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2025 届高三 10 月大联考（新课标卷）
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， 或 ，则 （ ）
A. B. R
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意先求集合A，进而根据并集运算求解.
【详解】由题意可知： ，
且 或 ，所以 .
故选：C.
2. 数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（ ）
A. 30 B. 32 C. 40 D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】从小到大排序后，位于 位置的数值.计算步骤为先确定位置，再根据位置情况确定上四分位
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学科网（北京）股份有限公司数的值.
【详解】 ，计算 位置的序号 .
由于 不是整数，向上取整为 ，所以上四分位数是第 个数，即42.
故选：D.
3. 已知 ， 为非零向量， ， ，则 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由模长的坐标表示可得 ，再结合投影向量的定义分析求解.
【详解】由题意可得： ，
所以 在 上的投影向量为 .
故选：B.
4. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列性质可得 ，结合等差数列通项公式列式求 ，代入等差数列求和公式即可.
【详解】设等差数列{a }的公差为d，
n
为
因 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
5. 函数 图象的对称中心为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由三角恒等变换化简再结合正切函数的对称中心可得答案；
【详解】 ，
令 ，则 ，
所以对称中心为 ， ，
故选：A.
6. 的展开式中 项的系数为（ ）
A. 10 B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】因为 ，结合二项展开式的通项公式运算求解.
【详解】因为 ，
且 的展开式为 ，
令 ，解得 ，可得 ；
令 ，解得 ，不合题意；
所以 项的系数为 .
故选：B.
7. 榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并
具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，
用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是正方形，
，且 ， 均为正三角形， ，则 与 所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图形，取 的中点 ，连接 ，可求出 为异面直线 与 所成的角，
再由勾股定理计算即可；
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
如图，取 的中点 ，连接 ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
同理可得 ，所以 为异面直线 与 所成的角或其补角，
， ，即 ，
所以 ，即 与 所成角的大小为 ，
故选：A.公众号：高中试卷君
8. 已知函数 满足 ，若函数 在 上的零点为 ，
，…， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用方程组法求出 的解析式，结合 的奇偶性将 上的零点和转化为
上的零点和问题，令 ，转化为 ，结合正弦和正切函数的图象性质得到结
果.
【详解】由 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，易知 为奇函数，故 的图象关于原点对称，
则函数y=f (x)在 上的图象关于原点对称，
故函数y=f (x)在 上的零点也关于原点对称，和为0，
在 上的零点和即为 上的零点和，
令 ，得 ，
， ，作出 和 在同一坐标系中的图象，
可知y=f (x)在 内的零点有 和 两个，
故 .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设 ， 为复数，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若 ， ，其中 ， ， ， ，且 ， ，则
B. 若 （ ）为纯虚数，则
C. 若关于 的方程 ， ， 的一个虚根为 ，则
D. 若 ， ，则复数 在复平面内对应的点位于第三象限
【答案】BD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知
另一个虚根为 ，利用韦达定理运算求解；对于D：可得 ，结合复数的几何意义分
析判断.
【详解】对于选项A：因为 ，可知 ， 不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误；
对于选项B：若 （ ）为纯虚数，
则 ，解得 ，故B正确；
对于选项C：若关于 的方程 ， ， 的一个虚根为 ，
则另一个虚根为 ，
可得 ，所以 ，故C错误；
对于选项D：若 ， ，则 ，
复数 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限，故D正确；
故选：BD.
10. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线 与 交于 两点，设A(x ,y )，B(x ,y )， 的中
1 1 2 2
点为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若直线 过焦点 ，则
B. 若直线 过焦点 ，则 的最小值为
C. 若直线 的斜率存在，则其斜率与 无关，与 有关
D. 若 为坐标原点，直线 的方程为 ，则
【答案】BCD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】对于A：由条件，结合抛物线的定义判断A；
对 于 B ： 设 直 线 ， 根 据 抛 物 线 的 定 义 结 合 韦 达 定 理 可 得 ， ， 故
，求其最值可得结论；
对于C：利用点差法分析判断；
.
对于D：利用韦达定理可得 ，结合方程可得 ，再根据向量垂直分析判断
【详解】由题意可知：F(1,0)，且 ，直线 的斜率可以不存在，但不为 .
