文档内容
机密★启用前
山西省 2025 年初中学业水平考试
数学
第I卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数中比 小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，
掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．
解：∵正数大于负数，
∴比 小的数在 ， ， 中，
∵两个负数，绝对值大的数反而更小，
又∵ ，
∴ ，
∴比 小的数是 ，
故选： ．
2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标
中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选： ．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行
计算判断即可．
A． 中的 和 不是同类项，无法合并，故错误．
B． ，正确．
C． 应展开为 ，选项漏掉 ，故错误．
D． ，选项中结果为 ，计算错误．
故选：B．
4. 如图，小谊将两根长度不等的木条 的中点连在一起，记中点为 ，即 ．
测得 两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上 两点之间的距离．图中
与 全等的依据是（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
本题考查了全等三角形的判定，由 即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键．
在 与 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 与 全等的依据是 ，
故选： ．
5. 不等式组 的解集是（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】C
【解析】
本题考查求不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再确定它们解集的公共部分即为不等式组的解
集．
解：解不等式 ，得： ；
解不等式 ，得： ，
∴不等式组的解集为： ；
故选C．
6. 如图，在平行四边形 中，点 是对角线 的中点，点 是边 的中点，连接 ．下列两
条线段的数量关系中一定成立的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，由三角形中位线的性质得 ，进而由平
行四边形的性质得 ，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵点 是对角线 的中点，点 是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
7. 下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情
况，下列说法正确的是（ ）
日期
2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
气温
最高 12 6 10 9 8
最低 1 0 2
A. 日最高气温的波动大 B. 日最低气温的波动大
C. 一样大 D. 无法比较【答案】A
【解析】
本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，
波动越大判断即可.
解：最高气温数据：12，6，10， 9， 8
∴平均数：
各数据与平均数的差的平方： ， ， ， ，
，
∴方差：
∵最低气温数据：1， ， ， 0，2
∴平均数：
各数据与平均数的差的平方： ， ， ， ，
，
∴方差： ，
∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确；
故选：A
8. 如图， 为 的直径，点 是 上位于 异侧的两点，连接 ．若 ，
则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查了圆周角定理，连接 ，由 为 的直径可得 ，进而由 得
，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
解：连接 ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
9. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢
气的质量 与分解的水的质量 满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数
据， 与 之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
本题考查了求函数关系式，由表格数据可得 是 的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数
关系是解题的关键．
解：∵ ，
∴ 与 成正比例，即 是 的正比例函数，
∴ ，
故选： ．
10. 如图，在 中， ，分别以点 为圆心、 的长为半径画弧，与
的延长线分别交于点 ．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得 ，
，进而由 解答即可求解，掌握以上知识点是解题的
关键．
解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可．
解： ；
故答案为： ．
12. 近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统
手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增
加了________元（用含a的代数式表示）．
【答案】
【解析】
本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎
增加的利润．
解：售出一个布老虎增加的利润为 （元），
则售出a个布老虎增加的利润为 ．故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，则点 对应点
的坐标为______．
【答案】
【解析】
本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，过 作
轴于点 ，则 ， ， ，然后通过 ，
，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，将线段 绕点 逆时针旋转 得到 ，过 作 轴于点 ，则 ，
∵点 的坐标为 ，
∴ ，
由题意得， ， ，
∴ ， ，
∴点 对应点的坐标为 ，故答案为： ．
14. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个
格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“ ”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“
”回到格子A的概率是________．
【答案】
【解析】
本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结
果数，利用概率公式即可求解．
解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为 ；
故答案为： ．
15. 如图，在四边形 中， ， ， ， ，点 在边 上， ，
连接 ，且 ．点 在 的延长线上，连接 若 ，则线段 的长为
______．【答案】
【解析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长
交 延长线于点 ，过 作 于点 ，则 ，由三线合一性质可得
，然后证明四边形 是矩形，所以 ， ，又
，则可证 ，所以 ，求出 ，然后通过平行线的性
质和等角对等边可得 ，设 ，则 ，
，最后通过勾股定理求出 的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，延长 交 延长线于点 ，过 作 于点 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，由勾股定理得： ，
