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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3},B={1,3}，则A B=（ ）
I
(A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3}
【答案】C
【考点定位】集合的运算.
2. “x =1”是“x2- 2x+1=0”的（ ）
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件
(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点定位】充要条件.
3.函数 f(x)=log (x2+2x- 3)的定义域是（ ）
2
(A) [-3,1] (B) (-3,1)
第1页 | 共18页(C) (-¥,-3] [1,+¥) (D) (-¥,-3) (1,+¥)
U U
【答案】D
【考点定位】函数的定义域与二次不等式.
4.重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下
0 8 9
1 2 5 8
2 0 0 3 3 8
3 1 2
则这组数据中的中位数是（ ）
(A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23
【答案】B
【考点定位】茎叶图与中位数.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
第2页 | 共18页1 13p 7p 5p
(A) +2p (B) (C) (D)
3 6 3 2
【答案】B
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【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.
1 1
6.若tana= ,tan(a+b)= ,则tanb=（ ）
3 2
1 1 5 5
(A) (B) (C) (D)
7 6 7 6
【答案】A
【考点定位】正切差角公式及角的变换.
7.已知非零向量a r ,b r 满足|b r |=4|a r |，且a r ^(2a r +b r )则a r与b r 的夹角为（ ）
p p 2p 5p
(A) (B) (C) (D)
3 2 3 6
【答案】C
【解析】由已知可得a(2a+b) =0 2a
2
+ab =0；设a
r与b r
的夹角为，则有
第3页 | 共18页【考点定位】向量的数量积运算及向量的夹角.
8.执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为（ ）
3 5 11 25
(A) (B) (C) (D)
4 6 12 24
【答案】D
故选D.
第4页 | 共18页【考点定位】程序框图.
x2 y2
9.设双曲线 - =1(a >0,b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A ,A ,过F做A A 的垂线与双曲线
a2 b2 1 2 1 2
交于B，C两点，若A B^A C,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
1 2
1 2
(A) ± (B) ± (C) ±1 (D) ± 2
2 2
【答案】C
【考点定位】双曲线的几何性质与向量数量积.
【名师点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到a与b
的关系式来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性.
ì x+ y-2£0
ï 4
10.若不等式组íx+2y-2³0 ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则m的值为（ ）
3
ï
x- y+2m³0
î
4
(A)-3 (B) 1 (C) (D)3
3
【答案】B
第5页 | 共18页【解析】如图， ；
【考点定位】线性规划与三角形的面积.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.
11．复数(1+2i)i的实部为________.
【答案】-2
第6页 | 共18页【考点定位】复数的概念与运算.
12.若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
【答案】x+2y-5=0
【考点定位】圆的切线.
1
13.设DABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC =- ,3sin A=2sinB,则c=________.
4
【答案】4
【考点定位】正弦定理与余弦定理.
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14.设a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________.
【答案】3 2
第7页 | 共18页7 3
从而有 a+1+ b+3 £ 2(a+1+b+3) = 2´9 =3 2（当且仅当a+1=b+3,即a= ,b= 时，“=”
2 2
成立）
故填：3 2.
【考点定位】基本不等式.
15.在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2 +2px+3p- 2=0有两个负根的概率为________.
2
【答案】
3
【考点定位】几何概率.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、 (本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分)
9
已知等差数列a 满足a =2，前3项和S = .
n 3 3 2
(Ⅰ)求a 的通项公式；
n
(Ⅱ)设等比数列b 满足b =a ，b =a ，求b 前n项和T .
n 1 1 4 15 n n
第8页 | 共18页n+1
【答案】（Ⅰ）a = ；（Ⅱ）T =2n -1.
n 2 n
【解析】
【考点定位】1. 等差数列；2. 等比数列.
17、 (本小题满分13分，（I）小问10分，（II）小问3分)
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下
表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014
时间代号t 1 2 3 4 5
第9页 | 共18页储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10
(Ⅰ)求y关于t的回归方程 y ^ = b ^ t + a ^
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(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2015年（t =6）的人民币储蓄存款.
附：回归方程 y ^ = b ^ t + a ^ 中
ì n n
å(x -x)(y - y) åx y -nxy
ï i i i i
ïb= i=1 = i=1 ,
ï
n n
í å(x -x)2 åx2 -nx 2
ï i i
i=1 i=1
ï
ïî a= y-bx.
【答案】（Ⅰ）yˆ =1.2t+3.6；（Ⅱ）10.8千亿元.