对于A，因为 ，故A错误；
对于选项B：若直线 过焦点 ，设直线 ，
{x=my+1
联立方程 ，消去 可得 ，
y2=4x
则 ，可得 ，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故B正确；
对于选项C：因为A(x ,y )，B(x ,y )在抛物线C上，
1 1 2 2
则 ，两式作差可得 ，
若直线 的斜率存在，则 ，
所以直线 的斜率与 无关，与 有关，故C正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项D：联立方程 ，消去 可得 ，
可得 ，且 ，
由选项C可知： ，且 ，可得 ，
则 ，所以 ，故D正确；
故选：BCD.
11. 已知函数 的定义域为 ，其导函数为f′(x)， ， ，且
，则（ ）
A. B. f′(x)为奇函数
C. （ ）是函数 的周期 D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A：利用赋值法令 ，代入运算即可；对于B：令 ，可得 ，
进而可得 ，即可判断；对于C：令 ，可得 ，结合周期性分析判
断；对于D：根据周期性运算求解即可.
【详解】因为 ， ， ，
对于选项A：令 ，可得 ，即 ，
显然 ，所以 ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项B：因为数 的定义域为 ，关于原点对称，
令 ，可得 ，
即 ，可得 ，且 不为常函数，f′(x)不恒为0，
所以f′(x)为偶函数，故B错误；
对于选项C：令 ，可得 ，
即 ，可知 为 的一个周期，
所以 （ ）是函数 的周期，故C正确；
对于D：因为 （ ）是函数 的周期，
则 ，所以 ，故D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的研究，常常利用赋值法，结合题设条件合理赋值是解题的关键，对
于本题关键赋值有：令 ， 和 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若定义在 上的函数 满足 ，且 ，则曲线 在点
处的切线方程为_____.
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据导数的定义，得到切线斜率，运用点斜式计算即可.
【详解】 ，所以 .且 ，曲线 在点 处的切线方程
为 .
已知 ， .
将这些值代入切线方程公式，得到 .
化简这个方程，得到 .
故答案为: .
13. 已知椭圆 （ ）的长轴长为4，离心率为 .若 ， 分别是椭圆的上、下顶点，
， 分别为椭圆的上、下焦点， 为椭圆上任意一点，且 ，则 的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】先根据长轴及离心率列式求出a,b,c得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P的坐标，最后计
算面积即可.
【详解】因为 ,
所以 ,
所以椭圆方程为 ,
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学科网（北京）股份有限公司设 ,椭圆的上、下顶点 ,
所以 且 ，
所以 ，
所以
即得 .
故答案为： .
14. 已知不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意整理可得 ，构建 ，结合
单调性可得 ，参变分离可得 ，再构建 ，利用导数求最
值即可.
【详解】因为 ，且 ，
则 ，整理可得 ，
令 ，
则 ，即为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 在(0,+∞)内均为增函数，则 在(0,+∞)内为增函数，
可得 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，
因为 在(0,+∞)内均为增函数，
则ℎ(x)在(0,+∞)内为增函数，且ℎ(1)=0，
当 时，则ℎ(x)<0，即 ；当 时，则ℎ(x)>0，即 ；
可知 在(0,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减，
则 ，可得 ，
所以实数 的取值范围为(0,+∞).
故答案为：(0,+∞).
【点睛】关键点点睛：对原式同构可得 ，构建函数结合单调性分
析可得 恒成立.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 且 ，
.
（1）求 ；
（2）若 是边 上一点，且 ， ，求 .
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理化简得出 再结合两角和正弦公
式化简得出 计算得角即可；
（2）先根据边长关系得出向量关系 ，再应用向量数量积运算解得 ，最后余弦定
理计算得 .
【小问1详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
，
所以 ,所以 ，
可得
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，即得 ，
左右两侧平方得 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ， ，解得 ，
由余弦定理得 ，所以 .
16. 为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为 ，
参加体能训练活动的男生人数为 ，不参加体能训练活动的男生人数为 ，参加体能训练活动的女生
人数为 .
