文档内容
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，
凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件
与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可
以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）若sinα= ，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用
非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.76．（5分）函数f（x）= 的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
7．（5分）下列函数中，其图象与函数 y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（
）
A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）
8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆
（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．[2，6] B．[4，8] C．[ ，3 ] D．[2 ，3 ]
9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则点
（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．2
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积
为 ，则C=（ ）A． B． C． D．
12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为
等边三角形且面积为9 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．54
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量 =（1，2）， =（2，﹣2）， =（1，λ）．若 ∥（2
+ ），则λ= ．
14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差
异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有
简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 ．
15．（5分）若变量x，y满足约束条件 ，则z=x+ y的最大值是
．
16．（5分）已知函数f（x）=ln（ ﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=
．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要
求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{a }中，a =1，a =4a ．
n 1 5 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记S 为{a }的前n项和．若S =63，求m．
n n m18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生
产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40名工人，
将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组
工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）
绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需
时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差
异？
附：K2= ，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.82819．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M是
上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C： + =1交于A，B两点，线
段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣ ；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且 + + = ，证明：2| |=| |+|
|．21．（12分）已知函数f（x）= ．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为 ，（θ为
参数），过点（0，﹣ ）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}
【考点】1E：交集及其运算．
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【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合．
【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案．
【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，
∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ）
A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i
【考点】A5：复数的运算．
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【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，
凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件
与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可
以是（ ）A． B．
C． D．
【考点】L7：简单空间图形的三视图．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可．
【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长
方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，
并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A．
故选：A．
【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查．
4．（5分）若sinα= ，则cos2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】GS：二倍角的三角函数．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果．
【解答】解：∵sinα= ，
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2× = ．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查
运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用
非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CB：古典概型及其概率计算公式．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．
【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，
不用现金支付，是互斥事件，
所以不用现金支付的概率为：1﹣0.45﹣0.15=0.4．
故选：B．
【点评】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，
是基本知识的考查．
6．（5分）函数f（x）= 的最小正周期为（ ）
A． B． C．π D．2π
【考点】H1：三角函数的周期性．
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【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，
再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：函数 f（x）= = = sin2x 的最小正周期为
=π，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函
数的周期性，属于基础题．
7．（5分）下列函数中，其图象与函数 y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（
）
A．y=ln（1﹣x） B．y=ln（2﹣x） C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】直接利用函数的图象的对称和平移变换求出结果．
【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象，
则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．
由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．
则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的对称和平移变换．
8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆
（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（ ）
A．[2，6] B．[4，8] C．[ ，3 ] D．[2 ，3 ]
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2 ，设P（2+ ，
），点P到直线x+y+2=0的距离：d= = ∈[ ]，
由此能求出△ABP面积的取值范围．
【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|= =2 ，
∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+ ， ），
∴点P到直线x+y+2=0的距离：
d= = ，
∵sin（ ） [﹣1，1]，∴d= ∈[ ]，
∈
∴△ABP面积的取值范围是：
[ ， ]=[2，6]．
故选：A．
【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的
距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力，
