文档内容
东城区 2021—2022 学年度第二学期期末统一检测
初一数学
一、选择题（本题共20分，每小题2分）
1. 在以下四个有关统计调查的说法中，正确的是（ ）
A. 全面调查适用于所有的调查
B. 为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查
C. 为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为1500
D. 为了解全校中学生的身高，以该校篮球队队员的身高作为样本，能客观估计总体
【答案】B
【解析】
【分析】根据全面调查的特点判断A与B；根据样本容量的定义判断C；根据样本具有的特点判断D．
【详解】A、全面调查不能适用于所有的调查，如具有破坏性的抽查只能用抽样调查，故本选项说法错误，
不符合题意；
B、为了解全体学生的视力，对每位学生进行视力检查，是全面调查，故本选项说法正确，符合题意；
C、为调查小区1500户家庭用水情况，抽取该小区100户家庭，样本容量为100，故本选项说法错误，不
符合题意；
D、为了解全校中学生的身高，不能以该校篮球队队员的身高作为样本，因为篮球队队员的身高普遍较高，
这样选取的样本不具有代表性，不能客观估计总体，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，全面调查与抽样调查，样本容量，掌握相关概念是解题的关键．
2. 如图，在数轴上表示的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．
【详解】如图，在数轴上表示的x的取值范围为x＜2，
故选：A．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．
3. 在数轴上，点A， ， 表示的数分别为 ， ，0，则从左到右，点A， ， 的排列顺序为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得出 ， ，0的大小关系，然后根据数轴上的点的特点，即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴在数轴上，点A， ， 从左到右的排列顺序为 ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较和数轴上的点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上的点从左向
右逐渐增大的性质．
4. 如图，纸片的边缘 ， 互相平行，将纸片沿 折叠，使得点 ， 分别落在点 ， 处．若
，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据平行线的性质可得 ，从而利用平角定义求出∠BEB′＝100°，然后根据折叠的性
质进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
由折叠得： ，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等，以及折叠的性质是解题的关
键．
5. 已知 是二元一次方程 的解，则点 所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先把 代入 求出a的值，然后得出此点的坐标，即可得出结果．
【详解】解：∵ 是二元一次方程 的解，
∴ ，解得： ，
∴此点的坐标为： ，
即此点坐标为 ，
∴此点在第四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，平面直角坐标系中各象限内点的特点，根
据题意求出a=2的值，是解题的关键．
6. 中国象棋中的“马”沿“日”形对角线走，俗称马走日．三个棋子位置如图，若建立平面直角坐标系，
使帅、相所在点的坐标分别为 ， ，则马直接走到第一象限时所在点的坐标是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用已知点得出平面直角坐标系，进而得出马直接走到第一象限时所在点的坐标．
【详解】直角坐标系如图所示：
马直接走到第一象限时所在点的坐标是（2，1）．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
7. 实数 ， ， 在数轴上对应点的位置如图所示，在下列四个式子中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案．
【详解】由数轴可知 ， ；A.根据数轴可知， ，故A错误；
B.∵ ， ，∴ ，故B错误；
C.∵ ， ，
∴ ，故C错误，
D.∵ ，
∴ ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有
理数的运算，绝对值的意义等，熟练掌握上述知识是解题的关键．
8. 在平面直角坐标系 中，以 ， ， ， 为顶点的正方形的边长为3．若点 在 轴上，点 在
轴的正半轴上，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的性质作出图形，结合图形直接得到答案．
【详解】如图，
由图象知，符合条件的点B的坐标为（3，3）或（-3，3）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，解题时，需要对A、B的位置进行分类讨论，以防漏解．
9. 已知 ，下列四个结论中，正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据排除法判定即可．
【详解】∵
∴当 时， ，故排除A、C、D
故选：B
【点睛】本题考查绝对值和不等式，解题的关键是取特值用排除法解题．
10. 已知四个式子：① ；② ；③ ；④ ．
利用有理数逼近无理数的方法，估计 的近似值（精确到0.01）是（ ）
A. 2.15 B. 2.23 C. 2.24 D. 2.25
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知可知2.236＜ ＜2.237，利用四舍五入可得出 的近似值．
【详解】∵① ；② ；③ ；④ ．
∴2.236＜ ＜2.237
∴四舍五入得到 的近似值（精确到0.01）是2.24．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方．
