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数学练习
一、选择题（共16分，每小题2分）
1. 下列关系式中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．
【详解】 符合二次函数的定义，故A符合题意；
中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故B不符合题意；
是一次函数，故C不符合题意；
中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式 是解题的关键．
2. 抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据抛物线的顶点坐标进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线的解析式为 ，
∴其顶点坐标为：（1，4）．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．注意：抛物线
的顶点坐标为（h，k）．
3. 如图， 是由 绕 点旋转得到的，若 ， ， ，则旋转角的度数为（ ）
A. 80° B. 50° C. 40° D. 10°
【答案】B
【解析】
【分析】根据旋转的性质可得旋转角为∠BAD，即可求解．
【详解】解∶∵ 是由 绕 点旋转得到的，
∴旋转角为∠BAD，
∵ ， ，
∴∠CAD=∠BAC+∠CAD=50°，
即旋转角的度数为50°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．
4. 方程 的根的情况是（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有一个实数根
【答案】C
【解析】
【分析】先计算 从而可得答案.
【详解】解： ，
∴
∴方程有两个不相等的实数根，
故选C【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握“当 则方程 有两个
不相等是实数根”是解本题的关键.
5. 如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣ ＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y
轴于负半轴，由此即可判断．
【详解】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴﹣ ＞0，
∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，
故选C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
6. 已知二次函数 ，分别取 ， ， ，那么对应的函数值为 ， ，
中，最大的为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】【分析】根据题意可得二次函数的图象的对称轴为直线 ，且开口向下，从而得到二次函数的图象上的
点离对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数的图象的对称轴为直线 ，且开口向下，
∴二次函数的图象上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵ ，
∴ ，
∴最大的为 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7. 已知二次函数 的图象如图所示，有下列结论：① ；② ；③
；④ ；⑤方程 的两个根是 和1；⑥ ．其中正确的个数是
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的图象，逐一进行判定即可．
【详解】解：由图象可知：
开口朝上： ；对称轴为： ，
∴ ， ；
与 轴交于负半轴： ；
与 轴有两个交点： ；
与 轴交于 ，故： ；根据对称性：与 轴的另一个交点为： ；
综上： ，①正确；
，②错误；
，③正确；
，④错误；
方程 的两个根是 和1，⑤正确；
， ，故： ，⑥错误；
综上分析可知，正确的有3个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和二次函数系数之间的关系．熟练掌握二次函数的性质，从图象中挖掘
有效信息是解题的关键．
8. 如图，等腰 与矩形DEFG在同一水平线上， ，现将等腰 沿箭
头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰
与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移过程，可分三种情况，当 时，当 时，当 时，利用直角三角
形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N， ，
在等腰 中， ，
，
①当 时，如图， ，
，
，
∴ ，y随x的增大而增大；
②当 时，如图，，
∴当 时，y是一个定值为1；
③当 时，如图， ，
，
,
当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，
结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题
的关键．
二、填空题（共16分，每小题2分）
9. 二次函数 与y轴交点的坐标为______．
【答案】（0，-1）
【解析】
【分析】把x=0代入，即可求解．
【详解】解：当x=0时，y=-1．∴二次函数 与y轴交点的坐标为（0，-1）．
故答案为：（0，-1）
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10. 请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向下；②与 轴的交点坐标为 ，此二次函数的
解析式可以是______________
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质可得a<0，利用二次函数图像上点的坐标特征可得出c=3，取a=−2，b=0时
即可得出结论．
【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
∴c=3，
取a=−2，b=0时，二次函数解析式为y=−2x2+3，
故答案为：y=−2x2+3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次
函数图像上点的坐标特征，找出a<0，c=3是解题关键．
11. 已知二次函数 图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
那么它的图象与x轴的交点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】由表格信息可得：当 时的自变量 或 从而可得答案.
【详解】解：由表格信息可得：当 时的自变量 或
∴抛物线与x轴的交点坐标为：故答案为：
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，理解表格信息的含义是解本题的关键.
