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湖南师大附中 2025 届高三月考试卷（二）
数学
命题人､审题人：高三数学备课组
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1
z =
1. 复数 1+i的虚部是（ ）
1 1
A. 1 B. C. − D. −1
2 2
【答案】C
【解析】
【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.
1 1−i 1−i 1 i
【详解】因为z = = = = − ，
1+i ( 1+i )( 1−i ) 2 2 2
1
所以其虚部为− ，故C正确.
2
故选：C.
2. 已知a是单位向量，向量b 满足 a−b =3，则 b 的最大值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 3 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】设OA=a,OB =b，由 a−b =3，可得点B在以A为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几
何意义，可得 b 的最大值.
【详解】
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设OA=a,OB =b，因为 a−b =3，
即 OA−OB = BA =3，即 AB =3，
所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上，
又a是单位向量，则 OA =1，
故 OB 最大值为 OA + AB =1+3=4，即 b 的最大值为4.
故选：B.
cosθ
3. 已知角θ的终边在直线y =2x上，则 的值为（ ）
sinθ+cosθ
2 1 2 1
A. − B. − C. D.
3 3 3 3
【答案】D
【解析】
cosθ 1
【分析】由角θ的终边，得tanθ=2，由同角三角函数的关系得 = ，代入求值即可.
sinθ+cosθ 1+tanθ
【详解】因为角θ的终边在直线y =2x上，所以tanθ=2.
cosθ 1 1 1
所以 = = = .
sinθ+cosθ 1+tanθ 1+2 3
故选：D.
ex +3−3a,x<0
4. 已知函数 f ( x )= 对任意的x ,x ∈R，且x ≠ x ，总满足以下不等关系：
x2 +a,x≥0 1 2 1 2
f
(
x
)−
f
(
x
)
1 2 >0，则实数a的取值范围为（ ）
x −x
1 2
3 3
A. a≤ B. a≥ C. a≤1 D. a≥1
4 4
【答案】D
【解析】
【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.
f
(
x
)−
f
(
x
)
【详解】 1 2 >0⇒ f ( x ) 在 上单调递增，
x −x
1 2
𝑅𝑅
ex +3−3a,x<0
又 f
(
x
)=
，
x2 +a,x≥0
当x<0时， f ( x )=ex +3−3a单调递增，
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当x≥0时， f x 单调递增，
只需1+3−3a≤0+a，解得a≥1.
故选：D.
5. 如图，圆柱的母线长为4,AB,CD分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB⊥CD，三棱锥
8
A−BCD的体积为 ，则圆柱的表面积为（ ）
3
9
A. 10π B. π C. 4π D. 8π
2
【答案】A
【解析】
1
【分析】取AB的中点O，由V = S ⋅AB，可求解底面半径，即可求解.
A−BCD
3
△OCD
【详解】设底面圆半径为r ，由AB⊥CD，易得BC = AC = BD= AD，
取AB的中点O，连接OC,OD，
则AB⊥OC,AB⊥OD，又OCOD=O,OC,OD⊂平面OCD，
1 1 1 8
所以AB⊥平面OCD，所以，V = S ⋅AB= × ×2r×4×2r = ，
A−BCD
3
OCD
3 2 3
解得 ，所以圆柱表面积为2πr2 +4×2πr =10π.
𝑟𝑟 =1
故选:A.
6. 已知抛物线C: y2 =2px ( p>0 ) 的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l与抛物线交于A,B两
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学科网（北京）股份有限公司点，则2 AF +3 BF 的最小值为（ ）
5
A. 6+ B. 2 6+5 C. 4 6+10 D. 11
2
【答案】B
【解析】
【分析】（方法一）首先求出抛物线C的方程为y2 =4x，设直线l的方程为：x=ty+1，与抛物线C的方
程联立，利用根与系数的关系求出x x 的值，再根据抛物线的定义知 AF = x +1， BF = x +1，从而求
1 2 1 2
出2 AF +3 BF 的最小值即可.
