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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京 156 中学 2023−2024 学年度第二学期
初一年级数学期中测试
本试卷共6页，共100分+10分．考试时长100分钟．考生务必将答案写在答题卡和答题纸上，
在试卷上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共24分）
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1. 的平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根的定义，求数4的平方根即可．
【详解】解：4的平方根是±2．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数
没有平方根．
2. 若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解： 、不等式 的两边都加上2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项符合题意；
、不等式 的两边都减去3，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式 的两边都乘 ，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项不符合题意；
、不等式 的两边都除以5，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选： ．
【点睛】此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：（1）不等式的两边同时乘以（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不
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变．
3. 若 ，则点 所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限
（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
【详解】解：∵m＜0，
∴2m＜0，
∴点P（3，2m）在第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键.
4. 将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 65°
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：先根据两角互余的性质求出∠3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
∵∠1+∠3=90°，
∠1=30°，∴∠3=60°． ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2=∠3=60°．
考点：平行线的性质
5. 在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10
分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（ ）
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A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】设至少答对x道题才能获奖，根据题意列出不等式，解不等式求得其最小整数解即可.
【详解】解：设至少答对x道题才能获奖，根据题意得：
，
解得： ，
∵ 只能取整数，
∴ 的最小整数解为13，即至少要选对13道题才能获奖.
故选A.
【点睛】本题列不等式时，需注意，最后的得分=10×选对的题的道数-5×选错（含没有选）的题的道数.
6. 已知 的坐标为 ，直线 轴，且 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边
两种情况求出点B的横坐标，即可得解．
【详解】∵AB//x轴，点A的坐标为(1,2)，
∴点B的横坐标为2，
∵AB=5，
∴点B在点A的左边时，横坐标为1−5=−4，
点B在点A的右边时，横坐标为1+5=6，
∴点B的坐标为(−4,2)或(6,2)．
故选D.
【点睛】此题考查坐标与图形-轴对称，解题关键在于掌握运算法则.
7. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
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C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 如果 ， ，那么
【答案】C
【解析】
【分析】依题意，对于A选项，结合对顶角的定理即可；对于B选项，结合相关定理；对于C选项，平行
线定理即可；对D选项，不等式的传递即可；
【详解】A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以 是真命题，不符合题意；
C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是
假命题，符合题意；
D、如果 ， ，那么 ，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查对顶角、平行线定理、不等式定理等，关键在熟练理解和掌握相关命题及定理；
8. 如图，点 ，点 ，点 ，点 ，按照这样的规律下去，点 的坐标为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标结合图形发现点 坐标的变化规律是解题的关
键．
根据所给的点 的坐标，发现 的坐标规律，即可解决问题．
【详解】解：由题知，
点 的坐标为 ；
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点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ；
，
由此可见，点 的坐标为 ，点 的坐标为 为正偶数）；
当 时，
，
，
所以点 的坐标为 ．
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共76分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 的相反数是__________，绝对值是_______
【答案】 ①. . ②. .
【解析】
【分析】分别根据相反数、绝对值的概念即可求解．
【详解】解：根据相反数的概念有 的相反数是 即 ；
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根据绝对值的定义： 是正数，它的绝对值是 ．
故答案是： ； .
【点睛】此题主要考查了实数的相反数的定义、绝对值的性质，掌握相反数的定义、绝对值的性质是解题
关键．
10. 若点 在第二象限，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据点所在象限求参数，根据第二象限点的坐标的符号特征，平面直角坐标系中，第
二象限的点横坐标为负数，纵坐标为正数列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵点 在第二象限，
∴
解得： ，
故答案为： ．
11. 在平面直角坐标系中，点 到 轴的距离为 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，根据点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值，可得 ，然后进行计算即
可解答，熟练掌握点到 轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
【详解】解：∵点 到 轴的距离为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 已知 ，则 ________．
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【答案】0.4472
【解析】
【分析】首先把 化为 即 ，代入 的值即可．
【详解】解： ．
故答案为：0.4472．
【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，关键在于根据已知推出0.2的算术平方根．
13. 若 ，则 _______________________．
【答案】
【解析】
【分析】先由二次根式有意义可得 从而依次求解 的值，可得答案．
【详解】解：
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，掌握二次根式有意义的条件是
解题的关键．
14. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ，把 沿 轴
向右平移得到 ，如果点 的坐标为 ，则点 的坐标为__________．
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【答案】(7,0)
【解析】
【分析】根据B点横坐标与A点横坐标之差和E点横坐标与D点横坐标之差相等即可求解．
【详解】解：由题意知：A、B两点之间的横坐标差为： ，
由平移性质可知：E、D两点横坐标之差与B、A两点横坐标之差相等，
设E点横坐标为a，
则a-6=1，∴a=7，
∴E点坐标为(7,0) ．
为
故答案 ：(7,0) ．
【点睛】本题考查了图形的平移规律，平移前后对应点的线段长度不发生变化，熟练掌握平移的性质是解
决此题的关键.