12. 将抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的抛物线的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的平移．熟练掌握平移规律是解题的关键．
13. 若一元二次方程 的一个根是0，则k的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得 且 ，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个根是0，
∴ 且 ，
解得： ．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是
方程的解是解题的关键．
14. 如图，将 ABC绕点A顺时针旋转 ，得到 ADE，若点E恰好在CB的延长线上，AC＝2，则EC＝
△ △
______．【答案】
【解析】
【分析】由旋转可得： 再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵由旋转可得：
∴ ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
15. 如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球
行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 ，则铅球推出的水
平距离OA的长是_____m．
【答案】10
【解析】
【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解
析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．
【详解】将y=0代入 ；整理得：
（x-10）（x+2）=0
解得：x=10或x=-2（舍去）
∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．
故答案为：10
【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16. 给定二元数对（p，q），其中p＝0或1，q＝0或1，三种转换器A，B，C对（p，q）的转换规则如下：
a．转换器A当输入（1，1）时，输出结果为1；其余输出结果均为0．
转换器B当输入（0，0）时，输出结果为0；其余输出结果均为1．
转换器C当输入（1，1）时，输出结果为0；其余输出结果均为1．
b．在组合使用转换器时，A，B，C可以重复使用．
（1）在图1所示的“A－B－C”组合转换器中，若输入（1，0），则输出结果为______；
（2）在图2所示的“①-C-②”组合转换器中，若当输入（1，1）和（0，0）时，输出结果均为0，则该组
合转换器为“____-C-____”（写出一种组合即可）．
【答案】 ①. 1 ②. B ③. A
【解析】
【分析】（1）根据题中的转换规则计算即可得到结果；
（2）分两种情况分别把 输入，得到第一次转换后的第二个数据，再分别分三种情况得到第一
次转换后的第一个数据，再作判断即可．【详解】解：（1）在图1所示的“A-B-C”组合转换器中，若输入（1，0），则输出结果为1；
故答案为：1；
（2）因为给定二元数对（p，q），其中p＝0或1，q＝0或1，所以二元数对所有可能的组合为（0，
0），（0，1），（1，0），（1，1），根据转换规则，（p，q）在转换器A、B、C中所有输出结果分别
如下：
A B C
（0，0） 0 0 1
（0，1） 0 1 1
（1，0） 0 1 1
（1，1） 1 1 0
当输入（1，1）和（0，0）时，根据题意，列出所有最终结果为0的情况如下：
所以该组合转换器为“A，C，A“或“B，C，A”．
故答案为：B，A(答案不唯一)．
【点睛】此题考查了程序框图的含义，弄清转换器中的规则是解本题的关键．
三、解答题（共68分，第17题6分，第18题4分，第19题8分，第20题5分，第21—22
题，每题4分，第23—24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27—28题，每题7
分）
17. 解下列关于x的一元二次方程．
（1） ；（2）3x（x－2）＝x－2．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先把方程化为 再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先移项，再把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可.
【小问1详解】
解： ，
∴
∴
∴
解得：
【小问2详解】
3x（x－2）＝x－2，
∴
∴
∴ 或
解得：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与因式分解的方法解一元二次方程”是解
本题的关键.
18. 若二次函数的图象过点（0，2），且当x＝1时，此函数的最大值为3，求此二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设抛物线解析式为顶点式，可以求得此二次函数的解析式；【详解】解：∵当x＝1时，此函数的最大值为3，
∴顶点坐标为：
设抛物线为：
∵二次函数的图象过点（0，2），
∴
解得：
∴抛物线为：
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数 的解析式，解题的关键是明确题意，得到抛物线的顶点坐
标．
19. 已知二次函数 ．
（1）抛物线的顶点坐标是______；
（2）在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表）
x … …
y … …
（3）当x______时，y随x的增大而增大；
（4）当x满足______时，y>0；
（5）当—3<x<0时，函数y的取值范围为______；
（6）若 有两个不相等的实数根，m的取值范围为______．【答案】（1）
（2）画图见解析 （3）
（4） 或
（5）
（6）
【解析】
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）在对称轴的两侧取两组对称点，列表，然后描点、连线即可．
（3）在对称轴的右侧符合题意，从而可得答案；
（4）由函数图象信息可得当 ，函数图象在x轴的上方，从而可得答案；
（5）先求解函数的最小值，再求解当 的函数值，可得当 时，函数值的取值范围．
（6）观察函数 的图象的交点个数可得答案．
【小问1详解】
解：由 可知：
顶点坐标为 ，
【小问2详解】
列表如下：
0 1
描点并连线，【小问3详解】
由函数图象信息可得：当 时，y随x的增大而增大；
【小问4详解】
由函数图象信息可得当 ，函数图象在x轴的上方，
∴ 或
【小问5详解】
由函数图象信息可得：
当 时，
当 时，
当—3<x<0时，函数y的取值范围为：
【小问6详解】
∵ ，
∴
观察函数 的图象的交点可得：有两个不相等的实数根时，m的取值范围为
【点睛】本题考查的是抛物线的顶点式，画二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数与直线的交点坐
标及一元二次方程的实数根之间的关系，掌握以上知识利用数形结合的方法解题是关键．
20. 关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此方程的根．
【答案】（1） 且 ；（2） ， ．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m≠0且 ≥0，
然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】（1）∵
．
解得 且 ．
（2）∵ 为正整数，
∴ ．∴原方程为 ．
解得 ， ．
【点睛】考查一元二次方程 根的判别式 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根.