考查函数与方程思想，是中档题．
9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．
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【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．
函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），
由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，
得x＜﹣ 或0＜x＜ ，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，
得x＞ 或﹣ ＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，
也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函
数的单调性是解决本题的关键．
10．（5分）已知双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则点
（4，0）到C的渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．2
【考点】KC：双曲线的性质．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的离心率求出 a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利
用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，
可得 = ，即： ，解得a=b，
双曲线C： ﹣ =1（a＞b＞0）的渐近线方程玩：y=±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为： =2 ．
故选：D．
【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积
为 ，则C=（ ）
A． B． C． D．
【考点】HR：余弦定理．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．
【分析】推导出S = = ，从而sinC= =cosC，由
△ABC
此能求出结果．
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为 ，
∴S = = ，
△ABC∴sinC= =cosC，
∵0＜C＜π，∴C= ．
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础
知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为
等边三角形且面积为9 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．54
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综
合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断 D的位置，然后
求解即可．
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为 9 ，可得 ，解得
AB=6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
O′C= = ，OO′= =2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为： =18 ．
故选：B．
【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知向量 =（1，2）， =（2，﹣2）， =（1，λ）．若 ∥（2
+ ），则λ= ．
【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．
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【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．
【分析】利用向量坐标运算法则求出 =（4，2），再由向量平行的性质能
求出λ的值．
【解答】解：∵向量 =（1，2）， =（2，﹣2），
∴ =（4，2），
∵ =（1，λ）， ∥（2 + ），
∴ ，
解得λ= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等
基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
14．（5分）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差
异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有
简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 分层抽样 ．
【考点】B3：分层抽样方法；B4：系统抽样方法．
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【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】利用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样的定义、性质直接求解．【解答】解：某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差
异，
为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，
可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，
则最合适的抽样方法是分层抽样．
故答案为：分层抽样．
【点评】本题考查抽样方法的判断，考查简单随机抽样、分层抽样和系统抽样
的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．（5 分）若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x+ y 的最大值是
3 ．
【考点】7C：简单线性规划．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综
合法；5T：不等式．
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象
知当直线过（2，3）时，z最大．
【解答】解：画出变量x，y满足约束条件 表示的平面区域如图：
由 解得A（2，3）．
z=x+ y变形为y=﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，
当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大，
最大值为2+3× =3，
故答案为：3．【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．
16．（5分）已知函数 f（x）=ln（ ﹣x）+1，f（a）=4，则 f（﹣a）=
﹣ 2 ．
【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．
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【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
【分析】利用函数的奇偶性的性质以及函数值，转化求解即可．
【解答】解：函数g（x）=ln（ ﹣x）
满足g（﹣x）=ln（ +x）= =﹣ln（ ﹣x）=﹣g（x），
所以g（x）是奇函数．
函数f（x）=ln（ ﹣x）+1，f（a）=4，
可得f（a）=4=ln（ ﹣a）+1，可得ln（ ﹣a）=3，
则f（﹣a）=﹣ln（ ﹣a）+1=﹣3+1=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查奇函数的简单性质以及函数值的求法，考查计算能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要
求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）等比数列{a }中，a =1，a =4a ．
n 1 5 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记S 为{a }的前n项和．若S =63，求m．
n n m
【考点】89：等比数列的前n项和．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出
{a }的通项公式．
n
（2）当 a =1，q=﹣2 时，S = ，由 S =63，得 S = =63，
1 n m m
m∈N，无解；当a =1，q=2时，S =2n﹣1，由此能求出m．
1 n
【解答】解：（1）∵等比数列{a }中，a =1，a =4a ．
n 1 5 3
∴1×q4=4×（1×q2），
解得q=±2，
当q=2时，a =2n﹣1，
n
当q=﹣2时，a =（﹣2）n﹣1，
n
∴{a }的通项公式为，a =2n﹣1，或a =（﹣2）n﹣1．
n n n
（2）记S 为{a }的前n项和．
n n
当a =1，q=﹣2时，S = = = ，
1 n
由S =63，得S = =63，m∈N，无解；
m m
当a =1，q=2时，S = = =2n﹣1，
1 n
由S =63，得S =2m﹣1=63，m∈N，
m m
解得m=6．
【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生
产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40名工人，
将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组
工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）
绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需
时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差
异？
附：K2= ，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】BL：独立性检验．
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【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效
率更高；
（2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；
（3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知，
第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，
所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，