1 1
（方法二）首先求出 + =1，再利用基本不等式即可求解即可.
AF BF
【详解】（方法一）
因为抛物线C的焦点到准线的距离为2，故 p=2，
所以抛物线C的方程为y2 =4x，焦点坐标为 ，
𝐹𝐹(1,0)
设直线l的方程为：x=ty+1,A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ，不妨设y >0> y ，
1 1 2 2 1 2
y2 =4x
联立方程 ，整理得y2 −4ty−4=0，则y + y =4t,y y =−4，
x=ty+1 1 2 1 2
y2 y2
故x x = 1 ⋅ 2 =1，
1 2 4 4
p
又 ， BF = x + = x +1，
2 2 2
𝑝𝑝
|𝐴𝐴𝐹𝐹|=𝑥𝑥1+2 =𝑥𝑥1+1
则2 AF +3 BF =2 ( x +1 )+3 ( x +1 )=2x +3x +5≥2 6x x +5=2 6+5，
1 2 1 2 1 2
6 6
当且仅当x = ,x = 时等号成立，故2 AF +3 BF 的最小值为2 6+5.
1 2 2 3
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
1 1 1 1 x +x +2
（方法二）由方法一可得x x =1，则 + = + = 1 2 =1，
1 2 AF BF x +1 x +1 x x +x +x +1
1 2 1 2 1 2
1 1 2 AF 3 BF
因此2 AF +3 BF = ( 2 AF +3 BF ) + =5+ +
AF BF BF AF
3 BF 2 AF
≥5+2 ⋅ =5+2 6 ，
AF BF
6 6
当且仅当 AF =1+ , BF =1+ 时等号成立，
2 3
故2 AF +3 BF 的最小值为2 6+5.
故选：B.
π π π
7. 设函数 f ( x )=cos ( x+ϕ) ，其中ϕ< .若∀x∈R ，都有 f +x = f −x.则y = f ( x ) 的图
2 4 4
1
象与直线y = x−1的交点个数为（ ）
4
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
π
【分析】利用给定条件求出 f
(
x
)=cosx−
，再作出图像求解交点个数即可.
4
π π
【详解】对∀x∈R ，都有 f +x = f −x，
4 4
π
所以x= 是 的一条对称轴，
4
所以 π +ϕ=k 𝑦𝑦 π = ( k 𝑓𝑓 ∈ (𝑥𝑥 Z ) )，又ϕ< π ，
4 2
π π
所以ϕ=− .所以 f ( x )=cosx− ，
4 4
π 1
在平面直角坐标系中画出 f ( x )=cosx− 与y = x−1的图象，
4 4
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学科网（北京）股份有限公司3π 3π 1 3π 3π
当x=− 时， f − =−1，y = ×(− )−1=− −1<−1，
4 4 4 4 16
5π 5π 1 5π 5π
当x= 时， f =−1，y = × −1= −1>−1，
4 4 4 4 16
9π 9π 1 9π 9π
当x= 时， f =1，y = × −1= −1<1，
4 4 4 4 16
17π 17π 1 17π 17π
当x= 时， f =1，y = × −1= −1>1
4 4 4 4 16
1
所以如图所示，可知 的图象与直线y = x−1的交点个数为3，故C正确.
4
故选：C.
𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥)
8. 已知定义域为R的函数 f ( x ) ,g ( x ) 满足：g ( 0 )≠0, f ( x ) g ( y )− f ( y )⋅g ( x )= f ( x− y ) ，且
g ( x ) g ( y )− f ( x ) f ( y )= g ( x− y ) ，则下列说法正确的是（ ）
A. f
(
0
)=1
( )
B. f x 是偶函数
1
C. 若 f ( 1 )+g ( 1 )= ，则 f ( 2024 )−g ( 2024 )=−22024
2
D. 若g
(
1
)−
f
(
1
)=1，则
f
(
2024
)+g (
2024
)=2
【答案】C
【解析】
【分析】对A，利用赋值法令x =0,y =0即可求解；对B，根据题中条件求出 f ( y−x ) ，再利用偶函数
定义即可求解；对C，先根据题意求出 f ( 0 )−g ( 0 )=−1，再找出 f ( x−1 )−g ( x−1 ) 与
f ( x )−g ( x )
的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D，找出 f ( x−1 )+g ( x−1 ) 与
f ( x )+g ( x )
的关系，再根
据常数列的定义即可求解.
