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2018 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至
2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷
时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 .
如果事件A，B相互独立，那么 .
棱柱的体积公式 ，其中 表示棱柱的底面面积， 表示棱柱的高.
棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R，集合 ， ，则
(A) (B)
(C) (D)(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的最大值为
(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(4)设 ，则“ ”是“ ”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
(A) (B) (C) (D)(6)将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
(A)在区间 上单调递增 (B)在区间 上单调递减
(C)在区间 上单调递增 (D)在区间 上单调递减
(7)已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B
两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为
(A) (B)
(C) (D)
(8)如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， . 若点E为边
CD上的动点，则 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(9) i是虚数单位，复数 .
(10) 在 的展开式中， 的系数为 .
(11) 已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，
F，G，H，M(如图)，则四棱锥 的体积为 .
(12)已知圆 的圆心为 C，直线 ( 为参数)与该圆相交于 A，B两点，则
的面积为 .
(13)已知 ，且 ，则 的最小值为 .
(14)已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，
则 的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 .
（I）求角B的大小;
（II）设a=2，c=3，求b和 的值.
(16)(本小题满分13分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，
进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检
查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概
率.
(17)(本小题满分13分)
如 图 ， 且 AD=2BC ， , 且 EG=AD ， 且 CD=2FG ，
，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证： ；
（II）求二面角 的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
(18)(本小题满分13分)
设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列. 已知 ，， ， .
（I）求 和 的通项公式；
（II）设数列 的前n项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
(19)(本小题满分14分)
设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为 ，点A的坐标为
，且 .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.
若 (O为原点) ，求k的值.
(20)(本小题满分14分)
已知函数 ， ，其中a>1.
（I）求函数 的单调区间；
（II）若曲线 在点 处的切线与曲线 在点 处的切线平行，证
明 ；
（III）证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.参考答案：
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）B （2）C （3）B （4）A
（5）D （6）A （7）C （8）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
（9）4–i （10） （11）
（12） （13） （14）
三、解答题
（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，
以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．
（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理 ，可得 ，又由 ，得
，即 ，可得 ．又因为 ，可得B= ．
（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B= ，有 ，故b= ．
由 ，可得 ．因为a= ，于是sin= ．
所以，二面角E–BC–F的正弦值为 ．
（Ⅲ）解：设线段 DP 的长为 h（h∈［0，2］），则点 P 的坐标为（0，0，h），可得
．易知， =（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故
，
由题意，可得 =sin60°= ，解得h= ∈［0，2］．
所以线段 的长为 .
（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数
列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
（I）解：设等比数列 的公比为q.由 可得 .
因为 ，可得 ，故 .
设等差数列 的公差为d，由 ，可得 由 ，
可得 从而 故
所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为
（II）（i）由（I），有 ，故
.
（ii）证明：因为
，
所以， .
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线
的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知 ，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得， ，
，由 ，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）解：设点 P 的坐标为（x ，y ），点 Q 的坐标为（x ，y ）．由已知有 y>y>0，故
1 1 2 2 1 2
． 又 因 为 ， 而 ∠ OAB= ， 故 ． 由
，可得5y=9y．
1 2
由方程组 消去 x，可得 ．易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0，由方程组
消去x，可得 ．由5y=9y，可得5（k+1）= ，两边平方，整理得 ，
1 2
解得 ，或 ．
所以，k的值为
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知
识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分
14分.
（I）解：由已知， ，有 .
令 ，解得x=0.由a>1，可知当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x 0
0 +
极小值
所以函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 .
（II）证明：由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 .
由 ，可得曲线 在点 处的切线斜率为 .
因为这两条切线平行，故有 ，即 .
两边取以a为底的对数，得 ，所以 .
（III）证明：曲线 在点 处的切线l： .
1
曲线 在点 处的切线l： .
2
要证明当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线，只需证明
当 时，存在 ， ，使得l 和l 重合.学*科网
1 2
即只需证明当 时，方程组 有解，
由①得 ，代入②，得 . ③
因此，只需证明当 时，关于x 的方程③有实数解.
1设函数 ，即要证明当 时，函数 存在零点.
