即
可；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，即直线 与直线 交于点 ，可
求直线 表达式为 ，则 ，表示出 ， ，可得
均为等腰直角三角形，则 ， ，然后分别计算每一种情
况即可．
【小问1详解】
解：对于二次函数 ，当 时， ，
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解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵二次函数 的图象（记为 ）经过点 ，
∴ ，
解得：
∴ ， ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴二次函数 解析式为 ，
∵直线 与 轴垂直，
∴ ， ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值为 ；
【小问3详解】
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解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，即直线 与直线 交于点
，
∵ ，
为
设直线 表达式 ： ，
代入点 ，
则 ，
解得： ，
∴直线 表达式为 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，而 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
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∵ 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 均为等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
同理可得 ，
∴当 时， ，
整理得： ，
∴ 或 ，
对于 ， ；
对于 ， ，
∴当 时，对应的t值有2个；
当 时， ，方程无解，
∴对应的t值有0个；
当 时，
整理得： ，
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∴ 或 ，
对于方程 ， ，
对于方程 ， ，
∴当 时，对应的t值有4个；
当 时，
∵ ， ，
∴ 始终成立，
∴当 且 时， 始终成立，
∴当 时，对应的t值有无数个，
为
故答案 ：2，0，4，无数．
28. 问题：如图1，点 为正方形 内一个动点，过点 作 ， ，矩形 的
面积是矩形 面积的2倍，探索 的度数随点 运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线
段，由此可得此图形中 ______ ；
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中 ， ， ，求此
图形中 的度数；
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【一般化探索】
（3）利用图1，探索上述问题中 的度数随点 运动的变化情况，并说明理由．
【答案】（1）作图见解析，45；（2） ；（3）随点 的运动， 的度数不变，且为
【解析】
【分析】（1）连接 与格线的交点记为 ，先确定点 为格点，然后由勾股定理以及逆定
理证明 为等腰直角三角形，即可求解 的度数；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，先证明 ，则 ，
，那么 ，可得四边形 是矩形，四边形
为矩形，求出 ，由勾股定理得 ，则 ，那
么 ，则 ，即可求解 ；
（3）延长 至点 ，使得 ，连接 ，同理 ，同（2）可得四边
形 是矩形，四边形 为矩形，设正方形的边长为 ， ，则
， ，由 ，
得到 ，在 中，由勾股定理得 ，求出 ，则
，再同（2） 即可．
【详解】解：（1）如图， 即为所求：
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连接 与格线的交点记为 ，
由网格可得， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ 为格点，同理 为格点，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ；
故答案为：45；
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
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∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
同理可得四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
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（3）随点 的运动， 的度数不变，且为 ，理由如下：
延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
同（2）可得四边形 是矩形，四边形 为矩形，
设正方形的边长为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
整理得 ，
∵在 中， ，
∴
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，
∴ （舍负），
∴ ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正方形的性质，
全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
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