【详解】对A， f ( x ) g ( y )− f ( y )⋅g ( x )= f ( x− y ) ，
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学科网（北京）股份有限公司令x =0,y =0，即 f ( 0 ) g ( 0 )− f ( 0 )⋅g ( 0 )= f ( 0 ) ，解得 f ( 0 )=0，故A错；
对B，根据 f ( x ) g ( y )− f ( y ) g ( x )= f ( x− y ) ，得 f ( y ) g ( x )− f ( x ) g ( y )= f ( y−x ) ，
即 f ( y−x )=−f ( x− y ) ，故 f ( x ) 为奇函数，故B错；
对C，g ( x ) g ( y )− f ( x ) f ( y )= g ( x− y )
令x= y =0，即g ( 0 ) g ( 0 )− f ( 0 ) f ( 0 )= g ( 0 ) ，
f ( 0 )=0，
∴g2(
0
)=
g
(
0
)
，又g
(
0
)≠0，
∴g ( 0 )=1，
∴ f ( 0 )−g ( 0 )=−1，
由题知： f ( x− y )−g ( x− y )
= f ( x ) g ( y )− f ( y )⋅g ( x )−
g ( x ) g ( y )− f ( x ) f ( y )
=
f ( y )+g ( y )
f ( x )−g ( x )
，
令 y =1，即 f ( x−1 )−g ( x−1 )=
f ( 1 )+g ( 1 )
f ( x )−g ( x )
，
1
f ( 1 )+g ( 1 )= ，
2
1
∴ f ( x−1 )−g ( x−1 )=
f ( x )−g ( x )
，
2
即
{
f
(
x
)−g (
x
)}
是以 f
(
0
)−g (
0
)=−1为首项2为公比的等比数列；
故 f ( 2024 )−g ( 2024 )=(−1 )×22024 =−22024，故C正确；
对D，由题意知： f ( x− y )+g ( x− y )
= f ( x ) g ( y )− f ( y )⋅g ( x )+g ( x ) g ( y )− f ( x ) f ( y )
=
g ( y )− f ( y )
f ( x )+g ( x )
，
令y =1，得 f ( x−1 )+g ( x−1 )=
g ( 1 )− f ( 1 )
f ( x )+g ( x )
，
又g ( 1 )− f ( 1 )=1，即 f ( x−1 )+g ( x−1 )= f ( x )+g ( x ) ，
即数列
{
f
(
x
)+g (
x
)}
为常数列，
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学科网（北京）股份有限公司由上知 f
(
0
)+g (
0
)=1，故
f
(
2024
)+g (
2024
)=1，故D错.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C，D选项通过赋值再结合数列的性质进
行求解.
二､多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
1
A. 一个样本的方差s2 = ( x −3 )2 +( x −3 )2 ++( x −3 )2，则这组样本数据的总和等于60
20 1 2 20
B. 若样本数据x ,x ,,x 的标准差为8，则数据2x −1,2x −1,，2x −1的标准差为16
1 2 10 1 2 10
C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23
D. 若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为
9，平均数不变，方差变小
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由题意可得样本容量为 20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，
根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C，根据百分位数的定
义，求出第70百分位数，即可判断；对于D，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.
