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北京景山学校 2022~2023 学年度第一学期九年级数学 12 月考试卷
一、选择题
1. 下图是某几何体的三视图,该几何体是( )
A. 圆锥 B. 圆柱 C. 三棱锥 D. 长方体
2. 在平面直角坐标系中,将抛物线 向右平移2个单位长度,向上平移1个单位长度,得到抛物线(
)
A. B. C. D.
3. 在 中, , , .把 绕点 顺时针旋转 后,得到
的
,如图所示,则点 所走过 路径长为( )
A. B. C. D.
4. 如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上,则∠B的大小
为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°5. 已知⊙O的半径为1,点P到圆心的距离为d,若关于x的方程x -2x+d=0有实数根,则点P ( )
A. 在⊙O的内部 B. 在⊙O的外部 C. 在⊙O上 D. 在⊙O上或⊙O内部
6. 如图, 是 的直径,点C,D是圆上两点,且 ,则 等于( )
.
A B. C. D.
的
7. 如图所示,电路连接完好,且各元件工作正常.随机闭合开关 , , 中 两个,能让两个小
灯泡同时发光的概率是( )
A. 0 B. C. D.
8. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品,涉及了“等宽曲线”的知识.因为圆的任何一对平行切线的距离
总是相等的,所以圆是“等宽曲线”.除了圆以外,还有一些几何图形也是“等宽曲线”,如勒洛三角形
(图1).它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间画一段圆弧,三段
圆弧围成的曲边三角形.图2是等宽的勒洛三角形和圆.下列说法中错误的是( )
A. 勒洛三角形是轴对称图形
B. 图1中,点A到弧BC上任意一点的距离都相等
C. 图2中,勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心 的距离都相等
D. 图2中,等宽的勒洛三角形和圆,它们的周长相等
二、填空题
9. 正五边形的每个内角为______°
10. 如图,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,
若PA=5,则△PCD的周长为________ .
11. 如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8cm,DC=2cm,则OC=_____cm.
12. 已知m是一元二次方程 的一个根,则代数式 的值为______.
13. 抛物线 与 轴交于两点,分别是 , ,则 的值为_______.
14. 某种病毒传播非常快,如果一个人被感染,没有隔离,经过两轮感染后就会有81个人被感染.设1人
平均感染x人,则可列方程为______.
15. 如图,在平面直角坐标系 中,已知点 , 为平面内的动点,且满足 ,
为直线 上的动点,则线段 长的最小值为________.16. 某生产线在同一时间只能生产一笔订单,即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品.一
笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比.例如,该生产
线完成第一笔订单用时5小时,之后完成第二笔订单用时2小时,则第一笔订单的“相对等待时间”为
0,第二笔订单的“相对等待时间”为 .现有甲、乙、丙三笔订单管理员估测这三笔订单的生产时间
(单位:小时)依次为a,b,c,其中 ,则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是
________.
三、解答题
17. 计算: .
18. 已知:如图1,在 ABC 中,AB = AC,D为边AC上一点.
△
求作:点P,使得点P 在射线BD上,且∠APB =∠ACB.
作法:如图2,
①以点A为圆心,AB 长为半径画弧,交BD的延长线于点E,
连接AE;② .
点P就是所求作的点.
(1)补全作法,步骤②可为 (填“a”或“b”);
a:作∠BAE的平分线,交射线BD于点P
b:作∠CAE的平分线,交射线BD于点P
(2)根据(1)中的选择,在图2中使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(3)由①可知点B, C, E在以点A为圆心,AB长为半径的圆上,所以∠CBE = ∠CAE.
其依据是 .
由②可得∠PAD = ∠ ,所以∠PAD =∠CBE.
为
又因 ∠ADP =∠BDC,可证∠APB =∠ACB.
19. 已知二次函数 .
(1)求出该二次函数图象与x轴两个交点A、B的坐标(点A在点B左边),并画出图象;
(2)利用图象直接写出:当x取什么值时, .
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+m+1=0.
(1)求证:该方程总有两个实数根;
(2)若该方程的两个实数根互为相反数,求m的值.
21. 如图, ,射线 于点 , 是线段 上一点, 是射线
上一点,且满足 .(1)若 ,求 的长;
(2)当 的长为何值时, 的长最大,并求出这个最大值.
22. 在平面直角坐标系 中,点 为双曲线 上一点.
(1)求k的值,并画出反比例函数图象;
(2)当 时,对于x 的每一个值,函数 的值大于 的值,直接写出m的取
值范围.
23. 如图是计算机“扫雷”游戏的画面,在 个小方格的雷区中,随机地埋藏着20颗地雷,每个小方格最
多能埋藏1颗地雷.小林和小艾轮流点击,小林先点一个小方格,显示数字2,它表示围着数字2的8个方
块中埋藏着2颗地雷(包含数字2的黑框区域记为A).(1)若小艾在区域A内围着数字2的8个方块中任点一个,未踩中地雷的概率是多少?
(2)现在小艾点击了右下角的一个方格,出现了数字1(包含数字1的黑框区域记为B),轮到小林点击,
若小林打算在区域A和区域B中任点一个未点击的方块,从安全的角度考虑,他应该选择哪个区域?说明
理由.
24. 如图,AB是⊙O的直径,弦EF⊥AB于点C,过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点D.
(1)已知∠A=α,求∠D的大小(用含α的式子表示);
(2)取BE的中点M,连接MF,请补全图形;若∠A=30°,MF= ,求⊙O的半径.
25. 有这样一个问题:探究函数 的图象与性质.
小亮根据学习函数的经验,对函数 的图象与性质进行了探究.下面是小亮的探究过程,请补
充完整:
(1)函数 中自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值.
x … 0 1 3 4 5 6 …
y … 0 m …则m的值为 ;
(3)在平面直角坐标系 中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点,根据描出的点,画出该函数的
图象;
(4)根据画出的函数图象,发现下列特征:
①该函数的图象是中心对称图形,对称中心的坐标是 ;
②该函数的图象与过点 且平行于y轴的直线越来越靠近而永不相交,该函数的图象还与直线
越来越靠近而永不相交.
26. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线 .
(1)求抛物线的对称轴(用含a的式子表示);
(2)若点(-1, ),(a, ),(1, )在抛物线上,且 ,求a的取值范围.
27. 在 ABC中,AB=AC,过点C作射线CB′,使∠ACB′=∠ACB(点B′与点B在直线AC的异侧)点D是
射线C△B′上一动点(不与点C重合),点E在线段BC上,且∠DAE+∠ACD=90°.(1)如图1,当点E与点C重合时,AD 与 的位置关系是______,若 ,则CD的长为______;
(用含a的式子表示)
(2)如图2,当点E与点C不重合时,连接DE.
①用等式表示 与 之间的数量关系,并证明;
②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系,并证明.
28. 对于平面内点P和⊙G,给出如下定义:T是⊙G上任意一点,点P绕点T旋转180°后得到点P',
则称点P'为点P关于⊙G的旋转点.下图为点P及其关于⊙G的旋转点P'的示意图.在平面直角坐标
系xOy中,⊙O的半径为1,点P(0,-2).
(1)在点A(-1,0),B(0,4),C(2,2)中,是点P关于⊙O的旋转点的是 ;
(2)若在直线 上存在点P关于⊙O的旋转点,求 的取值范围;
(3)若点D在⊙O上,⊙D的半径为1,点P关于⊙D的旋转点为点P',请直接写出点P'的横坐标
P
的取值范围.
'