二、填空题（本题共12分，每小题2分）
11. 如图，在三角形 中， ， ， ， ，则点 到 的距离等于
______.
【答案】3【解析】
【分析】点到直线的距离是指过直线外一点向直线做的垂线段的长度，根据定义可以得出答案．【详解】解：∵ ，
∴AC⊥BC，
∴线段AC的长度就是点A到BC的距离，
∵AC=3，
∴点A到 的距离等于3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查的是点到直线的距离，属于基础题型．解决这个问题的关键就是要明白点到直线距
离的定义．
12. 如图，雷达探测器探测到三艘船 ， ， ，按照目标表示方法的规定，船 ， 的位置分别表示为
， ，船 的位置应表示为______.
【答案】（4，240°）
【解析】
【分析】直接利用坐标的意义得出C点坐标即可．
【详解】：如图所示：船C的位置应表示为（4，240°）．
故答案为：（4，240°）．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解坐标的意义是解题关键．
13. 若一个正数的平方根为 和 ，则 的值为______，代数式 的值为______.
【答案】 ①. -2 ②. -1【解析】
【分析】首先根据一个正数的两个平方根的关系，即可列出一元一次方程，解方程即可求得x的值，再把x的值代入代数式 ，即可求得其值．
【详解】解： 一个正数的平方根为 和 ，
，
解得x=-2，
故 ，
故答案为：-2，-1．
【点睛】本题考查了一个正数的两个平方根的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一个正数的两个平
方根的关系是解决本题的关键．
14. 2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个．到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有2261个，
其中滑冰场地比2018年滑冰场地的2倍多232个，滑雪场地比2018年滑雪场地增加了287个．求2018年
全国滑冰场地和滑雪场地各有多少个．设2018年全国滑冰场地和滑雪场地分别有 个， 个，依据题意，
可列二元一次方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据2018年全国滑冰场地与滑雪场地共有1133个；到了2021年，全国滑冰场地与滑雪场地共有
2261个，列方程组即可．
【详解】解：由题意得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系，列方程组．
15. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ， ，
．将线段 ， ， 沿 轴或 轴方向平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点与点 平移后的对应点均为点 ，则线段 需先向左平移______个单位长度，再向上平移______个单位
长度．【答案】 ①. 3 ②. 2
【解析】
【分析】先根据点B与点C平移后的对应点均为点O，得到线段AB，CD的平移规律，得出点A、D平移
后的坐标，即为点F、E平移后坐标，再利用平移的规律得出线段EF的平移单位．
【详解】解：设EF平移后的线段为 ，如图所示：
∵点B与点C平移后的对应点均为点O，
∴线段AB沿y轴向下平移了2个单位长度，点A平移后的坐标为（1，2），
线段CD沿x轴向右平移了3个单位长度，点D平移后的坐标为（2，−1），
∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，E（5，−3），F（4，0），
∴点E需平移到（2，−1），点F需平移到（1，2），
∵5−3＝2，4−3＝1，−3＋2＝−1，0＋2＝2，
∴线段EF需先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．
故答案为：3；2．
【点睛】本题主要主要考查了平移变换，正确掌握平移的规律，是解题关键．
16. 为鼓励学生居家锻炼，李老师组织线上仰卧起坐接力活动．4人为一组，每人自主设定个人目标（单
位：次），组内任意2人之间均需接力一场，且每场接力2人都达到个人目标即停止，记录每场接力成绩
（2人所做仰卧起坐次数之和）．小贾、小易、小冰、小丁为一组，他们六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106．若他们设定的个人目标分别记为 ， ， ， ，其中 ，且