1
【详解】解：对于A，因为样本的方差s2 = ( x −3 )2 +( x −3 )2 ++( x −3 )2 ,
20 1 2 20
所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为3×20=60,A正确；
对于B，已知样本数据x ,x ,,x 的标准差为s =8，则s2 =64，
1 2 10
数据2x −1,2x −1,,2x −1的方差为22s2 =22×64，其标准差为 22×64 =2×8=16，故B正
1 2 10
确；
对于C，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，
从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于10×0.7=7，
23+24
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即 =23.5，
2
所以第70百分位数是23.5，故C错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，
8×5+5 8×2+(5−5)2 16
设此时这9个数的平均数为x ，方差为S2，则x = =5,S2 = = <2，故D正
9 9 9
确.
故选：ABD.
10. 已知函数 f ( x )=ax3 −bx+2，则（ ）
( )
A. f x 的值域为R
( ) ( )
B. f x 图象的对称中心为 0,2
C. 当b−3a >0时， f
(
x
)
在区间
(−1,1 )
内单调递减
( )
D. 当ab>0时， f x 有两个极值点
【答案】BD
【解析】
【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A，利用函数的奇偶性判定B，利用导数
研究函数的单调性结合特殊值法排除C，利用极值点的定义可判定D.
( )
【详解】对于A：当a,b至少一个不为0，则 f x 为三次或者一次函数，值域均为 ；
𝑅𝑅
{ }
当a,b均为0时，值域为 2 ，错误；
对于B：函数g ( x )= f ( x )−2=ax3−bx满足g (−x )=−ax3 +bx=−g ( x ) ，
( ) ( )
可知g x 为奇函数，其图象关于 0,0 中心对称，
( ) ( )
所以 f x 的图象为g x 的图象向上移动两个单位后得到的，
即关于 中心对称，正确；
对于C： (0,2f )′( x )=3ax2 −b，当b−3a >0时，取a =−1,b=−1，
3 3 3 3
当x∈− , 时， f′( x )=−3x2 +1>0, f ( x ) 在区间− , 上单调递增，错误；
3 3 3 3
对于D： f′( x )=3ax2 −b，当ab>0时， f′( x )=3ax2 −b=0有两个不相等的实数根，
( )
所以函数 f x 有两个极值点，正确.
故选：BD.
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学科网（北京）股份有限公司11. 我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为
圆O的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数 f ( x )=sinx+1是圆O:x2 +(y−1)2 =1的一个太极函数
B. 对于圆O:x2 + y2 =1的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数
C. 对于圆O:x2 + y2 =1的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形
D. 若函数 f ( x )=kx3 −kx ( k∈R ) 是圆O:x2 + y2 =1的太极函数，则k∈(−2,2 )
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，对于A，D利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B，C举反例说明．
【详解】对于A，圆O:x2 +(y−1)2 =1，圆心为 ，
(0,1)
f
(
x
)=sinx+1的图象也过
，且 是其对称中心，
(0,1) (0,1)
所以 f
(
x
)=sinx+1的图象能将圆一分为二，所以A正确；
3 3 1
− x− ,x<−
3 3 2
3 1
3x+ ,− ≤ x≤0
3 2
对于B,C，根据题意圆O:x2 + y2 =1，如图 f ( x )= ，
3 1
− 3x+ ,0< x≤
3 2
3 3 1
x− ,x>
3 3 2
与圆交于点 (−1,0 ) ， ，且在x轴上方三角形面积与x轴下方个三角形面积之和相等，
第10页/共22页
(1,0)
学科网（北京）股份有限公司( ) ( )
f x 为圆O的太极函数，且 f x 是偶函数，所以B，C错误；
对于D，因为 f (−x )=k(−x)3 −k (−x )=− ( kx3 −kx ) =−f ( x )( k∈R ) ，所以 f ( x ) 为奇函数，
由 f ( x )=kx3 −kx=0，得x=0或x=±1，
所以 f ( x ) 的图象与圆O:x2 + y2 =1的交点为 (−1,0 ) , ( 1,0 ) ，且过圆心 ( 0,0 ) ，
y =kx3 −kx
( )
由 ，得k2x6 −2k2x4 + 1+k2 x2 −1=0，
x2 + y2 =1
( )
令t = x2，则k2t3−2k2t2 + 1+k2 t−1=0，
即 ( t−1 )( k2t2 −k2t+1 ) =0，得t =1或k2t2 −k2t+1=0，
当t =1时，x=±1，
当k2t2 −k2t+1=0时，若k =0，则方程无解，合题意；
( )
若k ≠0，则Δ=k4 −4k2 =k2 k2 −4 ，
若Δ<0，即00，即k2>4时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，
第11页/共22页
学科网（北京）股份有限公司所以k∈(−2,2 )
，所以D正确.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中
心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有
2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 曲线y =2x−lnx在点 ( 1,2 ) 处的切线与抛物线y =ax2 −ax+2相切，则a=__________.
