文档内容
房山区 2022—2023 学年度第一学期诊断性评价
九年级数学
2022.12
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 如图，在 中， ∥ ，如果 ， ， ，那么 的值为（ ）
△
A. B. C. D.
2. 在 中，∠ ，如果 ， ，那么cos 的值为（ ）
△
A. B.
C. D.
3. 把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（ ）
A. y＝（x+1）2+3 B. y＝（x﹣2）2+3 C. y＝（x﹣1）2+5 D. y＝（x﹣1）2+3
4. 如图，A，B，C是 上的三个点，如果 ，那么 的度数是（ ）A. B. C. D.
5. 河堤的横截面如图所示，堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米那么斜坡AB的坡度i是（ ）
A. 1：3 B. 1：2.6 C. 1：2.4 D. 1：2
6. 已知点 ， 都是反比例函数 图象上 的点，并且 ，则（ ）
A. B. C. D.
的
7. 道路施工部门在铺设如图所示 管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心
线 的长为（单位：m）（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系 中， 两点同时从原点 出发，点 以每秒 个单位长的速度沿
轴的正方向运动，点 以每秒 个单位长的速度沿 轴的正方向运动，设运动时间为 秒，以 为直径作圆，圆心为点 ．在运动的过程中有如下5个结论：
① 的大小始终不变；
② 始终经过原点O；
③半径 的长是时间t的一次函数；
④圆心 的运动轨迹是一条抛物线；
⑤ 始终平行于直线 ．
其中正确的有（ ）
A. ①②③④ B. ①②⑤ C. ②③⑤ D. ①②③⑤
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 二次函数 的顶点坐标为__________．
10. 如图，平面直角坐标系中，若反比例函数 的图象过点 和点 ，则a的值为______．
11. 在正方形网格中， 的位置如图所示，则 为______．12. 平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴只有一个交点，则 的值为______．
13. 丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子．为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三
角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8cm，
CB为6cm，则该圆形镜子的半径是______cm．
14. 如图，在矩形 中，若 ， ，且 ，则EF的长为______．
15. 《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”
其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆
的
直径是多少步．”该问题的答案是________步．
16. 在平面直角坐标系xOy中，以点 为圆心，单位长1为半径的圆与直线 相切于点M，
直线 与y轴交于点N，当 取得最小值时，k的值为______．
三、解答题（本题共12道小题，共68分．17，18，20，21每题5分；其余每题6分）17. 计算： ．
18. 抛物线 过点 和 ．
（1）求b，c的值；
（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大．
19. 如图， 中， ， ．
（1）求 的长．
（2） 是 边上的高，请你补全图形，并求 的长．
20. 下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程．
已知：如图， 及 外一点 ．
求作：过点 的 的切线 （ 为切点）．
作法：①连接 与 交于点 ，延长 与 交于点 ；
②以点 为圆心， 长为半径作弧；以点 为圆心， 长为半径作弧，在 上方两弧交于点C；
③连接 与 交于点 ；
④作直线 ．
则直线 即为所求作的 的切线．
请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明过程：
证明：由作图可知， ， ，
为
点______ 线段CO中点，
∴ （____________）
又∵点D在 上，
∴PD是 切线（____________）
21. 如图，割线 与 交于点 ，割线 过圆心 ，且 ．若 ， 的半
径 ，求弦 的长．
的
22. 中央电视塔是一座现代化 标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽
收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点 处用高 的测角
仪 测得塔尖 的仰角为 ，向塔的方向前进 到达 处，在 处测得塔尖 的仰角为 ，
请你求出中央电视塔 的高度（结果精确到 ）．（参考数据： ， ，
， ， ， ．）23. 在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知
识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原
貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片
的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为 ，测得弧所对的弦长 为12.8 ，弧中点到
弦的距离为2 ．设 所在圆的圆心为O，半径 于D，连接 ．求这个盏口半径 的长
（精确到0.1 ）．
24. 如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象经过点 ，一次函数
的图象与反比例函数 的图象交于点B．
（1）求m的值；（2）点 是 图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴
的垂线交直线 于点E．
①当 时，判断 与 的数量关系，并说明理由；
②当 时，直接写出 的取值范围．
25. 如图， 是 的直径，直线 与 相切于点 ．过点 作 于 ，线段 与
相交于点 ．
（1）求证： 是 的平分线；
（2）若 ， ，求BC的长．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上存在两点 ， ，若 ，请判断此时抛物线有最高点还是最低
点，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点 ， ， ，当 时，求 的取值范围．
27. 已知 为等腰直角三角形， ， ．点D为平面上一点，使得 ．
点P为 中点，连接 ．（1）如图，点D为 内一点．
①猜想 的大小；
②写出线段 ， ， 之间的数量关系，并证明；
（2）直接写出线段 的最大值．
28. 在平面直角坐标系 中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点
（ 点在 点左侧），以 为直径作 ．取线段 下方的抛物线部分和线段 上方的圆弧
部分（含端点 ），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段 叫做“横径”，
线段 的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“ ”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比
值叫做此“抛物圆”的“扁度”．
（1）已知抛物线 ．
①若点A横坐标为 ，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______；
②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；
（2）已知抛物线 ，若点A在直线 上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围．