排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m= =80；
由此填写列联表如下；
超过m 不超过m 总计
第一种生产方式 15 5 20
第二种生产方式 5 15 20
总计 20 20 40
（3）根据（2）中的列联表，计算
K2= = =10＞6.635，
∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直，M是
上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．
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【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间
位置关系与距离．
【分析】（1）通过证明CD⊥AD，CD⊥DM，证明CM⊥平面AMD，然后证明平面AMD⊥平面BMC；
（2）存在P是AM的中点，利用直线与平面培训的判断定理说明即可．
【解答】（1）证明：矩形 ABCD 所在平面与半圆弦 所在平面垂直，所以
AD⊥半圆弦 所在平面，CM⊂半圆弦 所在平面，
∴CM⊥AD，
M 是 上异于 C，D 的点．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CM⊥平面 AMD，
CM⊂平面CMB，
∴平面AMD⊥平面BMC；
（2）解：存在P是AM的中点，
理由：连接BD交AC于O，取AM的中点P，连接OP，可得MC∥OP，
MC⊄平面BDP，OP⊂平面BDP，
所以MC∥平面PBD．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，直线与平
面培训的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．
20．（12分）已知斜率为k的直线l与椭圆C： + =1交于A，B两点，线
段AB的中点为M（1，m）（m＞0）．
（1）证明：k＜﹣ ；
（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且 + + = ，证明：2| |=| |+|
|．
【考点】K4：椭圆的性质；KL：直线与椭圆的综合．
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【专题】35：转化思想；4P：设而不求法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设A（x ，y ），B（x ，y ），利用点差法得
1 1 2 26（x ﹣x ）+8m（y ﹣y ）=0，k= =﹣ =﹣
1 2 1 2
又点M（1，m）在椭圆内，即 ，解得m的取值范围，即可
得k＜﹣ ，
（2）设A（x ，y ），B（x ，y ），P（x ，y ），可得x +x =2
1 1 2 2 3 3 1 2
由 + + = ，可得 x ﹣1=0，由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex =2﹣
3 1
x ，|FB|=2﹣ x ，|FP|=2﹣ x = ．即可证明|FA|+|FB|=2|FP|．
1 2 3
【解答】解：（1）设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
∵线段AB的中点为M（1，m），
∴x +x =2，y +y =2m
1 2 1 2
将A，B代入椭圆C： + =1中，可得
，
两式相减可得，3（x +x ）（x ﹣x ）+4（y +y ）（y ﹣y ）=0，
1 2 1 2 1 2 1 2
即6（x ﹣x ）+8m（y ﹣y ）=0，
1 2 1 2
∴k= =﹣ =﹣
点M（1，m）在椭圆内，即 ，
解得0＜m
∴k=﹣ ．
（2）证明：设A（x ，y ），B（x ，y ），P（x ，y ），
1 1 2 2 3 3
可得x +x =2
1 2
∵ + + = ，F（1，0），∴x ﹣1+x ﹣1+x ﹣1=0，
1 2 3∴x =1
3
由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex =2﹣ x ，|FB|=2﹣ x ，|FP|=2﹣ x = ．
1 1 2 3
则|FA|+|FB|=4﹣ ，
∴|FA|+|FB|=2|FP|，
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了点差法、焦半径
公式，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．
属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）= ．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方
程．
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【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）
由f′（0）=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程．
（2）可得 =﹣ ．可得f（x）在
（﹣ ），（2，+∞）递减，在（﹣ ，2）递增，注意到a≥1时，函数
g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1＞0
只需（x） ≥﹣e，即可．
【解答】解：（1） =﹣ ．∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，
∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=2x．
即2x﹣y﹣1=0为所求．
（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，
可得 =﹣ ．
令f′（x）=0，可得 ，
当x 时，f′（x）＜0，x 时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）
时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣ ），（2，+∞）递减，在（﹣ ，2）递增，
注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）=4a+1
＞0
函数f（x）的图象如下：
∵a≥1，∴ ，则 ≥﹣e，
∴f（x） ≥﹣e，
∴当a≥1时，f（x）+e≥0．
【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数
形结合思想，属于中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为 ，（θ为
参数），过点（0，﹣ ）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
【考点】QK：圆的参数方程．
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【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（1）⊙O的普通方程为 x2+y2=1，圆心为 O（0，0），半径 r=1，当
α= 时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠ 时，过点（0，﹣ ）且倾斜
角为α的直线l的方程为y=tanα•x+ ，从而圆心O（0，0）到直线l的距离
d= ＜1，进而求出 或 ，由此能求出 α
的取值范围．
（2）设直线 l 的方程为 x=m（y+ ），联立 ，得（m2+1）y2+2
+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出 AB中点P的
轨迹的参数方程．
【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为 （θ为参数），
∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
当α= 时，过点（0，﹣ ）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；
当α≠ 时，过点（0，﹣ ）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣ ，
∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，∴圆心O（0，0）到直线l的距离d= ＜1，
∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，
∴ 或 ，
综上α的取值范围是（ ， ）．
（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+ ），
设A（x ，y ），（B（x ，y ），P（x ，y ），
1 1 2 2 3 3
联立 ，得（m2+1）y2+2 +2m2﹣1=0，
，
=﹣ +2 ，
= ， =﹣ ，
∴AB 中点 P 的轨迹的参数方程为 ，（m 为参数），（﹣1＜m＜
1）．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参
数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等
基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与
方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．
（1）画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．
【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；5B：分段函数的应用．
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有
【专题】31：数形结合；4R：转化法；51：函数的性质及应用；59：不等式的
解法及应用．
【分析】（1）利用分段函数的性质将函数表示为分段函数形式进行作图即可．
（2）将不等式恒成立转化为图象关系进行求解即可．
【解答】解：（1）当x≤﹣ 时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，
当﹣ ＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，
当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，
则f（x）= 对应的图象为：
画出y=f（x）的图象；
（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，
当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，
当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，
∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，
且各部分直线的斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，
即a+b的最小值为5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用不等式和函数之间的关系利用数
形结合是解决本题的关键．
