专题04二次函数的恒成立问题压轴题专题（解析版）—2023-2024学年挑战中考压轴题重难点题型分类_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 04 二次函数的恒成立问题压轴题 （解析版） 通用的解题思路： 第一步：先分析是求函数的最大值还是求函数的最小值：①如果 恒成立，则求函数的最小值 Min；②如果 恒成立，则求函数的最大值Max。 第二步：再将所求的最大值或最小值代入不等式，得 或者 ，再解不等式求出参数m的 范围。 1.（2017•长沙中考）如图，抛物线 与x轴交于 A，B两点（点B在点 A左 侧），与 y 轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC 、AD， y 延长AD交 轴于点E． （1）若OAC 为等腰直角三角形，求m的值； （2）若对任意m0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）； （3）当点D运动到某一位置时，恰好使得ODBOAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物 1 n � 4 3my2 12 3y 50 线上任意一点 P(x 0， y 0 ) 总有 6 0 0 成立，求实数n的最小值． 资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ymx2 16mx48mm(x4)(x12)0 x 12 x 4 【解答】解：（1）令 ，则 1 ， 2 ， A(12,0) ，即OA12，又 C(0,48m) ，当OAC 为等腰直角三角形时，OAOC ， 1 m 即1248m， 4； （2）由（1）可知点 C(0,48m) ，对任意m0，C、E两点总关于原点对称， 必有 E(0,48m) ，设直线AE的解析式为 ykxb ，将 E(0,48m) ， A(12,0) 代入，可得 12kb0 k 4m   b48m ，解得b48m ，直线AE的解析式为 y4mx48m ，点D为直线AE与抛物线的交点， ym(x4)(x12) x8 x12    解方程组y4mx48m ，可得y16m 或y0 （点A舍去），即点D的坐标为 (8,16m) ； （3）当ODBOAD，DOBAOD时，ODB∽OAD，OD2 OAOB41248， OD4 3，又点D为线段AE的中点，AE2OD8 3，又OA12， OE AE2 AO2 4 3， D(6,2 3) ， 把 D(6,2 3) 代 入 抛 物 线 ymx2 16mx48m ， 可 得 3 3 m y (x4)(x12) 2 336m96m48m，解得 6 ，抛物线的解析式为 6 ， 3 8 3 8 3 y (x8)2  y�  即 6 3 ，点 P(x 0， y 0 ) 为抛物线上任意一点， 0 3 ， t 4 3my2 12 3y 502y2 12 3y 502(y 3 3)2 4 令 0 0 0 0 0 ， 8 3 8 3 10 y�  t 2( 3 3)2 4 则当 0 3 时， 最大值 3 3 ， 1 1 10 1 n � 4 3my2 12 3y 50 n � n�3 若要使 6 0 0 成立，则 6 3 ， 6， 19 实数n的最小值为 6 ． 2．（开福区一模）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左 资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为D． （1）求点A、点B的坐标； （2）若△OAC∽△OCB，求m的值； （3）若△ABD为正三角形，对于该抛物线上任意一点 P（x ，y ）总有n+ ﹣4 0 0 成立，求实数n的最小值． 【解答】解：（1）把y＝0代入y＝mx2﹣4mx+3m得：mx2﹣4mx+3m＝0，∵m＞0，∴x2﹣4x+3＝0， 解得：x ＝1，x ＝3，∵点A在点B的左侧，∴A（1，0），B（3，0）； 1 2 （2）把x＝0代入y＝mx2﹣4mx+3m得：y＝3m，∴点C（0，3m），∴OC＝3m，∵△OAC∽△OCB， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得：m＝ 或m＝﹣ （舍去），∴m＝ ； （3）过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示： ∵△ABD是等边三角形，AB＝3﹣1＝2，∴EA＝EB＝ AB＝1，∠EAD＝60°，∵y＝mx2﹣4mx+3m ＝m（x﹣2）2﹣m，∴D点坐标为（2，﹣m），∴tan∠EAD＝tan60°＝ ＝ ，∴ ＝ ，即m＝ ， ∴y≥﹣ ，∵对于该抛物线上任意一点P（x ，y ）总有n+ ﹣4成立， 0 0 ∴n+ ≥﹣y ﹣3 ﹣4（y ≥﹣ ），令w＝﹣y ﹣3 ﹣4（y ≥﹣ ）， 0 0 对称轴为y ＝﹣ ＝﹣ ，∵﹣ ＜﹣ ，∴当y ≥﹣ 时，w随y 的增大而减小， 0 0 0 资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴当y ＝﹣ 时，w取最大值，最大值为﹣（﹣ ）2﹣3 ×（﹣ ）﹣4＝2， 0 ∵n+ ﹣4在y ≥﹣ 时恒成立，∴n+ ≥2，解得：n≥ ， 0 ∴实数n的最小值为 ． 3．