．根据以上信息，得到三个结论：① ， ；②六场接力成绩由小到大可
以依次表示为： ， ， ， ， ， ；③ ， ， ， 的值分别为46，40，
52，54．其中正确结论的序号是______．
【答案】②③##③②
【解析】
【分析】根据 可知 最小， 最大，所以 ， ，故①错误，由
，可知 ，故②正确，根据 ，
， 求出 ， ， ， ，故③正确，选出正确的选项即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 最小， 最大，
∵六场接力成绩由小到大依次为86，92，94，98，100，106，
∴ ， ，故①错误，
∵
∴ ，故②正确，
∴ ， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，故③正确，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质列出 并求
出 ， ， ， 的值是解答本题的关键．
三、解答题（本题共68分）
17. 计算：
（1） ；（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算出立方根和算术平方根，再算加减法即可求解．
（2）先去括号及绝对值，再利用二次根式的加减法运算法则即可求解．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减法和乘法运算、去绝对值、开立方根，准确熟练地运用法则进
行计算是解题的关键．
18. 如图，直线 与直线 ， 分别交于点 ， ， 是它的补角的3倍， ．判断
与 的位置关系，并说明理由．
【答案】 ；理由见解析【解析】
【分析】先根据补角的定义求出 的度数，然后求出∠CFE和∠2的度数，最后根据平行线的判定进行解
答即可．
【详解】解： ；理由如下：∵ 是它的补角的3倍，
∴设 ，则 的补角为 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出 ，是解题的
关键．
19. 小明对不等式 与 的解法进行比较，如下表：
不等式
① ②
解法
第一步：去分母，得
第二步：去括号，得
第三步：移项，得
第四步：合并同类项，得
第五步：系数化为1，得 ____________ ____________
（1）将表格补充完整；
（2）小明发现：在不等式①和不等式②的求解过程中，前四步中每一步的变形依据相同，第五步的变形
依据不同．在第五步中，
不等式①的变形依据是____________，不等式②的变形依据是____________；
（3）将不等式②的解集表示在数轴上．【答案】（1） ， ；
（2）不等式的基本性质2，不等式的基本性质3；
（3）图形见解答
【解析】
【分析】（1）系数化为1即可求解；
（2）根据不等式的基本性质求解即可；
（3）用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．
定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方
向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【小问1详解】
（1）将表格补充完整为：
不等式
解法
① ②
第一步：去分母，得
第二步：去括号，得
第三步：移项，得
第四步：合并同类项，得
第五步：系数化为1，得
故答案为： ， ；
【小问2详解】
在第五步中，不等式①的变形依据是不等式的基本性质2：不等式两边同除一个正数，不等式符号不变；
不等式②的变形依据是不等式的基本性质3：不等式两边同除一个负数，不等式符号需要变号．
故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质3；
【小问3详解】
将不等式②的解集表示在数轴上为：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系
数为1．
20. 解方程组 ．
【答案】
【解析】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解： ，
①×3+②得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为： ．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤，是解题
的关键．
21. 下面是小红设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的作图过程．
已知：点 在直线 上，点 在直线 外，且 ．
求作：直线 ，使得 ．
