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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北理工实验初三年级数学零模测试
一、选择题：（每小题2分，共16分）
1. 据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300 000吨．将
300 000用科学记数法表示应为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】300 000是6位整数，用科学记数法表示时， ， .
【详解】解：300 000=3×105，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法表示为 （ ， 为整数）.
2. 如图是几何体的三视图，该几何体是
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正三棱柱 D. 正三棱锥
【答案】C
【解析】
【详解】由展开图的特点知识是三棱柱的展开图.
故选C．
3. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数 满足 ，则 的值可以是（ ）
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A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，先根据数轴求出 ， ，再估算出
，进而得到 ，据此可得答案．
【详解】解：由数轴可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选：B．
4. 如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（ ）
A. 38° B. 104° C. 142° D. 144°
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角相等的性质，得∠AOC=76°，根据补角的定义，得∠BOC=104°；由射线OM平分
∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=38°，即可求解．
【详解】解：∵∠BOD=76°
∴∠AOC=76°
∴∠BOC=104°
∵OM平分∠AOC
∴∠COM=38°
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∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=142°．
故选C．
【点睛】本题主要考查角平分线定义，对顶角 的性质，补角的定义，掌握角平分线定义，对顶角的性质，
补角的定义是解题的关键．
5. 正十边形的外角的度数是( )
.
A 18° B. 36° C. 45° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为360°求解即可．
【详解】∵多边形的外角和为360°
∴正十边形的外角的度数
故答案为：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角问题，掌握多边形外角和定理是解题的关键．
6. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸
出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】一共6个球，其中2个黄球，根据概率的定义所以概率为 ，
故选：B.
【点睛】考点：概率
7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则 的值为（
）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为AD∥BC，
所以△ADO∽△CBO，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
的
8. 为了预防新型冠状病毒 感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌
椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、
每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据
该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
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分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得
出结论．
【详解】解：
第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，
第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位，
第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，
第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人，
重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，
重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人．
故选：B．
【点睛】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二、填空题：（每小题2分，共16分）
9. 若二次根式 有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式成立的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的
关键．
10. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________．
【答案】a（b﹣2）2
【解析】
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【详解】ab2﹣4ab+4a
=a（b2﹣4b+4）
=a（b﹣2）2
故答案为a（b﹣2）2．
11. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程，根据根的判别式即可求出答案，解题的关键是熟练运用一元二次方程的
根的判别式．
【详解】解：∵关于 的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 分式方程 的解为____________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据解分式方程的方法即可求解．
【详解】解：
去分母得： ，
移项合并得： ，
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系数化为 ，解得： ，
检验，把 代入原分式方程，原分式方程有意义，
∴ 是原分式方程的解，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解方程的方法，检验根是否符合分式方程等知识是解题的关键．
13. 在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为
，则 的值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴ ，
为
故答案 ：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对
称这个特点即可解题.
14. 如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵
味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端 分米， 为 中点， 为拱门最高点，圆心
在线段 上， 分米，则拱门所在圆半径的长为______分米．
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【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接 ，根据垂径定理求得
分米，设圆的半径为 分米，则 分米， 米，根据勾股定理即可求得 ，进而
可得答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 过圆心， 为 的中点，
∴ ，
∵ 分米，C为 的中点，
∴ 分米，
设圆的半径为x分米，则 分米，
∵ 分米，
∴ 分米，
在 中，由勾股定理 ，
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∴ ，
∴ ，
即拱门所在圆的半径是15分米．
故答案为：15．
15. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，他们的身高（单位： ）如下表所示：
队员1 队员2 队员3 队员4 队员5
甲
177 176 175 172 175
队
乙
170 175 173 174 183
队
则两队队员身高的平均数 ______ （填 或 ），身高的方差 ______ （填 或 ）．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了求平均数和方差，根据方差和平均数的计算方法求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
，
∴ ；
，
，
∴ ，
故答案为： ， ．
16. 平面直角坐标系 中，将抛物线 在x轴和x轴下方的部分记作 ，将 沿x轴翻折记作
， 和 构成的图形记作G．关于图形G，如图所示，以下三个结论中，正确的序号是______．
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①图形G关于原点对称；
②图形G关于直线 对称；
③图形G的面积为S，满足 ．
【答案】①③
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线
的对称性结合图形即可判断①②；观察图形即可判断③．
【详解】解：如图，
由图形可知，图形 关于原点对称，不关于直线 对称，故①正确，②错误；
观察图形，图形 的面积 大于两个 的面积，小于 的面积，
所以，图形 的面积满足 ，故③正确．
故答案为：①③．
三、解答题（17-22题，每小题5分，23-24题，每小题6分，25题5分，26-28题，每小题7
分）
17. 计算： ．
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【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，零指数幂，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算
特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据二次根式加减计算法则求解即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
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19. 已知 ，求代数式 的值.
