文档内容
通州区 2023—2024 学年第二学期八年级期中质量检测
数学试卷
考生须知：
1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项
只有一个．
.
1 已知点A的坐标为（ ），那么点A在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据点A（-2，3）横纵坐标的特点，即可确定点A所在象限．
详解：因为点A（-2，3）横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点A在平面直角坐标系的第二象限．
故选：B．
点睛：解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负
负，第四象限正负．
2. 如图，在 中，对角线 与 相交于点 ，如果 ，那么 的长是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分即可求解．
【详解】解：∵在 中，对角线 与 相交于点 ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
3. 如图所示的图象分别给出了 与 的对应关系，其中能表示 是 的函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数的概念与图象，根据函数的定义判断即可．
【详解】解：∵C图象中对于每一个 的值， 都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义；而A、B、
D图象中对于每一个 的值，并非 都有唯一确定的值与之对应，不符合函数的定义；
∴C符合题意，A、B、D不符合题意．
故选：C．
4. 在下列条件中，能够判定 为矩形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可．
【详解】当AB=AC时，不能说明 是矩形，所以A不符合题意；
当AC⊥BD时， 是菱形，所以B不符合题意；
当AB=AD时， 是菱形，所以C不符合题意；
当AC=BD时， 是矩形，所以D符合题意．
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形．
5. 如果 ， 是正比例函数 的图象上的两点，且 ．那么符合题意的 的值
可能是( )
A. B. 1 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，由 时， ，根据正比例函数的增减性，得到 ，
即可得到答案．
【详解】解：∵ ， 是正比例函数 的图象上的两点，且 ．
∴ ，
故选：D．
6. 甲、乙、丙、丁四个同学跑步的路程 和所用时间 如图所示，其中平均速度相同的两个同学是（
）
A. 甲和丁 B. 甲和乙 C. 丙和丁 D. 乙和丙
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了从图象中获取信息的能力，根据图中提供的数据分别求出甲、乙、丙、丁4个人的速
度，再比较大小即可．
【详解】解：由图可知，
甲的速度为： ，
乙的速度为： ，
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学科网（北京）股份有限公司丙的速度为： ，
丁的速度为，
其中平均速度相同的两个同学是乙和丙
故选：D．
7. 如图，在菱形 中， ，点 在对角线 上，且 ，那么 的度数是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角以及三角形内角和定理，根据题意得出 ，根据
已知条件得出 ，根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵在菱形 中， ，点 在对角线 上，
∴ ，
∵ ，
∴
故选：B．
8. 在平面直角坐标系 中，对于任意一点 的“绝对距离”，给出如下定义：若 ，则点
的“绝对距离”为 ；若 ，则点 的“绝对距离”为 ．例如：点 ，因为 ，
所以点 的“绝对距离”为 ．当点 的“绝对距离”为 时，所有满足条件的点 组
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学科网（北京）股份有限公司成的图形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，根据新定义分类讨论，结合新定义逐项分析判即可求解．
【详解】解：依题意，当 时， ，
当 时，
∴当点 的“绝对距离”为 时，所有满足条件的点 组成的图形为
故选：D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，如果在象棋棋盘上建立平面直角
坐标系，使“兵”所在位置的坐标为 ，“马”所在位置的坐标为 ，那么“帅”所在位置的
坐标为______
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角坐标系的知识；根据直角坐标系的性质，结合“兵”位于点 ，“马”位于
点 ，确定原点的位置和直角坐标系每小格的单位，从而得到“帅”的坐标．
【详解】解：如图所示，
“帅”所在位置的坐标为
故答案为： ．
10. 如图，在 中， 的平分线交 于点 ．如果 ， ，那么
______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边，根据平行四边形的性质与角平分
线的定义可得 ， ， ，根据平行线的性质可得 ，进
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学科网（北京）股份有限公司而可得 ，根据等角对等边可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵在 中， 的平分线交 于点
∴ ， ，
∴
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
11. 已知点 ，点 在 轴上方， 轴，如果 ，那么点 的坐标是______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形性质，根据 轴及点 的坐标，可得出点 的横坐标，再根据
及点 在 轴上方，可确定点 的纵坐标，进而可解决问题．
