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2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 ， ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
4．在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）
A． B．
C． D．
7．双曲线 的离心率大于 的充分必要条件是
A． B．
C． D．8．如图，在正方体 中， 为对角线 的三等分点，则 到各顶点的距离的不同取值有（
）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
第二部分（选择题 共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．若抛物线 的焦点坐标为 ，则 ，准线方程为 。
10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 。
11．若等比数列 满足 ， ，则公比 ；前 项和 。
12．设 为不等式组 所表示的平面区域，区域 上的点与点 之间的距离的最小值为
。
13．函数 的值域为 。
14．向量 ， ， ，若平面区域 由所有满足 （ ，
）的点 组成，则 的面积为 。三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13分）
已知函数
（1）求 的最小正周期及最大值。
（2）若 ，且 ，求 的值。16．（本小题共13分）
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指
数大于200表示空气重度污染。某人随机选择3月1日至14日中的某一天到达该市，并停留2天。
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。
（2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。
（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17．（本小题共14分）如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 底面 ，
， 和 分别是 和 的中点，求证：
（1） 底面
（2） 平面
（3）平面 平面
18．（本小题共13分）
已知函数
（1）若曲线 在点 处与直线 相切，求 与 的值。（2）若曲线 与直线 有两个不同的交点，求 的取值范围。
19．（本小题共14分）
直线 （ ） ： 相交于 ， 两点， 是坐标原点
（1）当点 的坐标为 ，且四边形 为菱形时，求 的长。
（2）当点 在 上且不是 的顶点时，证明四边形 不可能为菱形。20．（本小题共13分）
给定数列 ， ， ， 。对 ，该数列前 项的最大值记为 ，后 项 ，
， ， 的最小值记为 ， 。
（1）设数列 为 ， ， ， ，写出 ， ， 的值。
（2）设 ， ， ， （ ）是公比大于 的等比数列，且 ，证明 ， ， ， 是等
比数列。
（3）设 ， ， ， 是公差大于 的等差数列，且 ，证明 ， ， ， 是等差数列。
2013 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9． ， 10． 11． ，
12． 13． 14．
三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13分）
解：（1）
所以，最小正周期
当 （ ），即 （ ）时
（2）因为
所以
因为 ，所以
所以 ，即
16．（本小题共13分）
解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两
天，
所以概率为
（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，其中只有一天重度污染的为 ， ， ， ，共4种，
所以概率为
（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。
17．（本小题共14分）
证明：（1）因为 ，平面 底面 且平面 底面
所以 底面
（2）因为 和 分别是 和 的中点，所以 ，
而 平 面 ， 平 面 ， 所 以 平 面
（3）因为 底面 ， 平面
所以 ，即
因为 ， ，所以
而 平面 ， 平面 ，且
所以 平面
因为 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，而 平面 ， 平面
所以 平面 ，同理 平面 ，
而 平面 ， 平面 且
所以平面 平面 ， 所以 平面
又因为 平面
所以平面 平面
18．（本小题共13分）
解：（1）
因为曲线 在点 处的切线为
所以 ，即 ，解得
（2）因为
所以当 时 ， 单调递增
当 时 ， 单调递减所以当 时， 取得最小值 ，
所以 的取值范围是
19．（本小题共14分）
解：（1）线段 的垂直平分线为 ，
因为四边形 为菱形，
所以直线 与椭圆的交点即为 ， 两点
对椭圆 ，令 得
所以
（2）方法一：当点 不是 的顶点时，
联立方程 得
设 ， ，
则 ， ，
若四边形 为菱形，则 ，即
所以
即因为点 不是 的顶点，所以 ，
所以
即 ，即
所以
此时，直线 与 轴垂直，所以 为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，
所以四边形 不可能为菱形
方法二：
因为四边形 为菱形，所以 ，
设 （ ）
则 ， 两点为圆 与椭圆 的交点
联立方程 得
所以 ， 两点的横坐标相等或互为相反数。
因为点 在 上
若 ， 两点的横坐标相等，点 应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。
若 ， 两点的横坐标互为相反数，点 应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。
所以四边形 不可能为菱形。
20．（本小题共13分）
解：（1） ， ，
（2）因为 ， ， ， （ ）是公比大于 的等比数列，且
所以
所以当 时，所以当 时，
所以 ， ， ， 是等比数列。
（3）若 ， ， ， 是公差大于 的等差数列，则
， ， ， 应是递增数列，证明如下：
设 是第一个使得 的项，则
， ，所以 ，与已知矛盾。
所以， ， ， ， 是递增数列
再证明 数列 中最小项，否则 （ ），则
显然 ，否则 ，与 矛盾
因而 ，此时考虑 ，矛盾
因此 是数列 中最小项
综上， （ ）
于是 ，也即 ， ， ， 是等差数列
