文档文本内容
2021 年燕山九年级数学期末考试
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，25道小题．满分100分．考试试卷120分钟．
2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（本题共24分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. (1，5) B. (2，1) C. (2，5) D. ( ，5)
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是：(1，5)，故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的顶点式，掌握 的顶点坐标为(h，k)是解题的关键．
3. 如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（ ）
A. 以OA为半径的圆 B. 以OB为半径的圆
C. 以OC为半径的圆 D. 以OD为半径的圆
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系进行判断．
【详解】解： 于 ，
以 为圆心， 为半径的圆与直线 相切，
故选：D．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系—相切，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4. 下列关于二次函数 的说法正确的是（ ）
A. 它的图象经过点( ， ) B. 它的图象的对称轴是直线
C. 当x<0时，y随x的增大而减小 D. 当x=0时，y有最大值为0
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．
【详解】解：A、当x=0时，y=0≠2，故此选项错误；
B、它的图象的对称轴是直线x=0，故此选项错误；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故此选项正确；
D、当x=0时，y有最小值是0，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关
键．5. 点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （﹣1，2） D. （1，﹣2）
【答案】A
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答
案．
【详解】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故选：A．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的特征，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6. 的半径为5，点 到圆心 的距离为4，点 与 的位置关系是（ ）
A. 无法确定 B. 点 在 外 C. 点 在 上 D. 点 在 内
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】 的半径为5，点 到圆心 的距离为4，
点 到圆心 的距离小于圆的半径，
点 在 内．
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距
离OP=d，则有：点P在圆外 d＞r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d＜r．
⇔ ⇔ ⇔
7. 已知二次函数 的图象如图所示，则下列选项中不正确的是（ ）
A. a < 0 B. C. c >0 D. -3 < < 0
【答案】B【解析】
【分析】根据图象的开口方向可判断A选项；根据抛物线与y轴的交点可判断C选项；根据对称轴的位置
可判断D选项；根据自变量x=2时，函数的值可判断B选项．
【详解】解：A、图象开口向下，得a<0，故A选项不合题意；
B、由图象可得，当x=2时，y=4a+2b+c不确定是否大于0，故B选项符合题意；
C、二次函数图象与y轴交于x轴上方，得c>0，故C选项不合题意；
D、由图象可得，-3 < < 0，故D选项不合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系．二次函数 系数符号由抛物线开口方
向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
8. 如图，A(0，1)，B(1，5)，曲线BC是双曲线 的一部分．曲线AB与BC组成图形G ．由
点C开始不断重复图形G形成一线“波浪线”．若点P(2020，m) ，Q( x，n )在该“波浪线”上，则m
的值为 ，n的最大值为 （ ）
A. m = 1，n = 1 B. m = 5，n = 1 C. m = 1，n = 5 D. m = 1，n = 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意利用点B的坐标可以求k的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可
以求得m的值和n的最大值．
【详解】解：∵点B（1，5）在双曲线 的图象上，
∴k=5，
∵A(0，1)，曲线AB与BC组成图形G ．由点C开始不断重复图形G形成一线“波浪线”．
∴C的纵坐标为1∵点C在 的图象上，点C的纵坐标为1，
∴点C的横坐标是5，
∴点C的坐标为（5，1），
∵2020÷5=404，
∴P（2020，m）中m=1
∵点Q（x，n）在该“波浪线”上，
∴n的最大值是5．
综上所述，m = 1，n = 5．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
二、填空题
9. 二次函数 图象的开口方向是_____
【答案】向下
【解析】
【分析】根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向
【详解】解：∵ 的二次项系数-3，
∴抛物线开口向下，
故答案为：向下
【点睛】本题考查二次函数的性质．对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，
当a＜0时，抛物线开口向下．
10. 已知点A(1，a)与点B(3，b)都在反比例函数 的图象上，则a___b（填“<”或“=”或“>”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】将点A和点B都代入反比例函数解析式可求出a和b的值，比较a、b大小可得结论
【详解】解： 点A(1，a)与点B(3，b)都在反比例函数 的图象上当x=1时，a=-12
当x=3时，b=-4
-12<-4
a<b
故答案为：<
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
11. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为 ，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为
平方米，则这个扇形的半径是__米．
【答案】3
【解析】
【分析】根据已知得出自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5 平方米，圆心角为200°，利用扇
形面积公式S = 求出即可．
扇形
【详解】解：∵草坪上的自动喷水装置它能喷灌的草坪是扇形，面积为5 平方米，圆心角为200°，
∴它能喷灌的草坪的面积为： =5 ．
解得： R=3，
故答案为3．
【点睛】此题主要考查了扇形面积求法.
12. 请你写出一个开口向下，且与 轴的交点坐标为 的二次函数的解析式：______.
【答案】y=-x2+3
【解析】
【分析】开口向下得到a＜0，与y 轴的交点为（0,3）得到c=3，然后根据a、c可写出解析式，答案不唯
一.
