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2020-2021学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一
个
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．圆 C．等边三角形 D．四边形
2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是
（ ）
A．y＝ B．y＝﹣x﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣3x
3．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
4．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（
）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
6．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩
墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是 ，则n的值
是（ ）
A．250 B．10 C．5 D．1
7．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为 AC，BD，设
交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线
段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明
应该测量的是（ ）
A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD
8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若
扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝ r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．写出一个二次函数，使其满足： 图象开口向下； 当x＞0时，y随着x的增大而减
小，这个二次函数的解析式可以是① ． ②
10．如图，点A在 O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为
． ⊙11．A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他
差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是 ．
12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生
产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为
x，则所列的方程应为 （不增加其它未知数）．
13．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的
解析式为 ．
14．如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角 后得到AC'，连接BC'和
CC'，则∠BC'C的度数为 ． α
15．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x ＝﹣1，则
A
点B的横坐标x 的值为 ．
B
16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，
A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长
为 ，线段AB的长为 ．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．已知：如图，线段AB．
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法： 作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
以点①O为圆心，OA长为半径画圆；
②以点B为圆心，OB长为半径画弧，与 O相交，记其中一个交点为C；
③分别连接AC，BC． ⊙
④△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝ °．
18．在平面直角坐标系 xOy中，二次函数的图象与 y轴交于点A（0，﹣1），且过点B
（1，4），C（﹣2，1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．
19．如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，
DC的延长线交AM于点E．
（1）求证：AB＝BF；
（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC ：S△EAD 的值．20．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
求n的取值范围；
①写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
②
21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝ 过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，
C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．
（1）求k的值；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线x＝t与双曲线y＝ 交于点D（t，y ），与直线y＝4x交于点E（t，y ），
1 2
当y ＜y 时，写出t的取值范围．
1 2
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，
DC长为半径画 D．
（1）补全图形，⊙判断直线AB与 D的位置关系，并证明；
（2）若BD＝5，AC＝2DC，求 ⊙D的半径．
⊙23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．
（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范
围．
24．在△ABC中，AB＝2 ，CD⊥AB于点D，CD＝ ．
（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，
AC的长为 ；
①延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是 ，∠BCE与∠A
②的数量关系是 ；
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异
侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
按要求补全图形；
①求AE的长．
②
25．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1．
给出如下定义：记线段AB的⊙中点为M，当点M不在 O上时，平移线段AB，使点M
落在 O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对⊙应点）线段AA'长度的最小值称
为线段⊙AB到 O的“平移距离”．
（1）已知点⊙A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．若点B与原点O重合，则线段AB到 O的“平移距离”为 ；
①若线段AB到 O的“平移距离”为2⊙，则点B的坐标为 ；
② ⊙
（2）若点A，B都在直线y＝ x+4上，且AB＝2，记线段AB到 O的“平移距离”为
⊙
d ，求d 的最小值；
1 1
（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到 O的“平移距离”为d ，直
2
接写出d 的取值范围． ⊙
