文档内容
延庆区 2020-2021 学年第二学期期末试卷
初 一 数 学
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试
时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和学号．
考生须知
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑
色签字笔作答．
一、选择题：（共8个小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个
是符合题意的．
1. 经过了8年的研发，华为正式推出了鸿蒙系统．鸿蒙系统使用了一款新的芯片，这款芯片被命名为麒麟
9010，采用的是最为先进的3纳米工艺．3纳米就是0.000003毫米．把0.000003用科学记数法表示为（
）
A. 3×106 B. 3×10-6 C. 3×10-5 D. 3×105
【答案】B
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】由科学记数法的表示方法可得，
0.000003= ，
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法 的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．
2. 不等式x﹣2＞0的解集可以在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：x﹣2＞0，x＞2，
在数轴上表示为 ．
故答案选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. (a3)4= a7 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据单项式乘单项式，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则进行计算，然后作出
判断．
【详解】解：A、 正确，该选项符合题意；
B、 ，该选项不符合题意；
C、(a3)4= a12 a7，该选项不符合题意；
D、 与 不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了单项式乘单项式，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项的运算，掌握运算法则是
解题基础．
4. 下列调查方式，你认为最合适的是（ ）
A. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
B. 了解端午节到延庆旅游的人数，采用抽样调查方式
C. 了解北京市中学生的用眼卫生情况，采用全面调查方式
D. 了解一批手机电池的使用寿命，采用全面调查方式
【答案】B
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果
比较近似解答．
【详解】解：A、旅客上飞机前的安检，采用全面调查方式，本选项说法不合适；B、了解端午节到延庆旅游的人数，采用抽样调查方式，本选项说法合适；
C、了解北京市中学生的用眼卫生情况，采用抽样调查方式，本选项说法不合适；
D、了解一批手机电池的使用寿命，采用抽样调查方式，本选项说法不合适；
故选：B．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵
活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽
样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5. 若m＞n，则下列不等式不成立的是（ ）
A. 6－m＞6－n B. －3m＜－3n C. m+14＞n+14 D. 7m＞7n
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐一判断选项，即可求解．
【详解】解：∵m＞n，
∴6－m＜6－n，故A不成立，符合题意；
－3m＜－3n，故B成立，不符合题意；
m+14＞n+14，故C成立，不符合题意；
7m＞7n，故D成立，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查不等式 的基本性质，熟练掌握不等式的性质，是解题的关键．
6. 下面从左到右的变形，是正确进行因式分解的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解的定义求解即可．
【详解】解：A、 等式右边既有相乘，又有相加，不符合因式分解的概念，不符
合题意；
B、 等式左边是整式相乘的形式，右边是多项式，不符合因式分解的概念，不符合
题意；C、 等式左边是整式相乘的形式，右边是多项式，不符合因式分解的概念，不符合题意；
D、 等式左边是多项式，右边是整式相乘的形式，符合因式分解的概念，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的定义，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义．
的
7. 下列命题中是假命题 是（ ）
A. 对顶角相等 B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 同旁内角互补 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质与判定、平行公理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 对顶角相等是真命题，故不符合题意；
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行是真命题，故不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，故原命题是假命题，符合题意；
D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行是真命题，故不符合题意；
故选：C
【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确理解平行线的性质与判定是解题关键．
8. 如图，点F是∠ACE内一点，FD AC，FB EC，点D在射线CE上，点B在射线CA上．下列结论正
确的是（ ）
①∠1=∠F；②∠2=∠C；③∠FBC=∠FDC；④∠FBC+∠2 =180°
A. ①② B. ①②④C. ①②③ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】由FD AC，可推出：∠1=∠F，∠2=∠C；由FB∥EC，可得∠1=∠C，∠FBC+∠C =180°
