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2020-2021 学年第一学期九年级十月调研数学试卷
一、选择题
1. 抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是（ ）
A. （-2,3） B. （2,3） C. （2,-3） D. （-3,2）
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目中的抛物线顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵y=(x-2)2+3，
∴顶点坐标是（2,3）．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2. 点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对
称点，横纵坐标都变成相反数”解答．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，
则点M（1，2）关于原点对称的点的坐标是（-1，-2）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：A.选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
B.选项是中心对称图形，不是轴对称图形，选项说法错误，不符合题意；C. 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
D.选项既是轴对称图形,又是中心对称图形,选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，牢记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的
关键．
4. 将 向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：根据函数图像平移法则：“上加下减”得：
抛物线 向上平移2个单位得到抛物线的解析式为 ．
故选：A．
5. 用配方法解一元二次方程 ，下列变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【详解】解：x2+4x+1=0，
x2+4x=-1，
x2+4x+4=-1+4，
（x+2）2=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6. 已知二次函数 ，若点 ， 是它图象上的两点，则 与 的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】【分析】把（-1， ）和（2， ）代入二次函数解析式求出 和 即可得到答案．
【详解】解：∵（-1， ）和（2， ）是二次函数 图像上的两点，
∴ ， ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像上点
的坐标特征．
7. 上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是（
）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题可先用a表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，然后根据已
知条件得到关于a的方程．
【详解】解：当商品第一次降价a%时，其售价为168-168a%=168（1-a%）；
当商品第二次降价a%后，其售价为168（1-a%）-168（1-a%）a%=168（1-a%）2．
∴168（1-a%）2=128．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出
第二次降价后售价的方程，令其等于128即可．
8. 四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发
现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，
y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；【详解】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；
3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；
函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；
当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；
当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；
当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；
当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；
当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．
二．填空题
9. 抛物线 向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】先确定抛物线 的顶点坐标为 ，再利用点平移的规律得到点 平移后对应点的坐
标为 ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，把点 向左平移 1个单位所得对应点的坐标为
，所以新抛物线的解析式为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是熟记求平移后的抛物线解析式通常可利用两种
方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶
点坐标，即可求出解析式．
10. 如图，正方形 的边长为6，点 在边 上．以点 为中心，把 顺时针旋转 至
的位置，若 ，则 ________．【答案】8
【解析】
【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC
的长．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，
由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，
∴∠ABF＋∠ABC＝180°，
∴C、B、F三点在一条直线上，
∴CF＝BC＋BF＝6＋2＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF＝DE是解答
本题的关键．
11. 写出一个开口向下，经过点（0，3）的抛物线的表达式________．
【答案】y=﹣x2+x+3（答案不唯一）
【解析】
【详解】试题分析：根据a确定抛物线开口方向，图象过（0，3）可得c=3，进而得出答案．
解：由题意可得：a＜0，c=3，
符合题意的解析式可以为：y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．
故答案为y=﹣x2+x+3（答案不唯一）．
考点：二次函数的性质．
12. 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，点D是AC边上一点，将△BCD沿BD折叠，使
点C落在AB边的E点，那么AE的长度是__________．【答案】4
【解析】
【分析】应用勾股定理求出AB，再由求出BE，问题可解
【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可知：AB= =10．
由折叠的性质得：BE=BC=6，
则AE=AB﹣BE=10-6=4．
故答案为4．
13. 抛物线 经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为__________．
【答案】直线x=1
【解析】
【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴x= =1．
为
故答案 直线x=1．
14. 抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是___________________．
【答案】 且
【解析】
【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合 ，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线 与x轴有交点，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴k的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
15. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销
售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系： ，设这种健身球每天的销售利
润为w元．则w与x之间的函数关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查求函数解析式，正确理解题意是解题的关键．
16. 已知二次函数 和一次函数 的图象如图所示，下面有四个推
断：
①二次函数 有最大值
②二次函数 的图象关于直线 对称
③当 时，二次函数 的值大于0④过动点 且垂直于x轴的直线与 的图象的交点分别为C,D当点C位于点D上方时，m的取值
范围是 或
其中正确的是________.
【答案】②④
【解析】
【分析】根据图象直接判断即可.
【详解】解：二次函数图象开口向上，有最小值，故①错误；
对称轴为：直线x=-1，故②正确；
当x=-2时，y<0，故③错误；
1
C点在D点上方，即y1>y2时，m<-3或m>-1，故④正确.
故答案为②④.
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象的性质.
三、解答题
17. 已知：如图，∠MAN＝90°，线段a和线段b
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b．
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；
②以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；
③分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于∠MAN内部的点C；
④分别连接BC，DC．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）的
（2）完成下面 证明．
证明：
∵AB＝ ；AD＝ ；
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠MAN＝90°；
∴四边形ABCD是矩形（ ）．
【答案】（1）见解析；（2）CD，BC；有一个角为直角的平行四边形是矩形
【解析】
【分析】（1）根据小东设计的尺规作图过程，用直尺和圆规作图即可；
（2）证明思路为：先根据作图过程可知 ，从而可得四边形ABCD是平行四
边形，然后根据矩形的定义即可证.