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再整体代值求解即可．
【详解】解：
，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式，掌握分式混合运算法则并正确计算
是解答的关键．
20. 如图，在 ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连结DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
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【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、
结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边
形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在
直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD BC，且AD=BC
∵F是AD的中点
∴DF= AD
又∵CE= BC
∴DF=CE，且DF CE
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH= CD=2，DH=2 ．
在▱CEDF中，CE=DF= AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE= ．
21. 已知关于x的一元二次方程 ．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
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（2）若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
【答案】（1）见解析；
（2）当m=1时， 或 满足题意（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）表示出一元二次方程根的判别式，利用配方化成完全平方式，可判定其不小于0，可得出结
论；
（2）可先用求根公式表示出两根，再根据方程的根都是整数，可求得m的值．
【小问1详解】
解：∵二次函数为 ，
∴ ， ， ．
∴ ，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
【小问2详解】
∵当m=1时，原方程为： ，
∴原式可化为 ，则 ，
∴ 或 ，
∴当m=1时， 或 满足题意（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相
等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；也考查了解一元二次方程．
22. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口，温水的温度为 ，流速
为 ，开水的温度为 流速为 ，某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到
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一杯 温度为 的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识：
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以表示为：
开水的体积 开水降低的温度 温水的体积 温水升高的温度．
【答案】该学生接温水 的时间为 ，接开水的时间为 ．
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．
设该学生接温水的时间为 ，则接温水 ，开水 ，由物理常识的公式可得方程，解方
程即可．
【详解】解：设该学生接温水的时间为 ，
根据题意可得： ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答：该学生接温水的时间为 ，接开水的时间为 ．
23. 一次函数 的图像与 轴交于点 ，且经过点 ．
（1）当 时，求一次函数的解析式及点 的坐标；
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（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）y= x+ ，点A的坐标为(-4，0)
（2）
【解析】
【分析】（1）当m=2时，把点C的坐标代入y=kx+4k(k≠0)，即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求
出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：∵m=2，
∴将点C(2，2)代入y=kx+4k，
解得k= ；
∴一次函数表达式为y= x+ ，
当y=0时， x+ =0，
解得x=-4
∵一次函数y= x+ 的图像与x轴交于点A，
∴点A的坐标为(-4，0)．
【小问2详解】
解：如图，y=kx+4k (k≠0)过定点 ，
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∵当 时， ，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数y=kx+4k (k≠0)的
值，
∴ ， ，
解得k≤− ．
∴k≤− ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．
24. 品味诗词之美，传承中华文明，央视节目《中国诗词大会》备受大众欢迎，节目规则如下：由 100位
诗词爱好者组成的百人团与挑战者共同答题，每位挑战者最多可答五轮题．每轮比赛答题时，如挑战者答
对，则百人团答错的人数即为选手该轮得分；如挑战者答错，则该轮不得分，且停止答题．每轮比赛的得
分之和即为挑战者的总得分．现有甲、乙、丙三人作为挑战者参加节目答题，相关信息如下：
a．甲、乙两人参加比赛的得分统计图如下图，每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次
的得分：
b．丙参加比赛的得分统计图如下图：（说明：丙在第四轮比赛中被淘汰）
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根据以上信息，回答下列问题；
（1）已知点A的坐标为 ，则此轮比赛中；甲的得分为 ，与甲同场答题的百人团中，
有 人答对；
（2）这五轮比赛中，甲得分高于乙得分的比赛共有 轮；甲、乙、丙三人中总得分最高的为
；
（3）设甲参加的第一轮至第五轮比赛时百人团答对人数的方差为 ，乙参加的第一轮至第五轮比赛时百
人团答对人数的方差为 ，则 （填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】（1）26；74．
（2）2；乙． （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意每个点的横坐标与纵坐标分别表示甲、乙两人在相同轮次的得分，因此由点A的
坐标可求甲的得分．又百人团答错的人数即为选手该轮得分，故可求出百人团答错的人数，进而得到百人
团中答对的人数；
（2）由图可得横坐标大于纵坐标的点有2个，故甲得分高于乙得分的比赛共有2轮；图中5个点的横坐标
即为甲的得分，纵坐标为乙的得分，再根据第二个图可得到乙的得分最高；
（3）方差衡量数据的波动情况，波动越大，方差越大，波动越小，方差越小．由图可得乙的得分的波动
比甲的大，故百人团答对的人数波动也打，故 ．
【小问1详解】
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甲得分为26，百人团答对人数为：
故答案为：26；74．
【小问2详解】
∵丙的最后两轮得分均为0
∴丙的总得分最少
∵图中的点中，横坐标大于纵坐标的点有2个,各点的纵坐标之和大于横坐标之和
∴乙的总得分高于甲的总得分
∴甲、乙、丙三人中总得分最高的为乙
故答案为：2；乙．
【小问3详解】
∵由图可知甲的得分在30分左右波动，而乙的得分波动更大
∴甲参赛时百人团答错人数的波动比乙参赛时百人团答错的人数波动更小
