文档内容
1.如图所示，在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大
小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正
离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及
y轴最远距离分别为( )
A. B.
C. D.
2．(2023·江苏泰州市靖江高级中学模拟)如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径
为R，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v从圆心O沿OC方
向射入磁场，恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°，要使电子从弧AD之间射出(不
包括A、D两点)，电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)( )
A. B. C．2v D．3v
3.(2023·北京市一模)如图所示，边长为L的正方形区域abcd中充满匀强磁场，磁场方向垂
直于纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M垂直于ad边、以一定速率射入磁场，仅在洛
伦兹力的作用下，正好从ab边中点N射出磁场。忽略粒子受到的重力，下列说法正确的是(
)
A．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子将从b点射出
B．若仅将粒子射入磁场的速度增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原
来的2倍C．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子将从a点射出
D．若仅将磁感应强度的大小增大为原来的2倍，则粒子在磁场中运动的时间也增大为原来
的2倍
4.如图所示，在半径为R的圆形区域内(圆心为O)有匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直
于圆平面(未画出)。一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由 P点在纸平面内沿不同方向
射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于R，则下列说法
中正确的是(不计离子的重力和离子间相互作用)( )
A．从Q点飞出的离子在磁场中运动的时间最长
B．沿PQ方向射入的离子飞出时偏转角最大
C．所有离子飞出磁场时的动能一定相等
D．在磁场中运动时间最长的离子可能经过圆心O点
5.如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线
状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v 的带
0
正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直平面xOy向里。不考虑粒子间的相互作用，
不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为(
)
A. B. C. D.
6.如图所示，真空中垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在(含边
界)，两圆的半径分别为R、3R，圆心为O。一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿
PO方向以速度v 射入磁场，其运动轨迹如图，轨迹所对的圆心角为120°。当将该带电粒子
1
从P点射入的速度大小变为v 时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则
2
v∶v 至少为( )
1 2A. B. C. D．2
7.(多选)如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小
为B，MN、PQ间的距离为L。在MN上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向
射入质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场
偏转后，穿过PQ边界线的最低点为b点。已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间
的距离为L，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B．粒子在磁场中运动的速度大小为
C．粒子从PQ边射出的区域长为L
D．沿斜向下与MN夹角为30°方向射入的粒子恰好从c点射出磁场
8.(多选)(2023·河南省联考)如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内(不含边界)有磁
感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子
以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成30°角的方向射入磁场。粒子的质量为m、电荷量
为q，不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中运动的最长时间为
B．若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C．若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为
D．选择合适的速率，粒子可能从M点离开磁场
9.如图所示，虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，磁
场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入
磁场。不计粒子重力。(1)如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v ＝，该粒子在磁场中运动的时间为
1
多少？
(2)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v 在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，不计粒
2
子间相互作用，v＝，求粒子在磁场中运动的时间的最大值；
2
(3)如果大量相同的带电粒子以相同的速率v 在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，v ＝，
3 3
求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
10.(多选)(2024·江西吉安市三中月考)如图所示，在直角坐标系xOy第一象限内x轴上方存在
磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右
侧纸面内各个方向射出速率相等的质量大小均为m、电荷量大小均为q的同种带电粒子，所
有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知粒子带负电，＝＝d，粒子重力及
粒子间的相互作用均不计，则( )
A．粒子的速度大小为
B．从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
C．从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为9∶2D．沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
第 4 练 专题强化：用“动态圆”思想处理临界、极值问题
1．A [若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动(如图所示)，不难得出离y
轴最远为|x|＝2r＝，离x轴最远为y＝2r＝，所以A项正确。]
2．B [根据题意，速度为v时，恰好由A点射出，如图中轨迹Ⅰ，
由几何关系可得r＝，由牛顿第二定律有qvB＝m，联立可得R＝，要使电子恰好从D点射
出，如图中轨迹Ⅱ，根据几何关系可得r′＝R，则有R＝，解得v′＝2v，要使电子从弧
AD之间射出，电子从O点射入的初速度应大于v，小于2v。故选B。]
3．C [由题意结合左手定则可知，粒子带正电，带电粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，
做匀速圆周运动，如图所示，则有，Bqv＝m，r＝，T＝，若粒子射入磁场的速度增大为原
来的2倍，即v′＝2v，则粒子的半径将增大为原来的2倍，由图可知，粒子不会从b点射
出，A错误；粒子在磁场中运动的周期为T＝，由图可知，若粒子射入磁场的速度增大为原
来的2倍，则粒子的半径将增大为原来的2倍，可粒子在磁场中运动的圆心角将减小，周期
不变，则粒子在磁场中运动的时间将减小，B错误；若仅将磁感应强度的大小增大为原来的
2倍，则粒子的运动半径将减小为原来的，将从 a点射出，C正确；结合C选项，由T＝可
知，若仅将磁感应强度大小增大为原来的 2倍，粒子在磁场中运动的周期T′＝，在磁场中
运动时间t＝，与从N点射出时的运动时间相同，即时间将不变，D错误。]4．A [由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏转角最大，故应
该是弦长为PQ，由Q点飞出的离子圆心角最大，所对应的运动时间最长，轨迹不可能经过
圆心O点，故A正确，B、D错误；因洛伦兹力永不做功，故离子在磁场中运动时动能保持
不变，但由于离子的初动能不一定相等，故飞出时的动能不一定相等，故C错误。]
5．C [粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁
0
场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于 sin α＝，要使
圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射
出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin α ＝，解得α ＝，从D′点射入磁场的粒
m m
子在磁场中运动的时间最长，且t ＝·，解得t ＝，故选C。]
m m
6．B [粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得r＝＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛
1
顿第二定律得qvB＝m，解得v ＝，粒子竖直向上射入磁场，恰好不能进入小圆区域时粒子
1 1
的轨迹半径 r ＝R，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 qvB＝m，解得v ＝，则
2 2 2
v∶v 至少为，B项正确。]
1 2
7．BC [作出一些粒子的运动轨迹如图所示，从b点射出的粒子根据几何关系有R2＝(L－
R)2＋()2，求得R＝L，A项错误；由qvB＝m得粒子做圆周运动的速度大小v＝＝，B项正确；
设粒子从PQ射出区域的上端d点到c点的距离为s，根据几何关系有R2＝(L－R)2＋s2，求得
s＝，因此bd＝L，C项正确；从c点射出磁场的粒子，在a点时速度与MN的夹角θ满足
2Rcos θ＝L，可得cos θ＝0.8，则θ≠30°，D项错误。]
8．AC [当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为300°，
此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间t＝×＝，故A正确；
如图所示，当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时(设切点为Q)，粒子恰好从圆
弧边界射出，根据几何知识可知，粒子的轨道半径r＝，设粒子的速度大小为v，有qvB＝
1 1 1m，解得v＝，故B错误；
1
设当粒子恰好从P点离开磁场时，粒子的轨道半径为r ，根据几何关系有r ＝，r ＝R，设
2 2 2
粒子的速度大小为v，有qvB＝m，解得v＝，故C正确；
2 2 2
当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子不可能从 M
点离开磁场，故D错误。]
9．(1) (2) (3)
解析 (1)由v＝，r＝，可得r＝R，
1 1 1
粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，圆弧对应的圆心角α＝90°，由T＝，可得t＝＝
1 1
(2)由v＝，可得r＝2R
2 2
粒子从N点射出时在磁场运动的时间最长，如图所示，由几何关系可知，其轨迹弧对应的
圆心角α＝60°
2
粒子在磁场中运动的时间的最大值t＝＝
2
(3)由v＝
3
可得r＝
3
粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为一半圆，如图所示
由几何关系可知：出射点分布的长度为磁场边界的，即s＝。
10．AC [粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可以画出其轨迹1，如图所示可知SP为直径，则有(2R)2＝d2＋(d)2，可得R＝d，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，联立解
得v＝，故A正确；粒子在磁场中的运动周期为T＝＝，由几何知识可得从O点射出的粒子
如轨迹3，轨迹所对的圆心角为60°，在磁场中的运动时间t＝＝，故B错误；运动时间最长
的粒子为运动轨迹与x轴相切的粒子(轨迹2)，对应的圆心角为270°，可得t ＝T。运动时间
1
最短的粒子为从原点飞出的粒子(轨迹3)，此时对应的圆心角为60°，可得t ＝T，所以t∶t
2 1 2
＝9∶2，故C正确；沿平行x轴正方向射入的粒子，圆心在原点处，运动轨迹为四分之一圆，
离开磁场时的位置到O点的距离为d，故D错误。]
