2011年江西高考理科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_2008-2020年_地方卷_江西高考数学90-23

2011 年江西高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后， 考试注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核 对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号 姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答 题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据（ ），（ ），...，（ ）的线性相关系数 x ,y x ,y x ,y 1 1 2 2 n n n (x x)(y  y) i i r  i1 其中 n n (x x)2 (y  y)2 i i i1 i1 x x ...x x 1 2 n n y  y ... y y  1 2 n n 锥体的体积公式 1 V  Sh 3其中S 为底面积，h为高 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 12i （1） 若z  ,则复数  = ( ) z i A.2i B. 2i C. 2i D.2i x2 （2） 若集合A{x|12x13},B {x| 0},则AB= ( ) x A. B. C. D. {x|1 x0} {x|0 x1} {x|0 x2} {x|0 x1} 1 （3） 若 f(x) ,则 的定义域为 ( ) log(2x1) f(x) 1 2 1 1 1 A. ( ,0) B. ( ,0] C. ( ,) D. (0,) 2 2 2 （4） 若 ,则 的解集为 ( ) f(x) x2 2x4lnx f'(x)0 A. (0,) B. (-1,0)(2,) C. (2,) D. (-1,0) （5） 已知数列 的前 项和 满足: ,且 ,那么 ( ) {a } n S S S S a 1 a  n n n m nm 1 10 A. 1 B. 9 C. 10 D. 55 （6） 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变 量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1). r 1表示变量Y与X之间的线性相关系数, 表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( ) r 2 A. B. C. D. r r 0 0r r r 0r r r 2 1 2 1 2 1 2 1 （7） 观察下列各式: 则 的末四位数字为 ( 55 3125,56 15625,57 78125,..., 52011 ) A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125 （8） 已知 是三个相互平行的平面,平面 之间的距离为 ,平面 之 ,, , d , 1 2 3 1 2 1 2 3 间的距离为 .直线 与 分别交于 .那么 是 的 d l ,, P,P,P “PP  PP”“d  d ” 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （9） 若曲线 与曲线 有四个不同的交点,则 C：x2  y2 2x0 C：y(ymxm)0 1 2 实数m的取值范围是 ( ) A. 3 3 B. 3 3 ( , ) ( ,0)(0, ) 3 3 3 3 C. 3 3 D. 3 3 [ , ] (, )( ,) 3 3 3 3 10.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( ) 第II卷 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.     11. 已知 a  b 2， a2b  ab 2，则 a 与 b 的夹角为 . 12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 1 1 此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮 2 4 球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 . 13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________. 14.若椭圆 x2 y2 的焦点在x轴上，过点 1 作圆 的切线，切点分别为  1 (1, ) x2  y2 1 a2 b2 2 A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 .三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本 题共5分. 15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为 ，以极 2sin4cos 点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 . (2).(不等式选择题）对于实数x，y，若 ， ，则 的最大值 x1 1 y2 1 x2y1 为 . 四.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分） 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同 的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此 员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若 4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料 的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力. （1）求X的分布列； （2）求此员工月工资的期望. 