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2011 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文）
本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项.
1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
2．复数
A．i B．-i C． D．
3．如果 那么
A．y< x<1 B．x< y<1
C．1< x<y D．1<y<x
4．若p是真命题，q是假命题，则
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．﹁p是真命题
D．﹁q是真命题
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
A．32
B．16+16
C．48
D．16+32
6．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为
A．2 B．3
C．4 D．5
7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的
生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的
个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9．在 中.若b=5， ，sinA= ，则a=___________________.
10．已知双曲线 （ ＞0）的一条渐近线的方程为 ，则 = .
11．已知向量 a=（ ，1），b=（0，-1），c=（k， ）.若 a-2b 与 c 共线，则
k=________________.
12 ． 在 等 比 数 列 {a } 中 ， a = ， a =4 ， 则 公 比 q=______________ ； a +a +…+a =
n 1 4 1 2 n
_________________.
13．已知函数 若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取
值范围是_______
14．设A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（t R）.记N（t）为平行四边形ABCD内部（不
含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则 N（0）= N（t）
的所有可能取值为
三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题共13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期：
（Ⅱ）求 在区间 上的最大值和最小值.16．（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确
认，在图中以X表示.
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19
的概率.
（注：方差 其中 为 的平均数）
17．（本小题共14分）
如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.
18．（本小题共13分）
已知函数 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）求 在区间[0,1]上的最小值.19．（本小题共14分）
已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为（ ,0），斜率为I的直
线 与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（I）求椭圆G的方程；
（II）求 的面积.
20．（本小题共13分）
若数列 满足 ，则称 为 数列，记
.
（Ⅰ）写出一个E数列A 满足 ；
5
（Ⅱ）若 ，n=2000，证明：E数列 是递增数列的充要条件是 =2011；
（Ⅲ）在 的E数列 中，求使得 =0成立得n的最小值.参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）D （2）A （3）D （4）D
（5）B （6）C （7）B （8）A
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10）2
（11）1 （12）2
（13）（0，1） （14）6 6，7，8，
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为
所以 的最小正周期为
（Ⅱ）因为
于是，当 时， 取得最大值2；
当 取得最小值—1．
（16）（共13分）
解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）记甲组四名同学为A ，A ，A ，A ，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名
1 2 3 4
同学为B ，B ，B ，B ，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选
1 2 3 4
取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：
（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
1 1 1 2 1 3 1 4（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
2 1 2 2 2 3 2 4
（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
3 1 2 2 3 3 1 4
（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），
4 1 4 2 4 3 4 4
用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：
（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），（A ，B ），故所求概率为
1 4 2 4 3 2 4 2
（17）（共14分）
证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC。
又因为DE 平面BCP，
所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为
AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形。
（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG= EG.
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，
且QM=QN= EG，
所以Q为满足条件的点.
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）
令 ，得 ．
与 的情况如下：
x （ ） （
—— 0 +
↗ ↗
所以， 的单调递减区间是（ ）；单调递增区间是
（Ⅱ）当 ，即 时，函数 在[0，1]上单调递增，
所以 （x）在区间[0，1]上的最小值为
当 时，由（Ⅰ）知 上单调递减，在 上单调递增，所以 在区间[0，1]上
的最小值为 ；
当 时，函数 在[0，1]上单调递减，
所以 在区间[0，1]上的最小值为
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得
解得
又
所以椭圆G的方程为
（Ⅱ）设直线l的方程为
由 得
设A、B的坐标分别为 AB中点为E ，
则
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB.
所以PE的斜率
解得m=2。
此时方程①为
解得
所以
所以|AB|= .
此时，点P（—3，2）到直线AB： 的距离所以△PAB的面积S=
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一具满足条件的E数列A .
5
（答案不唯一，0，—1，0，1，0；0，±1，0，1，2；0，±1，0，—1，—2；0，±1，0，—
1，
—2，0，±1，0，—1，0都是满足条件的E的数列A ）
5
（Ⅱ）必要性：因为E数列A 是递增数列，
5
所以 ．
所以A 是首项为12，公差为1的等差数列．
5
所以a =12+（2000—1）×1=2011．
2000
充分性，由于a —a ≤1，
2000 1000
a —a ≤1
2000 1000
……
a —a ≤1
2 1
所以a —a≤19999，即a ≤a +1999．
2000 t 2000 1
又因为a =12，a =2011,
1 2000
所以a =a +1999．
2000 1
故 是递增数列．
综上，结论得证.
（Ⅲ）对首项为4的E数列A，由于
k
……
……
所以
所以对任意的首项为4的E数列A ，若
m
则必有 .
又 的E数列
所以n是最小值是9.
