文档内容
房山区 2022—2023 学年度第一学期诊断性评价
九年级数学
2022.12
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 如图，在 中， ∥ ，如果 ， ， ，那么 的值为（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得到 ，从而AC的长度可求.
【详解】∵ ∥
∴
∴
∴
故选B
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键.
的
2. 在 中，∠ ，如果 ， ，那么cos 值为（ ）
△A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而 可求.
【详解】∵∠ ， ，
∴
∴
故选A
【点睛】本题主要考查勾股定理及余弦的定义，掌握余弦的定义是解题的关键.
3. 把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（ ）
A. y＝（x+1）2+3 B. y＝（x﹣2）2+3 C. y＝（x﹣1）2+5 D. y＝（x﹣1）2+3
【答案】D
【解析】
【详解】y= ，
所以,y= . 故选D.
4. 如图，A，B，C是 上的三个点，如果 ，那么 的度数是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得结果．
【详解】∵在 中， ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，并能找出同弧所对的圆周角和圆心角是解题的关键．
5. 河堤的横截面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米那么斜坡AB的坡度i是（ ）
A. 1：3 B. 1：2.6 C. 1：2.4 D. 1：2
【答案】C
【解析】
【详解】分析：在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC的长，根据坡面AB的坡比即为∠BAC的正切即可
求解.
详解：
在Rt△ABC中，BC=5米，AB=13米，
根据勾股定理得AC=12米，
∴AB的坡度i= .
故选C.
点睛：本题主要考查学生对坡度坡角的掌握，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6. 已知点 ， 都是反比例函数 图象上的点，并且 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】反比例函数 在每一象限内，y随x的增大而减小，从而可得答案．
【详解】解：∵点 ， 都是反比例函数 图象上的点，
又∵ ，
∴反比例函数 的图象在第一象限和第三象限，
即当 时，y随x的增大而减小，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键．
7. 道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线
的长为（单位：m）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】根据题意，求 长即可求解．
【详解】解：依题意， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键．
8. 如图，在平面直角坐标系 中， 两点同时从原点 出发，点 以每秒 个单位长的速度沿
轴的正方向运动，点 以每秒 个单位长的速度沿 轴的正方向运动，设运动时间为 秒，以 为直径作
圆，圆心为点 ．在运动的过程中有如下5个结论：
① 的大小始终不变；
② 始终经过原点O；
③半径 的长是时间t的一次函数；
④圆心 的运动轨迹是一条抛物线；
⑤ 始终平行于直线 ．
其中正确的有（ ）
A. ①②③④ B. ①②⑤ C. ②③⑤ D. ①②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ，即可判断①，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得出 ，即
可判断②，根据题意求得 ，即可判断③④，待定系数法求得 的解析式，即可判断⑤，即可求解．
【详解】解：依题意 ，∴ ，
∴ 的大小始终不变，故①正确；
如图，连接 ，
∴ ，
∴ 始终经过原点O，故②正确
∵
∴半径 的长是时间t的一次函数，故③正确；
∵
∴圆心 的运动轨迹是一条直线；故④不正确
∵ ， ，
设直线 的解析式为 ,
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为∴ 始终平行于直线 ，故⑤正确．
故选：D
【点睛】本题考查了求正切，，勾股定理，一次函数解析式，一次函数的平移，点的轨迹，综合运用以上
知识是解题的关键．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 二次函数 的顶点坐标为__________．
【答案】（-1，-2）
【解析】
【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
【详解】解：二次函数 的图象的顶点坐标为（-1，-2）．
故答案为：（-1，-2）
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式，找出函数图象的顶点坐标是解题的关键．
10. 如图，平面直角坐标系中，若反比例函数 的图象过点 和点 ，则a的值为______．
【答案】 ##1.5
【解析】
【分析】根据点 的坐标求得反比例函数解析式，将 代入，即可求解．【详解】解：依题意，将点 代入 ，得出 ，
∴反比例数解析式为 ，
当 时， ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，求得反比例函数解析式是解题的关键．