当 时，方程有两个相等的实数根.
当 时，方程没有实数根.
21. 如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，其中B（-2、-2）、请在所给的直角坐标系中按要求
解答下列问题：
（1） 与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则 的坐标为______；
（2） 的面积为______；
（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为 ， ，则旋转中心的坐标为
______，并在网格中画出旋转后的 ．
【答案】（1）（2，2）
（2）2.5 （3）（0，-1），图形见解析
【解析】
的
【分析】（1）根据关于原点成中心对称 点的特征求解，即可；
（2）利用割补法求三角形的面积，即可；（3）连接 ，作 的垂直平分线交于点P，则点P即为所求的旋转中心，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ 与△ABC关于坐标原点O成中心对称，
∴点B和点 关于坐标原点对称，
∵B（-2、-2），
∴ 的坐标为（2，2）；
故答案为：（2，2）；
【小问2详解】
解：根据题意得： 的面积等于△ABC的面积，
∴ 的面积等于 ；
故答案为：2.5
【小问3详解】
解：如图，连接 ，作 的垂直平分线交于点P，则点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心的坐标为（0，-1）；
故答案为：（0，-1）
如图， 即为所求．
【点睛】本题考查了图形的变换——旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心
对称变换的性质，属于中考常考题型．
22. 如图，在等边△ABC中，点D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．
【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质证明 ，即可得证；
【详解】∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和旋转的性质，准确判断是解题的
关键．23. 公司电商平台准备在2022年十一长假期间销售某种儿童玩具，市场调查反映：当它的售价为每件60
元时，每天可卖出120件；售价每增加1元，每天销售量会减少4件．已知玩具的进价为40元．设售价增
加x元，每天售出y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数表达式：
（2）求当x为多少时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元？
（3）设平台每天销售这种玩具可获利w元，求当x为多少时，w最大，最大值是多少？
【答案】（1）
（2）当x为20时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元.
（3）当 时，w有最大值，最大值为： 元.
【解析】
【分析】（1）由售价增加x元，销售量减小 件，从而可得函数关系式；
（2）由每件利润乘以销售量等于利润，再列方程，解方程即可；
（3）由每件利润乘以销售量等于总利润，再列函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案.
【小问1详解】
解：由题意得：
【小问2详解】
解：由题意可得：
整理得：
解得：
经检验 不符合题意，舍去，
答：当x为20时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元.
【小问3详解】
由题意得：
∵当 时，w有最大值，
最大值为： （元）.
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，确定相等关系是列方程与列函数关系式的
关键.
24. 在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知
识探究函数y＝x2﹣2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．
（1）函数y＝x2﹣2|x|的自变量x的取值范围是 ．
（2）化简：当x＞0时函数y＝ ，当x＜0时函数y＝ ．
（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：
．
（4）若直线y＝k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为 ．
【答案】（1）全体实数；（2）x2﹣2x，x2+2x；（3）图像见详解，函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x
的增大而增大，答案不唯一；（4）k＝﹣1或k＞0
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数；
（2）根据绝对值的意义化简即可；
（3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值为﹣1；x＞1时，y
随x的增大而增大，答案不唯一；
（4）根据图象即可求解．
【详解】解：（1）函数y＝x2﹣2|x|是整式函数，自变量x的取值范围是全体实数，
故答案为全体实数；
（2）当x＞0时函数y＝x2﹣2x，当x＜0时函数y＝x2+2x，故答案为y＝x2﹣2x，y＝x2+2x；
（3）列表：
x … ﹣3 ﹣2.5 ﹣2 ﹣1 0 1 2 2.5 3 …
y … 3 1.25 0 ﹣1 0 ﹣1 0 1.25 3 …
描点、连线用平滑曲线连接画出如下函数图象：
由图象和表格可知：函数的最小值为﹣1，x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；
故答案为函数的最小值为﹣1；x＞1时，y随x的增大而增大，答案不唯一；
（4）直线y＝k是与x轴平行的直线，与该函数只有两个公共点，直线y＝k图像为x轴上方，或过函数的
做地点，根据图象判断k的取值范围为k＝﹣1或k＞0．
故答案为：k＝﹣1或k＞0．
【点睛】本题考查自变量取值范围，化简绝对值函数，函数的性质，抛物线与直线交点问题，掌握自变量
取值范围，化简函数，函数的性质，抛物线与直线交点问题，利用数形结合思想确定直线y=k与抛物线的
位置是解题关键
.