从而有∠1=∠2，再由∠2+∠FDC=180°，可得∠FBC=∠FDC，于是可作出判断．
【详解】∵FD AC
∴∠1=∠F，∠2=∠C
即①②正确
∵FB∥EC
∴∠1=∠C，∠FBC+∠C =180°
∴∠1=∠2，∠FBC+∠2=180°
即④正确
∵∠2+∠FDC=180°，∠1+∠FBC=180°
∴∠FBC=∠FDC
即③正确
所以正确的结论为：①②③④
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质并灵活应用是解题的关键．
二、填空题（共8个小题，每题2分，共16分）
9. 因式分解： = ．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解： = ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，解题的关键是掌握完全平方差公式进行因式分解．
10. 写出二元一次方程2x－y=5的一个整数解______．【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】设x等于某个已知整数求出y,即可确定出整数解．
【详解】解:∵2x－y=5,
,
∴y=2x-5
当x=3时,y=1,
则方程 整数解为 ,
的
故答案为: ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程,解题的关键是设x等于某个已知整数求出y．
11. 如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD，如果∠1＝35°，那么∠2的度数是______________；
【答案】55°
【解析】
【详解】分析：由OC⊥OD，得到∠COD=90°，再根据∠1+∠2=90°，即可得出结论．
详解：∵OC⊥OD，∴∠COD=90°，∴∠2=90°－∠1=90°-35°=55°．
故答案为55°．
点睛：本题主要考查角的运算，比较简单．
12. 若 是方程 的一组解，则m的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据方程的解满足方程，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：由题意，得
3m+2-1=0，解得m= ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解满足方程得处关于m的方程是解题关键．
13. 已知二元一次方程组 ，则 的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】方程组中两方程相加，求出x-y的值即可．
【详解】解： ，
①+②得：3x−3y=3．
得x−y=1
故答案为1．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，本题注意观察方程组中两方程系数之间的关系，利用加减法求出
结果是解题关键．
14. 如图，在三角形ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，请你添加一个条件____，使得DE AB．
（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理，由同位角相等或内错角相等或同旁内角互补即可得证 ．
【详解】①同位角相等，两直线平行
， ；
②内错角相等，两直线平行
；
③同旁内角互补，两直线平行， ；
故答案为： （答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握相关判定定理是解决本题的关键．
15. 如图的框图表示解不等式2﹣3x 4﹣x的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是_____．
【答案】不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质3求解可得．
【详解】“系数化为1”这一步骤的依据是不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等
号的方向改变，
故答案为：不等式的基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤，尤其需要注意
不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16. 观察、归纳：
……
请你根据以上等式的规律，完成下列问题：
（1）(x-1)(x9+…+x2+x+1)=_______________．
（2）计算1+3+32+…+32021=_______________．
【答案】 ①. x10-1 ②. (32022-1)
【解析】
【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律化简，计算即可求出值．
【详解】解：（1）(x-1) (x+1)=x2-1；
(x-1) (x2+x+1)=x3-1；
(x-1) (x3+x2+x+1)=x4-1；
…
根据以上等式的规律可得：
(x-1) (xn-1+xn-2+…+x+1)=xn+1-1；
∴(x-1) (x9+…x2+x+1)=x10-1；
故答案为：x10-1；
（2）1+3+32+…+32021
= (3-1) (1+3+32+…+32021)
= (32022-1)．
故答案为： (32022-1)．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．注意根据所给的算式总结出
规律，并能利用总结出的规律解决实际问题．
三、解答题（17题4分；18-19题每小题8分；20-23题每小题4分；24题5分；25题8分；
26题5分；27-28题每小题7分；本题共68分）
17. 因式分解：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据提公因式法分解因式即可；
（2）根据平方差公式法分解因式即可．
【详解】（1） ；
（2） ．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．18. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）8；（2）
【解析】
【分析】（1）原式先计算乘方，零指数幂、负整数指数幂和化简绝对值，再计算即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式 计算即可
【详解】解：（1）
=9-1+
=8．