（中雅）点 为反比例函数 （k为常数，且 ）的图象上一点，若点P的横、纵坐标满 足关系： ，则称点P所在的反比例函数 （k为常数，且 ）为“Q函数”，点P为该“Q 函数”图象上的“Q点”． （1）“Q函数” 图象上的“Q点”坐标为__________； （2）反比例函数 是否为“Q函数”？若是，请求出该函数图象上的“Q点”；若不是，请说明理由． （3）已知反比例函数 （k为常数，且 ）为“Q函数”，令 ，若对于整数 m， 恒成立，求整数m的最小值． 【解答】解：(1) ； (2)已知 ，变形得： ，将该式代入 ，得 ，得方程 ；计算 得 ，∴不是Q函数； (3)已知 ，变形得： ，将该式代入 ，得 ，得方程 ；计算 得 ，∴ ，当 时， ，即 ，∴ ，又m为整数，∴m最小值是 . 4．（雅礼）2022年10月16日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要 点“加快构建新发展格局，着力推动高质量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主 义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点 A（x ，y ）、B（x ，y ）（x ≠x ），满足纵坐标相等，即y ＝y ，则称点A、B为这个函数的一对 1 1 2 2 1 2 1 2 “高水平点”，称这个函数为“高水平函数”． 资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）若点P（2022，p）和点Q（q，2023）为“高水平函数”y＝|x+1|图象上的一对“高水平点”，求 p+q的值； （2）关于x的函数y＝kx+b（k、b为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少对“高水平 点”，如果不是，请说明理由； （3）若点M（1，m）、N（3，n）、P（x ，y ）都在关于x的“高水平函数”y＝ax2+bx+c（a、b、c 0 0 为常数，且a＞0）的图象上，点M、P为该函数的一对“高水平点”，且满足 m＜n＜c，若存在常数 w，使得式子：w+ ＞﹣ x 2﹣x +2恒成立，求w的取值范围． 0 0 【解答】解：（1）由题意可知，y ＝y ，即p＝2023，将点Q（q，2023）代入函数y＝|x+1|， P q ∴2023＝|q+1|（q≠2022），解得q＝﹣2024，∴p+q＝2023+（﹣2024）＝﹣1； （2）①当k＝0时，函数y＝kx+b是“高水平函数”，有无数组“高水平点“； ②当k≠0时，不是“高水平函数”，若存在“高水平点“，设一组高水平点为 A（x ，kx +b）、B（x ， 1 1 2 kx +b）， 2 ∴kx +b＝kx +b（k≠0），∴kx ＝kx （k≠0），∴x ＝x ，这与A（x ，kx +b）、B（x ，kx +b）是两个不 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 同的点矛盾，∴当k≠0时，y＝kx+b不是“高水平函数”； （3）∵m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，m＜n＜c，∴a+b+c＜9a+3b+c＜c（a＞0）， 解得 ，即 ，∵点M、P为该函数的一组“高水平点”，纵坐标相等， 由抛物线对称性 ，得：2＜x ＜3，∵ 恒成立， 0 设 ＝﹣ （x+2）2+3，∴﹣ ＜h＜﹣1，∴w+ ≥﹣1，∴w≥﹣ ． 5．（青竹湖）若y是x的函数，h为常数（h > 0），若对于该函数图象上的任意两点 、 ，当 ， （其中a、b为常数，a < b时，总有 ，就称此函数在 时为 有界函数，其中满足条件的所有常数h的最小值，称为该函数在a≤x≤b时的界高。 （1）函数：④ ，② ，③ 在 时为有界函数的是 ：（填序号） （2）若一次函数 （ ），当a≤x≤b时为有界函数，且在此范围内的界高为 ，请求出此 一次函效解析式； 资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）已知函数 （ ），当 时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，求实 效a的取值范围. 【解答】解：（1）①当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝1时，y＝2，∴|y ﹣y |≤|2﹣（﹣2）|＝4，故y＝2x 1 2 在﹣1≤x≤1时是有界函数； ②∵ 的x不等于0，∴函数 在﹣1≤x≤1时没有最大值和最小值，∴函数 在﹣1≤x≤1时 不是有界函数； ③当x＝﹣1或x＝1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，∴|y ﹣y |≤|1﹣0|＝1，故y＝x2在﹣1≤x≤1时是有 1 2 界函数；故答案为：①③； （2）由函数y＝kx+2在a≤x≤b时为有界函数，且此时的界高为b﹣a，∴y最大值 ﹣y最小值 ＝b﹣a， 当k＞0时，y随x的增大而增大，∴x＝a时，y最小值 ＝ka+2，x＝b时，y最大值 ＝kb+2， ∴kb+2﹣（ka+2）＝b﹣a，∴k＝1，∴y＝x+2； 当k＜0时，y随x的增大而减小，∴x＝a时，y最大值 ＝ka+2，x＝b时，y最小值 ＝kb+2，∴ka+2﹣ （kb+2）＝b﹣a，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x+2， 