【详解】二次函数图像开口向下得到a＜0，与y 轴的交点为（0,3）得到c=3，故二次函数可以为y=-x2+3
【点睛】本题考查二次函数的基本性质，根据开口方向与y轴的交点可得到解析式.
13. 如图， ， 是 的切线， ， 为切点， 是 的直径， ，则 的度数
为__________．【答案】30°
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的性质求出 的度数，从而可得 的度数，再根据圆的切线的性质
可得 ，最后根据四边形的内角和即可得．
【详解】如图，连接OB
是 的切线， 为切点
，即
在四边形OAPB中，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形 的性质、圆的切线的性质、四边形的内角和公式等知识点，通过作辅
助线，构造一个四边形，并联系到圆的切线的性质是解题关键．
14. “阅读让自己内心强大，勇敢面对抉择与挑战．”某校倡导学生读书，下面的表格是该校九年级学生本
学期内阅读课外书籍情况统计表．请你根据统计表中提供的信息，求出表中a、b的值：a＝_____，b＝
_____．
图书种类 频数 频率
科普常识 210 b
名人传记 204 0.34中外名著 a 0.25
其他 36 0.06
【答案】 ①. 150 ②. 0.35
【解析】
【分析】首先计算出总数，然后利用总数减去各组的频数可得a的值，然后再利用1减去各组的频率可得
b的值．
【详解】解：36÷0.06＝600，
a＝600﹣210﹣204﹣36＝150，
b＝1﹣0.34﹣0.25﹣0.06＝0.35．
故答案为150，0.35．
【点睛】此题主要考查了频数分布表，关键是掌握频率＝频数÷总数，各组频率之和为1．
15. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步．问句中
容方几何．”其大意是：如图，Rt 的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边
长为____．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可判断 ，利用三角形相似的性质可得 ，又BC=12，AC=5，
BF=BC-CF=12-EF，代入可求EF，即得正方形CDEF的边长
【详解】解： 四边形CDEF为正方形，
又又BC=12，AC=5，BF=BC-CF=12-EF
解得：EF=
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记三角形相似的判定定理及性质是解本题的关键
16. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a * b = a2 ab．根据这个法则，下列结论中错误
的是_______．（把所有错误结论的序号都填在横线上）
① * =2 ；②若a+b=0，则a * b=b * a；③（x+2）*（x+1）=0是一元二次方程；④方程
（x+2）*1=3的根是 ．
【答案】③④
【解析】
【分析】根据新定义的运算逐项判断即可．
【详解】根据新定义的运算可知 ，故①正确但不符合题意；
根据新定义的运算可知 ， ，根据 可知
，所以 ，故②正确但不符合题意；
，所以原等式为 是一
元一次方程，故③错误符合题意；
，所以原等式为 ，即
，解得 ， ．故④错误符合题意．
故答案为：③④．【点睛】本题考查解一元二次方程，一元一次方程的判定，新定义下的实数运算．理解题意，利用新定义
下的运算解决问题是解答本题的关键．
三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）化为一般式后，用因式分解法解方程即可；
（2）移项后，提取公因式，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
（2） ，
，
，
，
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是把方程右边化成0，左边进行因式分解，
达到降次的目的．
18. 如图，舞台地面上有一段以点 为圆心的弧 ，某同学要站在弧 的中点 的位置上．于是他想：
只要从点 出发，沿着与弦 垂直的方向走到弧 上，就能找到弧 的中点 ．老师肯定了他的想法．
(1)请按照这位同学的想法，在图中画出点 ；
(2)这位同学确定点 所用方法的依据是 ．
【答案】(1)见解析；(2)垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧
【解析】
【分析】（1）连接AB，作弦AB的垂直平分线即可得；
（2）根据垂径定理可得．
【详解】(1)如图所示，点 即为所求．
(2)这位同学确定点 所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧，
故答案为垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
【点睛】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理及线段中垂线的尺规作图．
19. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，AP＝2，求⊙O的半径．
【答案】5.