11. 在正方形网格中， 的位置如图所示，则 为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意找到 ，根据正弦的定义即可求解．
【详解】解：如图∵ 是直角三角形，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求正弦，勾股定理与网格，掌握正弦的定义是解题的关键．
12. 平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴只有一个交点，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得出 ，即 ，然后再根据一元二次方程的判别式，计算即可．
【详解】∵抛物线 与 轴只有一个交点，
∴方程 根的判别式 ，
即 ，
解得： ，
故答案为：1
【点睛】本题考查了二次函数与 轴交点问题，转为为一元二次方程根的判别式进行求解是解题的关键．
13. 丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三
角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，
CB为6cm，则该圆形镜子的半径是______cm．
【答案】5【解析】
【分析】连接 ，根据圆周角定理可得： 是该圆形镜子的直径，进而直接根据勾股定理求得 ，
即可求解．
【详解】如图，连接 ，
∵ ，
∴ 是该圆形镜子 的直径，
在Rt 中， cm， cm，
∴ cm，
∴该圆形镜子的半径是 cm，
故答案为：5．
【点睛】本题考查圆周角定理和勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，证得 是该圆形镜子
的直径．
14. 如图，在矩形 中，若 ， ，且 ，则EF的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】先证明 ，由勾股定理求得 的长度，再根据三角形相似比得到 ，最后利用 得 的长度．
【详解】∵ 是矩形，且 ， ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴
∴ ，且
∴
故答案为: ．
【点睛】本题考查相似三角形的综合应用，矩形的性质及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质、
勾股定理的应用是解题关键．
15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”
其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的
直径是多少步．”该问题的答案是________步．
【答案】6
【解析】
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，
得到直径．
【详解】解：根据勾股定理得：斜边为 =17，设内切圆半径为r，由面积法
r= 3（步），即直径为6步，
故答案为：6．
【点睛】考点：三角形的内切圆与内心．
16. 在平面直角坐标系xOy中，以点 为圆心，单位长1为半径的圆与直线 相切于点M，
直线 与y轴交于点N，当 取得最小值时，k的值为______．
【答案】 或 ## 或
【解析】
【分析】根据题意先求得 ，即可求得 ， ，设直线 与x轴的交点为
，然后利用 ，即可求得k的值
【详解】∵直线 与y轴交于点N，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵单位长1为半径的圆与直线 相切于点M，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取得最小值 ，
∴点 ，
设直线 与x轴的交点为 ，∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 ，
故答案为： 或
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理及分式方程，解决问题的关键是利用三角形的面积相等解分式
方程
三、解答题（本题共12道小题，共68分．17，18，20，21每题5分；其余每题6分）
17. 计算： ．
【答案】1．
【解析】
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】原式=
= ，
=1.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
18. 抛物线 过点 和 ．
（1）求b，c的值；
（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．
【答案】（1） ，
（2） （或 ）
【解析】【分析】（1）将已知点代入抛物线表达式即可求得b，c的值
（2）根据抛物线的开口方向和对称轴即可求得x的取值范围
【小问1详解】
解：∵抛物线 过点 和 ，
∴ ，
解得： ，
【小问2详解】
由（1）知抛物线的表达式为 ，
∵ ， ，
∴抛物线开口向下，对称轴为 ，
∴当 （或 ）时，函数y随x的增大而增大
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键
19. 如图， 中， ， ．
（1）求 的长．
（2） 是 边上的高，请你补全图形，并求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）过点 作 于点 ，根据三线合一得出 ，在 中，勾
股定理求得 ，进而即可求解；
（2）过点 ，作 交 的延长线于点 ，根据 ，以及正弦的定义，结合（1）
的结论，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点 作 于点 ，
∵
∴ ，
∵
∴ ,
∴
在 中， ,
∴
【
小问2详解】
解：如图，过点 ，作 交 的延长线于点∵