∴ ，解得： ，
即 ，
∴ ，
故答案 ：为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1） ；（2）
【解析】
本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键；
（1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可；
（2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可．
解：（1）原式
；
（2）解：①+②，得 ，
．将 代入②，得 ，
．
所以原方程组的解是 ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数 的图
象交于点C．已知点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，点D在反比例函数 的图像上，
纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接 ，请直接写出四边形 的面积．
【答案】（1） ，
（2）10
【解析】
（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，
利用待定系数法求出直线 的解析式，令 ，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形 的面积等于
面积的和即可求解．
【小问1详解】
解：∵点C的坐标为 ，且在反比例函数 的图像上，∴ ，即 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
设直线 的解析式为 ，把A、C两点坐标分别代入得：
，解得： ，
即直线 的解析式为 ；
上式中，令 ， ，
∴点B的坐标为 ；
【小问2详解】
解：∵点D在反比例函数 的图像上，纵坐标为2，
∴ ，
解得： ；
由题意知， ，
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与
性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．
的
18. 近年来，交通工具 多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学
时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调
查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________ ；本次调查的家长中骑电动自行车
接送孩子的有__________人，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
（3）假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原
因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．
【答案】（1）36；135；见解析
（2）450人 （3）见解析
【解析】
本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）用360度乘以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300乘以“骑电动自行车”的人
数占比可求出对应的人数，再求出时间段 骑电动车的人数并补全统计图即可；
（2）用1500乘以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案；
（3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；时间段 电动车和私家车接
送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送时间段两个方面阐述．
【小问1详解】
解： ，
∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为 ；
人，
∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人；
的
∴时间段 骑电动车 人数为 人，
补全统计图如下所示：【小问2详
解】
解； 人，
答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人；
【小问3详解】
解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为 ，容易造成放学后校
门口交通拥挤；由条形统计图可知，在时间段 内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容
易造成放学后校门口交通拥挤；
建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开时间段
．
19. 我国自主研发的 型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路
钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换
116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更
换钢轨多少公里．
【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里
【解析】
本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；
设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工
作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可．解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里．
根据题意得： ．
解得： ．
经检验， 是原方程的根，且符合题意．
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里．
20. 项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，
两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．
综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项
目
景物的测量与计算
主
题
驱
动
如何测量内栏墙围成泉池的直径
问
题
活
动
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
内
容
图 为该景，点俯视图的示意图，点 ， 是正八边形中一组平行边的中点，
活 方 为圆的直径图中点 在同一条直线上．
动 案
图 为测量方案示意图，直径 所在水平直线与外栏墙分别交于，点 ，
过 说
程 明 ，外栏墙 与 均与水平地面垂直，且 ． ， 均表示步道
的宽， ．图中各点都在同一竖直平面内．数
据 在点 处测得，点 和点 的俯角分别为 ， ，
测 米．图中墙的厚度均忽略不计
量
计
……
算
交
流
……
展
示
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径 的长（结果精确到 米．参考数据：
， ， ， ， ， ）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径 的长约为 米．
【解析】
本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得 ，四边形 为矩形，则
， ，所以 ， ，设
米 ， 则 米 ， 米 ， 然 后 通 过 ，
， 列出方程 ， 解出方程即可，
掌握知识点的应用是解题的关键．
