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初一下学期数学开学适应性练习
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. - C. D. -
【答案】D
【解析】
【分析】根据只有符号不同 的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：因为 =
而− 与 只有符号不同，
所以 的相反数是- ，
故选D．
【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，相反数，熟练掌握相反数的概念以及求解方法是解题的关键．
2. 故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达 平方米，在世界宫殿建筑群中面最大．
请将 用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一个大于 的数记成 的形式，其中 是整数数位只有一位的数， 是正整数，这种记
数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：将 用科学记数法表示应为 ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．
的
3. 下列计算正确 是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据合并同类项的法则，计算并逐项分析判断即可，合并同类项，把同类项的系数相加，所得结
果作为系数，字母和字母的指数不变．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
是
C. 与 不 同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D. 与 不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键．
4. 有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知 ，且 ，再根据有理数的加法、乘法、除法运算法则判断即可．
【详解】解：因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，且 ，
所以 ， ， ， ，
C选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查根据数轴上的点判断式子的正负，有理数的加法、乘法、除法运算，熟练掌握几种运算
法则中符号的判断方法是解题关键．
5. 如图， 是直线 上一点， ，射线 平分 ， ．则 （
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据射线 平分 ，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据 ，可得
∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【详解】∵ ，
∴∠CEF=140°，
∵射线 平分 ，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵ ，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
6. 关于 的方程 与 有相同的解，则 的值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 8 B. C. D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出两个方程的解，然后建立方程求解即可．
【详解】解： ，解得 ，
，解得 ，
∵关于 的方程 与 有相同的解，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程，理解题意，使得两个方程的解相同建立方程是解题关键．
7. 如图，河道1的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中
最节省材料的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂线段最短以及两点之间线段最短，求解即可．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之
间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
8. 下列等式的变形，正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据等式的性质依次判断即可．
【详解】解：A、 ，当 时， ，选项错误，不符合题意；
B、 ，两边同时减去y得 ，选项正确，符合题意；
C、 ，则 ，选项错误，不符合题意；
D、 ，当 时，则 ，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．
9. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折
回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；
如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】设绳索为 尺，杆子为( )尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得
出关于 一元一次方程．
【详解】设绳索为 尺，杆子为( )尺，
根据题意得： ( ) ．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
10. 将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形ABCD中，（图1、图2
中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1上中
阴影部分的周长为C ，图2中阴部分的周长为C ，则C －C 的值（ ）
1 2 1 2
A. 0 B. a－b C. 2a－2b D. 2b－2a
【答案】A
【解析】
【分析】根据周长的计算公式，列出式子计算解答．
【详解】解：由题意知：
，
四边形 是长方形，
，
，
同理：
，
，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算，解题的关键是：掌握整式的加减运算法则．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 比较大小：－3_____________－2.1（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】<
【解析】
【分析】根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可.
【详解】∵ ，
.
∴-3<-21.
故答案为<.
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值
大的反而小.
12. 在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，那么
____________ （填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据叠合法比较角的大小即可得出答案．
【详解】解：解：如图，
， ，
．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题考查了比较角的大小，掌握叠合法比较角的大小是解题的关键．
13. 若3a2﹣a﹣2＝0，则5+2a﹣6a2＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】先观察3a2﹣a﹣2＝0，找出与代数式5+2a﹣6a2之间的内在联系后，代入求值．
【详解】解:∵3a2﹣a﹣2＝0，
∴3a2﹣a＝2，
∴5+2a﹣6a2＝5﹣2（3a2﹣a）＝5﹣2×2＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了整体代入法求代数式的值，以及添括号法则.添括号法则：添括号时，如果括号前面是
正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
14. 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角是__________．
【答案】45°##45度
【解析】
【分析】设这个角的度数为x，根据互为余角的两个角的角度和等于90°，互为补角的两个角的角度和等于
180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．
【详解】解：设这个角的度数为x，则它的余角为90°-x，补角为180°-x，
根据题意得，180°-x=3（90°-x），
解得x=45°．
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了互为余角与补角的定义，一元一次方程的应用，根据题意表示出这个角的余角与补角，
然后列出方程是解题的关键．
15. 对于有理数 ， 定义新运算：“ ”， ，则关于该运算，下列说法正确的是______．（请
填写正确说法的序号）
① ；②若 ，则 ；③该运算满足交换律；④该运算满足结合律．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据对于有理数 ， 定义新运算：“ ”， ，可以判断各个小题中的结论是否成立；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵对于有理数 ， 定义新运算：“ ”， ，
∴ ， ，
∴ ，故①正确；
当 时，则 ，故③错误；
∵ ， ， ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，故④正确；
故答案是①②④．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键．
16. 如图，把长方形纸片ABCD沿纸片EF折叠后，点B与点B’重合，点A恰好落BC边上的点A’的位置，
若 ，则 的度数为_______.