（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的 列联表，并依据小概率值 的 独立性
检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；
参加 不参加 合计
男生
女生
（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14
人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
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学科网（北京）股份有限公司参考公式： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.001
3.84
2.706 6.635 10.828
1
公众号：高中试卷君
【答案】（1）答案见解析；
（2）分布列见解析；数学期望
【解析】
【分析】（1）根据已知数据补全列联表，再由卡方公式计算，由独立性检验得到结论；
（2）先由分层抽样确定人数，再计算概率，列出分布列，由期望公式计算即可；
【小问1详解】
参加体能训练活动的男生人数为 ，即 人，
不参加体能训练活动的男生人数为 ，即 人，
参加体能训练活动的女生人数为 ，即 人，
所以
参 不参 合
加 加 计
男
400 300 700
生
女
300 200 500
生
，
所以根据小概率 的独立性检验，没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联，
【小问2详解】
按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，
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学科网（北京）股份有限公司则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人，
由题意可得 的可能取值为0,1,2
， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
，
期望为 ，
17. 如图，在正三棱锥 中， ， ， 的中点为 ，过点
作底面 的垂线，垂足为 ， 是线段 上的一个动点.
（1）证明： ；
（2）若 是正三棱锥 外接球的球心，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，可得 ， ，可证 平面 ，结合线面的性质即
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学科网（北京）股份有限公司可得结果；
（2）根据外接球的性质可得 ，求相关长度，做辅助线，可得二面角 的平面
角 ，结合余弦定理运算求解.
【小问1详解】
连接 ，
因为 为正三棱锥，则 为等边三角形 的中心，且 平面 ，
由 平面 ，则
又因为 为 的中点，则 ，
且 ， 平面 ，可得 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
【小问2详解】
由题意可知： ，则 ，
设正三棱锥 外接球的半径为 ，
则 ，解得 ，即 ，
则 ，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ， ，
可知 ，
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学科网（北京）股份有限公司过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 ，
可知二面角 的平面角 ，
由 的面积可得 ，解得 ，
可知 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 在平面直角坐标系 中， ， ， 是平面内的动点，且 内切圆的圆心在直
线 上.
（1）求动点 的轨迹 的方程；
的
（2）过点 作三条不同 直线 ， ， ，且 轴， 与 交于 ， 两点， 与 交于 ，
两点， ， 都在第一象限，直线 ， 与 分别交于点 ， ，证明： 为定值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得 ，结合双曲线的定义分析求解；
（2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得 ， ，再求
， 坐的标，代入化简整理即可得结果.
【小问1详解】
设 内切圆的圆心为 ，且与三边切于点 ，
则 ，
可得 ，
且A(−2,0)， ， ，即 ，
可得 ，
可知动点 的轨迹 是以 为焦点的双曲线的右半支（顶点E除外），
则 ，
所以动点 的轨迹 的方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由题意可知： ，双曲线 的渐近线为 ，
设 ，
，且 ，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ，
可得 ，整理可得 ，
同理可得 ，
则直线 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，可得
，
则 ，
同理可得 ，
则
，
所以 为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
19. 一般地， 元有序实数组 称为 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实
数对可表示二维向量， ）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于 维向量，也可以定义两个向量
的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如 ，则
.若存在不全为零的 个实数 ， ， ， ，使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则称向量组 ， ， ， 是线性相关的，否则，称向量组 ， ， ， 是线性无关的.
（1）判断向量组 ， ， 是否线性相关.
（2）已知函数 ， ，且 恒成立.
①求 的值；
②设 ，其中 ，若 ， ，数列 的前 项和为 ；证
明：当 时， .
【答案】（1） ， ， 是线性无关的
（2）① ；②证明见详解
【解析】
【分析】（1）假设 ， ， 线性相关，根据题意列方程解得 ，即可得出矛盾；
（2）①令 ，分析可知原题意等价于 对任意 恒成立，结合定点法求
得 ；②利用放缩法结合裂项相消法可得 ， ，进而可得
，结合数列单调性可得 .
【小问1详解】
若 ， ， 线性相关，则存在不全为零的3个实数 ，使得 ，
因为 ， ， ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，解得 ，
故假设不成立，所以 ， ， 是线性无关的.
【小问2详解】公众号：高中试卷君
①令 ，则 ，
原题意等价于 对任意 恒成立，
且 ，可得 ，解得 ；
若 ，则 ， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 ，符合题意；
综上所述： ；
②由①可知： ，则 ， ，
则 ，
可得 ，
又因为 ，
则 ，
即 ， ，则 ，
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司可得 ，
因为 ，且 为递增数列，则 ，
可得 为递增数列，则 ，
综上所述： .
【点睛】关键点点睛：对于②：利用放缩结合裂项相消法可得 ，
，进而分析证明.
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学科网（北京）股份有限公司