作法：如图，
①在线段 的延长线上任取一点 ；
②以 为顶点， 为一边，通过量角器度量，在 右侧作 ；
③将射线 反向延长．
直线 就是所求作的直线．
根据小红的作图过程，解决以下问题：（1）补全图形，并完成证明过程；
证明：∵ ， ，
∴ ．∴ （____________）（填推理的依据）．
（2）在（1）的条件下，过点 作 的垂线，交直线 于点 ．求 的度数．
【答案】（1）图见详解；同位角相等，两直线平行
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可得到答案；
（2）根据平角为 求出 ，再根据两直线平行，同位角相等得出 ．
【小问1详解】
证明：如下图所示
∵ ， ，
∴ ,
∴ （_ 同位角相等，两直线平行 _）;
【小问2详解】
如下图所示，作 交DC于点F，
∵ ,
∴ ，
∵ ，∵ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，同位角相等．
22. 解不等式组 并写出它的所有非负整数解．
【答案】-2≤x≤2，非负整数解为：0、1、2
【解析】
【分析】考查一元一次不等式组的解法，继而可得整数解。
【详解】解：解不等式5x-1 3(x+1)得：x 2,
解不等式 1得：x -2，
不等式组解集是-2 x 2,
的
原不等式组 所有非负整数解为：0、1、2
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，求得不等式组的解集是解题的关键．
23. 北京2022年冬奥会和冬残奥会上，中国运动员获得奖牌的部分统计信息如下．
（1）冬奥会上，中国代表队共获得15枚奖牌，其中金牌、银牌、铜牌的占比如图1所示，则金牌共有______枚，金牌对应扇形的圆心角度数是______度；
（2）冬残奥会上，中国代表队共获得61枚奖牌，其中三类奖牌的数量如图2所示，则金牌共有______枚；
在图3中，扇形 ， 分别表示______牌、______牌的占比情况．
【答案】（1）9，
（2）扇形 ， 分别表示铜牌、金牌的占比情况
【解析】
【分析】（1）根据奖牌总数乘以金牌所占比例计算即可；
（2）先求出金牌总数，再计算各种奖牌占总数的百分比即可解题．
【小问1详解】
冬奥会金牌数量金牌对应扇形的圆心角度数是
故答案为：金牌共有9枚，金牌对应扇形的圆心角度数是216度
【小问2详解】
冬残奥会上，金牌共有 枚；
金牌占比
银牌占比
铜牌占比
∴扇形 ， 分别表示铜牌、金牌的占比情况．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的
百分比大小．
24. 如图， 平分 ，且 ，点 在射线 上．若 ，
，求 和 的度数．
【答案】25°
【解析】
【分析】由同旁内角互补，两直线平行得CD∥AB，则有∠DCE=∠B=95°，再由角平分线的定义得
∠CAB=∠CAD=25°，∠DAB=2∠CAD=50°，则要求∠D的度数，再由三角形的内角和定理可求∠DCA的
度数．
【详解】∵∠DAB+∠D=180°，
∴CD∥AB，∴∠DCE=∠B=95°，
∵∠CAD=25°，AC平分∠DAB，
∴∠CAB=∠CAD=25°，∠DAB=2∠CAD=50°，
∴∠D=180°-∠DAB=130°，
∴∠DCA=180°-∠D-∠CAD=25°．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角
之间的关系．
25. 恩格尔系数是食品支出总额占家庭（或个人）消费或支出总额的比重，常用于反映一个地区人民生活
质量的高低，计算公式为：恩格尔系数 ．对北京市居民家庭
1978—2020年的恩格尔系数的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．北京市居民家庭1978—2020年的恩格尔系数的频数分布直方图（数据分成7组： ，
， ， ， ， ， ）：
b．北京市居民家庭1978—2020年的恩格尔系数在 这一组的是：
49.3 49.6 49.7 51.5 52.1 53.6 53.6 53.7
c．北京市居民家庭1978—2020年的恩格尔系数的统计图：
（以上数据来源于《北京统计年鉴（2021）》）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在1978—2020年中，北京市居民家庭的恩格尔系数共有______年低于50%；（2）北京市居民家庭1978—2020年的恩格尔系数在______年最低（填写年份）；
（3）下列推断中合理的是______．