【答案】1
【解析】
【分析】求出曲线y =2x−lnx在点 ( 1,2 ) 处的切线方程，由该切线与抛物线y =ax2 −ax+2相切，联立消
元，得到一元二次方程，其Δ =0，即可求得a.
1
【详解】由y =2x−lnx，则y′=2− ，则y′ =1，
x=1
x
曲线y =2x−lnx在点 ( 1,2 ) 处的切线方程为y−2= x−1，即y=x+1，
y = x+1
当a≠0时，则 ，得ax2 −( a+1 ) x+1=0，
y =ax2 −ax+2
由Δ=(a+1)2 −4a =0，得a =1.
故答案为：1.
13. 已知椭圆 的左､右焦点分别为F,F ，若P为椭圆C上一点，
2 2 1 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
𝐶𝐶:𝑎𝑎 2 +𝑏𝑏 2 =1(𝑎𝑎>𝑏𝑏 >0) c
PF ⊥ FF ,PFF 的内切圆的半径为 ，则椭圆C的离心率为______.
1 1 2 1 2
3
2
【答案】
3
【解析】
【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形PFF 的面积，得到a,c方程，即可得到
1 2
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学科网（北京）股份有限公司离心率e的方程，计算得到结果.
b2 1 b2c
【详解】由题意，可知PF 为椭圆通径的一半，故PF = ，PFF 的面积为 ⋅2c⋅PF = ，
1 1 a 1 2 2 1 a
c 1 c
又由于PFF 的内切圆的半径为 ，则PFF 的面积也可表示为 ( 2a+2c )⋅ ，
1 2 1 2
3 2 3
1 1 c b2c 1 c
所以 ⋅2c⋅PF = ( 2a+2c )⋅ ，即 = ( 2a+2c )⋅ ，
2 1 2 3 a 2 3
整理得：2a2 −ac−3c2 =0，两边同除以a2，
2
得3e2 +e−2=0，所以e= 或−1，
3
2
又椭圆的离心率e∈(
0,1
)
，所以椭圆C的离心率为 .
3
2
故答案为： .
3
x
14. 设函数 f ( x )=ax+ ( x>4 )，若a是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六
x−4
个数中任取一个，则 f
(
x
)>b恒成立的概率为__________.
5
【答案】 ##0.625
8
【解析】
【分析】根据题意，利用基本不等式，求得 f(x) =(2 a +1)2，转化为(2 a +1)2 >b恒成立，结合a
min
是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24
个，再利用列举法，求得 f
(
x
)>b成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】因为a>0,x>4，可得x−4>0，
x 4 4
则 f ( x )=ax+ =ax+1+ =a ( x−4 )+ +4a+1≥4 a +4a+1=(2 a +1)2，
x−4 x−4 x−4
4
当且仅当x= +4时，等号成立，故 f(x) =(2 a +1)2，
min
a
由不等式 f ( x )>b恒成立转化为(2 a +1)2 >b恒成立，
因为a是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，
( )
则构成 a,b 的所有基本事件总数有24个，
又由(2 1+1)2 =9,(2 2+1)2 =9+4 2∈( 12,16 )，
第13页/共22页
学科网（北京）股份有限公司(2 3+1)2 =13+4 3∈( 19,20 ) ,(2 4+1)2 =25，
设事件A=“不等式 f
(
x
)>b恒成立”，则事件A包含事件：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1,4 , 1,8 ， 2,4 , 2,8 , 2,12 ， 3,4 , 3,8 , 3,12 , 3,16 ，
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4,4 , 4,8 , 4,12 , 4,16 , 4,20 , 4,25 共15个，
15 5
因此不等式 f ( x )>b恒成立的概率为 = .