17.（本小题满分12分） C 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sinCcosC 1sin . 2 （1）求sinC的值； （2）若 ，求边 的值. a2 b2 4(ab)8 c18.（本小题满分12分） 已知两个等比数列 ， ，满足 . a b a a(a 0),b a 1,b a 2,b a 3 n n 1 1 1 2 2 3 3 （1）若 a =1，求数列 a 的通项公式； n （2）若数列 a 唯一，求 a 的值. n 19.（本小题满分12分） 1 1 设 f(x) x3 x2 2ax. 3 2 2 （1）若 f(x)在( ,)上存在单调递增区间，求a的取值范围； 3 16 （2）当0a2时， f(x)在  1,4  上的最小值为 ，求 f(x)在该区间上的最大值. 3 20.（本小题满分13分） 是双曲线 ： x2 y2 上一点， 分别是双曲线 P(x ,y )(x  a) E  1(a 0,b0) M,N 0 0 0 a2 b21 E的左、右定点，直线PM,PN 的斜率之积为 . 5 （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 两点， 为坐标原点， 为 E A,B O C 双曲线上的一点，满足 ，求 的值. OC OAOB  21.（本小题满分14分） （1）如图，对于任一给定的四面体 ，找出依次排列的四个相互平行的平面 AA A A 1 2 3 4 ，使得 （i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等； ,,, A  1 2 3 4 i i （2）给定依次排列的四个相互平行的平面 ，其中每相邻两个平面间的距 ,,, 1 2 3 4 离为1，若一个正四面体 的四个顶点满足： （i=1,2,3,4），求 AA A A A  1 2 3 4 i i 该正四面体 的体积. AA A A 1 2 3 42011 年江西高考理科数学真题及答案 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页，满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后， 考试注意： 2．答题前，考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真核 对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证号 姓名是否一致.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，.第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答 题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并交回。 参考公式： 样本数据（ ），（ ），...，（ ）的线性相关系数 x ,y x ,y x ,y 1 1 2 2 n n n (x x)(y  y) i i r  i1 其中 n n (x x)2 (y  y)2 i i i1 i1 x x ...x x 1 2 n n y  y ... y y  1 2 n n 锥体的体积公式 1 V  Sh 3 其中S 为底面积，h为高 第Ⅰ卷 二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 12i （10） 若z  ,则复数  = ( ) z i A.2i B. 2i C. 2i D.2i答案：D 解析： x2 （11） 若集合A{x|12x13},B {x| 0},则AB= ( ) x A. B. C. D. {x|1 x0} {x|0 x1} {x|0 x2} {x|0 x1} 答案：B 解析： A x/1 x1,B x/0 x2,AB x/0 x1 1 （12） 若 f(x) ,则 的定义域为 ( ) log(2x1) f(x) 1 2 1 1 1 A. ( ,0) B. ( ,0] C. ( ,) D. (0,) 2 2 2 log 2x1 0,02x11 1 2 答案： A 解析：  1  x ,0  2  （13） 若 ,则 的解集为 ( ) f(x) x2 2x4lnx f'(x)0 A. (0,) B. (-1,0)(2,) C. (2,) D. (-1,0) 4 x2 x2 f'x 2x2 0, 0, 答案：C 解析： x x x0, x2x1 0,x2  （14） 已知数列 的前 项和 满足: ,且 ,那么 ( ) {a } n S S S S a 1 a  n n n m nm 1 10 A. 1 B. 9 C. 10 D. 55S a a 2S ,a 1  2 1 2 1 2 S S S 3,a 1 答案：A 解析：  3 1 2 3 S S S 4,a 1  4 1 3 4 a 1  10 （15） 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变 量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1). r 1 表示变量Y与X之间的线性相关系数, 表示变量V与U之间的线性相关系数,则 ( ) r 2 A. B. C. D. r r 0 0r r r 0r r r 2 1 2 1 2 1 2 1 n     x x y  y i i 答案：C 解析： r  i1 第一组变量正相关，第二组变量负  n  x x 2  n  y  y 2 i i i1 i1 相关。 （16） 观察下列各式: 则 的末四位数字为 ( 55 3125,56 15625,57 78125,..., 52011 ) A.3125 B. 5625 C.0625 D.8125 答案：D 解析： f  x  5x, f  4  625, f  5  3125, f  6  15625, f  7  78125, f  8  390625    2011420081, f 2011 ***8125 （17） 已知 是三个相互平行的平面,平面 之间的距离为 ,平面 之 ,, , d , 1 2 3 1 2 1 2 3间的距离为 .直线 与 分别交于 .那么 是 的 d l ,, P,P,P “PP  PP”“d  d ” 2 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 2 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案：C 解析：平面 平行，由图可以得知： ,, 1 2 3 如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知 PP  PP 1 2 2 3 如果 ，同样是根据两个三角形全等可知 PP  PP d d 1 2 2 3 1 2 （18） 若曲线 与曲线 有四个不同的交点,则 C：x2  y2 2x0 C：y(ymxm)0 1 2 实数m的取值范围是 ( ) A. 3 3 B. 3 3 ( , ) ( ,0)(0, ) 3 3 3 3C. 3 3 D. 3 3 [ , ] (, )( ,) 3 3 3 3 答案：B 曲线 x2  y2 2x0 表示以1,0为圆心，以1为半径的圆，曲线 yymxm 0 表示 y 0,或ymxm0 过定点 1,0， y 0 与圆有两个交点， 故 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候， ymxm0 经计算可得，两种相切分别对应 3 3 ，由图可知，m的取值范围应是 m 和m 3 3  3   3  ,00,      3 3     11.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( ) 答案：A 解析：根据小圆 与大圆半径1：2的关系，找上下左右四 个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个 大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。 第II卷 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.     13. 已知 a  b 2， a2b  ab 2，则 a 与 b 的夹角为 .  答案： 60。（ ） 解析：根据已知条件 (  a2  b)(  a  b)2，去括号得： 3 a 2   a  b2  b 2 422cos242 ， cos 1 ,60。 2 （PS：这道题其实2010年湖南文科卷的第6题翻版过来的，在我们寒假班的时候也讲过一 道类似的，在文科讲义72页的第2题。 此题纯属送分题！） 14. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 1 1 此点到圆心的距离大于 ，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于 ，则去打篮 2 4 球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 . 13 答案： 解析：方法一：不在家看书的概率= 16 2 2 1 1 π  π-  π 看电影打篮球 4 2 13   所有情况 π 16 2 2 1 1 方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—π  -π  2 4 13  π 16 （PS: 通过生活实例与数学联系起来，是高考青睐的方向，但在我们春季班讲义二第一页的第 五题已经做过类似题型，那么作为理科生，并且是上过新东方春季班课程的理科生，是不是应 该作对，不解释。） 13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________.10. 解析：s=0,n=1;带入到解析式当中，s=0+(-1)+1=0，n=2; s=0+1+2=3, n=3; S=3+(-1)+3=5, n=4; S=5+1+4=10,此时s>9,输出。 （PS:此题实质是2010江苏理科卷第7题得翻版，同时在我们寒假题海班，理科讲义的第 200页的第6题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到，应该也是灰常熟悉的。并且框图本 来就是你们的拿手菜，所以最对也不觉奇怪。） 15.若椭圆 x2 y2 的焦点在x轴上，过点 1 作圆 的切线，切点分别为  1 (1, ) x2  y2 1 a2 b2 2 A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 答案： x2 y2 解析：设过点（1， 1 ）的直线方程为：当斜率存在时，  1 5 4 2 1 y k(x1) ， 2 3 根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k= ,直线与圆方程 4 3 4 的联立可以得到切点的坐标（ , ），当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点 5 5 3 4 A：（1,0），B：（ , ）可以得到直线：2x+y-2=0,则与y轴的交点即为上顶点坐标 5 5（2,0） ，与x轴的交点即为焦点 ，根据公式 ， b2 c1 a2 b2 c2 5,a  5 即椭圆方程为： x2 y2  1 5 4 （PS:此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐。但是，是 不是就做不出来呢，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在 理科教材第147页第23题。所以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么？） 