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大联考萍乡实验学校 2025 届高三月考试卷（五）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C A D D C A C
1．A【解析】 令 且 ，则
，所以 在 上递增，故 ，则 ，故 得
证，从而A错.
2．C【解析】因为 ，当且仅当 时，等号成立，又
，所以 ，可得 ，因为 ，可得 ，则
，其中 ，当 或 时，
，又 ，所以 ，可得 ，则 ，所以椭圆
的离心率为 .
3．A【解析】不妨设正方体的边长为1，记红黄蓝三种颜色为a，b，c，我们首先假设正方体的一对对顶点是
在 和 ，若将 染成 色，那么 ， ， 三个点必然都是 色，
而 ， ， 必然都是 色．如此递推可以恰好染完整个正方体.而当 色固定的时候通过旋转
就可以得到 互换的正方体.从而只有三种不同的方案，也就是将面的中间分别染上红黄蓝三种颜色.
4．D【解析】函数 定义域为 ， ，则有函数 是奇函
数，其图象关于原点对称，选项B，C不满足；当 时， ，即 ，因此 ，选
项A不满足，D符合条件.
5．D【解析】因为对于任意的奇质数 ，有 ，正确;因为对于任意的正整数 ，有
，则B正确；因为当 的时候1和 都和 互素，从而 至少是2，C正确，因为
是无解的．因为显然对于任意的 ．若 和 互素，则 也和 互素，反之亦然．而当 为偶
数时自己和自己对应的 和 不互质．而 的时候 ．从而该方程无解．综上，D选项是错误的.
6．C【解析】设 , ,即
化为 故 对应平面内距离为
的点，如下图中 , , 与 对应点的距离为 或 构成了点
共 个点，故 的最大值为
数学参考答案（萍实版）-1
学科网（北京）股份有限公司7．A【解析】不等式 等价于 即 ，原命题等价于存
在实数 ， ，对任意实数 不等式 恒成立，等价于存在实数 ， ，不等式
成立，记 ，则 ，
（1）当 时，对任意 ， 恒成立，即 在 上单调递减
①当 ，即 时， ，②当 ，即 时， ，
从而当 时， ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，以
；
（2）当 时，令 ，解得 ， 在区间 上单调递增，在 上单调递减，
， ， ，①当 时 ，此时
， 当 即 时， ， 当 即
时， ，从而当 时， ， 则
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增,所以
；令 ，则 ， ，记
，则 ，当 时， 恒成立，即 在区间 上单调递
减，即 ，即 ；②当 时 ，此时 ， 当
即 时， ， 当 即 时，
，从而当 时， ，则 在区间 上单调
递减，在区间 上单调递增，所以 ；
数学参考答案（萍实版）-2
（3）当 时，对任意 ， 恒成立，即 在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司①当 ，即 时， ，②当 ，即
时， ，从而当 时， ，则 在 上单调递减，在
上单调递增，所以 ；综上所述， ，
8．C【解析】 变形为 ， 即 ，其中 ， ，
故 ，令 ，则有 ，因为 在 上恒成立，故
在 上单调递增，故 ，两边取对数得： ，则 ，令 ，则
，故当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递
增，在 上单调递减， 在 处取得极大值，也是最大值， ，所以 ，解
得： ，故正数m的最大值为 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
题号 9 10 11
答案 AD ABD ABC
9．AD【解析】根据柯西不等式 .因为 ，所以 ，即
.所以 ，则 ，当且仅当 时取等号，A选项正确.
令 ， ，则 .根据柯西不等式 .即
.当且仅当 取等号，所以 ，B选项错
误.根据柯西不等式 .因为 ，所
.当且仅当 取等号.所以 ，C选项错误.
令 ， ，则 .根据柯西不等式
.因为 ，所以
.当且仅当 取等号.所以 ，D选项正确.
10．ABD【解析】由几何性质可知 ，且 ，可得 ，所以
，故A正确：设直线 的方程为 ，
，联立方程 ，消去y可得
，则 ，即 ，由条件知 同
数学参考答案（萍实版）-3
学科网（北京）股份有限公司号，所以 .则 ，可
得 ，因为 ，则
，同理可得 ，则 ，故B正确；因为
，可得 ，当且仅
当 时， ，故C错误；设 ，由 ，可知直线
关于直线 对称，所以 .因为
，可得 .
则 ，
，
所以 的面积等于 的面积，故D正确.
11．ACD【解析】取AB中点H，连接EH，GH，因为点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，所以
EF∥BD，GH∥BD，FG∥AC，EH∥AC，所以四边形EFGH是平行四边形，故平行四边
形EFGH即为过点E，F，G做四面体ABCD的截面，取AC中点Q，连接QB，QD，因
为 ，由三线合一得：DQ⊥AC，BQ⊥AC，又 ，所
以AC⊥平面BDQ，因为 平面BDQ，所以AC⊥BD，从而EF⊥EH，因为
，所以 ，即平行四边形EFGH是正方形，面积为
，A正确；由勾股定理得： ，同理得： ，取
BD中点M，连接QM，由三线合一得：QM⊥BD，所 ，由勾股定理得： ，故
，所以 ，
，B错误；连接MA，MC，由勾股定理得： ，同理可得： ，由由三线合
一得：QM⊥AC，结合B选项求得的QM⊥BD，可得：QM为AC与BD的公垂线段， ，故AC与
BD的公垂线段的长为 ，C正确；取QM的中点S，则S为球心O，理由如下：因为QM⊥BD，MS=
，由勾股定理得： ，同理可得： ，所以S为球心O，且外接球半径为 ，
因为OE⊥BC，所以过点E作面积最小的截面是以E为圆心，BE=2为半径的圆，面积最大的截面是过点O，E
的大圆，所以 ， ，所以过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值
的比为5：4，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 或
14． 18 25270
【解析】第一个空，设某个数除以 余数为 ，则称该数模 余 ( ， 均为整数，且 )，
数学参考答案（萍实版）-4
学科网（北京）股份有限公司为了让尽可能多的相邻两数之和被3整除，则要尽量多地出现相邻两数一个模3余1，一个模3余2这样的组
合，这样它们之和才会被3整除.而 ， 均为模3余1，则不可能有19组上述组别，最多出现18组
上述组别，例如严格递增数列1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,40，满足题意，所以 的
最大值为18.