24 8
5
故答案为： .
8
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c，已知 ( b+c )( sinB−sinC )=( a−c ) sinA.
（1）求B；
3 3
（2）若ABC的面积为 ，且AD=2DC，求BD的最小值.
4
π
【答案】（1）B =
3
（2） 2.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可得 ( b+c )( b−c )=( a−c ) a，再结合余弦定理得cosB= a2 +c2 −b2 = 1 ，
2ac 2
从而可求解.
1 1 2
（2）结合ABC的面积可求得ac=3，再由.BD= BC+ CA= BA+ BC，平方后得，
3 3 3
( )2 1 4 2
BD = c2 + a2 + ，再结合基本不等式即可求解.
9 9 3
【小问1详解】
由正弦定理得 ( b+c )( b−c )=( a−c ) a，即a2 +c2 −b2 =ac，
a2 +c2 −b2 ac 1
由余弦定理可得cosB= = = ，
2ac 2ac 2
π
因为B∈( 0,π ) ，所以B = .
3
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司3 3 π 1 3 3
因为ABC的面积为 ,B= ，所以 acsinB= ，所以ac=3.
4 3 2 4
1 1( ) 1 2
因为BD= BC+ CA= BC+ BA−BC = BA+ BC，
3 3 3 3
( )2 1( )2 4( )2 2( ) 1 4 4 1 4 2
所以 BD = BA + BC +2⋅ BA⋅BC = c2 + a2 + accosB= c2 + a2 + ，
9 9 9 9 9 9 9 9 3
1 4 2 1 2 2 6
所以 c2 + a2 + ≥2⋅ c⋅ a+ =2，当且仅当a = ,c= 6时取等号，
9 9 3 3 3 3 2
所以BD的最小值为 2.
2 3 ( )
16. 已知双曲线E的焦点在x轴上，离心率为 ，点 3, 2 在双曲线E上，点F,F 分别为双曲线的
1 2
3
左､右焦点.
（1）求E的方程；
（2）过F 作两条相互垂直的直线l 和l ，与双曲线的右支分别交于A，C两点和B,D两点，求四边形
2 1 2
ABCD面积的最小值.
x2
【答案】（1） − y2 =1
3
（2）6
【解析】
2 3 ( )
【分析】（1）由c2 =a2 +b2和e= ，及点 3, 2 在双曲线E上，求出a2,b2，即可求出E的方程；
3
1 1
（2）设直线l : y =k ( x−2 ) ,l : y =− ( x−2 )，其中k ≠0，根据题中条件确定 , − > ，所以 0，使得a 0,∴S 0.
x3
所以h ( x ) 在(−∞,0 )和 ( 0,+∞) 上单调递增.
【小问2详解】
法一：由题知 f ( 2 )≥ g ( 2 ) 即ϕ( 2 )=a2 −3a+2=( a−1 )( a−2 )≥0，即a≤1或a≥2，所以a≤1.
下证当a≤1时， f ( x )≥ g ( x ) 对任意的x∈( 1,+∞)恒成立.