（2）
【点睛】此题主要考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键
19. 解方程组：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1） ，
①代入②，得 ，
解得 ．
代入①，得
∴原方程组的解是 ；
（2） ，
①+②得 ，
解得 ，
把 代入①，
得 ，
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，熟练掌握代入法与消元法解方程组的方法，并能准确计算是
解题的关键．
20. 先化简，再求值：
已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，-3
【解析】
【分析】先按单项式乘多项式法则及平方差公式展开，合并同类项，再由条件变形为 ，最后代
入求值即可．
【详解】∵
∴
∴
【点睛】本题考查了多项式的化简求值，涉及单项式乘多项式，平方差公式，合并同类项等知识，用到了
整体代入法．
21. 解不等式组： 并写出它的所有整数解．
【答案】 ，所有整数解为-2，-1，0
【解析】
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
【详解】解:解不等式组：
由①得 ，
由②得 ，
∴ 原不等式组的解集是
∴ 原不等式组的所有整数解为-2、-1、0．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
22. 已知：点P是三角形ABC内一点．
（1）过点P作AC的平行线交AB于点E，交BC于点F；
（2）过点P作AB的垂线，垂足为点Q；
（3）测量∠EPQ= °；
（4）测量线段BF= cm．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）41.6；（4）3.1
【解析】
【分析】（1）过点P作射线AQ，再作∠DPF=∠DAC交BC于点F，延长FP交AB于点E，EF即为所求；
（2）以点P为圆心，以任意长为半径画弧，交直线AB于M、N两点；再分别以M、N两点为圆心，以大
于 MN的长为半径画弧，两弧交于点G；连接PG交AB于点Q，则直线 PQ⊥AB；
（3）利用量角器测量出∠EPQ约为41.6°；
（4）度量BF的长度即可．
【详解】解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）如图，直线PQ即为所求．
（3）利用量角器测量出∠EPQ约为41.6°；
故答案为：41.6；
（4）线段BF的长约为3.1cm．
故答案为：3.1．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23. 完成下面的证明．
已知：如图，三角形ABC中，∠B=∠C，点N在BA的延长线上，且AM BC．
求证：AM是∠CAN的角平分线．证明：∵AM∥BC，
∴∠B=∠1 （ ① ），
∠C=∠2（ ② ）．
∵∠B=∠C，
∴∠1= ③ ．
∴AM是∠CAN的角平分线（ ④ ）．
【答案】①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③∠2；④角平分线定义
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质即可求解．
【详解】证明：∵AM//BC，
∴∠B=∠1（两直线平行，同位角相等），∠C=∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵∠B=∠C，
∴∠1= ∠2．
∴AM是∠CAN的角平分线（角平分线定义）．
故答案为：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③∠2；④角平分线定义．
【点睛】此题主要考查平行线的性质证明，解题的关键是熟知平行线的性质、角平分线的定义．
24. 已知：如图，AB CD，BE交CD于点M，∠B=∠D．
求证：BE DF．【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质即可证明．
【详解】证明：∵AB CD，
∴∠B=∠BMD（两直线平行，内错角相等）．
∵∠B=∠D，
∴∠BMD =∠D．
∴BE DF（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等与内错角相等，两直线
平行．
25. 应用题:
为了丰富学生校园生活,满足学生的多元文化需求,促进学生身心健康和谐发展,学校将要举行趣味运动会,
体育组准备购买跳绳作为奖品．已知1条短跳绳和3条长跳绳,共需要96元;2条短跳绳和1条长跳绳共需
要62元．
（1）求每条短跳绳和每条长跳绳各多少元;
（2）商店举行“优惠促销”活动,具体办法如下:短跳绳“九折”优惠;长跳绳不超过10条不优惠,超出10
条的部分“六折”优惠．如果买m条短跳绳需要y 元,买n条长跳绳需要y 元．请用含m,n的代数式分别
1 2
表示y 和y;
1 2
（3）如果在（2）的条件下,购买同一种奖品50件,请分析买哪种奖品省钱．
【答案】（1）每条短跳绳的售价为18元,每条长跳绳的售价为26元;（2）y ＝16.2m;当不超过10条时:y
1 2
＝26n;当超过10条时:y＝15.6n＋104;（3）买短跳绳省钱
2
【解析】
【分析】（1）设每条短跳绳的售价为x元,每条长跳绳的售价为y元,根据1条短跳绳和3条长跳绳,共需
要96元;2条短跳绳和1条长跳绳共需要62元,可列出关于x,y的二元一次方程组,解出方程组即可解答.
（2）利用总价等于单价乘以数量,结合“优惠促销”具体优惠活动,即可用含有m,n代数式分别表示y 和
1
y;
2
（3）分别将m=50和n=50代入y 和y,然后进行比较即可得出答案．
1 2
【详解】（1）设每条短跳绳的售价为x元,每条长跳绳的售价为y元．则根据题意可得:解得
答:每条短跳绳的售价为18元,每条长跳绳的售价为26元;
（2）y＝18×0.9m＝16.2m;
1
当不超过10条时:y＝26n;
2
当超过10条时: ．
（3）∵50＞10,
∴将50分别代入y＝16.2m和y＝15.6n＋104中,得:
1 2
当m=50时, ,
当n=50时, ,
∵810<884,
∴买短跳绳省钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和列函数关系式等知识点,解题的关键是根据题意找出正
确的等量关系,根据自变量确定函数值的大小．
26. 阅读材料：
延庆区某校七年级共10个班，综合实践小组的同学对本校七年级学生课外阅读最喜爱的图书种类进行了调
查．围绕着“你最喜欢的是哪一类课外书？（只写一项）”的问题，对该校七年级学生进行了随机抽样调
查．
收集数据
A．文学类 B．艺体类 C．科普类 D．其他