∴
∵
∴
∵ ,
∴
【点睛】本题考查了三线合一的性质，解直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
20. 下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图， 及 外一点 ．
求作：过点 的 的切线 （ 为切点）．
作法：①连接 与 交于点 ，延长 与 交于点 ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧；以点 为圆心， 长为半径作弧，在 上方两弧交于点C；
③连接 与 交于点 ；
④作直线 ．
则直线 即为所求作的 的切线．
请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明过程：
证明：由作图可知， ， ，
点______为线段CO中点，
∴ （____________）
又∵点D在 上，
∴PD是 切线（____________）
【答案】（1）见解析 （2） ；三线合一；切线的判定定理
【解析】
【分析】（1）根据基本作图补全图形即可求解；
（2）根据作图步骤，由三线合一得出 ，进而判断 是 切线
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
证明：由作图可知， ， ，
为
点 线段CO中点，
∴ （三线合一）
又∵点D在 上，
∴ 是 切线（切线的判定定理）
故答案为： ；三线合一；切线的判定定理【点睛】本题考查了切线的判定，三线合一，掌握基本作图是解题的关键．
21. 如图，割线 与 交于点 ，割线 过圆心 ，且 ．若 ， 的半
径 ，求弦 的长．
【答案】
【解析】
【分析】作 于点 ，根据垂径定理可得出 ，根据含30度角的直角三角形的性质，在
中，勾股定理求得 ，即可求解．
【详解】解：如图，作 于点 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
22. 中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼
底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点 处用高 的测角仪
测得塔尖 的仰角为 ，向塔的方向前进 到达 处，在 处测得塔尖 的仰角为 ，请
你求出中央电视塔 的高度（结果精确到 ）．（参考数据： ， ，
， ， ， ．）
【答案】中央电视塔 的高度为 米．
【解析】
【分析】在 中， 中得出 ，根据 ，进而求得 的长，
即可求解．
【详解】解：在 中， ，∴
在 中， ，
∴ ，
∴
∵
∴ ,
由图可知四边形 是矩形，则
∴ （米），
答：中央电视塔 的高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
23. 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知
识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原
貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片
的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为 ，测得弧所对的弦长 为12.8 ，弧中点到
弦的距离为2 ．设 所在圆的圆心为O，半径 于D，连接 ．求这个盏口半径 的长
（精确到0.1 ）．
【答案】11.2【解析】
【分析】根据垂径定理求出 ，再根据勾股定理列出关于 的方程求出答案即可．
【详解】∵ ，且 ，
∴ ．
根据题意可知 ，
∴ （ ）．
根据勾股定理，得 ，
解得 ．
所以这个盏口半径 的长为11.2 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法．
24. 如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象经过点 ，一次函数
的图象与反比例函数 的图象交于点B．
（1）求m的值；
（2）点 是 图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴
的垂线交直线 于点E．
①当 时，判断 与 的数量关系，并说明理由；②当 时，直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）将点 代入反比例函数 ，即可求得m的值
（2）①将 分别代入反比例函数和一次函数即可求得 与 ，即可得到 与 的数量关系
②当 时，可以得到关于 的不等式，解不等式即可求得 的取值范围
【小问1详解】
∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴
【小问2详解】
① ，理由如下：
将 代入 得： ，
∴
将 代入 得： ，∴ ,
∴
②∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ 或 ，且 ，
∴ 或
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的综合题，解决问题的关键是能够按照点的坐标求到坐标轴的距离
25. 如图， 是 的直径，直线 与 相切于点 ．过点 作 于 ，线段 与
相交于点 ．（1）求证： 是 的平分线；
（2）若 ， ，求BC的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得出 ，根据 ，得出 ，根据平行
线的性质得出 ，根据半径相等，等边对等角得出 ，等量代换可得
，即可得证；
（2）连接 交 于点 ，连接 ，勾股定理求得 ，垂径定理求得 ，进而勾股定理求得
，在 中，勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵直线 与 相切于点 ．