，可知 时， ； 时， 单调递减，又
， ，故存在唯一的x，且x>0，使得 ，即
0 0
.
由此可得 在 上单调递增，在 上单调递减. 在 处取得极大值 .
因为 ，故 ，
所以 .
下面证明存在实数t，使得 .
由（I）可得 ，
当 时，
有 ，
所以存在实数t，使得
因此，当 时，存在 ，使得 .
所以，当 时，存在直线l，使l是曲线 的切线，也是曲线 的切线.
选择填空解析一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集为R，集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由题意首先求得 ，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得： ，
结合交集的定义可得： .
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 设变量x，y满足约束条件 则目标函数 的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解
最大值即可.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程： ，可得点A的坐标为： ，
据此可知目标函数的最大值为： .
本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最
大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上
截距最小时，z值最大.
3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B
【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
详解：结合流程图运行程序如下：
首先初始化数据： ，
，结果为整数，执行 ， ，此时不满足 ；
，结果不为整数，执行 ，此时不满足 ；
，结果为整数，执行 ， ，此时满足 ；
跳出循环，输出 .
本题选择B选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
4. 设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解：绝对值不等式 ，
由 .
据此可知 是 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.5. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意结合对数函数的性质可知：
， ， ，
据此可得： .
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数
不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，
若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指
数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间 上单调递增 B. 在区间 上单调递减
C. 在区间 上单调递增 D. 在区间 上单调递减
【答案】A
【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
详解：由函数图象平移变换的性质可知：
将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足： ，
即 ，
令 可得一个单调递增区间为： .函数的单调递减区间满足： ，
即 ，
令 可得一个单调递减区间为： .
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.
7. 已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.
设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即
可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为 （c>0），则 ，
由 可得： ，
不妨设： ，
双曲线的一条渐近线方程为： ，
据此可得： ， ，
则 ，则 ，双曲线的离心率： ，
据此可得： ，则双曲线的方程为 .
本题选择C选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准
方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方
程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出λ的值即可.
8. 如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， . 若点E为边CD上的
动点，则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函
数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 ， ， ， ，点 在 上，则 ，设 ，则：
，即 ，
据此可得： ，且：
， ，
由数量积的坐标运算法则可得：
，
整理可得： ，
结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值 .
本题选择A选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体
应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
2018 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. i是虚数单位，复数 ___________.
【答案】4–i
【解析】分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由复数的运算法则得： .
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10. 在 的展开式中， 的系数为____________.
【答案】
【解析】分析：由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解 的系数即可.
详解：结合二项式定理的通项公式有： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定
项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整
数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．
11. 已知正方体 的棱长为1，除面 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，
G，H，M(如图)，则四棱锥 的体积为__________.【答案】
【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.
详解：由题意可得，底面四边形 为边长为 的正方形，其面积 ，
顶点 到底面四边形 的距离为 ，
由四棱锥的体积公式可得： .
点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12. 已知圆 的圆心为C，直线 (为参数)与该圆相交于A，B两点，则 的面积
为___________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合弦长公式求得弦长，最后求解三角形的面积
即可.
详解：由题意可得圆的标准方程为： ，
直线的直角坐标方程为： ，即 ，
则圆心到直线的距离： ，
由弦长公式可得： ，则 .
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含
有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
13. 已知 ，且 ，则 的最小值为_____________.
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意
等号成立的条件.
详解：由 可知 ，
且： ，因为对于任意x， 恒成立，
结合均值不等式的结论可得： .
当且仅当 ，即 时等号成立.
综上可得 的最小值为 .
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
14. 已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2个互异的实数解，则的取值范
围是______________.
【答案】
【解析】分析：由题意分类讨论 和 两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当 时，方程 即 ，
整理可得： ，很明显 不是方程的实数解，则 ，
当 时，方程 即 ，
整理可得： ，
很明显 不是方程的实数解，则 ，
令 ，
其中 ，
原问题等价于函数 与函数 有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 的图象，
同时绘制函数 的图象如图所示，考查临界条件，
结合 观察可得，实数的取值范围是 .
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合
函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
