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北京市东直门中学 2023-2024 学年度第一学期期中考试
初三数学
考试时间：120分钟 总分100分
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端 遮的挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓
的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”
图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线 的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
3. 在 ABC中， ，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关
△
系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
4. 如图，四边形 是 的内接四边形， ，则 的度数是
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A. 110° B. 90° C. 70° D. 50°
5. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（ ）
.
A B. C. D.
6. 一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. D. 且
7. 如图，将 绕着点 顺时针旋转 后得到 ．若 ，则 的
度数是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为
圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与
t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
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A. 正比例函数关系，一次函数关系 B. 一次函数关系，正比例函数关系
C. 一次函数关系， 二次函数关系 D. 正比例函数关系，二次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），若点A与点B关于原点O对称，则B点的坐标为____．
10. 请写出一个开口向上，且经过点 的二次函数解析式：________．
11. 参加足球联赛的每两个队都进行2场比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？设参加比赛的有
x个队，根据题意，可列方程为________．
12. 把抛物线 向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为________．
的
13. 如图，在 中 是直径， ， ， ，那么 长等于________．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，若抛物线 与线段 有公
共点，则 的取值范围是___________．
15. 如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值
为_____．
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16. 某快递员负责为 ， ， ， ， 五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益
2元，某天5个小区需要取送快递数量下表．
小
需送快递数量 需取快递数量
区
15 6
10 5
8 5
4 7
13 4
（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满
足条件的方案______（写出小区编号）；
（2）在（1）的条件下，如果快递员想要在上午达到最大收益，写出他的最优方案______（写出小区编
号）．
三、解答题（本题共68分，17题5分，18题每小题4分，第19—25题，每小题5分，26题
6分，第27、28题，每小题7分）
17. 计算： ．
18. 解一元二次方程：
（1）解方程：
（2）解方程： （配方法）
19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在 上．
求作：直线PA和 相切．
作法：如图，
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①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与 的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作 的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的 的切线．
根据小亮设计 的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：在 中，连接BA．
∵ ， ，
∴ ．
∴点A在 上．
∵OP是 的直径，
∴ （______）（填推理的依据）．
∴ ．
又∵点A在 上，
∴PA是 的切线（______）（填推理的依据）．
20. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是 中弦 的中点，
EM经过圆心O交 于点E， ， ，求 的半径．
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21. 已知二次函数 ．
（1）二次函数 图象与 轴的交点坐标是 ， 轴的交点坐标是 ，顶点坐标是
；
（2）在平面直角坐标系 中，画出二次函数 的图象；
（3）当 时，结合函数图象，直接写出 的取值范围 ．
22. 如图，点A的坐标为(3，2)，点B的坐标为(3，0)，作如下操作：以点A为旋转中心，将 ABO顺时针
方向旋转90°，得到 ABO．
1 1
（1）在图中画出 ABO．
1 1
（2）请接写出点B 的坐标 ．
1
（3）请直接写出点B旋转到点B 所经过的路径长 ．
1
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23. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值．
24. 如图， 为 直的径， ，过点A作 的切线，交 的延长线于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
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25. 原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动
路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系 ，实心球从出手到陆的过程中，它
的直高度y（单位：m）与水距x（单位：m）近似满足函数关系 ．
小明进行了两次掷实心球训练．
（1）第一次训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离
0 1 2 3 4 5 6
x/m
竖直高度
y/m
根据上述数据，
①实心球竖直高度的最大的值是________m；
②求出函数解析式________；
（2）第二次训练时，实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系 ，记第
一次训练实心球的着陆点的水平距离为 ，第二次训练实心球的陆点的水平距离为 ，则 ________
（填“ ”，“ ”或“ ”）
26. 已知关于x的二次函数 ．
（1）求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点 ， 在抛物线上，则m_________n；（填“＞”，“＜”或“=”）
（3） ， 是抛物线上的任意两个点，若对于 且 ，都有 ，求t
的取值范围．
27. 已知正方形 和一动点E，连接 ，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，
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．
（1）如图1，当点E在正方形 内部时，
①依题意补全图1；
②求证： ；
（2）如图2，当点E在正方形 外部时，连接 ，取 中点M，连接 ， ，用等式表示
线段 与 的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1， 是 外一点，给出如下的定义：若在 上存在一
点 ，使得点 关于某条过点 的直线对称后的点 在 上，则称 为点 关于 的关联点．
（1）当点 在直线 上时，
①若点 ，在点 ， ， 中，点 关于 的关联点是______；
②若 关于 的关联点 存在，求点 的横坐标 的取值范围；
（2）已知点 ，动点 满足 ，若 关于 的关联点 存在，直接写出 的取值范
围．
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