【详解】（1）如图，四边形ABCD为所求作：
（2）完成下面的证明证明：
∴四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故答案为：CD，BC；有一个角为直角的平行四边形是矩形.
【点睛】本题考查了矩形 的尺规作图过程、利用矩形的定义证明四边形是矩形，熟记矩形的定义是解
题关键.
18. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）首先把常数项移到等式左边，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
（2）首先把常数项移到等式左边，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解；
【详解】（1）
解得： ；
（2）
解得： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法 ，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．解一元二次
方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19. 如图，已知 ．
（1）AC的长等于 ；
（2）若将 向右平移2个单位得到 ，则A点的对应点 的坐标是 ；
（3）若将 绕点C按顺时针方向旋转90°后得到 ，则A点对应点 的坐标是 ；
（4）在图中画出第（3）问中 的图形．
【答案】（1） ；（2）（1，2）；（3）（3，0）；（4）见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据勾股定理即可得出AC的长；
（2）根据图形平移的性质可得出点A′的坐标；
（3）根据图形旋转的性质可得出点A 的坐标；
1
（4）在坐标系内画出△ABC 即可．
1 1 1
【详解】（1）AC＝ ．
故答案为： ；
（2）∵A（−1，2），
∴将△ABC向右平移2个单位后A′（1，2）．
故答案为：（1，2）；
（3）∵A（−1，2），
∴A（3，0）．
1故答案为：（3，0）；
（4）如图，△ABC 即为所求．
1 1 1
【点睛】本题考查的是作图−旋转变换和平移变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．
20. 如图，在 中， ．将 绕点 按逆时针方向旋转后得 ，连接 ．当
时，求 的度数．
【答案】 ．
【解析】
【分析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC，则∠C=∠E=40°，由平行线的性质有∠E=∠EAC，得出
∠ABD=∠ADB，则可求出答案．
【详解】∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得△ADE，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠C=∠E=40°，
∵DE∥AC，∴∠E=∠EAC，
又∵∠BAD=∠EAC，
∴∠BAD=∠C=40°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD= (180°-∠BAD)=70°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质
是解题的关键．
21. 二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
﹣ ﹣ ﹣ ﹣
x … 0 1 2 …
4 3 2 1
﹣ ﹣ ﹣
y … 5 0 0 5 …
3 4 3
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象．
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（-1，-4），则可设顶点式
y=a（x+1）2-4，然后把点（0，-3）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象．
【详解】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（ ， ）．
设二次函数的解析式为：把点（0，-3）代入 得
∴ .
（2）如图所示：
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据
题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
22. 关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
【答案】（1）n＞0；（2）x＝0，x＝﹣2．
1 2
【解析】
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，然后解不等式即可；
（2）利用n的范围确定以n＝1，则方程化为x2+2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，
解得n＞0；
（2）因为n为取值范围内的最小整数，
所以n＝1，
方程化为x2+2x＝0，
x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x＝0，x＝﹣2．
1 2
【点睛】此题主要考查根的判别式，解题的关键是熟知根的判别式的运用与方程的求解方法．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，
BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF长．
【答案】（1）见详解；（2）5
【解析】
【分析】（1）先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC长，求出AD＝DF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，
∴BC＝5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵AB∥DC，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
∵AD＝BC，
∴DF＝BC，
∴DF＝5．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综
合运用定理进行推理是解此题的关键．24. 已知抛物线 过 ， 两点，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）设P是该抛物线上的动点，当 的面积等于 的面积时，求P点的坐标．
【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）P坐标为（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）．
【解析】
【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式；
（2）根据已知三角形面积相等求出P的坐标即可．
【详解】解：（1）把A与B坐标代入得： ，
解得： ，
则该抛物线的表达式为y=-x2-2x+3；
（2）由抛物线解析式得：C（0，3），
∴△ABC面积为 ×3×4=6，
∴△PAB面积为6，即 ×| |×4=6，即 =3或-3，
当 =3时，可得3=-x2-2x+3，
解得：x=-2或x=0（舍去），
此时P坐标为（-2，3）；
当y =-3时，可得-3=-x2-2x+3，
P
解得：x=-1± ，
此时P坐标为（-1+ ，-3）或（-1- ，-3）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系
数法是解本题的关键．25. 如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃 ，墙长 ．设 长为 ，
矩形的面积为 ．
（1）写出 与 的函数关系式；当 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？
（2）当花圃的面积为 时， 长为多少米？
【答案】（1）当 的长为10米时，所围成的花圃面积最大，最大值为200平方米；（2） 的长为15
米.