解：由题意得， ，四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，设 米，则 米， 米，
在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ （米），
答：内栏墙围成泉池的直径 的长约为 米．
21. 阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
双关联线段
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是 ，且这两条线段相等，则称其中一
条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段．
例如，下列各图中的线段 与 所在直线形成的夹角中有一个角是 ，若
，则下列各图中的线段 都是相应线段 的双关联线段．
【问题解决】
问题1：如图，在矩形 中， ，若对角线 与 互为双关联线段，
则 ________ ．问题2：如图，在等边 中，点D，E分别在边 的延长线上，且
，连接 ．
求证：线段 是线段 的双关联线段．
证明：延长 交 于点F．
是等边三角形，
．
，
（依据）．
，
，
；
…
任务：
（1）问题1中的 ________ ，问题2中的依据是________________；
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图，点C在线段 上，请在图3中作线段 的双关联线段 ．
（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）．
【答案】（1） ，等角 的补角相等；
（2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）设 的交点为O，利用矩形的性质及已知可证明 是等边三角形，由等边三角形的性
质及矩形性质即可求解．利用等角的补角相等即可完成问题2的依据．
（2）利用三角形外角的性质及等边三角形的性质即可 ，从而问题完成；
（3）作一个等边三角形即可完成．
【小问1详解】
解：设 的交点为O，如图；
∵四边形 是矩形，
∴ ；
∵对角线 与 互为双关联线段，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
问题2中的依据是：等角的补角相等；
故答案为：等角的补角相等；
【小问2详解】
解： 是 的外角，
．
是 的外角，
．
，
．
即线段 与线段 所在直线形成的夹角中有一个角是 ．
，
线段 与线段 是双关联线段．【小问3详解】
解：答案不唯一，例如：
作法一： 作法二：
如图，线段 即为所求．
22. 综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计
出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面 ，起跳
点与落地点的距离为 ．
数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人
在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点， 所在直线为x轴，过点O与 所在水平
地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为 ，点Q在x
轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离 的长；（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于
，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 ，其中
， ．仿青蛙机器人从距离 左侧 处
的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起
跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青
蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）．
【答案】（1） ， ；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离 的长为
；（3）
【解析】
本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据起跳点与落地点的距离为 ，得到对称轴为直线 ，根据运动路线的最高点距地面
，得到顶点纵坐标为 ，写出顶点坐标，列出顶点式，把 代入，求出函数解析式即可；
（2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令 ，求出 的值，进而求出
的长即可；
（3）设该平台的高度为 ，根据题意，得到新的抛物线的解析式为： ，
根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点 ，代入求解即可；
解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线 ，顶点纵坐标为 ，
∴顶点坐标为 ，
设抛物线的函数解析式为： ，
∵图象过原点，∴ ，解： ，
∴ ；
（2）∵抛物线的形状不变，点 ，
故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的，
∴新的抛物线的解析式为： ，
当 时， ，
解得： ， （舍去）；
故起跳点P与落地点Q的水平距离 的长为 ；
（3）设该平台的高度为 ，由题意，设新的函数解析式为： ，
∵ ，仿青蛙机器人从距离 左侧 处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过 正上方 处，即抛物线经过点 ，即： ，
∴把 代入 ，得： ，解得： ；
故设该平台的高度为 ．
23. 综合与探究
问题情境：如图，在 纸片中， ，点D在边 上， ．沿过点D的直线折叠该
纸片，使 的对应线段 与 平行，且折痕与边 交于点E，得到 ，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边 的形状，并说明理由拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点 落在射线 上，且折痕与
边 交于点F，然后展平．连接 交边 于点G，连接 ．
①若 ，判断 与 的位置关系，并说明理由；
②若 ， ， ，当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的长
【答案】（1）四边形 是菱形，理由见解析；（2）① ．理由见解析；②5或
【解析】
（1）由折叠的性质可得 ， ，再根据平行线的性质可得
，进而得到 ，由等角对等边推出 ，从而证明
，即可四边形 是菱形；
（2）①由（1）推出 ，由折叠的性质得到 ，结合已知可得
，进而推出 ，得到 ，再根据三角形内角和定理
即可求出 ，即可得到 与 的位置关系；②分 是以 为腰 为底的等腰
三角形和 是以 为腰 为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长 交 于点H，设
交点为 ，利用三角形相似的性质建立方程求解即可．（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）证明：① ，理由如下：
由（1）知四边形 是菱形，
∴ ，
由折叠的性质得到 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
解：②∵ ， ， ，
∴ ，
当 是以 为腰 为底的等腰三角形时，如图，延长 交 于点H，设 交点为
，则 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得 ， ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
当 是以 为腰 为底的等腰三角形时，如图，则 ，同理得 ， ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是以 为腰 为底的等腰三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