①1988年，北京市居民家庭的食品支出总额约为家庭（或个人）消费或支出总额的一半；②1978年以来，北京市居民家庭的恩格尔系数总体呈下降趋势，反映了北京市居民的生活质量逐渐提高．
【答案】（1）31； （2）2019；
（3）②．
【解析】
【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据得出恩格尔系数小于50%的频数即可；
（2）根据北京市居民家庭1978-2020年的恩格尔系数的折线统计图找出最低点所对应的年份即可；
（3）根据恩格尔系数结合具体的统计图进行判断即可．
【
小问1详解】
在1978一2020年中，北京市居民家庭的恩格尔系数低于50%的频数为9+9+3+2+5+3=31（年），
故答案为：31；
【小问2详解】
北京市居民家庭1978-2020年的恩格尔系数的折线统计图中最低点所对应的年份是2019年，
故答案为：2019；
【小问3详解】
①从北京市居民家庭1978-2020年的恩格尔系数的折线统计图中，1988年北京市居民家庭的食品支出总额
约为家庭（或个人）消费或支出总额的一半以上，约为55%，因此①不正确；
②1978年以来，北京市居民家庭的恩格尔系数总体呈下降趋势，反映了北京市居民的生活质量逐渐提高．
是正确的；
故答案为：②．
【点睛】本题考查折线统计图、频数分布直方图以及样本估计总体，理解恩格尔系数的定义是正确判断的
前提．
26. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ，且 ．
（1）求三角形 的面积 的值；（2）若三角形 的面积 ，三角形 的面积 ，求点 的坐标．
【答案】（1）1 （2）C点坐标为 或
【解析】
【分析】（1）由坐标求出OA、OB的长度即可求出面积；
（2）三角形 的面积可以看成以OA为底C点纵坐标绝对值为高，三角形 的面积可以看成以OB
为底C点横坐标绝对值为高，最后根据 即可得到C点坐标．
【
小问1详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∴
【小问2详解】
∵三角形 的面积
∴
∵三角形 的面积
∴
∵
∴ 或
∴C点坐标为 或
【点睛】本题考查直角坐标系中的面积问题，解题的关键是以x轴、y轴上的边为底求三角形的面积．27. 学校策划了“多读书、读好书、善读书”的主题活动．根据同学们的需求，张老师要为学校图书馆补
充一种科普书．某书店的优惠方案如下：已知该科普书定价30元．
（1）当购买数量不超过5本时，张老师应选择优惠方案______；
（2）当购买数量超过5本时，张老师如何选择优惠方案？
【答案】（1）二 （2）当购买数量超过5本但不超过15本时，选择方案二；等于15本时一样；超过
15本时，选择方案一
【解析】
【分析】（1）设需要购书x本，分别计算出购买不超过5本，两家店需要的花费，继而比较可得出答案；
（2）设需要购书x本，分别计算出购买超过5本，两家店需要的花费，继而比较可得出答案．
【小问1详解】
设需要购书x本，当 时
方案一费用=
方案二费用=
故选方案二更优惠
答案为：二
【小问2详解】
设需要购书x本，当 时
方案一费用
方案二费用=
当 时
∴当 时，方案一优惠
当 时，方案二优惠
∴当购买数量超过5本但不超过15本时，选择方案二；
等于15本时一样；
超过15本时，选择方案一．
【点睛】本题考查了不等式中的方案问题，解题的关键是读懂题意，由实际问题列出不等式，就是把实际
问题转化为数学问题．28. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ， ，给出如下定义：点 ， 的横坐标之差的绝对
值与纵坐标之差的绝对值的和叫做这两点之间的“直角距离”，记作： ，即点 与点
之间的“直角距离”为 ．已知点 ，点 ．（1）A与 两点之间的“直角距离” ______；
（2）点 为 轴上的一个动点，当 的取值范围是______时， 的值最小；
（3）若动点 位于第二象限，且满足 ，请在图中画出点 的运动区域（用阴影表示）．
【答案】（1）6 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】(1)根据定义即可求得；
(2)根据定义可得 ，再分段讨论即可求得
(3) ，则 ，根据定义，计算出 即可．
【小问1详解】
解：根据题意得： ，
故答案为：6；
【小问2详解】
解：根据题意得：
当 时， ， ，，
故此时不存在最小值，
当 时， ， ，，
故此时的最小值为6，
当 时， ， ，
，
故此时不存在最小值，
综上，当 时， 的值最小；
故答案为： ；
【小问3详解】
设点P(x，y)
∵点P在第二象限，
∴x<0，y>0
=
①当02时=
若x<-3，则原式=（-3-x）-（2-x）-1=-6（不符合题意）若-3