【解析】
【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；利用配方法得到y-2（x-10）2+200，根据偶次方的
非负性可得答案，注意x的取值范围；
（2）根据（1）中的关系，令y=150，可以求得AB的长.
【详解】解：由题意知：
∴
∵ 即
∵ ∴当 时， 最大为200.
答：当 的长为10米时，所围成的花圃面积最大，最大值为200平方米.
（2）当 时，
， （舍去）
答： 的长为15米.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件.26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；
（2）过点 作y轴的垂线l，若抛物线 与直线l有两个交点，设其中靠近y
轴的交点的横坐标为m，且 ，结合函数的图象，求a得取值范围．
【答案】（1）A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x=2；（2）a＜− 或a＞ ．
【解析】
【分析】（1）由抛物线解析式可求出A的坐标和抛物线的对称轴；
（2）分a＞0和a＜0画出图形，求出a的值，由图象可得a的取值范围．
【详解】解：（1）y=ax2-4ax+4=a（x-2）2+4-4a．
∴点A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x=2．
（2）当a＞0时，临界位置如图所示：
∵靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，∴将点（1，3）代入抛物线解析式得： ， ,
∵|m|＜1，
∴ ，
∴a> ．
当a＜0时，临界位置如图所示：
将点（-1，3）代入抛物线解析式得 ， ，
∵|m|＜1，
∴-1< ，∴a＜− ．
∴a的取值范围为a＜− 或a＞ ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y轴的交点．
27. 四边形 是正方形，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ，
过点 作 交 的延长线于 ，连接 ．
（1）依题意补全图1；
（2）直接写出 的度数；
（3）连接 ，用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）按照题中的表述画出图形即可；
（2）由题意可知，CD=CE=CB，∠ECD=2α，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，根据题中角度关系推
理即可；
（3）作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，先通过条件证明△HAB≌△FAD，可得HB=FD，AH=AF，
HF=DE，∠H=45°，从而知道HF与AF的数量关系，即可得线段AF与DE的数量关系．
【详解】解：（1）补全图形，如图所示．（2） ，
设DF与AB交于点G，如图所示：
由题意得，CD=CE=CB，∠ECD=2α，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠EDC=90°-α，∠BCE=90°-2α，
∴∠CBE=45°+α，∠ADF=α，
∴∠ABE=45°-α．
∵BF⊥DE，
∴∠BFD=90°．
∵∠AGD=∠FGB，
∴∠FBG=α
∴∠FBE=∠FEB=45°；
（3） ．
证明：如图，作 ，交 的延长线于点 ，设 与 交于点 ，
根据题意可知， ．
．
．
．，
．
，
．
．
．
，
．
．
．
．
．
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，数量掌握相关性
质及定理是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于点 与 ，给出如下的定义：
将过点 的直线记为 ，若直线 与 有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直
线 与 的“穿越距离”，记作 ．
例如，已知过点 的直线 与 ，其中 ， ， ， ，如图所示，
则 ．请解决下面的问题：
已知 ，其中 ， ， ， ．
（1）当 时，已知 ， 为过点 的直线 ．
①当 时， ________________；当 时， ________________；
②若 ，结合图象，求 的值；
（2）已知 ， 为过点 的直线，若 有最大值，且最大值为 ，直接写出 的
取值范围．
【答案】（1）①2； ；② ， ；（2）
【解析】
【
分析】（1）①由题意和图像即可得出；
②根据题意表示出一次函数的表达式，根据“穿越距离”， 的长度列方程求解即可；
（2）由一次函数的图像和 的最大值求解即可．
【详解】（1）当 时， ， ．
由图可知,四边形ABCD为正方形，
又∵点 在直线 上．所以将 代入
得： ，即 ．
∴ ．
①当 时，
∴ ： ．
∴ ．
当 时，将 代入 ，得出
∴ ： ．
直线经过 和 ，
∴由题意可知： ．
②如图 ， ．
过 作 于 ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．∴ ．
结合图象，由正方形的轴对称性可知 ， 均符合题意．
（2）设直线 的表达式为 ，
将 代入 得： ， ，
∴ ．
如图所示，设直线 与线段AB交于 点，与线段CD交于点 ．
∴将 代入 得： ，解得： ，
将 代入 得： ，解得： ．
∵ 的最大值为 ，
又因为平行线段 和 之间的距离为2，
∴由勾股定理可得PQ之间的水平距离 ，
代入得： ，解得： ．
∴ ， ，此时Q点与B点重合．
∴由“穿越距离”得定义和图像可得，若 有最大值，且最大值为 ，
C点需在P点的右边，即C点的横坐标需大于P点的横坐标，
∴ ；
D点需在P点的左边或和P点重合，即D点的横坐标需小于等于P点的横坐标，
∴ ，解得： ；
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】此题考查了一次函数图像和平行四边形结合动点问题，解题的关键是根据题意找到题目中的等量
关系列出方程．