通过调查得到的一组数据如下：
A C C A D A B A C B B A D C A A B C C A
A C B D A A B D A A B B C C A C A C D A
B D B C A D A D C A A C B D A A D C A A
B B C C D C A A B A A C C A D A B A A B
整理、描述数据
综合实践小组的同学对抽样调查的数据进行整理，绘制了如下统计图表（不完整）：
类别 频数
A．文学类 32B．艺体类 a
C．科普类 20
D．其他 b
总计 80
根据以上信息，回答下列问题：
①表1中的a = ，b = ；
②请将图1补充完整；
③图2中， ，“文学类”部分扇形的圆心角是 ；
④若该校七年级共有学生360人，根据调查结果估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有
人．
【答案】（1）16，12；（2）见解析；（3）20，144；（4）90
【解析】
【分析】①根据题目中调查得到的数据，可以将B和D的频数统计出来；
②然后统计表的数据将条形统计图补充完整；
③根据艺体类人数和文学类所占的百分比可得答案；
④用样本估计总体，按比例计算可得．
【详解】解：①由调查得到的数据可得，由条形图可得其它12人，
∴艺体类80-32-20-12=16，
艺体类即B的频数是16，则a=16，
其他即D的频数是12，则b=12，
故答案为：16，12；
②补全的条形统计图如下图所示：③ ，即 ，
“文学类”部分扇形的圆心角是360° ，
故答案为： ， ；
④估计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有360 （人），
答：计七年级最喜欢“科普类”图书的学生约有90人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的
信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分
比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
27. 在三角形ABC中，点D在线段AC上，ED BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，
B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．
（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；
（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°；
（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，
不需证明．【 答 案 】 （ 1 ） ， 证 明 见 解 析 ； （ 2 ） 见 解 析 ； （ 3 ） 图 见 解 析 ，
或∠EDF+∠BGF=90°
【解析】
【分析】（1）过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质以及余角的性质即可求解；
（2）过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质以及余角的性质即可证明；
（3）过点F作FH∥BC交AC于点T．同法可以得到∠BGF -∠EDF =90°．
【详解】（1）∠EDF+∠BGF=90°．
证明如下：
过点F作FH∥BC交AC于点H．
∵ED∥BC，
∴ED∥FH ．
∴∠EDF=∠1．
∵FH∥BC，
∴∠BGF=∠2．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠EDF+∠BGF=90°．
（2）证明：
过点F作FH∥BC交AC于点H．∴∠ABC=∠AFH ．
∴∠ABC=∠1+∠3 ．
∴∠3=∠ABC－∠1 ．
∵ED∥BC，
∴ED∥FH．
∴∠EDF=∠1，
∴∠3=∠ABC－∠EDF ．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG=90°．
∴∠BFG+∠3=90°．
∴∠3=90°－∠BFG ．
∴90°－∠BFG=∠ABC－∠EDF ．
∴∠ABC+∠BFG－∠EDF=90°．
（3）补全图形如图：
∠BGF－∠EDF =90°． 理由如下：
过点F作FH∥BC交AC于点T．
∵ED∥BC，
∴ED∥FT ．
∴∠EDF=∠DFT．
∵FT∥BC，
∴∠BGF=∠GFT．
∵FG⊥FD，∴∠DFG=90°．
∴∠GFT -∠DFT =90°．
∴∠BGF -∠EDF =90°．
当点G在CB的延长线上时，同法可证∠EDF+∠BGF=90°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，作出常用辅助线、正确的识别图形是解题的关键．
28. 对于有理数a，b，定义 的含义为：当a≥b时， ＝a；当a＜b时， ＝
b．例如：max{1，－2}＝1，max{－3，－3}＝－3，max{－1，0}＝0．
（1）max{－6，6}= ；
（2）max{－x2＋1，2}= ；
（3）已知max{－2k＋5，－1}＝－2k＋5，求k的取值范围；
（4）已知max{2x－3，－2x－1}=9，求x的值；
（5）已知max{－20，m2+n2－8m+4n}＝－20，直接写出m，n的值．
【答案】（1）6；（2）2；（3） ；（4）6或-5；（5）
【解析】
【分析】（1）根据 的含义和-6和6的大小求解即可；
（2）首先判断出 和2的大小，然后根据 的含义求解即可；
（3）根据 的含义列出不等式求解即可；
（4）根据 的含义分两种情况列出方程求解即可；
（5）根据 的含义和题中max{－20，m2+n2－8m+4n}＝－20列出不等式求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴max{－6，6}=6；（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴max{－x2＋1，2}=2；
（3）∵max{－2k＋5，－1}＝－2k＋5，
∴－2k+5≥－1
解得：k≤3；
（4）①当2x－3≥－2x－1时，
2x－3=9且－2x－1＜9，
解得：x=6；
②同理可得，当2x－3≤－2x－1时，
－2x－1=9且2x－3＜9，
解得：x=－5；
（5）∵max{－20，m2+n2－8m+4n}＝－20，
∴m2+n2－8m+4n≤-20，
整理得：m2+n2－8m+4n＋20≤0，
，
∵ ， ，
∴
解得： ．
【点睛】此题考查了不等式，一元一次方程和新定义结合问题，解题的关键是根据题意列出方程或不等式
求解．