22020-2021学年北京市东城区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．直角三角形 B．圆 C．等边三角形 D．四边形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，一定不是中心对称图形，故本选项
不合题意；
B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、四边形不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是
（ ）
A．y＝ B．y＝﹣x﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣3x
【分析】由题意，图象经过第一象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．
【解答】解：由题意，图象经过第一、三象限的函数是满足条件的，
A、函数y＝ 的图象在一、三象限，满足条件；
B、函数y＝﹣x﹣1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
C、函数y＝﹣x2﹣1的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
D、函数y＝﹣3x的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；
故选：A．
3．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3
【分析】根据关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，可以得到a+2a+1＝0，然后
即可得到a的值．
【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，∴a+2a+1＝0，
∴3a+1＝0，
解得a＝﹣ ，
故选：C．
4．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（
）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【分析】构造菱形的对角线与面积之间的函数关系式，根据关系式进行判断即可．
【解答】解：设菱形的面积为S，两条对角线的长分别为x、y，则有，
xy＝S，
∴y＝ ，
而菱形的面积为定值，即2S为定值，是常数不变，
所以y是x的反比例函数，
故选：B．
5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征对A进行判断；根据关于x轴对称的点的坐
标特征对B进行判断；根据关于原点对称的点的坐标特征对C、D进行判断．
【解答】解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；
B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；
C、△ABC与△A'B'C'关于（﹣ ，0）对称，所以C选项不符合题意；
D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；
故选：D．
6．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、
吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩
墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是 ，则n的值
是（ ）
A．250 B．10 C．5 D．1
【分析】根据概率的意义列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，
＝ ，
解得n＝10，
故选：B．
7．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为 AC，BD，设
交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线
段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明
应该测量的是（ ）
A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD
【分析】利用两角法证得△APB∽△DPC，由该相似三角形的对应边成比例求得线段CD的长度．
【解答】解：如图，连接AB．
∵∠DBP＝∠ABP，∠DPC＝∠APB，
∴△APB∽△DPC，
∴AP：DP＝AB：DC．
∴只需再测量AB线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．
故选：C．
8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若
扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（ ）
A．R＝ r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．
【解答】解：扇形的弧长是： ＝ ，
圆的半径为r，则底面圆的周长是2 r，
π
圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： ＝2 r，
π
即：R＝4r，
R与r之间的关系是R＝4r．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．写出一个二次函数，使其满足： 图象开口向下； 当x＞0时，y随着x的增大而减
小，这个二次函数的解析式可以是① y ＝﹣ x 2 ﹣ 2 x ﹣ 1 ② ．【分析】首先由 得到a＜0；由 得到﹣ ≤0；只要举出满足以上两个条件的a、
① ②
b、c的值即可得出所填答案．
【解答】解：二次函数y＝ax2+bx+c，
开口向下，
①∴a＜0；
当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣ ≤0，即b＜0；
②
∴只要满足以上两个条件就行，
如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．
10．如图，点A在 O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为 4
． ⊙
【分析】连接OC，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
【解答】解：连接OC，
∵BC⊥OA，
∴∠ODC＝90°，BD＝CD，
∵OD＝AD，
∴OD＝ OA＝ ＝2，
∴CD＝ ＝ ＝2 ，
∴BC＝2CD＝4 ，
故答案为4 ．11．A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他
差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出2个球都是白球的结果数，然后
根据概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球都是白球的有1种，
则取出的2个球都是白球的概率是 ．
故答案为： ．
12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生
产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为
x，则所列的方程应为 300 0 （ 1+ x ） 2 ＝ 500 0 （不增加其它未知数）．
【分析】若这种商品的年平均增长率为x，根据现在生产1吨某产品的成本是3000元，
两年后生产1吨药品的成本是5000元可列方程．
【解答】解：设这种商品的年平均增长率为x，
3000（1+x）2＝5000．
故答案为：3000（1+x）2＝5000．
13．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为 y ＝ x 2 + 2 或 y ＝ x 2 ﹣ 2 ．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝x2沿着y轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式
为y＝x2+2；将抛物线y＝x2沿着y轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为
y＝x2﹣2；
故答案是：y＝x2+2或y＝x2﹣2．
14．如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角 后得到AC'，连接BC'和