【解析】
（Ⅱ）将t =6代入回归方程yˆ =1.2t+3.6可预测该地区2015年的人民币储蓄存款．
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试题解析： (1)列表计算如下
i t y t2 t y
i i i i i
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50
å 15 36 55 120
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1 n 15 1 n 36
这里n=5,t = å t = =3,y = å y = =7.2.
n i 5 n i 5
i=1 i=1
又l =å n t - nt 2 =55- 5´ 32 =10,l =å n t y - nty =120- 5´ 3´ 7.2=12.
nt i ny i i
i=1 i=1
第10页 | 共18页l 12
从而b ˆ = ny = =1.2,aˆ = y- b ˆ t =7.2-1.2´ 3=3.6.
l 10
nt
故所求回归方程为yˆ =1.2t+3.6.
(2)将t =6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为yˆ =1.2´ 6+3.6=10.8(千亿元).
【考点定位】线性回归方程.
18、 (本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分)
1
已知函数f(x)= sin2x- 3 cos2 x.
2
(Ⅰ)求f（x）的最小周期和最小值；
(Ⅱ)将函数f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图像.当
ép ù
xÎ ,p 时，求g(x)的值域.
ê ú
ë2 û
2+ 3 1- 3 2- 3
【答案】（Ⅰ） f(x)的最小正周期为p，最小值为- ；（Ⅱ）[ , ].
2 2 2
【解析】
1 1 3
试题解析： (1) f(x)= sin2x- 3cos2 x= sin2x- (1+cos2x)
2 2 2
第11页 | 共18页1 3 3 p 3
= sin2x- cos2x- =sin(2x- )- ,
2 2 2 3 2
2+ 3
因此 f(x)的最小正周期为p，最小值为- .
2
【考点定位】1. 三角恒等变换；2.正弦函数的图象及性质；3.三角函数图象变换.
19、 (本小题满分12分，（I）小问4分，（II）小问8分)
4
已知函数 f(x)=ax3+x2（aÎR）在x=- 处取得极值.
3
(Ⅰ)确定a的值；
(Ⅱ)若g(x)= f(x)ex，讨论的单调性.
1
【答案】（Ⅰ）a= ；（Ⅱ）g(x)在(-¥ ,-4)和(-1,0) 内为减函数，(-4,-1)和(0,+¥ )内为增函数..
2
【解析】
第12页 | 共18页令g¢(x)=0，解得x=0,x=-1或x=-4.从而分别讨论x<-4，-40时g¢(x)的
符号即可得到函数g(x)的单调性．
【考点定位】1. 导数与极值；2. 导数与单调性.
20、 (本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分)
第13页 | 共18页p
如题（20）图，三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC^平面 ABC，ÐABC= ，点 D、E 在线段 AC 上，且
2
AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB^平面PFE.
(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）BC=3或BC=3 3.
【解析】
试题解析：证明：如题(20)图.由DE = EC,PD= PC知，E为等腰DPDC中DC 边的中点，故
PE^ AC ，
第14页 | 共18页又平面PAC ^平面ABC，平面PAC Ç平面ABC = AC，PEÌ 平面PAC ，PE^ AC ，
所以PE^ 平面ABC，从而PE^ AB.
p
因ÐABC= ,EF BC,故AB^ EF.
P
2
从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF 都垂直，
所以AB^ 平面PFE.
1 1 7
从而四边形DFBC的面积为S =S -S = x 36- x2 - x 36- x2 = x 36- x2
DFBC DABC DADF 2 9 18
由(1)知，PE PE^ 平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高.
在直角DPEC中，PE= PC2 - EC2 = 42 - 22 =2 3,
1 1 7
体积V = ×S ×PE = × x 36- x2×2 3 =7,
P-DFBC 3 DFBC 3 18
故得x4 - 36x2 +243=0，解得x2 =9或x2 =7，由于x>0，可得x=3或x=3 3.
所以BC =3或BC=3 3.
【考点定位】1. 空间线面垂直关系；2. 锥体的体积；3.方程思想.
第15页 | 共18页21、(本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分)
x2 y2
如题（21）图，椭圆 + =1（a>b>0）的左右焦点分别为F ,F ,且过F 的直线交椭圆于P,Q两点，
a2 b2 1 2 2
且PQ^ PF .
1
(Ⅰ)若|PF |=2+ 2 ，|PF |=2- 2 ，求椭圆的标准方程.
1 2
3 4
(Ⅱ)若|PQ|=l|PF |，且 £l£ ，试确定椭圆离心率的取值范围.
1 4 3
x2 2 5
【答案】（Ⅰ） +y2=1；（Ⅱ）
