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2022－2023 学年初三年级 9 月学业水平汇报
数学学科试卷
一、选择题（2×8=16分）
1. 在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，
共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B. 不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形。故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠
后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2. 将一元二次方程 通过配方转化为 的形式，下列结果中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、
因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据顶点式 的顶点坐标为 求解即可
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是
故选A
【点睛】本题考查了二次函数顶点式 的顶点坐标为 ，掌握顶点式求顶点坐标是解
题的关键．
4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后
得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为 ，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单
位，
∴平移后，新图象的顶点坐标是 ．∴所得抛物线的表达式为 ．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 不变，所以求平移后
的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出
解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5. 若关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. m＞﹣4 B. m＞4 C. m≤﹣4 D. m＜4
【答案】D
【解析】
【分析】因为关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根，所以只要满足 即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个不相等的实数根
∴
即：
解得：
故选：D
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式，牢记知识点是解题关键．
6. 已知m是关于x的方程 的一个根，则 （ ）
A. 5 B. 8 C. －8 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可将m代入 ，得 ．再将 变形为
，最后整体代入求值即可．
【详解】∵m是关于x的方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使该方程成立的未
知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．
7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠EFC的
度数为（ ）
A. 60° B. 72.5° C. 65° D. 115°
【答案】C
【解析】
【分析】将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，得∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，于是得到结论．
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴∠EFC=∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选：C
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8. 函数y 的图象如图所示，若点P（x，y），P（x，y）是该函数图象上的任意两点，下列结
1 1 1 2 2
论中错误的是（ ）A. x≠0，x≠0 B. y ，y
1 2 1 2
C. 若y＝y，则|x|＝|x| D. 若y＜y，则x＜x
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象得到函数的性质，根据函数的性质即可判断．
【详解】解：由图象可知，x≠0，
∴ ， ，故选项A正确；
∵x≠0，
∴x2＞0，
∴ ＞0，
∴ ，
， ，故选项B正确；
函数的图象关于 轴对称，
∴若 ，则 ，故选项C正确；
根据函数的增减性可得：当 时，若 ，则 ；当 时，若 ，则 ，故选
项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题（2×8=16分）
9. 点M（2，-4）关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】（-2，4）
【解析】
【分析】直接利用关于原点对称点的性质即可得出答案．
【详解】点A (2，−4)关于原点对称的点的坐标是(−2，4)．
故答案为：（-2，4）．
【点睛】本题考查关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握关于原点对称点的性质．10. 请写出一个开口向下，且经过点（0，－1）的二次函数解析式：__________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据开口向下，且过点（0，－1）设解析式求解即可；
【详解】∵二次函数开口向下，
∴ ，
设二次函数解析式为 ，
∵过点（0，－1），
∴ ，
∴二次函数解析式为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式求解，准确计算是解题的关键．
11. 关于 的一元二次方程 有一个根是 ，则 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】把x=1代入方程，得到关于m的方程，即可求解．
【详解】∵关于 的一元二次方程 有一个根是 ，
∴ ，解得：m=2，
故答案是：2．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的意义，是解题的关键．
12. 在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，
则取出红球的概率是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】用列举的方法一一列出可能出现的情况，进而即可求得恰好是红球的概率．
【详解】解：根据题意，可能出现的情况有：
红球；红球；红球；黑球；黑球；则恰好是红球的概率是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了简单概率的计算，通过列举法进行计算是解决本题的关键．
13. 若点 在抛物线． 上，则 的大小关系为： _____ ．(选填“ ”，
“ ”或“ ”)
【答案】
【解析】
【分析】将 代入 得 ，即可求解．
【详解】解：将 代入 得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比较二次函数值的大小，掌握二次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键．
14. 如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为A−2，4，B1，1，则关于x的方程
的解为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程 ，即 ，则抛
物线 与直线 交点的横坐标即为方程的解．【详解】解：∵抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为A−2，4，B1，1，由
，可得 的解为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，理解函数图象交点的横坐标即为方程的解是解题的关
键．
15. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．
据了解，某展览中心3月份的参观人数为100万人，5月份的参观人数增加到144万人．设参观人数的月平
均增长率为x，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得4月份的参观人数为100(x+1)人，则5月份参观的人数为 人．再根据5
月份的参观人数增加到144万人，列一元二次方程即可．
【详解】设参观人数的月平均增长率为x，
根据题意可列方程为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．
16. 下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．
投针次数n 1000 2000 3000 4000 5000 10000 20000
针与直线相交的次数
454 970 1430 1912 2386 4769 9548
m
针与直线相交的频率
p＝
0.454 0.485 0.4767 0.478 0.4772 0.4769 0.4774
下面有三个推断：
①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线
相交的概率是0.477；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．
的
其中合理 推断的序号是：_____．
【答案】②
【解析】
【分析】分析题意，对于①，根据投掷次数太少，频率不一定是概率，据此判断；
对于②，根据用频率估计概率的知识可作出判断；
对于③，根据概率的意义可作出判断，从而得到答案.