【答案】70°.
【解析】
【分析】根据折叠性质,∠A’EF=∠1,再利用平角将去两角和即可得出.
【详解】∵∠1=55°,∠A’EF是折叠后的角,
∴∠A’EF=∠1=55°,
∴∠DEA’=180°-55°-55°=70°.
故答案为:70°.
【点睛】本题考查折叠的性质,关键在于熟悉相关性质.
17. 已知线段 ，在直线AB上取一点C，使得 ，若M，N分别为AB，BC的中点，则
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学科网（北京）股份有限公司______（用含a的式子表示）
【答案】 a或 a
【解析】
【分析】分两种情况进行讨论，先画图来确定C、A、B三点的位置，然后根据这三点的位置来确定MN的
长．
【详解】解：如图，当点C在线段AB上时，
∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
∴BM＝ AB，BN＝ BC，
又∵AB＝a， ＝ a，
∴MN＝BM−BN＝ a− a＝ a；
当点C在线段AB的延长线上时，
∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
∴BM＝ AB，BN＝ BC，
又∵AB＝a，BC＝ AB＝ a，
∴MN＝BM＋BN＝ a＋ a＝ a．
故答案为： a或 a．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的
长度，解题关键是分情况讨论．
18. 如图，数轴上有M，N两点和一条线段 ，我们规定：若线段 的中点R在线段 上（点R能与
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学科网（北京）股份有限公司点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段 “中线对称”．
已知点O为数轴的原点，点A表示的数为 ，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于
线段 “中线对称”，则x的最大值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据“中线对称”的定义列不等式组求解即可．
【详解】解∶ ∵点A表示的数为 ，点C表示的数为x，
∴ 的中点为 ，
∵点A与点C关于线段 “中线对称，点B表示的数为4，
∴ ，
解得 ，
∴x的最大值为10．
故答案为∶ 10．
【点睛】本题考查了新定义，不等式组的应用等，读懂题意，理解新定义是解题的关键．
三、解答题（共46分）
19. （1）计算： ；
（2）解方程： ．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算有理数的乘方运算及除法运算，然后计算加减法即可；
（2）先去分母，然后去括号，移项、合并同类项、系数化为1求解即可．
【详解】解：（1）
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学科网（北京）股份有限公司；
（2）
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数化为1得：
【点睛】题目主要考查含乘方的有理数的混和运算及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
20. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】8
【解析】
【分析】直接去括号，再合并同类项，代入求值即可．
【详解】解：
∵
∴原式
．
【点睛】题目主要考查整式加减运算及化简求值，正确合并同类项是解题关键．
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知关于 的整式 ， （ ， 为常数）．
（1）若整式 的取值与 无关，求 的值；
（2）若当 或1时，A与 所对应的值分别相等，试求 ， 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把A、B所表示的代数式代入 ，去括号合并同类项后令x的二次项和一次项的系数等
于0求解即可；
（2）把 或1代入两个代数式得出相应方程组，求解即可；
【小问1详解】
解：（1）∵ ， ，
∴
∵ 的取值与 无关，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
当 或1时，代入两个代数式得：
，
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学科网（北京）股份有限公司解得：
【点睛】本题考查了整式的加减—不含某项问题，以及二元一次方程组的解法，熟练掌握各知识点是解答
本题的关键．
22. 如图，直线 、 相交于点 ， ， 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，请直接写出 的度数（用含 的式子表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 先 由 邻 补 角 定 义 求 出 ， 再 由 角 平 分 线 的 定 义 求 出
，又根据垂直定义得 ，即可由
求解；
（2）根据图形得出 ，再由角平分线的定义求出 ，根据对顶角相等即
可求解．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ．
∴
∴ ．
【点睛】本题考查与角平分线有关的角的计算，熟练掌握角的和差倍分计算是解题词的关键．
23. 定义：关于 的方程 与方程 （ ， 均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．
例如：方程 与方程 互为“相反方程”．
（1）若关于 的方程①： 的解是 ，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是______；
（2）若关于 的方程 与其“相反方程”的解都是整数，求整数 的值；
（3）若关于 的方程 与 互为“相反方程”，直接写出代数式
的值．
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）b的值为 ； （3）1
【解析】
【分析】（1）根据题意得出 ，代入方程即可确定方程①的“相反方程”是 ，即可求解；
（2）先确定“相反方程”，然后求解方程得出 与 都为整数，确定 ，分情况求解
即可；
（3）根据题意得出 ，确定 ，再将整式进行化简，整体代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵关于 的方程①： 的解是 ，
∴ ，
∴ ，
∴方程①为 ，
∴方程①的“相反方程”是 ，
解得 ，
故答案为： ；
【小问2详解】
关于x的方程 的“相反方程”为 ，
由 得 ，
由 得 ，
∵关于 的方程 与其“相反方程”的解都是整数，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 与 都为整数，
