文档内容
北京市西城区第十五中学 2022~2023 学年第二学期初一期中数学试卷
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 五个数中： ， ，0， ， ，是无理数的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，逐一判断即可．
【详解】有理数为： ， ，0， ，
无理数为： ，只有1个．
故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： 、 等；开方开不尽的数
以及像0.1010010001…等有这样规律的数．
2. 在平面直角坐标系中，点 所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据点在各象限的坐标特点即可解答．
【详解】解： ，点的横坐标 ，纵坐标 ，
∴这个点在第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号特征，解决本题的关键是记住平面直角坐标系
中各个象限内点的坐标的符号：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．
3. “121的平方根是±11”的数学表达式是( )A. ＝11 B. ＝±11 C. ± ＝11 D. ± ＝±11
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方根定义，一个a数平方之后等于这个数，那么a就是这个数的平方根.
【详解】± ＝±11,故选D.
【点睛】本题考查了平方根的的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
4. 已知 是二元一次方程 的解，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将 代入二元一次方程 ，得到关于 的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相垂直 B. 相等的两个角一定是对顶角
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 同旁内角相等，两直线平行
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，对顶角相等，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故该选项不正确，不符合题意；
B. 相等的两个角不一定是对顶角，故该选项不正确，不符合题意；
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意；
D. 同旁内角互补，两直线平行，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线 的性质与判定，对顶角相等，掌握平行线的性质是解题的关键．
6. 如图，点E在 的延长线上，下列条件中能判断 的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中 可判定 ，故此选项不合题意；
B中 可判定 ，故此选项符合题意；
C中 ，不能判定直线平行，故此选项不合题意；
D中 可判定 ，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于掌握平行线的判定定理．
7. 某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的
造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）
A. 甲种方案所用铁丝最长 B. 乙种方案所用铁丝最长
C. 丙种方案所用铁丝最长 D. 三种方案所用铁丝一样长
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：
解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，
乙所用铁丝的长度为：2a+2b，
丙所用铁丝的长度为：2a+2b，
故三种方案所用铁丝一样长．故选D．
考点：生活中的平移现象
8. 如图，已知直线 ，且在某平面直角坐标系中，x轴 ，y轴 ，若点A的坐标为 ，点B
的坐标为 ，则点C在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
∴第A在第一象限，点B在第三象限，
∵x轴 ，y轴 ，
∴可以建立如下坐标系，
∴点C在第四象限，
故选D．
【点睛】题主要考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解题的关键是根据题意建立平面直角坐
标系，利用“数形结合”的数学思想解决问题．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）9. 若 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】利用算术平方根和平方式的非负性求出x和y的值．
【详解】解：∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查算术平方根和平方式的非负性，解题的关键是掌握算术平方根和平方式的性质．
10. 已知a，b为两个连续的整数，且a＜ ＜b，则a b ______．
+ =
【答案】11
【解析】
【详解】【分析】由 , a＜ ＜b，可推出a和b，再求a+b.
【详解】因为a，b为两个连续的整数，且a＜ ＜b，
又因为 ，
所以，a=5,b=6.
所以，a+b=5+6=11.
故答案为：11
【点睛】本题考核知识点： . 根据题意，由 便可推出a和b的
值.
11. 平面直角坐标系中，点P(3，－4)到x轴的距离是________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点的坐标表示方法得到点P(3，﹣4)到x轴的距离是纵坐标的绝对值即|﹣4|，然后去绝对值即
可．【详解】解：点P(3，-4)到x轴的距离为|﹣4|=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了点到坐标上的距离，正确掌握点的坐标性质是解题关键．
12. 如图，直线l与直线a，b分别相交，且 ， ，则 __________°．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：如图
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．
13. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为
_________________________________________________.
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改
写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子
通顺而不改变原意．
14. 已知线段AB=3，AB∥y轴，若点A的坐标为（-1，2），则点B的坐标为____________.
【答案】(-1，5)，(-1，-1)
【解析】
【详解】试题解析：∵AB∥x轴,点A坐标为(−1,2)，
∴A，B的纵坐标相等为2，
设点B的横坐标为x，则有AB=|x+1|=3，
解得：x=−4或2，
∴点B的坐标为(−4,2)或(2,2).
故本题答案为：(−4,2)或(2,2).
15. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三人出七，
不足四，问人数，物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差
四钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为______．
【答案】
【解析】
【分析】设有x人，买此物的钱数为y，根据关键语句“人出八，盈三；人出七，不足四”列出方程组即
可．
【详解】解：设有x人，买此物的钱数为y，
由题意得： ，
故答案： ．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关
系．
16. 对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]＝4，[ ]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82 [ ]＝9 [ ]＝3 [ ]＝1，这样对82只需进行3次操作后变
为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是__．
【答案】6560
【解析】
【分析】由结果反向求出第三次参与运算 的最大数，再求出第二次参与运算的最大数，最后求出第一
次参与运算的最大数即可．
【详解】∵最后的结果为2，
∴第3次参与运算的最大数为（2+1）2﹣1＝8，即[ ]＝2，
∴第2次的结果为8，
的
∴第2次参与运算 最大数为（8+1）2﹣1＝80，即[ ]＝8，
∴第1次的结果为80，
∴第1次参与运算的最大数为（80+1）2﹣1＝6560，即[ ]＝80，
也就是，6560 [ ]＝80 [ ]＝8 [ ]＝2，
故答案为：6560．
【点睛】本题考查无理数大小的估算，理解新定义[x]的意义是解答本题的关键．
三、解答题（共68分，第17题5分，第18题10分，第19题10分，第20题6分，第21—
23题每题7分，第24、25题每题8分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先算算式平方根，立方根以及绝对值，二次根式的化简，再算加减法，即可求解．
【详解】
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根，二次根式的化简以及绝对值的概念是
解题的关键．18. 求下列各式中的x．
（1） ．
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）根据立方根的定义求解即可．
【小问1详解】
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，也称
为二次方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，也称为三次方根．掌握平方根和立方
根的定义是解题的关键．
19. 解下列方程组：（1） ；（2） .【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）由①得 ③，把③代入②得 ，即可求得y的值，再把求得的y值
代入③即可求得x的值，从而得到原方程组的解；
（2）①×3+②×2即可求得x的值，再把求得的x值代入①即可求得y的值，从而得到原方程组的解.
【详解】解:（1）由①得 ③
把③代入②得 ，解得
把 代入③得
所以原方程组的解为 ；
（2）①×3+②×2得 ，解得
把 代入①得 ，解得
所以原方程组的解为 .
【点睛】本题考查解方程组，属于基础应用题，只需学生熟练掌握解方程组的方法，即可完成.
20. 如图，按要求画图并回答问题：
（1）过点A画点A到直线BC的垂线段，垂足为D；
（2）过点D画线段 ，交AC的延长线于点E；
（3） 的同位角是_______，内错角是_______；
（4）在线段 ， ， 中，最短的是________，理由为________．【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3） ，
（4） ，垂线段最短
【解析】
【分析】（1）根据题意画出点A到直线BC的垂线段 ；
的
（2）根据题意过点D画线段 ，交AC 延长线于点E；
（3）根据同位角、内错角的定义即可求解；
（4）根据点到直线的距离为垂线段的长度，垂线段最短即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求，
【小问2详解】
解：如图所示， ，
【小问3详解】
解： 的同位角是 ，内错角是 ，
故答案为： ， ．
【小问4详解】
解：在线段 ， ， 中，最短的是 ，理由为垂线段最短，
故答案为： ，垂线段最短．
【点睛】本题考查了画垂线，画平行线，同位角、内错角的定义，点到直线的距离，垂线段最短，掌握以
上知识是解题的关键．
21. 阅读下面的推理过程，完成下列证明．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，证明：∠DEC+∠C=180°．
证明：∵∠1+∠2=180°（已知），
又∵∠1+∠4=180°（平角定义），
∴∠2=∠4（ ）．
∴ ∥ （ ）．
∴∠3=∠ADE（ ）．
又∵∠3=∠B（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换）．
∴ ∥ （ ）．
∴∠DEC+∠C=180°（ ）．
【答案】同角的补角相等；AB；EF； 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；BC；DE；同
位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明．
【详解】证明：∵∠1+∠2=180°（已知），
又∵∠1+∠4=180°（平角定义），
∴∠2=∠4（同角的补角相等）．
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠3=∠B（已知），
∴∠ADE=∠B（等量代换）．
∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠DEC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：同角的补角相等；AB；EF； 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；BC；
DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ．
（1）在网格中画出这个平面直角坐标系；
（2）连接CB，平移线段CB，使点C移动到点A，得到线段AD．
①画出线段AD，点D的坐标为______；
②连接AC，DB，直接写出四边形ACBD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）①D（2，5）②14
【解析】
【分析】（1）根据A，B，C 坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）①利用平移的性质解决问题即可．
②利用分割法求四边形的面积即可．
【小问1详解】
解：如图，平面直角坐标系如图所示：【小问2详解】
解：①如图，线段AD即为所求．D（2，5）．
②S ＝4×7﹣ ×2×3﹣ ×2×4﹣ ×2×3﹣ ×2×4＝14．
四边形ACBD
【点睛】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
23. 第24届冬季奥运会于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合
举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装
和大套装两种．已知购买2个小套装比购买1个大套装少用20元；购买3个小套装和2个大套装，共需
390元．
（1）求这两种套装的单价分别为多少元？
（2）某校计划用1500元的资金购买这种陶制品小套装和大套装共20个作为奖品，则该校最多可以购买大
套装多少个？
【答案】（1）小套装的单价为50元，大套装的单价为120元
（2）7
【解析】
【分析】（1）设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，根据“购买2个小套装比购买1个大套装少
用20元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出这两种套装的单价；
（2）设该校购买大套装m个，则购买小套装 个，利用总价＝单价×数量，结合总价1500元，即
可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购
买大套装的数量．
【小问1详解】设小套装的单价为x元，大套装的单价为y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：小套装的单价为50元，大套装的单价为120元．
【小问2详解】
设该校购买大套装m个，则购买小套装 个，
依题意得： ，
解得 ．
又∵m为正整数，
∴m的最大值为7．
答：该校最多可以购买大套装7个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24. 问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝
90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．
操作发现
（1）如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与
∠FGC之间的数量关系；
结论应用（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若 ，则
∠CFG等于______（用含 的式子表示）．
【答案】（1）∠1＝40°
（2）∠AEF＋∠GFC＝90°；说明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 ，可得∠1=∠EGD，再根据∠2=2∠1，∠FGE＝60°，即可得出∠EGD＝
（180°−60°）＝40°，进而得到∠1＝40°；
（2）根据 ，可得∠AEG＋∠CGE＝180°，再根据∠FEG＋∠EGF＝90°，即可得到∠AEF＋
∠FGC＝90°；
（3）依据 ，可得∠AEF＋∠CFE＝180°，再根据∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，即
可得到∠GFC＝180°−90°−30°−α＝60°−α．
【小问1详解】
如图（1）．
∵ ，
∴∠1＝∠EGD．
又∵∠2＝2∠1，
∴∠2＝2∠EGD．
又∵∠FGE＝60°，
∴ ，
∴∠1＝40°；
【小问2详解】解：∠AEF＋∠GFC＝90°，
理由：如图（2）．
∵ ，
∴∠AEG＋∠CGE＝180°，
即∠AEF＋∠FEG＋∠EGF＋∠FGC＝180°．
又∵∠FEG＋∠EGF＝90°，
∴∠AEF＋∠GFC＝90°；
【小问3详解】
解：如图（3）．
∵ ，
∴∠AEF＋∠CFE＝180°，
即∠AEG＋∠FEG＋∠EFG＋∠GFC＝180°．
又∵∠GFE＝90°，∠GEF＝30°，∠AEG＝α，
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．
25. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 与 ，我们重新定义这两点的“距离”．
①当 时， 为点 与点 的“远距离” ，即 ；当 时， 为点 与点 的“远距离” ，即 ．
②点 与点 的“总距离” 为 与 的和，即 ．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知点 ，则 __________； __________．
的
（2）若点 在第一象限，且 ．求点B 坐标．
（3）若点 （ ， ），且 ，所有满足条件的点C组成了图形W，请在下图
中画出图形W．
【答案】（1）
（2） 或
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据 和 的定义，进行计算即可；
（2）分 或 两种情况讨论求解即可；
（3）根据 ，得到 ，得到图形 是过 的一段线段．
【小问1详解】
∵ ，∴ ； ；
故答案为： ；
【小问2详解】
∵ ，
∴ 或 ，
∵B点在第一象限，
∴ 或 ，
∴ 或 ，即 或 ；
【小问3详解】
∵ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴图形 是过 的一段线段：如图所示：
点睛】
本题考查坐标系下两点间的距离．理解并掌握 和 的定义，是解题的关键．