CC'，则∠BC'C的度数为 30 ° ． α
【分析】由旋转的性质得出AC＝AC'，∠CAC'＝ ，由三角形的内角和定理求出∠AC'C
的度数，由等边三角形的性质得出AB＝AC'，由等α腰三角形的性质求出∠AC'B的度数，
则可得出答案．
【解答】解：∵将AC绕点A逆时针旋转角 后得到AC'，
∴AC＝AC'，∠CAC'＝ ， α
α
∴∠ACC'＝∠AC'C＝ ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴AB＝AC'，
∴∠AC'B＝ ＝60°﹣ ，
∴∠BC'C＝∠AC'C﹣∠AC'B＝ ＝30°．
故答案为：30°．
15．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x ＝﹣1，则
A
点B的横坐标x 的值为 3 ．
B
【分析】根据题意A、B的纵坐标相同，先根据A的横坐标求得纵坐标，把纵坐标代入
解析式，解关于x的方程即可求得．【解答】解：把x ＝﹣1代入y＝x2﹣2x+c得，y＝1+2+c＝3+c，
A
∴A（﹣1，3+c），
∵抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，
∴B的纵坐标为3+c，
把y＝3+c代入y＝x2﹣2x+c得，3+c＝x2﹣2x+c，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴点B的横坐标x 的值为3，
B
故答案为3．
16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，
A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长
为 ，线段AB的长为 2 ．
【分析】从图象看，当x＝1时，y＝ ，即BD＝1时，AD＝ ，当x＝7时，y＝
，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝ ，则CD＝6，即当BD＝1时，
△ADC为以点A为顶点腰长为 的等腰三角形，进而求解．
【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝ ，即BD＝1时，AD＝ ，
当x＝7时，y＝ ，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝ ，则CD＝6，
即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为 的等腰三角形，如下图：
过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ACH中，AC＝ ，CH＝DH＝ CD＝3，则AH＝ ＝ ＝2，
在Rt△ABH中，AB＝ ＝ ＝2 ，故答案为： ，2 ．
三．解答题
17．已知：如图，线段AB．
求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．
作法： 作线段AB的垂直平分线交AB于点O；
以点①O为圆心，OA长为半径画圆；
②以点B为圆心，OB长为半径画弧，与 O相交，记其中一个交点为C；
③分别连接AC，BC． ⊙
④△ABC就是所求作的直角三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接OC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝ 9 0 °（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝ 3 0 °．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）证明△BOC是等边三角形，∠ACB＝90°即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求作．（2）连接OC，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．
∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
∵OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形．
∴∠COB＝60°．
∴∠A＝30°．
故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，30．
18．在平面直角坐标系 xOy中，二次函数的图象与 y轴交于点A（0，﹣1），且过点B
（1，4），C（﹣2，1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先利用配方法得到顶点式，根据二次函数的性质得到当x＝﹣ 时，y有最小值为
﹣ ，再计算出自变量为﹣1和0对应的二次函数值，从而得到当﹣1≤x≤0时，y的
取值范围．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（0，﹣1），B（1，4），C（﹣2，1）代入得 ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝2x2+3x﹣1；
（2）∵y＝2x2+3x﹣1＝2（x+ ）2﹣ ，
∴当x＝﹣ 时，y有最小值为﹣ ，
∵x＝﹣1时，y＝2x2+3x﹣1＝﹣2；x＝0时，y＝﹣1，
∴当﹣1≤x≤0时，y的取值范围为﹣ ≤y≤﹣1．
19．如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，
DC的延长线交AM于点E．（1）求证：AB＝BF；
（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC ：S△EAD 的值．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得∠BAM＝∠BFA，可得AB＝BF；
（2）通过证明△CEF∽△DEA，由相似三角形的性质可求解．
【解答】证明：（1）∵AM平分∠BAD，
∴∠BAM＝∠DAM，
∵BF∥AD，
∴∠BFA＝∠DAM，
∴∠BAM＝∠BFA，
∴AB＝BF；
（2）∵AB＝1，
∴AB＝BF＝CF＝1，
∵BF∥AD，
∴△CEF∽△DEA，
∴ ＝（ ）2＝ ．
20．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．
（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；
（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
求n的取值范围；
①写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
②【分析】（1）根据方程得出△＝m2﹣4n＝0，变形即可；
（2） 根据方程得到△＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得即可；
在n①的取值范围内取n＝3，然后解方程即可．
②【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，
∴△＝m2﹣4n＝0，∴n＝ m2；
（2） ∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．
∴△＝①（﹣4）2﹣4n＞0，
解得n＜4；
∵n＜4，
②∴n可以是3，
此时方程为x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
解得x ＝3，x ＝1．
1 2
21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝ 过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，
C两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．
（1）求k的值；
（2）求点B，C的坐标；
（3）若直线x＝t与双曲线y＝ 交于点D（t，y ），与直线y＝4x交于点E（t，y ），
1 2
当y ＜y 时，写出t的取值范围．
1 2
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，组成方程组，解方程组即可求得；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵双曲线y＝ 过点A（1，1），
