文档内容
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹
清楚
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试
卷上答题无效
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. （ ）
A． B． C． D．
2.设集合 ， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2
倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面
将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．5.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（
）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，
我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知
道我的成绩．根据以上信息，则（ ）
A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩
C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
开始
输入a
S=0，K=1
否
K 6
是
S=S+aK
a=-a
K=K+1
输出S
开始
9.若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所截得的弦长为2，则
的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
10.已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与
所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11.若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）A. B. C. D.1
12.已知 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二
等品件数，则 ．
14.函数 （ ）的最大值是 ．
15.等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 ．
16.已知 是抛物线 的焦点， 是 上一点， 的延长线交 轴于点 ．若 为 的中
点，则 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
的内角 的对边分别为 ,已知 ．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
18.（12分）
淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测
量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：
频率/组距
频率/组距
0.068
0.040
0.046
0.034 0.044
0.032
0.024
0.020
0.014
0.012 0.020
0.010
0 25303540 45 50 55 60 65 70 0.008
0.004
箱产量/kg
0 35 40 45 50 55 60 65 70
旧养殖法 箱产量/kg（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法
的箱产量不低于50kg,估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P（ ） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19.（12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，
E是PD的中点.
（1）证明：直线 平面PAB
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值
P
M E
A
D
B
C
20. （12分）
设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足
.
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 设点Q在直线x=-3上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.（12分）
已知函数 且 .（1）求a；
（2）证明： 存在唯一的极大值点 ，且 .
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）M为曲线 上的动点，点P在线段OM上，且满足 ,求点P的轨迹 的直角坐标
方程；
（2）设点A的极坐标为 ，点B在曲线 上，求 面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 ，证明：
（1） ；
（2） ．