4ex−2 4ex−2( x−1 ) 4ex−2 ( x2 −2x+2 )
令F ( x )= f ( x )+x= −x，则 F′( x )= −1=t ( x ) ,t′( x )= >0 ，
x x2 x3
4ex−2( x−1 )
所以F′( x )= −1在( 1,+∞)单调递增，又F′( 2 )=0，
x2
所以当x∈(
1,2
) 时，F′(
x
)<0,F (
x
)
单调递减，
当x∈( 2,+∞) 时，F′(
x
)>0,F (
x
)
递单调增，
所以F ( x )≥ F ( 2 )=0，故 f ( x )≥−x，
要证 f ( x )≥ g ( x ) ，只需证−x≥ g ( x ) ，即证x2 −( 3a+1 ) x+a2 +3a≥0，
令G ( x )= x2 −( 3a+1 ) x+a2 +3a，则Δ=(3a+1)2 −4 ( a2 +3a ) =5a2 −6a+1=( a−1 )( 5a−1 ) ，
1
若 ≤a≤1，则∆≤0，所以G ( x )= x2 −( 3a+1 ) x+a2 +3a≥0.
5
1 3a+1 4
若a< ，则对称轴x= < ，所以G ( x ) 在( 1,+∞)递增，故G ( x )>G ( 1 )=a2 ≥0，
5 2 5
综上所述，a的取值范围为 (−∞,1 ] .
4ex−2
法二：由题知 −2x≥−x2 +3ax−a2 −3a对任意的x∈( 1,+∞)恒成立，
x
4ex−2
即ϕ( x )= −2x+x2 −3ax+a2 +3a≥0对任意的x∈( 1,+∞)恒成立.
x
4ex−2( x−1 )
由（1）知ϕ′( x )= −2+2x−3a在( 1,+∞)递增，又ϕ′( 1 )=−3a.
x2
4
①若a≤0，则ϕ′( x )>ϕ′( 1 )≥0,ϕ( x ) 在( 1,+∞)递增，所以ϕ( x )>ϕ( 1 )= −1+a2 >0，符合；
e
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学科网（北京）股份有限公司4aea−1 a
②若a>0，则ϕ′( 1 )=−3a<0，又ϕ′( a+1 )= −a =
4ea−1−(a+1)2
，
(a+1)2 (a+1)2
令m ( a )=4ea−1−(a+1)2，则m′( a )=4ea−1−2 ( a+1 )=h ( a ) ，
则h′(
a
)=4ea−1−2为单调递增函数，令h′(
a
)=0得a=1−ln2，
当a∈( 0,1−ln2 ) 时h′( a )<0,m′( a ) 单调递减，当a∈( 1−ln2,+∞) 时h′( a )>0,m′( a ) 单调递增，
又m′( 1 )=0,m′( 0 )<0，所以当a∈( 0,1 ) 时，m′( a )<0,m ( a ) 单调递减，
当a∈( 1,+∞) 时，m′(
a
)>0,m (
a
)
单调递增，
a
所以m ( a )≥m ( 1 )=0，则ϕ′( a+1 )=
4ea−1−(a+1)2
≥0，
(a+1)2
4ex 0 −2( x −1 )
所以∃x ∈( 1,a+1 ] ，使得ϕ′( x )=0，即 0 −2+2x −3a=0，
0 0 x2 0
0
且当x∈( 1,x ) 时，ϕ′( x )<0,ϕ( x ) 单调递减，当x∈(x ,+∞)时，ϕ′( x )>0,ϕ( x ) 单调递增，
0 0
4ex
0
−2
所以ϕ ( x )=ϕ( x )= −2x +x2 −3ax +a2 +3a.
min 0 x 0 0 0
0
若a∈( 0,1 ] ，同法一可证ϕ( x )=
4ex
0
−2
−2x +x2 −3ax +a2 +3a≥0，符合题意.
0 x 0 0 0
0
若a∈( 1,2 ) ，因为ϕ( 2 )=a2 −3a+2=( a−1 )( a−2 )<0，所以不符合题意.
综上所述，a的取值范围为 (−∞,1 ] .
【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.
（2）若 f
(
x
)>0恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为
f ( x ) >0；若 f ( x )<0 ⇔ f ( x ) <0.
min max
（3）若 f ( x )≥ g ( x ) 恒成立，可转化为 f ( x ) ≥ g ( x ) （需在同一处取得最值）.
min max
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