15. 如图，在实数范围内规定新运算“ ”，其规则是：a b=2a﹣b．已知不等式x k≥1的解集在数轴上，
则k的值是_____．
【答案】﹣3
【解析】
【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的
值．
【详解】根据图示知，已知不等式的解集是x −1.
则2x−1 −3， ⩾
∵x k=⩾2x−k 1，
∴2△x−1 k且⩾2x−1 −3，
∴k=−3⩾. ⩾
故答案是：k=−3.
16. 破译密码：根据下面五个已知条件，推断正确密码是_________．
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【答案】798
【解析】
【分析】先判断出密码中必有数字7且在百位上，再判断出密码中必有式子8且在个位上，最后判断出密
码中必有9，即可得出结论．
【详解】解：∵密码532，三个号码都不正确，
∴密码中没有数字：2，3，5，
∵密码257只有一个号码正确但位置不正确，
在
∴密码中必有数字7，并且不能 个位，
∵密码876只有两个号码正确，但位置都不正确，
∴密码7不能再十位，密码中8，6只有一个正确，
∴密码中的7只能在百位，
∵密码628中只有一个号码正确且位置正确，
∴密码中必有数字8，且在个位，
∵密码619中只有一个号码正确当位置不正确，
∴密码中只有数字9，且在十位，
∴正确的密码为798，
故答案为798．
【点睛】此题是推理与论证题目，判断出密码中必有数字7且在百位上是解本题的关键．
三、解答题（本题共18分，第17、18题，每题5分，第19题8分，每小题4分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根、立方根和绝对值的性质计算即可．
【详解】解：
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【点睛】本题考查了实数运算，熟练掌握算术平方根、立方根和绝对值的性质是解题关键．
18. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】将方程②进行变形，用代入法即可解答．
【详解】解：
由②得： ③
把 代入 ①，得： ，
把 代入 ③，得： ，
∴方程组的解为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，解题的关键是用代入消元法和加减消元法进行消元．
19. （1）解不等式： ．
（2） ，并将解集用数轴表示出来．
【答案】（1） （2） ，图见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式；
（1）根据去括号移项合并同类项，化系数为1的步骤求解，即可求解．
（2）首先解不等式，再在数轴上表示出解集，即可求解．
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【详解】（1）解：去括号得： ，
移项得： ，
合并得： ，
系数化为 得： ．
（2）解：去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化成 得： ，
在数轴上表示为：
四、解答题（本题共42分，第20−22题，每小题5分，第23题6分，第24−26题，每小题5
分，第27题6分）
20. 作图并回答问题：已知，如图，点P在 的边 上．
（1）过点P作 边的垂线l；
（2）过点P作 边的垂线段 ；
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（3）过点O作 的平行线交l于点E，比较 ， ， 三条线段的大小，并用“>”连接得
___________，得此结论的依据是_____________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短
【解析】
【分析】（1）按照要求作出垂线，即可；
（2）再作出垂线段，即可；
（3）作出平行线，再根据垂线段最短比较即可解答．
【小问1详解】
如图所示．
【小问2详解】
如图所示．
【小问3详解】
如图所示．
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OE＞OP，OP＞PD，
所以 ，理论根据是“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”．
故答案为： ，直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了作垂线和平行线以及垂线段的性质，掌握过一点作直线的垂线和平行线的方法是
解题的关键．
21. 已知正数a的两个平方根分别是 和 ， 与 互为相反数，求 的值．
【答案】9
【解析】
【分析】利用平方根的意义求出a值，再利用相反数的意义求出b值，然后将a，b值代入代数式计算即可．
【详解】解：∵正数a的两个平方根分别是 和 ，
∴ ，解得： ．
∴ ，
∴ ，
∵， 与 互为相反数，
∴ ，解得： ．
当 时， ．
【点睛】本题主要考查了实数的性质、平方根、立方根、相反数的意义等知识点，利用平方根和相反数的
意义求出a、b的值是解题的关键．
22. 如图，直线 与 相交于点 ， 于点 ， 平分 ，且 ，求
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的度数．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了垂直的性质，余角和补角的相关计算．利用余角的性质求得 的度数，利用角
平分线的定义求得 的度数，最后利用邻补角的性质求解即可．
【
详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
23. 完成下面的证明：
已知：如图 平分 ， 平分 .求证 ：.
