文档内容
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学
一、选择题
1．已知集合M＝{x|－41，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a0，∴排除C；
4. 古 希 腊 时 期 ， 人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是
，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长 ∵f(1)＝ ，且sin 1>cos 1，∴f(1)>1，∴排除B，故选D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“
度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的
”和阴爻“— —”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3个阳爻的概率是(
长度为26 cm，则其身高可能是( ) )
A. B. C. D.
答案 A解析 由6个爻组成的重卦种数为 26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有 3个阳爻的种数为 ＝ 解析 设等差数列{a}的公差为d，
n
＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝ ＝ .故选A.
∵ ∴ 解得
7．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
∴a＝a＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
n 1
A. B. C. D.
S＝na＋ d＝n2－4n.故选A.
n 1
答案 B
10．已知椭圆C的焦点为F(－1,0)，F(1,0)，过F 的直线与C交于A，B两点．若|AF|＝2|FB|，|AB|＝|BF|，则
解析 设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos α＝ 1 2 2 2 2 1
C的方程为( )
，∵α∈[0，π]，∴α＝ ，故选B.
A. ＋y2＝1 B. ＋ ＝1
8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入( )
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为 ＋ ＝1(a>b>0)，连接FA，令|FB|＝m，则|AF|＝2m，|BF|＝3m.由椭圆的定义
1 2 2 1
知，4m＝2a，得m＝ ，故|FA|＝a＝|FA|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF ＝θ(O为坐标原点)，
2 1 2
则sin θ＝ ＝ .在等腰三角形ABF 中，cos 2θ＝ ＝ ，因为cos 2θ＝1－2sin2θ，所以 ＝1－2
1
2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为 ＋ ＝1，故选B.
A．A＝ B．A＝2＋
11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
C．A＝ D．A＝1＋ ①f(x)是偶函数；
答案 A ②f(x)在区间 上单调递增；
解析 A＝ ，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝ ，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝ ，k＝3,3≤2不成 ③f(x)在[－π，π]上有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝ .故选A. 其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
9．记S 为等差数列{a}的前n项和．已知S＝0，a＝5，则( )
n n 4 5
答案 C
A．a＝2n－5 B．a＝3n－10
n n
解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当 0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C的两条渐近线分别交于
别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( ) 1 2 1
A．8 π B．4 π C．2 π D. π A，B两点．若 ＝ ， · ＝0，则C的离心率为________．
答案 D 答案 2
解析 因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE. 解析 因为F1B·F2B＝0，所以FB⊥FB，如图．
1 2
取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝
PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P－ABC放在正方体中如图
所示．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为 ，所以该正方体的体对角线长为 ，所以三棱锥P－ABC的外接
因为 ＝ ，所以点A为FB的中点，又点O为FF 的中点，所以OA∥BF ，所以FB⊥OA，所以|OF|＝|
1 1 2 2 1 1
球的半径R＝ ，所以球O的体积V＝ πR3＝ π 3＝ π，故选D.
OB|，所以∠BFO＝∠FBO，所以∠BOF ＝2∠BFO.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，
1 1 2 1
所以tan∠BOF ＝ ，tan∠BFO＝ .
2 1
因为tan∠BOF ＝tan(2∠BFO)，
2 1
所以 ＝ ，所以b2＝3a2，
二、填空题
13．曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________． 所以c2－a2＝3a2，
答案 y＝3x
即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝ ＝2.
解析 因为y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率k＝y′| ＝3，所
x＝0
以所求的切线方程为y＝3x. 三、解答题
17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
14．记S 为等比数列{a}的前n项和．若a＝ ， ＝a，则S＝________.
n n 1 6 5
(1)求A；
(2)若 a＋b＝2c，求sin C.
答案
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
解析 设等比数列{a}的公比为q，因为 ＝a ，所以(aq3)2＝aq5，所以aq＝1，又a ＝ ，所以q＝3，所以S
n 6 1 1 1 1 5由余弦定理得cos A＝ ＝ ，
因为0°0；当x∈ 时，g′(x)<0.