【详解】解：因为 轴，且 ，
所以点 的横坐标为 ．
因为 ，
所以 ， ．
又因为点 在 轴上方，
所以点 的坐标为 ．
故答案为： ．
12. 如图， 、 、 是五边形 的三个外角，延长 、 交于点 ．如果
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学科网（北京）股份有限公司，那么 的度数为______
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】本题考查了多边形的外角，延长 ，根据多边形的外角和为 得出 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 学校组织学生到北京天安门广场参观升国旗仪式是培育学生的爱国情怀．在奏响国歌第一个音符时，
旗手将国旗展开抛出，到国歌的最后一个音符终止，时间是2分07秒，国旗同时到达30米高的旗杆顶端．
国旗上升的高度随着演奏国歌时间的变化而变化．下列说法：①旗杆的高度30米是常量；②国旗上升过程
中的时间是常量；③国旗上升过程中的高度是变量，其中正确的是______(只填写序号)．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题考查了函数的定义；根据常量与变量的定义判断即可．
【详解】解：旗杆的高度30米始终保持不变，是常量；而国旗上升过程中的时间一直在变化，是变量；国
旗上升过程中的高度随时间而改变，是变量，
∴①③正确，②不正确．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：①③．
14. 如图，函数 和 的图象交于点 ，那么关于 ， 的二元一次方程组 的解
为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据方程组的解就是交点坐标写出即可．
【详解】解：∵函数 和 的图象交于点 ， ，
∴关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，
故答案为： ．
15. 如图，在四边形 中， ，对角线 ， 交于点 ，现有三个条件① ；
② ；③ ．其中可以判定四边形 是平行四边形的有______(只写序号即可)．
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质；根据平行四边形的判定方法分别对
各个条件进行判断即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：① ， ，
四边形 是平行四边形，故①符合题意；
② ，
，
又 ， ，
，
，
四边形 是平行四边形，故②符合题意；
③由 ， ，不能判定四边形 是平行四边形，故③不符合题意；
故答案为：①②．
16. 已知：如图，正方形 中， 是对角线 的交点，过 作 分别交 、
于E、F，若 ，则 _______
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：先根据正方形的性质及 证得△AEO≌△BFO，得出AE=BF，则BE=CF，
再根据勾股定理即可求得结果．
,∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠EAO=∠FBO=45°
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学科网（北京）股份有限公司又∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO
∴AE=BF=4
∴BE=CF=3，
考点：本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理
点评：解答本题的关键是根据正方形的性质及 证得△AEO≌△BFO.
三、解答题（本题共68分，第17-24题每小题5分，第25.26题每小题6分，第27，28题每
小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 已知函数 ．
（1）如果点 在该函数的图象上，求 的值；
（2）求出这个函数的图象与 轴， 轴的交点坐标．
【答案】（1）
（2）这个函数的图象与 轴的交点为 ，与 轴的交点为
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，求一次函数图象与坐标轴的交点．
（1）将点 代入 ，即可求解．
（2）将 ，代入 ，求出 的值，即得出这个函数的图象与 轴的交点；将 ，代入
，求出 的值，即得出这个函数的图象与 轴的交点，即可求解．
【小问1详解】
解：将 代入 ，得，
，
解得： ；
【小问2详解】
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司这个函数的图象与 轴的交点为 ；
当 时，即 ，
解得：
这个函数的图象与 轴的交点为 ．
18. 已知一次函数 的图象过点 ， ．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）在平面直角坐标系 中，画出这个函数的图象．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了求一次函数解析式，画一次函数图象；
（1）待定系数法求解析式，即可求解．
（2）根据 ， 直接画出函数图象，即可求解．
【小问1详解】
解：将 ， 代入 ，得
解得：
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：过 ， 画出函数图象，
如图所示
19. 如图，在 中，点 ， 分別在 ， 上，连接 ， ，与对角线 分别交于点
， ．如果 ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据对顶角相等和已知条件得出 ，即可证明 ，进而根据四边形
是平行四边形，得出 ，根据两组对边分别平行，即可得证．
【详解】证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
∵四边形 是平行四边形，
∴
∴
∴四边形 是平行四边形．
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学科网（北京）股份有限公司20. 已知函数 的图象为 ，函数 的图象为 ．