综上所述，一次函数的解析式为y＝x+2或y＝﹣x+2． （3）∵y＝x2﹣2ax+5＝（x﹣a）2+5﹣a2，a＞1， ∴当1≤x＜a时，y随x的增大而减小，当a＜x≤a+1时，y随x的增大而增大， ∵当1≤x≤a+1时为有界函数，且此范围内的界高不大于4，∴y最大值 ﹣y最小值 ≤4， 当a≤ ，即1＜a≤2时，a+1离a的距离比1离a的距离远或一样远， ∴x＝a时，y最小值 ＝5﹣a2，x＝a+1时，y最大值 ＝（a+1）2﹣2a（a+1）+5＝﹣a2+6，∴﹣a2+6﹣（5﹣ a2）≤4，化简得：1≤4，∴1＜a≤2， 当a＞ ，即a＞2时，a+1离a的距离比1离a的距离近，∴x＝a时，y最小值 ＝5﹣a2，x＝1时，y 最大值 ＝1﹣2a+5＝﹣2a+6，∴﹣2a+6﹣（5﹣a2）≤4，解得：1＜a≤3，∴2＜a≤3， 综上所述，a的取值范围为1＜a≤3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/11 12:18:32；用户：唐老师；邮箱：15874805147；学号：371816 6．（青竹湖）在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：y＝kx+b（k、b为常数且k≠0），当直线l与 一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． 资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求直线l：y＝﹣x+4与双曲线y＝ 的切点坐标； （2）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）经过两点（﹣3，0）和（1，0），若直线l：y ＝6x﹣7与抛物线相切，求a的值； （3）已知直线l：y ＝kx+m（k、m为常数）与抛物线y ＝x2+ 相切于点（1， ），设二次函数M：y 1 2 3 ＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0，c为整数），对一切实数x恒有y ≤y ≤y ，求二次函数M的解析 1 3 2 式． 【解答】解：（1）联立 ，得：x2﹣4x+4＝0，解得x＝2，∴切点的坐标为（2，2）； （2）由题意知，抛物线解析式可表示为y＝a（x﹣1）（x+3）＝ax2+2ax﹣3a， 联立 ，得：ax2+（2a﹣6）x﹣3a+7＝0，由抛物线和直线相切知a≠0且Δ＝0， ∴Δ＝（2a﹣6）2﹣4a（7﹣3a）＝16a2﹣52a+36＝0，解得：a ＝ 、a ＝1，∴a的值为 或1； 1 2 （3）由题意知直线 y ＝kx+m 和抛物线 M：y ＝ax2+bx+c 都经过（1， ），∴ ＝k+m， ＝ 1 3 a+b+c①， ∴m＝ ﹣k，联立 得x2﹣kx﹣1+k＝0，∴Δ＝k2﹣4×1×（k﹣1）＝0，解得k＝2， ∴m＝﹣ ，∴直线l 的解析式为y ＝2x﹣ ，∵对于一切实数x恒有y ≤y ≤y ， 1 1 1 3 2 ∴对于一切实数x恒有2x﹣ ≤ax2+bx+c≤x2+ ，当x＝0时，有﹣ ＜c＜ ，而c为整数， ∴c＝0 ②，联立 ，得：ax2+（b﹣2）x+c+ ＝0，∴Δ＝（b﹣2）2﹣4a×（c+ ）＝ 0，∴b2﹣4b+4﹣4ac﹣2a＝0 ③，联立①②③得a＝ ，b＝1、c＝0， 资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故二次函数M的解析式为y ＝ x2+x． 3 7.已知抛物线C：y =a(x−h)²−1，直线l：y =kx−kh−1 ． 1 2 （1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点； （2）当a=−1，m≤x≤2时，y ≥x−3恒成立，求m的最小值； 1 （3）当00时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点，求k的取值范 围． 【解答】解：(1)抛物线C的顶点坐标为(h,−1)，当x=h时，y =kh−kh−1=−1， 2 所以直线l恒过抛物线C的顶点； (2)当a=−1时，抛物线C解析式为y =−(x−h) 2−1，不妨令y =x−3 1 3 如图1所示：抛物线C的顶点在直线y=−1上移动， 当m≤x≤2时，y ≥x−3恒成立，则可知抛物线C的顶点为(2,−1)，设抛物线C与直线y =x−3除顶点 1 3 外的另一交点为M，此时点M的横坐标即为m的最小值， {y=−(x−2) 2−1 由 ，解得：x=1，x=2，所以m的最小值为1． y=x−3 (3)如图2所示：由(1)可知：抛物线C与直线l都过点A(h,−1)． 资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当00，在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数点，即当x=h+2时，y >y 2 1 恒成立．所以k(h+2)−kh−1>a(h+2−h) 2−1，整理得：k>2a．又因为04． 8.已知抛物线C： ． y =−x2+bx+4 1 (1)如图，抛物线与x轴相交于两点(1−m,0)、(1+m,0)． ①求b的值； ②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值． (2)已知直线l：y =2x−b+9，当x≥0时，y ≤ y 恒成立，求b的取值范围． 