1 2 1 2
所以g(x)在(－1，α)上单调递增，在 上单调递减，故g(x)在 上存在唯一极大值点，即f′(x)在
由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
上存在唯一极大值点．
(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
令Δ>0，得t< ，
①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f′(x)在(－1,0)上单调递增．而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故f(x)
在(－1,0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零点；
则x＋x＝－ .
1 2
②当x∈ 时，由(1)知，f′(x)在(0，α)上单调递增，在 上单调递减，而f′(0)＝0，f′ <0，所以存在
从而－ ＝ ，得t＝－ .
β∈ ，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈ 时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，
所以l的方程为y＝ x－ .
在 上单调递减．
(2)由 ＝3 可得y＝－3y，
1 2
又f(0)＝0，f ＝1－ln >0，所以当x∈ 时，f(x)>0.
由 可得y2－2y＋2t＝0，
从而，f(x)在 上没有零点；
所以y＋y＝2，从而－3y＋y＝2，故y＝－1，y＝3，
1 2 2 2 2 1
代入C的方程得x
1
＝3，x
2
＝ ， ③当x∈ 时，f′(x)<0，所以f(x)在 上单调递减．而f >0，f(π)<0，所以f(x)在 上有唯一零点；
④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点．
即A(3,3)，B ，
综上，f(x)有且仅有2个零点．
21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
故|AB|＝ .
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治
20．已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数，证明： 疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4只时，就停止试验，
并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药
(1)f′(x)的区间 上存在唯一极大值点；
的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲
(2)f(x)有且仅有2个零点． 药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药
的得分记为X.
证明 (1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x－ ，g′(x)＝－sin x＋ .
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙
当x∈ 时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0， i
药更有效”的概率，则p＝0，p＝1，p＝ap ＋bp＋cp (i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c
0 8 i i－1 i i＋1
＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)证明：{p －p}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列； (1)求C和l的直角坐标方程；
i＋1 i
(ⅱ)求p，并根据p 的值解释这种试验方案的合理性． (2)求C上的点到l距离的最小值．
4 4
(1)解 X的所有可能取值为－1,0,1.
解 (1)因为－1< ≤1，且x2＋ 2＝ 2＋ ＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋ ＝1(x≠－1)．
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)， l的直角坐标方程为2x＋ y＋11＝0.
P(X＝1)＝α(1－β)．
(2)由(1)可设C的参数方程为 (α为参数，－π<α<π)．
所以X的分布列为
C上的点到l的距离为
＝ .
(2)(ⅰ)证明 由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1. 当α＝－ 时，4cos ＋11取得最小值7，
因此p＝0.4p ＋0.5p＋0.1p ，故0.1(p －p)＝0.4(p－p )，即p －p＝4(p－p )．
i i－1 i i＋1 i＋1 i i i－1 i＋1 i i i－1
故C上的点到l距离的最小值为 .
又因为p－p＝p≠0，所以{p －p}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p 的等比数列．
1 0 1 i＋1 i 1
23．[选修4－5：不等式选讲]
(ⅱ)解 由(ⅰ)可得
已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
p＝p－p＋p－p＋…＋p－p＋p
8 8 7 7 6 1 0 0
＝(p－p)＋(p－p)＋…＋(p－p) (1) ＋ ＋ ≤a2＋b2＋c2；
8 7 7 6 1 0
＝ p. (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
1
证明 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有
由于p＝1，故p＝ ，所以
8 1
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ ＝ ＋ ＋ .
p＝(p－p)＋(p－p)＋(p－p)＋(p－p)
4 4 3 3 2 2 1 1 0
所以 ＋ ＋ ≤a2＋b2＋c2.
＝ p
1
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有
＝ . (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3
＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)
p 表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率
4
≥3×(2 )×(2 )×(2 )
为0.8时，认为甲药更有效的概率为p ＝ ≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合
4
＝24.
理． 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ ρsin θ＋11＝0.
