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2017 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）
A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=
2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切
∅
圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机
取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设有下面四个命题
p ：若复数z满足 R，则z R；
1
∈ ∈
p ：若复数z满足z2 R，则z R；
2
p 3 ：若复数z 1 ，z 2 满 ∈ 足z 1 z 2 R， ∈ 则z 1 = ；
∈
p ：若复数z R，则 R．
4
其中的真命题为（ ）
∈ ∈
A．p ，p B．p ，p C．p ，p D．p ，p
1 3 1 4 2 3 2 4
4．（5分）记S 为等差数列{a }的前n项和．若a +a =24，S =48，则{a }的公
n n 4 5 6 n
差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣
1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]6．（5分）（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等
腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面
体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（5分）如图程序框图是为了求出满足 3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在
和 两个空白框中，可以分别填入（ ）
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
9．（5分）已知曲线C ：y=cosx，C ：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是
1 2
（ ）A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
1
向右平移 个单位长度，得到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
1
向左平移 个单位长度，得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
1
向右平移 个单位长度，得到曲线C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线
1
向左平移 个单位长度，得到曲线C
2
10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l ，
1
l ，直线l 与C交于A、B两点，直线l 与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的
2 1 2
最小值为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发
大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这
款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，
2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，
再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N：N
＞100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是
（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5 分）已知向量 ， 的夹角为 60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=．
14．（5分）设x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣2y的最小值为 ．
15．（5分）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为
圆心，b为半径作圆 A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M、N两点．若
∠MAN=60°，则C的离心率为 ．
16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以
BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折
痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC
的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根
据要求作答．
17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积
为 ．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生
产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经
验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N（μ，
σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣
3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就
认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，
其中x为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
i
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估
计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之
外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量 Z 服从正态分布 N（μ，σ2），则 P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）
=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．
20．（12分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P （1，1），P （0，
1 2
1），P （﹣1， ），P （1， ）中恰有三点在椭圆C上．
3 4
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点．若直线P A与直线P B的斜
2 2 2
率的和为﹣1，证明：l过定点．
21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参
数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l距离的最大值为 ，求a．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