（1）在同一个直角坐标系中画出这两个函数的图象（不要求列表计算）；
（2）一次函数 的图象为 ，请在坐标系中画出 ， ， 不能围成三角形的情形，并直接写出相对
应的 的值．
【答案】（1）见解析 （2） 或 或
【解析】
【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，画一次函数图象；
（1）先求得两直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象，即可求解；
（2）当 与 或 平行，，当 经过 和 的交点坐标时，不能组成三角形．
【小问1详解】
解：对于 ，当 时， ，当 时， ，
对于 ，当 时， ，当 时， ，
过点 画出 ，过点 画出 ，如图所示
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
解：联立
解得：
当 经过 和 的交点坐标时，不能组成三角形，则
解得：
∵当 与 或 平行， 或
∴ 的值为 或 或 ．
21. 如图，在矩形 的边 上取一点 ，使 ．过点 作 ，垂足为点 ．如果
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学科网（北京）股份有限公司， ．求 的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，先证明
然后证明 ，根据全等三角形的性质可得 ，进而勾股定理，
即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
22. 已知函数 的图象是由函数 的图象平移得到，且经过点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 ， 的值；
（2）过点 作 轴的垂线交函数 的图象于点 ，交函数 的图象于点 ，过点 作 轴
的平行线交 的图象于点 ，请判断线段 ， 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的平移，坐标与图形，求一次函数解析式，求函数值；
（1）根据平移可得 ，将 代入 得出 ；
（2）根据题意求得 的坐标，进而得 ．
【小问1详解】
解：∵函数 的图象是由函数 的图象平移得到，
∴
∵ 经过点 ．
∴ ；
【小问2详解】
解：由（1）可得 的解析式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，
∵ 轴，且 在 上，
∴ ，则
∵ 轴，且 在 上，
∴ ，则
∴ ．
23. 如图，在四边形 中． ， ，对角线 ， 交于点 ， 平分 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
的
（2）点 是边 上 动点(不与 ， 重合)，过点 作 ， ，垂足分别为 ，
，连接 、 ．求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；
（1）先证四边形 是平行四边形，再证 ，则 ，然后由菱形的判定即可
得出结论；
（ 2 ） 由 菱 形 的 性 质 得 则 ， 再 由 ， ， 得
，然后证四边形 是矩形，即可得出结论．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明： ， ，
四边形 是平行四边形， ，
平分 ．
，
，
，
平行四边形 是菱形．
【小问2详解】
由（1）可知，四边形 是菱形，
，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
．
24. 在平面直角坐标系 中，一次函数 （ ）的图象经过点 和 ，与过点
且平行于 轴的直线交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求该函数的表达式及点 的坐标；
（2）当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值都大于一次函数 （ ）值，请
直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线交点问题；
（1）将点 和 ，代入 ，待定系数法求解析式，令 求得点 的坐标；
（2）先求得当 经过 时， ，结合函数图象，即可求解．
【小问1详解】
解：将点 和 ，代入
∴
解得：
第20页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴
∵过点 且平行于 轴的直线交于点 ．
当 时， ，解得： ，
∴
【小问2详解】
解：如图所示，
当 时，
当 经过 时，
∵当 时，对于 的每一个值，一次函数 的值都大于一次函数 （ ）值，
根据函数图象可得： ．
25. 如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ，过点 作 于点 ，延长 到点 ，
使 ，连接 ．
第21页/共32页
学科网（北京）股份有限公司（1）求证：四边形 是矩形；
的
（2）连接 ，若 ， ，求 长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到 且 ，等量代换得到 ，推出四边形
是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得 ，由勾股定理求出 ， ，再由直角三角形斜
边上的中线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明： 四边形 是菱形，
且 ，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是矩形；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解： 四边形 是菱形， ，
，
，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
四边形 是菱形，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等；熟练
掌握以上知识是解题的关键．
26. 某容器由上、下两个高度相同的圆柱体组合而成（如图），已知这个容器的高为 ，现向容器匀