三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本 题共5分. 15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为 ，以极 2sin4cos 点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为 . 答案： 。解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、 x2  y2 4x2y 0 ，2、 即可。根据已知 = xcos,y sin 2  x2  y2 2sin4cos y x 2 4 ,化简可得：2 2y4x x2  y2,   所以解析式为： x2  y2 4x2y 0 15 (2).(不等式选择题）对于实数x，y，若 ， ，则 的最大值 x1 1 y2 1 x2y1为 . （2）此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，0 x2，再解出y的范围， 1 y3 ，最后综合解出x-2y+1的范围 5,1 ，那么绝对值最大，就去5 （PS: 此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出。所以高考注 重的还是基础+基础！） 五.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20.（本小题满分12分） 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同 的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此 员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若 4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料 的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力. （3）求X的分布列； （4）求此员工月工资的期望. 解答：（1）选对A饮料的杯数分别为 0， 1， 2， 3， 4， C0C4 1 C1C3 16 C2C2 36 其概率分布分别为： P0 4 4  ， P1 4 4  ， P2 4 4  ， C4 70 C4 70 C4 70 8 8 8 C3C1 16 C0C4 1 P3 4 4  ， P4 4 4  。 C4 70 C4 70 8 8 （2）  1 3500 16 2800 36  16  1   2100  2280 。 70 70 70 70 7021.（本小题满分12分） C 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sinCcosC 1sin . 2 （3）求sinC的值； （4）若 ，求边 的值. a2 b2 4(ab)8 c C 解：（1）已知sinC cosC 1sin 2 C C C C C C C 2sin cos cos2 sin2 cos2 sin2 sin 2 2 2 2 2 2 2 整理即有： C C C C C  C C  2sin cos 2sin2 sin 0sin 2cos 2sin 1 0 2 2 2 2 2  2 2  C 又C为ABC 中的角，sin 0 2 2 C C 1  C C 1 C C C C 1 sin cos  sin cos    2sin cos cos2 sin2  2 2 2  2 2  4 2 2 2 2 4 C C 3 3 2sin cos  sinC  2 2 4 4 （2） a2 b2  4ab8  a2 b2 4a 4b44  0 a22 b22  0 a  2,b  2 又 7 ， cosC  1sin2C  c  a2 b2 2abcosC  7 1  4 22.（本小题满分12分）已知两个等比数列 ， ，满足 . a b a a(a 0),b a 1,b a 2,b a 3 n n 1 1 1 2 2 3 3 （3）若 a =1，求数列 a 的通项公式； n （4）若数列 a 唯一，求 a 的值. n .解：（1）当a=1时， b 1a  2,b  2a ,b 3a ，又 a ,b 为等比数列， 1 2 2 3 3  n n 不妨设a 公比为 q ，由等比数列性质知： b 2  bb (2a )2  23a ，同时又 n 1 2 1 3 2 3 有     a  a q ,a  a q 2  2a q 2  23a q 2  2q 2  23q 2  q  2 2 2 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以：  n1 a  2 2 ,n 1 n （2） a 要唯一，  当公比 q 0 时，由 b 1a  2,b  2a ,b 3a 且 n 1 1 2 2 3 3 b 2  bb  2aq 2  1a  3aq 2  aq 2 4aq 3a10 ， 2 1 3 1 1 1 1 ， 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根） a 0 aq 2 4aq 3a10  1 1 4a2 4a3a1 0 4aa1 0 ，此时满足条件的a有无数多个，不符合。  当公比 q  0 时，等比数列a 首项为 a，其余各项均为常数 0，唯一，此时由 1 n   1 2aq 2  1a3aq 2 aq 2 4aq 3a10，可推得3a10,a  符合 1 1 1 1 31 综上：a  。 3 23.（本小题满分12分） 1 1 设 f(x) x3 x2 2ax. 3 2 2 （3）若 f(x)在( ,)上存在单调递增区间，求a的取值范围； 3 16 （4）当0a2时， f(x)在  1,4  上的最小值为 ，求 f(x)在该区间上的最大值. 3 1 1 解：（1）已知 fx  x3  x2 2ax， f 'x x2  x2a，函数 fx 在 3 2 2 上存在单调递增区间，即导函数在2 上存在函数值大于零的部分，  ,  , 3  3  2 2 2 2 1  f '      2a 0a   3 3 3 9 16 （2）已知0