∴甲参赛时百人团答对人数的波动比乙参赛时百人团答对的人数波动更小
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查在材料阅读下解决实际问题，涉及到平面直角坐标系中点的坐标，统计中的方差，
正确理解题意是解题的关键．
25. 如图， 是 的直径，弦 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，点
是 延长线上一点， ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
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【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形三线合一得出 ，再由等腰三角形的性质得出
，利用等量代换确定 ，即可证明；
（2）根据垂径定理得出 ，再由正切函数的定义得出 ，设 半径的长为r，则
，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
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∴ 是 的切线；
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 半径的长为r，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 半径的长为5．
【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，正切函数的定义，垂径定理及勾股定理，理解题
意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
26. 已知抛物线 的对称轴为直线 ．
（1）若点 在抛物线上，则 _____；
（2）若点 在抛物线上， 时，直接写出 的取值范围；
（3）已知 ， 为抛物线上两点， ，且 ，若 ，求 的取值
范围．
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【答案】（1）1 （2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性
质是本题解题的关键．
（1）将点 代入抛物线表达式得： ，则 ，即可求解；
（2）当 时， ，即可求解；当 时， 即 ，同理可解；
（3）根据题意可得抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则由 可得
，据此讨论t的取值范围去绝对值求解即可．
【小问1详解】
解：将点 代入抛物线表达式得： ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
∴抛物线的表达式为： ，
∴顶点坐标为 ，
∵点 在抛物线上，
当 时， ，
解得： ；
当 时， 即 ，
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解得： ；
综上所述， 或 ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，
当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，则 ，此时不符合题意；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，则 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
27. 如图，在 中， ， ， 是中线．点 是 上的动点（不与
端点B，D重合）．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ．在 延长线上存在点
，使 ，连接 ．
（1）补全图形；
（2）判断 的位置关系______，证明结论；
（3）若 ，且 ，直接写出 ______．
【答案】（1）画图见解析
（2） ，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）如图所示，延长 到H，使得 ，连接 ，则 是 的中位线，
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得到 ， ，由旋转的性质可得 ，可证明 ；
再由线段之间的关系证明 ，即可证明 ，得到 ，
则由三线合一定理可得 ；
（3）设 ，由（2）得 ，则 ，证明 ，则 ，
，即可得到 ．
【小问1详解】
解；如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解： ，证明如下：
如图所示，延长 到H，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴ ；
∵ 是中线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：设 ，由（2）得 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， 是中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形
中位线定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，正
确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于已知的点C和图形W，给出如下定义：若存在过点C的直线l，使之
与图形W有两个公共点P，Q，且C，P，Q三点中，某一点恰为另两点所连线段的中点，则称点P是图形
W的“相合点”．
（1）已知点 ，线段 与线段 组成的图形记为W；
①点 中，图形W的“相合点”是___；
②点M在直线 上，且点M为图形W的“相合点”，求点M的横坐标m的取值范围；
（2）⊙O的半径为r，直线 与x轴，y轴分别交于点E，F，若在线段 上存在⊙O外
的一点P，使得点P为⊙O的相合点，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）① ，② 或 ；（2） 或
【解析】
【分析】（1）①由题作出草图即可判断；
②根据中点坐标公式分为（Ⅰ） 为 中点，（Ⅱ） 为 中点，（Ⅲ） 为 中点，建立不等
式组即可得解；
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（2）先根据题意设过 的直线交⊙O于 、 ，作直线 交⊙O于 、 ，连接 、 ，通过证
明 ，以及圆的基本性质解得 ，再分为（Ⅰ） 与⊙O相离，（Ⅱ）
与⊙O相交，两种情况建立不等式求解．
【详解】解：（1）作图1如图示，
①由图1可知 为 、 中点， 为 、 中点，对 不存在符合要求的情况，
故答案为： 、 ；
设 ， 在 上， 在 上，
②（Ⅰ） 为 中点，则 ， ，
，
解得 ，
（Ⅱ） 为 中点，则 ， ，
，
解得： ，
（Ⅲ） 为 中点，则 ， ，
，
解得： ，
综上： 或 ；
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（2）令 ，解得 ， ， ，
令 ，则 ，即 ， ，则 ，
与横轴所成锐角 为 ，
在⊙O外部，设过 的直线交⊙O于 、 ，作直线 交⊙O于 、 ，连接 、 如图2,
,
,
又 ,
,
,
，
又 是弦，
，
，
又 在⊙O外部，
；
当 过二、三、四象限时， ，⊙O的半径为 ，
一定在⊙O内部，即 一定与⊙O相交，
若 与⊙O相离则直线 必过一、二、四象限，
（Ⅰ） 与⊙O相离，相离时直线 过一、二、四象限如图2，
要求存在 在⊙O外部且是⊙O的相合点，作 ，
，
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则只需 ， ，
解得： ，
（Ⅱ） 与⊙O相交且存在 在⊙O外部如图3：直线 过二、三、四象限，连接⊙O与 的交点
,
则只需 ， ，
解得： ，
综上， 或 ．
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【点睛】本题考查了对新定义的理解，圆的综合问题，不等式的应用、解直角三角形、中点坐标公式；读
懂新定义，根据新定义会利用参数建立不等式，结合圆的性质作答是本题的关键．
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