∴k＝1×1＝1；（2）解 得 或 ，
∴B（﹣ ，﹣2），C（ ，2）；
（3）观察函数的图象，当y ＜y 时，t的取值范围为﹣ ＜t＜0或t＞ ．
1 2
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，
DC长为半径画 D．
（1）补全图形，⊙判断直线AB与 D的位置关系，并证明；
（2）若BD＝5，AC＝2DC，求 ⊙D的半径．
⊙
【分析】（1）根据要求画出图形，结论AB与 D相切．过点D作DE⊥AB于E．证明
DE＝DC即可． ⊙
（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．利用勾股定理构建方程组求解即可．
【解答】解：（1）图形如图所示，结论AB与 D相切．
⊙理由：过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
∴ D与AB相切．
⊙
（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．
∵AB，AC是 D的切线，
∴AC＝AE＝2⊙CD＝2r，
∵∠ACB＝∠BED＝90°，
则有 ，
解得 ，
∴ D的半径为3．
23．在⊙平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．
（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范
围．
【分析】（1）把点（﹣2，﹣2）代入抛物线的解析式即可求解：
（2）抛物线解析式化成顶点式即可求得；
（3）根据题意A（m，m）和B（n，n）是抛物线与直线y＝x的交点坐标，解析式联立消去y得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系即可求得．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，﹣2），
∴4+4b+1＝﹣2，
解得b＝﹣ ；
（2）∵y＝x2﹣2bx+1＝（x﹣b）2﹣b2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（b，﹣b2+1）；
（3）∵点A（m，m）和B（n，n），
∴点A（m，m）和B（n，n）在直线y＝x上，
由 ，消去y得x2﹣2bx+1＝x，
整理得x2﹣（2b+1）x+1＝0，
∴△＝（2b+1）2﹣4＞0，即（2b+3）（2b﹣1）＞0，
∴ 或 ，
解得b＞ 或b＜﹣ ，
由x2﹣（2b+1）x+1＝0可知m•n＝1，
∴m、n同号，
∵|m|＞2，|n|＜2，
∴当m＞n＞0时，m+n＞ ，
∴2b+1＞ ，解得b＞
当0＞m＞n时，m+n＜﹣ ，
∴2b+1＜﹣ ，解得b＜﹣ ，
综上，b的取值范围为b＞ 或b＜﹣ ．
24．在△ABC中，AB＝2 ，CD⊥AB于点D，CD＝ ．
（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，
AC的长为 ；
①延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是 CE ＝ CB ，∠BCE
②与∠A的数量关系是 ∠ BCE ＝ 2 ∠ A ；
（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异
侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．
按要求补全图形；
①求AE的长．
②
【分析】（1） 利用勾股定理求解即可．
利用线段的垂①直平分线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．
②（2） 根据要求作出图形即可．
如图①2 中，在 AC 的上方作△ACT，使得 CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点 C 作
②CH⊥AT于H．证明△ACE≌△TCB（SAS），推出AE＝BT，可得结论．
【解答】解：（1） 如图1中，
①
∵AD＝DB＝ AB＝ ，CD⊥AB，
∴CA＝CB，∠ADC＝90°，
∵CD＝ ，
∴AC＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．连接BE．∵CA＝CE，CA＝CB，
②∴CE＝CB，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠CBA，
∴∠ECB＝∠A+∠CBA＝2∠A，
故答案为：CE＝CB，∠BCE＝2∠A．
（2） 图形如图2所示：
①
如图 2 中，在 AC 的上方作△ACT，使得 CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点 C 作
②CH⊥AT于H．
∵CA＝CT，CH⊥AT，
∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，
∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，
∴∠ZCH＝∠CAB，
∴CH∥AB，
∴∠CHA＝∠HAB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCH是矩形，
∴CD＝AH＝HT＝ ，
∴AT＝2AH＝2 ，∵∠ACT＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠TCB，
∵CA＝CT，CE＝CB，
∴△ACE≌△TCB（SAS），
∴AE＝BT，
∵BT＝ ＝ ＝2 ，
∴AE＝BT＝2 ．
25．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1．
给出如下定义：记线段AB的⊙中点为M，当点M不在 O上时，平移线段AB，使点M
落在 O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对⊙应点）线段AA'长度的最小值称
为线段⊙AB到 O的“平移距离”．
（1）已知点⊙A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．
若点B与原点O重合，则线段AB到 O的“平移距离”为 ；
① ⊙
若线段AB到 O的“平移距离”为2，则点B的坐标为 B （﹣ 5 ， 0 ）或（ 7 ， 0 ）
②； ⊙
（2）若点A，B都在直线y＝ x+4上，且AB＝2，记线段AB到 O的“平移距离”为
⊙
d ，求d 的最小值；
1 1
（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到 O的“平移距离”为d ，直
2
接 写 出 d 的 取 值⊙ 范 围 ．
2【分析】（1） 求出点M的坐标，即可得出结论．
因为线段AB①到 O的“平移距离”为2，所以M（﹣3，0）或（3，0），由此即可
②解决问题． ⊙
（2）如图1中，设直线y＝ x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，
0）．过点O作OH⊥EF于H，交 O于K．利用面积法求出OH的长，可得结论．
（3）求出d
2
的最大值与最小值，⊙可得结论．
【解答】解：（1） ∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，
①
∴M（﹣ ，0），
∴线段AB到 O的“平移距离”＝线段AM的长＝ ，
⊙
故答案为： ．
∵线段AB到 O的“平移距离”为2，
②∴M（﹣3，0）⊙或（3，0），
∵MA＝MB，
∴B（﹣5，0）或（7，0）．
故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．
（2）如图1中，设直线y＝ x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交 O于K．
⊙
∵OE＝4，OF＝3，
∴EF＝ ＝ ＝5，
∵S△OEF ＝ ×OE×OF＝ ×EF×OH，
∴OH＝ ，
观察图像可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到 O的“平移距离”最小，
⊙
最小值＝OH﹣OK＝ ．即d ＝ ．
1
（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，d 的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d 的最大值＝PR＝5+1＝6，
2 2
∴3≤d ≤6．
2