【详解】解：①当投掷次数是1000时，录“钉尖向上”的次数是454“钉尖向上”的频率是0.454，概率不一定
是0.454，错误.
②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线
相交的概率是0.477，正确.
③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率不一定是0.4769．故原说法错误.
综上可知，其中合理的是②.
【点睛】本题考查用频率估计概率，掌握规则即可.
三、解答题（共68分）
17. 解方程： ．
【答案】 ,
【解析】
【分析】根据一元二次方程的系数的意义，利用公式法求解即可．
【详解】解： ，
∵ ， ， ，
∴ 0，
>
∴ ，
,
∴ ．
【点睛】主要考查了方程的系数的意义和一元二次方程的解法，要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．
18. 已知：二次函数 ．
（1）求出二次函数图像的顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图像，并结合图像直接写出y>0时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）顶点坐标为(1，-4)，与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)
（2）x<-1或x>3
【解析】
【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即得出其顶点坐标．令 ，求出x的值，即得出该二次函
数图像与x轴的交点坐标；
（2）根据五点法画出图像即可．由求y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴上方时x
的取值范围，再结合图像即可解答．
【
小问1详解】
解：二次函数 改为顶点式为： ，
∴该二次函数图像的顶点坐标为(1，-4)．
令 ，则 ，
解得： ，
∴该二次函数图像与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)；
【小问2详解】令 ，则 ；令 ，则 ；
∴该二次函数还经过点(0，-3)和(2，-3)，
∴在坐标系中画出图像如下：
求y>0时，自变量x的取值范围，即求该二次函数图像在x轴上方时x的取值范围，
∵该二次函数图像与x轴的交点坐标为(-1，0)和(3，0)，
∴当x<-1或x>3时，二次函数图像在x轴上方，
∴当y>0时，自变量x的取值范围是x<-1或x>3．
【点睛】本题考查二次函数一般式改为顶点式，二次函数图像与坐标轴的交点坐标，画二次函数图像等知
识．利用数形结合的思想是解题关键．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为A(1，0)、O(0，0)、B(2，2)．以点O为
旋转中心，将△AOB逆时针旋转90°，得到 ．
（1）画出 ；（2）直接写出点 和点 的坐标；
【答案】（1）见解析 （2） (0，1)、 (-2，2)
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质，找到△AOB的顶点A和顶点B的对应点 和 ，再顺次连接 、 、
O三点即可；
（2）由（1）即可直接写出坐标．
【小问1详解】
如图， 即为所作；
【小问2详解】
由（1）图可知 (0，1)、 (-2，2)．
【点睛】本题考查作图—旋转变换，坐标与图形的变化—旋转变换．利用数形结合的思想是解题关键．
20. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线
交于点F， ，连接FE．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）8【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD= ，求得∠ABF= ，根据全等三
角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质
得到AE=2DE=4，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD= ，
∴∠ABF= ，
在△ABF与△ADE中， ，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF=AE；
【小问2详解】
解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE= ，
∴∠FAE= ，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D= ，∠DAE= ，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∴△AEF的面积= ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性
质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
21. 已知关于x的一元二次方程 ．（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程 ，根的判别式为△= ，进行化简即可
证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明： ，
∵ ，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x，则另外一个根为2 x ，
1 1
则 ，
由①得 ，
代入②可得： ，
解之得 ， ，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以 ．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关
键．
22. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了
1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为20 ，求原正方形空地的边长．【答案】原正方形空地的边长6m．
【解析】
【分析】可设原正方形的边长为 m，则剩余的空地长为 m，宽为 m．根据长方形的面积公
式列出方程，求解即可．
【详解】设原正方形空地的边长为xm，根据题意，得：
，
解方程，得 （不合题意，舍去），
答：原正方形空地的边长6m．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，应熟记长方形的面积公式，另外求得剩余的空地的长和宽是解
决本题的关键．
23. 2021年10月16日，神舟十三号载人飞船成功发射，这是中国空间站关键技术验证阶段第六次飞行，
也是该阶段最后一次飞行任务．为了让同学们了解更多的航天知识，某校举办航天知识讲座，需要两名引
导员，学校决定从A、B、C、D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则如下：将四名志愿者
的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随
机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）“选中A志愿者”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；
（2）求同时选中A、B两名志愿者的概率．
【答案】（1）随机； （2） ．
【解析】
【分析】（1）根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被选中的结果有2种，再由概率公
式求解即可．
【小问1详解】
解： 卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，“A志愿者被选中”是随机事件，
故答案为：随机；
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中A、 B两名志愿者同时被选中的结果有2种，
P（A、B两名志愿者同时被选中） ．