又∵b为整数，
∴ ，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
综上所述，整数b的值为 ；
【小问3详解】
方程 整理得， ，
∵关于 的方程 与 互为“相反方程”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】题目主要考查解一元一次方程及一元一次方程的解，整式的化简求值，理解题意，熟练掌握运算
法则是解题关键．
24. 若两个角的差的绝对值等于 ，则称这两个角互为“垂角”．例如：
， ， ，则 与 互为“垂角”（本题中所有角都是指大于 且小
于 的角）．
（1）已知一个角比它的“垂角”的 少 ，求这个角的度数；
（2）如图所示， ， ，是否存在射线 ，使得 与 互为“垂角”？
若存在，直接写出 的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 或 或
【解析】
【分析】（1）根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可；
（2）分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中 与 和的关系列方程组解答
即可．
【小问1详解】
设这个角为 ，它的垂角为 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意，得 ，
解得： ，
故这个角的度数为 ；
【小问2详解】
的度数为： 或 或 ，
理由如下：分两种情况：
在 的内部时，
，
解得 或 ，
∴ 或
；
② 在 外部时，
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学科网（北京）股份有限公司，
解得 或 ，
∴ 或
（舍去），
故 的度数为： 或 或 ．
【点睛】题目主要考查角的计算及二元一次方程组的应用，理解题意，作出图形，根据图形列出方程组是
解题关键．
25. 直线 ，对平面内不在 上，且不在 上的任意一点 ，若 到 ， 的距离分别为 ， ，则
记 ．
（1）若 ，则线段 与 的公共点个数可能为______；
（2）若 取最小值且 ，则 的取值范围是______．
【答案】（1）0或1 （2）
【解析】
【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线 上方且到 的距离相等时；当点A和B在直线
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学科网（北京）股份有限公司， 之间时，作出相应图形即可求解；
（2）根据题意得出 ，分两种情况分析：当点P在 上方或下方时，当点P在 ， 之间时，结
合图形求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，当点A和B均在直线 上方且到 的距离相等时，
此时线段 与 的公共点个数为0；
当点A和B在直线 ， 之间时，如图所示：
此时线段 与 的公共点个数为1；
故答案为：0或1；
【小问2详解】
当 取最小值且 时，如图所示：
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学科网（北京）股份有限公司此时点A恰好在 ， 的中间直线上，
∴ ， 之间的距离为2，即 ，
当点P在 上方或下方时，如图所示：
此时 即为 ， 之间的距离为2；
当点P在 ， 之间时，如图所示：
∵ ，
∴当点P在 ， 的中间直线上时， ，
当点P不在 ， 的中间直线上时， ；
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学科网（北京）股份有限公司综上可得： ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
四、附加题（10分）
26. 有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差 与所有可能的其它选择相比是最小的，
将 称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为 ；
④如此继续构成第3组（余差为 ）、第4组（余差为 ）、…，第 组（余差为 ），直到把这些数全
部分完为止．
（1）除第 组外的每组至少含有______个正数；
（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足 ．并且当构成第 组后，
如果从余下的数中任意选出一个数a，a与 的大小关系是一定的，请你直接写出结论： ______ （填“
”或“ ”），并证明 ；
（3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成______组（直接写出答案）．
【答案】（1） ；
（2） ，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据每个正数都不大于50，每组中所有数的和不大于150，即可求解；
（2）当第 组形成后，因为 ，所以 ，化简
即可求证；
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学科网（北京）股份有限公司（3）假设它们最多可以分成 组，根据题意可得 ，对 进行逐个分析，根据
（1）（2）中的结论，利用反证法求解．
【小问1详解】
解：根据每个正数都不大于50，每组中所有数的和不大于150，则除第 组外的每组至少含有 个
正数，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：当第 组形成后，因为 ，所以还有数没有分完，这时余下的每个数必大于余差 ，若小于 ，
可在第 组中替换为剩余的数，使得 ，与题意不符，即 ，
的
余下数之和也大于第 组 余差 ，即
，
由此可得：
∵
∴ ，即
化简可得： ，
【小问3详解】
解，假设它们最多可以分成 组，根据题意可得 ，
若 ，即最多分为 组，
因为第8组中至少含有3个数，所以第8组之和大于 ，
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学科网（北京）股份有限公司此时第8组的余差 ，符合题意，即 成立；
同理可证的， 、 时，也成立，
当 时，即最多分为 组， ，
因为第11组中至少含有3个数，所以第11组之和大于 ，
此时第11组的余差 ，与 矛盾，即 不成立；
则 最大为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了不等式的证明等基本知识，考查了逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，
解题的关键是理解题意，利用不等式的知识进行求解．
第25页/共26页
学科网（北京）股份有限公司第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司