【解析】
【分析】连接OC，先由垂径定理求得CP＝4，然后再在Rt△OCP中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】如图，连接OC．设⊙O的半径为r．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CP＝PD＝4．
∵OC＝OB＝r．AP＝2，
∴OP＝r﹣2．
在Rt△OPC中，由勾股定理得：OC2＝PC2+OP2，即r2＝42+（r﹣2）2．
解得：r＝5．
所以圆的半径为5．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计
算．
的
20. 已知关于x 方程 ．
（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根 ．
【答案】（1）见解析；（2）n=4，m= 2，方程的根为x=x=1
1 2
【解析】
【分析】（1）先计算判别式得到 = ，根据非负数的性质得到 ＞0，然后根据判别式的意义得到
△
结论；
（2）取m=-2，n=4，则方程化为x2-2x+1=0，然后利用完全平方公式解方程．
【详解】（1）证明： = ，
∴方程总有两个实数根；
（2）由题意可知，m≠0，
；
即 ；
以下答案不唯一，如：当n=4，m= 2时，方程为x2-2x+1=0，解得x=x=1．
1 2
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax +bx+c=0（a≠0）的根与 =b -4ac有如下关系：当
＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0时，方程有两个相等的实数根；当 ＜0时，方程无实数根．
21. 已知一个二次函数图象上部分点的横△坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x …… -3 -2 -1 0 1 ……
y …… 0 -3 -4 -3 0 ……
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当-3<x<1时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）-4≤y<0
【解析】
【分析】（1）由表格可设二次函数的解析式为 ，然后再选择一个合适的值代入求解即
可；
（2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可；
的
（3）由（2）中 图像可直接进行求解．
【详解】解：（1）由表格可设 ，
将（0，-3）代入得 ，解得： ，
∴二次函数的表达式是 ；(2)由表格可描出与x ，y的交点，顶点，对称轴，如图所示：
（3）由（2）中图像可得：
当-3<x<1时，y的取值范围是-4≤y<0．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
22. 学完《概率初步》的知识，小聪设计了一个问题：经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转
或向右转．如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两辆车向左转，一辆车向右转；
（3）至少有两辆车向右转．
请你选择列表法或者树状图解决小聪的问题．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】画出树状图写出所有可能出现的结果，共有27种．
（1）根据树状图可知，三辆车全部继续直行的结果有1种，即可求出其概率．
（2）根据树状图可知，两辆车向左转，一辆车向右的结果有3种，即可求出其概率．
（3）根据树状图可知，至少有两辆车向右转的结果有7种，即可求出其概率．
【详解】根据题意，可以画出如下的树状图：所有可能出现的结果是27种，三辆车全部继续直行的结果有1种，两辆车向左转，一辆车向右转结果有3
种，至少有两辆车向右转结果有7种．
（1）三辆车全部继续直行的概率是 ；
（2）两辆车向左转，一辆车向右转概率是 ；
（3）至少有两辆车向右转概率是 ．
【点睛】本题考查用树状图法求概率，根据题意画出树状图来表示所有可能出现的结果是解答本题的关键．
23. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的
含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分
钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 ；药物燃烧后，y
关于x的函数关系式为 ．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需
要经过 分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空
气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）y x，0≤x≤8；y （x＞8）
（2）30 （3）有效，理由见解析【解析】
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝kx，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取
1
值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y ，把点（8，6）代入即可；
（2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于
等于10就有效．
【小问1详解】
解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝kx（k＞0）代入（8，6）为6＝8k
1 1 1，
∴k 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y （k＞0）代入（8，6）为6 ，
1 2
∴k＝48，
2
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y （x
＞8）；
【小问2详解】
（2）结合实际，令y 中y≤1.6得x≥30，
即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室．
【小问3详解】
（3）把y＝3代入y x，得：x＝4，
把y＝3代入y ，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，
解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．24. 如图，以四边形 的对角线 为直径作圆，圆心为 ，点 、 在 上，过点 作
的延长线于点 ，已知 平分 ．
（1）求证： 是 切线；
（2）若 ， ，求 的半径和 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即
可求出结果．
【小问1详解】
证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE=90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO，
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；【小问2详解】
解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD=6，
∴DF=FC=3．
在Rt OFD中，OF=AE=4，
△
∴ ，
在Rt AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，
△
∴ ，
∴AD的长是 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线
的判定与性质．
25. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）线段OB绕点O旋转 得到线段OC，点 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在 ， 之间的部
分为图象W（包含 ， 两点）．结合函数图像：
①若直线 与图象W有公共点，求 的最大值；
的
②若直线 与图象W没有公共点，直接写出点D纵坐标t 取值范围．【答案】（1）抛物线的表达式是 ，顶点坐标是 ；（2）① 的最大值是
；② ＜ 或 ＞ ．
【解析】
【分析】（1）把 代入 ，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可，
再利用配方法求解顶点坐标；
（2）①先画出二次函数的简易图像，如图1，结合图像可得：当 为 与对称轴的交点时， 的
面积最大，再求解 的解析式及 的坐标，再利用三角形的面积公式可得答案；②若直线 与图象W
没有公共点，如图1，则 在 与对称轴的交点的上方或在顶点 的下方，从而可得 的范围．
【详解】解：（1）∵ 经过点 ．代入，
得： ，
∴
∴抛物线的表达式是 ，由
顶点坐标是
（2）①如图1，由题意可知 关于原点对称，
，
而二次函数 的最小值是 ，
直线 与图象W有公共点时，
如图1所示，可以看出：连接 与对称轴交于点 时， 面积最大，
此时 为直角三角形，
设 为
直线BC的解析式是当x=1时， ，
此时：
∴ 的最大值 ．
②若直线 与图象W没有公共点，如图1，
则 在 与对称轴的交点的上方或在顶点 的下方，
点D纵坐标t的取值范围是 ＜ 或 ＞ ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，图像与直线的交点问题，
图形与坐标，掌握数形结合解决问题是解题的关键．