【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及随机事件的概念，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能
的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意区分题目是放回试验还是不放回试验是解题的关
键．
24. 已知二次函数 自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 2 3 6 11 …
（1）写出此二次函数图像的对称轴；
（2）求此二次函数的表达式．
（3）直接写出：当-3”，“=”）
（3）若A(m-1， )，B(m， )，C(m+2， )为抛物线上三点，且总有 ，结合图像，求m的
取值范围．
【答案】（1） ，(0，4)
（2）< （3）
【解析】
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式 即可求出其对称轴．令 ，求出y的值，即得出抛物线
与y轴的交点坐标；
（2）由 可判断抛物线开口向上，即可由抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大判断；（3）由题意结合图像可确定A、B、C三点和对称轴的位置关系，即可列出关于m的一元一次不等式组，
解出m的解集即可．
【小问1详解】
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ．
对于 ，令 ，则 ，
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，4)．
故答案为： ，(0，4)；
【小问2详解】
∵抛物线解析式为 ，
∴该抛物线开口向上．
∵ 到对称轴 的距离比 到对称轴 的距离小，
∴ ．
故答案为：<；
【小问3详解】
∵A(m-1， )，B(m， )，C(m+2， )为抛物线上三点，且总有 ，
又∵ ，该抛物线对称轴为 ，
∴A、B两点位于对称轴左侧，C点位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离大于
点B到对称轴的距离，如图，∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查求二次函数图像对称轴的公式，二次函数图像与x轴，y轴的交点坐标，以及其函数的
增减性．掌握二次函数 ，当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数
值越大；当 时，抛物线上的点到对称轴的距离越近，其函数值越大是解题关键．
27. 如图，在等腰Rt ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转 ，得到线段AD，连接CD，
△
作∠BAD的平分线AE，交BC于E．
（1）①根据题意，补全图形；
②请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系．
（2）分别延长CD和AE交于点F，
①直接写出∠AFC的度数；
②用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．
【答案】（1）①见解析；②
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）①根据题意结合角平分线的作法作图即可；②根据旋转的性质可知AC=AD， ，
结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出 ，进而可求出．再求出 ，即得出 ；
（2）①如图，由角平分线的定义可求出 ，从而可求出
，进而即可求出 ；②过点
A作 ．易证明 是等腰直角三角形，得出 ．根据等腰三角形“三线合一”的
性质可得出 ，从而可求出 ，进而可求出
，即得出答案 ．
【小问1详解】
解：①补全图形如下，
②由旋转的性质可知AC=AD， ，
∴ ．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ．∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①如图，由（1）可知 ， ．
∵AE是∠BAD的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，过点A作 ．
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
∵ ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的定义，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰
三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．正确作出图形并会连接辅助线是解题关键．
28. 点P（x，y），Q（x，y）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x≠x，若存在一个正数k，使点
1 1 2 2 1 2
P，Q的坐标满足 ，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，
记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）=k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3， ），有 ，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”
为 ．已知点A（1，0），B（2，0），C（2，－2），D（2， ）．
（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：________，它们的“限斜系数”为_______；
（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；
（3）正方形对角线的交点叫做中心，已知正方形EFGH的各边与坐标轴平行，边长为2，中心为点M
（0，m）．点T为正方形上任意一点，若所有点T都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，
直接写出点M的纵坐标m的取值范围．
【答案】（1）A、C或A、D；2或 ．
（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）根据定义进行计算即可；
（2）设点E的坐标为（x，y），根据题意可得 ， ，则 ，求解即可；
（3）根据题意，将点F和点H的坐标用m表示，分别求出k（F，C），k(E，C)，根据k≥1，求出不等式
的解集即可．
【小问1详解】
解：当A、C为一对限斜点时： ，解得：k=2，
当A、D为一对限斜点时： ，解得：k= ，
故答案为：A、C或A、D；2或 ．
【小问2详解】
设点E的坐标为（x，y），
∵k=1，点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，
∴ ，即 ， ，即 ，
∴ ，两边同时平方得： ，解得：x= ，∴ ，解得： ，
∴点E的坐标为 或 ．
【小问3详解】
解：①当点M在y轴正半轴时，
∵正方形边长为2，中心为点M（0，m），
∴F（-1，m-1），H（1，m+1），
∴当C、F为一对限斜点时： ，
整理得： ，则 ，
∵k≥1，
∴ ，
，
m+1≤-3或m+1≥3，
解得：m≤-4或m≥2，
当C、H为一对限斜点时： ，
整理得： ，∵k≥1，
∴ ，
m+3≤-1或m+3≥1，
解得：m≤-4或m≥-2，
∴m≥2
②当点 在y轴负半轴时，
∵正方形边长为2，中心为点M（0，m），
∴E（-1，m+1），G（1，m-1），
∴当C、E为一对限斜点时： ，
整理得： ，则 ，
∵k≥1，
∴ ，
，
m+3≤-3或m+3≥3，
解得：m≤-6或m≥0，
当C、G为一对限斜点时： ，
整理得： ，
∵k≥1，∴ ，
或m+1≥1，
解得： 或m≥0，
∴
综上所述： 或m≥2
【点睛】本题主要考查了有关一次函数的新定义，绝对值方程，仔细理解题意，明白题中新定义的意义是
解题的关键．