速注水，直至容器恰好注满时停止，每 记录一次水面的高度 （单位： ），测了12次数据如下表所
示：
注水时间
水面高度
（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点；根据描出的点，画出该函数的图象；
第23页/共32页
学科网（北京）股份有限公司（2）在上面的圆柱体中，求水面高度 与注水时间 的函数关系式，并写出注水时间 的取值范围；
（3）直接用等式表示上面圆柱体底面圆的半径 与下面圆柱体底面圆的半径 的关系．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用；圆柱体的体积公式；
（1）根据表格数据，描点连续，即可求解；
（2）待定系数法求得第二段函数图象的解析式，即可求解；
（3）求得第一段函数解析式，得出下面圆柱体注水的速度是上面圆柱体注水的速度的 ，进而得出
，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：将 代入
∴
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学科网（北京）股份有限公司解得：
∴
∵这个容器的高为 ，现向容器匀速注水，直至容器恰好注满时停止，
∴当 时， ，解得：
∴
【小问3详解】
将 ，代入
∴
解得：
∴
∵ ， 分别表示上面和下面的圆柱体的水面高度与时间的关
系，
又
即下面圆柱体注水的速度是上面圆柱体注水的速度的 倍，
第25页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴
即
即
27. 如图，在正方形 中，点 是边 上的一动点（不与点 、 重合），点 关于直线 的对
称点为 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，交对角线 于点 ．
（1）依据题意补全图形；
（2）如果 ，求 的大小（用含 的式子表示）；
（3）用等式表示线段 与 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）
（3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形，即可求解；
（2）根据轴对称得出 ，进而根据正方形的性质可得 ， 得
出 ，进而根据三角形的外角的性质即可求解；
（3）过点 作 于点 ，则 ，根据（2）的结论得出 ，则
，进而证明 ，得出 ，根据 是等腰直角三角形，得出
第26页/共32页
学科网（北京）股份有限公司，根据轴对称的性质可得 ，即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，
【小问2详解】
解：∵点 关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ；
【小问3详解】
解：如图所示，过点 作 于点 ，则
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ，
第27页/共32页
学科网（北京）股份有限公司又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵点 关于直线 的对称点为 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与外角的性质，勾股
定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系 中的图形 和图形 ，给出如下定义： ， 分别为图形 和图形 上任
意一点，将 ， 两点间距离的最小值称为图形 和图形 之间的“关联距离”，记作 ．例如，
如图①，点 与 轴之间的“关联距离” ．
第28页/共32页
学科网（北京）股份有限公司（1）如图②，已知点 和点 ，则 ______；
（2）如图③，已知点 ， ， ，点 是 轴正半轴上一点，若 ，
求点 的坐标；
（3）已知 ， ，当 时，对于每一个 的值，若线段 和一次函数
（ 是常数， ）的图像之间的“关联距离” ，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或 或
（3） 且 ．
【解析】
【分析】（1）根据“关联距离”的定义得： ，勾股定理即可求解；
（2）分三种情况画出图形：当 在 上方时， 的坐标是 ；当 在线段 上时，过 作
，可得 ；当 在 上方时， ；
第29页/共32页
学科网（北京）股份有限公司（3）求出直线 过定点 ，当 时， ， ，当 时， ，
，直线 过 ， 时，分别求得 的值，进而根据新定义，得出直线
与平行四边形 无公共点，结合图形，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意， ，
故答案为： ．
【小问2详解】
解：如图所示，点 是 轴正半轴上一点，
当 在 点上方时， ，即点 到 点的距离为 ，
∴ ，
当 在 上方时， 即点 到 的距离为 ，
∴ ，
∵点 ， ， ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形， 则 平分 ，则 到 的距离相等，
过点 作 ，则 是等腰直角三角形，
第30页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∵ ，此时点 到 的距离为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 或 或 ；
【小问3详解】
解：如图所示，
当 时， ，
直线 过定点 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
把 代入 得： ，
解得 ，
把 代入 得： ，
解得 ，
线段 和一次函数 （ 是常数， ）的图像之间的“关联距离”
第31页/共32页
学科网（北京）股份有限公司，
∴直线 与平行四边形 无公共点，
由图可知，此时 ．
∵
∴ 且
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等腰直角三角形，平行四边形，勾股定理，解题的
关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．
第32页/共32页
学科网（北京）股份有限公司