证明： ,
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,（ ）
平分 ， 平分 ，
， ，
，
（ ）.
【答案】 ,两直线平行，同位角相等， , ， ,同位角
相等，两直线平行.
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定定理，进行解答即可.
【详解】 ,两直线平行，同位角相等
,
,
，同位角相等，两直线平行.
【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于掌握其判定定理.
24. 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点 、 、 、 均在格点上，其中
为坐标原点， ．
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（1）点 的坐标为______ ；
（2）将 向_____平移后得到对应的 ，其中点A的对应点是 ，请在图中画出平移后
的 ；
（3）求 的面积；
（4）在 轴上有一点 ，使得 的面积等于 的面积，直接写出点 坐标．
【答案】（1）（-1，5）
（2）向右平移6个单位，向下平移1个单位
（3）3 （4）P（1，0）或（7，0）
【解析】
【分析】1）利用直角坐标系可直接写出C点坐标；
（2）分别作出A，B，C的对应点A，B，C 即可得到△ABC ；
1 1 1 1 1 1
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△ABC 的面积；
1 1 1
（4）设P（m，0）．利用三角形面积关系构建方程求解即可．
【小问1详解】
点C的坐标为（-1，5），
故答案为：（-1，5）；
【小问2详解】
由 平移到 需要向右平移6个单位，向下平移1个单位
∴将 向右平移6个单位，向下平移1个单位平移后得到对应的
图片如下：
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【小问3详解】
△ABC 的面积：2×4- ×2×2- ×2×1- ×4×1=8-2-1-2=3；
1 1 1
【小问4详解】
设P（m，0）．
∵B（4，0），A（3，2），
1 1
∴S = ×|m-4|×2=3，
PA1B1
△
解得：m=1或7，
∴P（1，0）或（7，0）．
【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中
考常考题型．
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25. 已知：如图， 于点H， 于点K， ，求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先证得AE∥GF，由平行线的性质得到∠1=∠A，进而证得∠2=∠A，由平行线的判定定理得到
AB∥CD，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵AE⊥BC于点H，FG⊥BC于点K，
∴AE∥GF，
∴∠1=∠A，
∵∠2=∠1，
∴∠2=∠A，
∴AB∥CD，
∴∠CDB+∠ABD=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．解题的关键熟练掌握平行线的性质和判定，能正确运用定理进
行推理、计算是解此题的关键．
26. 某校艺术节，计划购买红、蓝两种颜色的文化衫进行手绘设计，并进行义卖后将所获利润全部捐给山
区困难孩子．已知该学校从批发市场花4800元购买了红、蓝两种颜色的文化衫220件，每件文化衫的批发
价及手绘后的零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
红色文化衫 25 45
蓝色文化衫 20 35
（1）学校购进红、蓝文化衫各几件?