第二个空，因为1-40这40个数中，共有27个数符合模3余1或模3余2，则要从这27个数中选出满足要求
的20个数.
第一步，在 到 这20个数中删去一个数（后面再加回来），使得剩下的19个数满足任意两个相邻数一个
模3余1，一个模3余2，这样就形成了18组，即使得 的最大值为18.
第二步，将这27个数从小到大排列，需要删去8个数得到目标19个数的数列.它们中任意相邻两数一个模3
余1，一个模3余2，因此，需要删去的8个数应该为4组相邻的数.
第三步，利用捆绑思想，从27个数中删去4组相邻的数等价于从23个数中删去4个数.有三种情况：
①两端均删去，这种情况不满足要求.因为若两端均删去，那么1和40必定被删去，在下一步加出来时也最多
加回1或40中的一个，而1和40必定在数列中，因此不满足.
②两端均不删去，从中间21个数中选4个数删去，有 种，再从删去的8个数中拿一个加回原来的19个数
中，由 种，共有 种.
③两端中有一个被删去，其余3个数从中间21个数里选，有 种，此时加回来的数必定是删去的两端之一
中的1或40，有1种选法，共 种.
第四步，删去的四组相邻数中有一组中有一个数被加回来，即未被删去，被删去的是这一组中的另一个数，而
对于删去的数，假设为 ，它旁边两个数分别为 ，即排列为 ，在第三步捆绑时，可能捆绑的组合
为 ，然后删去，再补回 ；或者为 ，然后删去，再补回 ，这两种删去方式结果相同.
综上，共有 种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15（1）设高二在第 场比赛获胜的事件为 ，则高二两场全输，则 ；
（2）由于高二输了第一轮的比赛，高二后续需全胜才能获得冠军，则 ；
（3）在“双败淘汰制”下，若高二获得冠军，则最多只能输一场，
若高二全胜，其概率为 ，
若高二只输了第一场，则 ，
若高二只输了第二场，则 ，
则高二获得冠军的概率为 ；
在“单败淘汰制”下，若高二获得冠军，则需两场全胜，则 ，由 ，故 ，
故“双败淘汰制”对高二夺冠有利.
16．（1）在圆柱 中， , 平面 , 平面 ,
故 平面 ；连接 ，因为等腰梯形 为底面圆 的内接四边
形， ，故 ，
数学参考答案（萍实版）-5
学科网（北京）股份有限公司则 为正三角形，故 ，则 ，
平面 , 平面 ,故 平面 ；
又 平面 ，故平面 平面 .
（2）如图，以 为坐标原点，在底面圆 过点 垂直于平面 作直线为
x轴，以 为 轴建立空间直角坐标系，
由于 ，由（1）可知 ,故
,则 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， 由 ， ， ，
可得 ，设直线 与平面 所成角为
，则 ，即得 ，解得 或
，符合 ，故 或 .
17．（1）因为 ， ， ， ，其中
，所以 在 处的泰勒展开式为： ，
（2）由题意可知，问题相当于从 中取出两个数 和 ，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下
四个数只可能是 ，或 ，或 .所以所有可能的 就是 .
18．（1）因为 ， 关于 轴对称，根据题意以及椭圆的对称性可知，两点都在椭圆上，即有
成立.若 在椭圆上，则有 . 联立 可得， ，不合题意，舍去.
所以， 在椭圆上，即有 ，所以 ，代入 ，可得 .
所以，椭圆C的方程为 .
（2）要使 面积最大，则应有点E到直线 的距离最大.由 ， ，可得直线 方程为
.过点 作直线 ，使得 ，则 到直线 的距离即等于直线 到直线 的距离.显然，当直
线 与椭圆相切时，距离为最大或最小.则设直线 方程为 ，联立直线与椭圆的方程 可
数学参考答案（萍实版）-6
得， .因为，直线 与椭圆相切，则 ，解
学科网（北京）股份有限公司得， .则当 时，此时直线方程为 ，与直线 距离最大，此时
.又 ，所以 面积的最大值为 .
（3）设 ， ，假设在x轴上存在一点 ，使得 、 为邻边的平行四边形为菱形.
因为直线 过 点，则直线 的方程为 ，
联立直线 的方程与椭圆的方程 可得， ，
恒成立，且 ， ， ， ，
所以 ，则 的中点坐标为 ，
所以线段 的垂直平分线方程为 ， 显然该直线过点 .
令 ，则 ，即 .因为 ，所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立.所以， ，所以 ，则
，所以 .即实数m的取值范围为 .
19．（1） 所以 ， ，所以函数 在 上为凹函数.
（2）由1）知，函数 在 上为凹函数，由琴生不等式得， ，
即 （当且仅当 时等号成立）.因此在锐角 中， 的最小
值 .
（3）构造函数 ，
因为 ， ，所以函数 在 上为凹函数.
因为正数 满足 ，所以
由琴生不等式得，
（当且仅当 时等号成立），所以
所以 所以
数学参考答案（萍实版）-7
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