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的平分线；
【小问2详解】
解：如图，连接 交 于点 ，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是
解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上存在两点 ， ，若 ，请判断此时抛物线有最高点还是最低
点，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点 ， ， ，当 时，求 的取值范围．
【答案】（1）直线
（2）抛物线有最高点，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）化为顶点式即可求解；
（2）将点 ， 代入抛物线解析式，根据 ，得出 ，即可求解；
（3）将点 ， ， 代入抛物线解析式，根据 时，结合 ，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴抛物线的对称轴为直线 ；
【小问2详解】
解：抛物线有最高点，理由如下∵抛物线上存在两点 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时抛物线有最高点；
【小问3详解】
将点 ， ， ，代入抛物线解析式得：
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
27. 已知 为等腰直角三角形， ， ．点D为平面上一点，使得 ．
点P为 中点，连接 ．（1）如图，点D为 内一点．
①猜想 的大小；
②写出线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（2）直接写出线段 的最大值．
【答案】（1）① ②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由 为等腰直角三角形， ，以 为直径作圆，则点D与点P是圆周
上的点，再根据等腰直角三角形的性质可知 ，然后利用圆周角的性质可知
②过点B作 交 的延长线于点E，得到 ，即可得 ，然后
由 ，得到
（2）连接 与圆周交于点D，点D在 外，此时 最大，利用勾股定理即可求得
【小问1详解】
①猜想 ，下面证明：
以 为直径作 ，∵ ，
∴点D在圆上，
连接 ，点P为 中点， 为等腰直角三角形，
∴ ，即点P也在 上，
∴ ，
∴
② ，下面证明：
过点B作 交 的延长线于点E，
由①知 ， ，
∴ ， ，即
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，且 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
【小问2详解】
连接 与圆周交于点D，点D在 外，此时 最大，
∵ ， ，
∴
【点睛】本题是圆与等腰直角三角形综合题，考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质及勾股定理，
解决问题的关键是依据题意画出辅助圆
28. 在平面直角坐标系 中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点
（ 点在 点左侧），以 为直径作 ．取线段 下方的抛物线部分和线段 上方的圆弧
部分（含端点 ），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段 叫做“横径”，
线段 的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“ ”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比
值叫做此“抛物圆”的“扁度”．（1）已知抛物线 ．
①若点A横坐标为 ，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______；
②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；
（2）已知抛物线 ，若点A在直线 上，求“抛物圆”的“扁度”不超过
3时a的取值范围．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据题意分别求得 的长， 的长，根据定义即可求解；
②根据题意求得“抛物圆”的“横径”、“纵径”，根据它的“扁度”为2，建立方程，解方程即可求解；
（2）设 的横坐标为 ，则 的横坐标为 ，同（1）的方法求得“抛物圆”的“横径”、
“纵径”， 根据它的“扁度”不超过3，得出 ，根据点A在直线 上也在抛物线
上得出 ，代入解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：①如图，∵点A横坐标为 ，
∴ ，
∴ ，则关于 轴对称的点 ，
∴ ，
设 与 轴交于点 ，半圆与 轴交于点 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴则得到的“抛物圆”的“横径”长为 ，“纵径”长为 ；
为
故答案 ： ；
②∵ 关于 轴对称，
∴当点A横坐标为t，则 横坐标为 ， 点在 点左侧，
∴得到的“抛物圆”的“横径”长为 ，
“纵径”长为 ，
∵它的“扁度”为2，
即 ，
解得： 或 （舍去），【小问2详解】
，
对称轴为 ，顶点为 ，
设 的横坐标为 ，则 的横坐标为 ，
∴ ，半径为 ，
∵ 在抛物线 上，当 时， ，
∴“纵径”长为 ，“抛物圆”的“横径”长为 ，
“扁度”为 ，
即 ，即 ，
∵点A在直线 上，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
解得： ．
【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