（2）通过手绘设计后全部售出，求该校这次义卖活动所获利润．
【答案】（1）学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件
（2）这次义卖活动共获得 元利润
【解析】
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【分析】（1）设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，根据两种文化衫220件共花费4800元，即可得
出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=每件利润×数量，即可求出结论．
【小问1详解】
解：设学校购进红文化衫x件，蓝文化衫y件，
依题意，得： ，
解得： ．
答：学校购进红文化衫80件，蓝文化衫140件；
【小问2详解】
(元)．
答：该校这次义卖活动共获得 元利润．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
27. 如图，已知 ，O为直线 上一点，动点E，F在直线 上（F在E的右侧）且满足
在 外部且 平分 交 于点N．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，若射线 上有一点 满足 ，请探究 与 之间的数量关
系并说明理由；
（3）如图3，若 ，射线 从与射线 重合的位置出发，绕点 以每秒 的速度顺时针
旋转，同时射线 从与射线 重合的位置出发，绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，设旋转的时间为
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秒 ，当射线 和射线 平行时，求出 的值．
【答案】（1）
（2）
（3） 或 或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算
（1）根据 ， ，得到 ，结合 平分
，得到 ，根据 ，得到 ，利用平行线的性质计
算 的度数即可．
（2）设 ，则 ，根据 ， ，得到
，结合 平分 ，得到 ，根
据 ，得到 ，利用平行线的性质得
，
，根据 ．消去x即可得到 与
之间的数量关系．
（3）根据 ， ，得到 ， ，然后分解析中四种情况，
根据平行线的判定，分类计算即可．
【小问1详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解： 与 之间的数量关系为： ．理由如下：
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ．
【小问3详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ， ，
如图，当 时， ，
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∴ ，
解得 ；
如图，当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当 时，
如图，当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
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∴ ，
解得 ；
如图，当 时， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，舍去；
综上所述，当 或 或 时，射线 和射线 平行．
五、附加题（本题共10分，第28题3分，第29题7分）
28. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ，如 ， ，根据你的理解完成以下
问题：
（1） ______；
（2）若 ，则实数x的最小整数是______
（3）已知 ，求 的值．．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
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【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的非负性，解一元一次不等式，
（1）根据题意直接求解即可；
（2）根据题意可列出不等式3.5≤ x-1<4.5，解不等式即可；
（3）根据绝对值的性质和算术平方根的非负性质进行化简即可求解．
【小问1详解】
根据题意可知， ，
【小问2详解】
，
，
，
实数 的最小整数是
【小问3详解】
，
，
，
，
，
，
故 的值为 ．
29. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 与 的“非常距离”，给出如下定义：
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若 ，则点 与点 的“非常距离”为 ；
若 ，则点 与点 的“非常距离”为 ．
例如：点 ，点 ，因为 ，所以点 与点 的“非常距离”为 ，也就
是图1中线段 与线段 长度的较大值（点 为垂直于y轴的直线 与垂直于x轴的直线 的交
点）．
（1）已知点 ，B为y轴上的一个动点．
①若点A与点B的“非常距离”为2，直接写出点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知点 是直线m上的一个动点．
①如图2，点D的坐标是 ，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，正方形 的边长为1，边 在x轴上，点E是正方形 边上的一个动点，记d为点
C与点E的“非常距离”的最小值，当正方形 沿x轴平移，在平移过程中点G的横坐标大于等于
0，且小于等于9时，直接写出d的最大值．
【答案】（1）① 或 ；②
（2）①最小值为： ， ；②
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【解析】
【分析】（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为 ．由“非常距离”的定义可以确定
，据此可以求得y的值；
②设点B的坐标为 ．因为 ，所以点A与点B的“非常距离”最小值为 ；
（2）①设点C的坐标为 ．根据材料“若 ，则点 与点 的“非常距离”为
”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为 ，据此可以求得点C的坐标；
②当点F在点 处，且点E在与点N重合时，求出的最小值符合题意；再结合当C，E的“非常距离”
最小且 ，由此列出方程即可求解．
【小问1详解】
解：①∵B为y轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为 ．
∵ ，
∴ ，解得 或 ；
∴点B的坐标是 或 ；
故答案是： 或 ；
②设点B的坐标为
∵
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∴点A与点B的“非常距离”的最小值为 ．
故答案是： ．
【小问2详解】
解：①如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，
根据运算定义，若 ，则点点 与点 的“非常距离”为 知： ．
即 ，
由题意可知，点C是直线 上的一个动点，点D的坐标是 ，
∴设点C的坐标为 ，
∴ ，解得： ，
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为： ，
此时 ；
②如图3，根据“非常距离”的定义可知，当点F与 重合，且点E与点N重合时，C，E的“非常距
离”最小，且 ，此时 最大，
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∴ ，解得： ，
∴ ．
此时，点C的坐标为 ，
∴ 最大值为：
【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征、解一元一次方程等知识点，弄清题意、理解“非常距离”
的定义是解题的关键．
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