25 阅读下面材料：小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1， ，PC＝2，求∠APB的
度数；
小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造 ，连接 ，得到两个特殊的三角形，
从而将问题解决．
（1）请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）
参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：
（2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且 ， ， ．求∠APB的度数；
（3）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝ ，直接写出PA，PB和PF的数量关系．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质可得
证出 是等边三角形，由等边三角形
的性质求出 ，再由勾股定理逆定理求出 ，求出 ，即为
∠APB的度数；
（2）把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质可得
，证出 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出 ，，再利用勾股定理逆定理求出 ，然后求出 ，即为∠APB的度数；
（3）把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ， 由旋转的性质，
，可得 ， 过点A作 于M，设
与AF相交于N，证明 再利用勾股定理可得答案．
【小问1详解】
解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质，
∴ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∴
故 ；
故答案为： ．
【小问2详解】
如图3，把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，由旋转的性质，
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
故 ．
【小问3详解】
如图4，∵正六边形的内角为 ，
∴把△APB绕点A逆时针旋转 得到 ，
由旋转的性质， ，
∴ ，
过点A作 于M，设 与AF相交于N，设
则
∴
∴
由旋转的性质可得：
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理以及勾
股定理逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与全等三角形是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， 为抛物线 （ ）上任意两
点，其中 ．（1）当M，N的坐标分别为（1，4），（3，4）时，抛物线的对称轴为______；
（2）若抛物线的对称轴为x＝2，当 ， 为何值时， ；
（3）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于 ，都有 ，求t的取值范围．
【答案】（1）直线
（2） ， 时，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据M、N的纵坐标相等，得出M、N关于对称轴对称，求出对称轴即可；
的
（2）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为 ，抛物线 对称轴为 ，可得点
M，N关于 对称，从而得到 ， 的值；
（3）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为 ，分3种情况讨论，情况1：当 ， 都位于对称轴
右侧时，情况2：当 ， 都位于对称轴左侧时，情况3：当 ， 位于对称轴两侧时，分别求出对应
的t值，再进行总结即可．
【小问1详解】
解：∵M，N的坐标分别为（1，4），（3，4），
∴M、N关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为：直线 ．故答案为：直线 ．
【小问2详解】
解：当x=0时，y=c，
即抛物线必过（0，c），
∵ ，抛物线的对称轴为 ，
∴点M，N关于 对称，
又∵ ，
∴ ， ．
【小问3详解】
解：由题意知，a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线的对称轴为 ， ，
∴情况1：当 ， 都位于对称轴右侧，即当 时， 恒不成立；
情况2：当 ， 都位于对称轴左侧，即 ， 时， 恒成立；
情况3：当 ， 位于对称轴两侧时，即当 ， 时，要使 ，必有 ，即
，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， ．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象性质，学会分类讨论的思
想．
27. 四边形ABCD是正方形， 是等腰直角三角形，∠BEF＝90°，BE＝EF．点G为DF的中点，连
接EG，CG，EC．（1）如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的数量关系和位置关系；
（2）将图1中的 绕点B顺时针方向旋转至图2所示位置，（1）中所得的结论是否仍然成立？若成
立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）将图1中的 ，绕点B旋转，当E，F，D三点共线时，若BE＝1， ，直接写出CE长．
【答案】（1）
（2）成立，证明见解析
（3） 或
【解析】
【分析】（1）过G作GH⊥EC于H，推出 ，求出H为EC中点，证明EG=GC，
，推出GH=EH=BC，根据直角三角形 的判定推出 EGC是等腰
△
直角三角形即可；
（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证 EFG≌△HDG，推