2 1 2 b 【解答】解：(1)−x2+bx+4=0，x +x = =1−m+1+m=2，b=2； 1 2 −1 (2)抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小． i：n+1≤1即n≤0，当x=n+1时，y有最大值，−(n+1) 2+2(n+1)+4=3n=±√2， 又n≤0，∴n=−√2， ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，当x=1时y有最大值，−12+2<1+4=3不成立， iii：n≥1时，当x=n时，y有最大值，−n2+2n+4=3n=1±√2，又n≥1，∴n=1+√2， 综上所述：n=−√2或n=1+√2； (3)y ≤ y ，−x2+bx+4≤2x−b+9，x2+(2−b)x+5−b≥0， 1 2 ①：△≤0，(2−b) 2−4(5−b)≤0，−4≤b≤4； 资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 { 2−b 2−b − ≤0 ②：△>0则b>4或b<−4，i：− >0，不成立，ii： 2 ，b≤2，又b>4或b<−4， 2 5−b≥0 ∴b<−4，综上所述b≤4． 9．（雨花区）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共 同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”． （1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”； （2）如图2，直线y＝﹣ x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动 点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度 的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时， 求t的值； （3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物 线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足： ①a＜0，ab≠0，c＝2； ②顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x ，y ）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y ﹣ 0 0 0 ．若t≤m+ 恒成立，求m的最小值． 【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为“和睦四边形”； （2）解：在直线y＝﹣ x+6中，当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝8，∴B（0，6），A（8，0）， ∴OB＝6，OA＝8，∴AB＝ ＝10，由题意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝10﹣5t，OP＝8﹣ 4t， 资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 连接PQ，∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，∴ ＝ ，又∵∠BAO＝∠QAP， ∴△AQP∽△ABO，∴∠APQ＝∠AOB＝90°，∴QP＝ ＝3t， ∵四边形BOPQ为“和睦四边形”， ∴①当OB＝OP时，6＝8﹣4t，∴t＝ ；②当OB＝BQ时，6＝10﹣5t，∴t＝ ； ③当OP＝PQ时，8﹣4t＝3t，∴t＝ ；④当BQ＝PQ时，10﹣5t＝3t，∴t＝ ， 综上所述，t的值为 或 或 或 ； （3）解：在抛物线y＝ax2+bx+2中，顶点D的坐标为（ ， ），C（0，2）， ∵CD＝OC，∴CD2＝OC2，∴ ①，∵D在以AB为直径的圆上，且在抛物 线对称轴上，∴△ADB为等腰直角三角形，∴ ，∴ ②， 联立①②，且ab＜0，得a＝﹣ ，b＝ ，∴ ， ∵点P（x ，y ）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，∴y ＝﹣ x 2+ x +2， 0 0 0 0 0 ∴t＝y ﹣ x ＝﹣ x 2﹣ x +2，∴当x ＝﹣ 时，t有最大值 ，∵t≤m+ 恒成立， 0 0 0 0 0 ∴t最大值 ≤m+ ，∴ ≤m+ ，∴m≥ ，∴m的最小值为 ． 10.（长郡）设函数 . (1)若关于 的不等式 有实数解，求实数 的取值范围； (2)若不等式 对于实数 时恒成立，求 的取值范围； 【解析】(1)依题意， 有实数解，即不等式 有实数解， 资11料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当 时，取 ，则 成立，即 有实数解，于是得 ， 当 时，二次函数 的图象开口向下，要 有解， 当且仅当 ，从而得 ，综上， ，所以实数 的取值范 围是 ； (2)不等式 对于实数 时恒成立，即 ， ， 显然 ，函数 在 上递增，从而得 ， 即 ，解得 。 资12料整理【淘宝店铺：向阳百分百】