出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出 EBC≌△HDC，推出CE△=CH，
△
∠BCE=∠DCH，求出 是等腰直角三角形，即可得出答案；
（3）分两种情况讨论：连接BD，求出cos∠DBE= ，推出∠DBE= ，求出∠ABF= ，解直角
三角形求出即可．
【小问1详解】
解：EG⊥CG， ，理由如下：如图1，过G作GH⊥EC于H，
∵∠FEB=∠DCB= ，
∴ ，
∵G为DF中点，
∴
∴H为EC中点，
∴EG=GC，
过 作 ，交 于Q，交DC于N，
∴四边形FEQG，四边形GQND，四边形FEND都为平行四边形，
∴
同理，得QH是三角形ENC的中位线，
∴
∴
即GH=EH=HC，
∴ 在以H为圆心，CE为直径的圆上，
∴∠EGC=90°， 即 是等腰直角三角形，
∴ ；
【小问2详解】结论还成立，理由如下：
如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH，DH，过E作BC的垂线EQ，延长CB交EQ于R，延长
CD，交EH于N，
在 和 中，
，
∴ （SAS），
∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，
∴ ，
同理得 ，
∴
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，
∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，
在 和 中，
∴ （SAS）．
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴ 是等腰直角三角形，
∵G为EH的中点，
∴EG⊥GC， ，即（1）中的结论仍然成立；
【小问3详解】
分两种情况：①如图3，连接BD，过C作CM⊥EC，交ED的延长线于M，
∵ ，正方形ABCD，
∴BD=2，
中，cos∠DBE ，
∴∠DBE= ，∠BDF= ，
∴tan∠BDE= ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵∠EDC=∠BDE+∠CDB= ，
∴∠CDM= ，
∴∠CDM=∠CBE，
∵∠ECM=∠BCD= ，∴∠DCM=∠BCE，
∵BC=CD，
∴ （ASA），
∴EC=CM，DM=EB=1，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵EM=ED+DM= ，
∴ ；
②如图4，连接BD，过C作CH⊥EC，交ED于H，
同理，得 （ASA），
∴EC=CH，DH=EB=1，
同理，知： ，
∴EH=DE-DH= ，
同理 是等腰直角三角形，
∴EH= ，∴ ；
综上，CE的长为
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，
锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，二次根式的除法运算等知识点的应用，主要考查学生综合运用性
质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，直线l和矩形w，定义如下：若点P关于直线l的对称点 在矩
形ABCD的边上，则称点P为矩形ABCD关于直线1的“对矩点”．已知矩形ABCD的顶点A（1，0），
B（8，0），C（8，4），D（1，4）．
例如，图中的点F和点G都不是矩形ABCD关于y轴的“对矩点”，点H是矩形ABCD关于y轴的“对矩
点”．
（1）在点 ， ， ， 中，是矩形ABCD关于直线l：x＝3“对矩点”的点
是______；
（2）若在直线y＝2x＋6上存在点M，使得点M是矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”，求t的取值
范围；
（3）若抛物线 上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，请直接写
出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）【解析】
【分析】（1）先分别在坐标系内描出点 ， ， ， 中，与关于直线l：x
＝3对称的对称点，再根据新定义可得答案；
（2）作出直线 再利用数形结合的方法可得答案；
（3）分情况画出图形，结合图形确定抛物线上的点关于直线 对称的点的分布，从而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，分别在坐标系内描出点 ， ， ， 中，与关于直线l：x＝3对
称的对称点，
∴ 的对称点落在矩形的边上，
∴点 ， ， ， 中，是矩形ABCD关于直线l：x＝3“对矩点”的点是
【小问2详解】
如图，当 时，则直线 与x轴的交点G关于 的对称点H落在矩形ABCD的边上，所以此时存在矩形ABCD
的“对矩点”，
当直线 的交点I关于直线 的对称点J落在矩形ABCD的边上，
∴在直线y＝2x＋6上存在点M，使得点M是矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”，t的取值范围为
【小问3详解】
如图，令
解得：
令
解得：∴抛物线与x轴的右边交点坐标为：
当 时，
此时抛物线 上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有3个，分别为
当 关于 的对称点 为矩形的顶点时，如图，
此时此时
此时抛物线 上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，分别为
以及抛物线 段上存在一个，
此时
∵ 的中点对应的数为：
如图，当此时抛物线 上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，分别为
以及抛物线 段上存在一个，抛物线QN段上存在一个，
∵ 的中点对应的数为：
当 时，此时抛物线 上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，分别为
以及抛物线QN段上存在一个，
综上：抛物线 上存在矩形ABCD关于直线l：x＝t的“对矩点”且恰有4个，
【点睛】本题属于新定义题，考查了一次函数与二次函数的性质，轴对称的性质，一元二次方程的解法，
理解新定义，利用数形结合的方法解题是关键．
