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2023 高考二轮复习二十专题
专题二十三、数学方法在物理解题中的应用
第一部分 织网点睛，纲举目张
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力
是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实际上是将物理问题转化为数学
问题，经过求解再还原为物理结论的过程。
第二部分 实战训练，高考真题演练
1．（18分）（2022重庆高考）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在
竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每
次运动的加速度大小恒为 （g为重力加速度），方向均与x轴负方向成 斜向上（x
轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处， ，能以不同速率向右或向左水平跳出，
蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取 。
（1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在 的高度捉住
虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为 ，求蛙的最大跳出速率。
（2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，
虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。
（3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间
之比为 ；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比
为 。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。第三部分 思路归纳，内化方法
物理解题过程中常用的数学方法主要有
1．正弦定理：
在如图甲所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等。
即：＝＝
2．余弦定理：在如图甲所示的三角形中，有如下三个表达式：
a2＝b2＋c2－2bc·cos A
b2＝a2＋c2－2ac·cosB
c2＝a2＋b2－2ab·cos C
3．三角形相似法：相似三角形的对应角相等，对应边成比例，如图乙所示，两三角形
相似，有：
＝＝
[例3] 表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的
正上方O′处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可视为质点的
小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度
分别为L ＝2.4R和L ＝2.5R，这两个小球的质量之比为，小球与半球之
1 2
间的压力之比为，则以下说法正确的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
[解析] 先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力 mg、
1
绳子的拉力F 和半球的支持力F ，作出受力分析图。由平衡条件得
T N1
知，拉力F 和支持力F 的合力与重力mg大小相等、方向相反。设
T N1 1
OO′＝h，根据三角形相似得＝＝，解得mg＝，F ＝①
1 N1
同理，以右侧小球为研究对象，得：mg＝，F ＝，②
2 N2
由①②式得＝＝，＝＝。[答案] BC
4三角函数法
三角函数：y＝acos θ＋bsin θ
y＝acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋α)，其中α＝arctan 。
当θ＋α＝90°时，有极大值y ＝。
max
[例4] 如图所示是一旅行箱，它既可以在地面上推着行走，也可以在地面上拉着行走。
已知该旅行箱的总质量为15 kg，一旅客用斜向上的拉力拉着旅行箱在水平地面
上做匀速直线运动，若拉力的最小值为90 N，此时拉力与水平方向间的夹角为
θ，重力加速度大小为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，旅行箱受到地面的阻力与其受
到地面的支持力成正比，比值为μ，则( )
A．μ＝0.5，θ＝37° B．μ＝0.5，θ＝53°
C．μ＝0.75，θ＝53° D．μ＝0.75，θ＝37°
[解析] 对旅行箱受力分析，如图所示，根据平衡条件，水平方
向，有：Fcos θ－F＝0，
f
竖直方向，有：F ＋Fsin θ－G＝0，
N
其中：F＝μF ，故F＝，
f N
令μ＝tan α，则F＝；
当α－θ＝0°时，F有最小值，故F＝Gsin α＝90 N，
故α＝37°，故μ＝tan 37°＝0.75，θ＝37°，故选D。
[答案] D
5.二次函数法
二次函数：y＝ax2＋bx＋c
当x＝－时，有极值y ＝(若二次项系数a＞0，y有极小值；若a＜0，y有极大值)。
m
6.数学归纳法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不
是原来的完全重复，而是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生
着前后有联系的变化。该类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解。
7.数列法
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用。
等差：S＝＝na＋d(d为公差)。
n 1
等比：S＝(q为公比)。
n
8.图像法根据题述情景画出相关图像进行定性分析或定量运算。
9.矢量图解法
第四部分 最新模拟集萃，提升应试能力
1. （2023宁夏银川一中第一次月考）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细
绳上O点处；绳的一端通过光滑的定滑轮与物体丙相连，另一端通过光滑定滑轮与物体乙
相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。
若β=55°，则（ ）
A. α>β B. α<β
C. 丙的质量小于甲的质量D. 丙的质量大于甲的质量
2.（16 分）（2023 湖南名校联盟期中）如图所示，水平地面上固定两个相同的斜面
，斜面足够长且倾角 ， 之间的距离为 ，在其中点正上方有
光滑水平轴 。一根长为 的轻质细绳一端固定在轴 上，另一端系一个质量为
的小球 ，小球与地面接触但无相互作用。滑块 和小球 的质量相等，且均
可视为质点，滑块与小球发生弹性正碰，若不计空气阻力和滑块经过 点处的机械能
损失，重力加速度 取 。
（1）若滑块 从 处由静止下滑，滑块 与水平面间的动摩擦因数为 ，
斜面 均光滑，求：
①滑块 与小球 第一次碰后瞬间绳子对小球 的拉力大小；②滑块 与小球 碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小球做完整圆周运动的次数。
（2）若滑块 从 处由静止滑下，斜面 均粗糙，滑块 与斜面和水平面间的动
摩擦因数均为 。求小球 第 次做完整的圆周运动时在最低点的动能 的表达
式。（要求除 外，其他物理量的数值需代入，写出关系式即可，不需要写出取值范
围。）
3．（2023四川遂宁零诊）如图所示，水平地面PQ上竖直平面内固定光滑轨道 ABC，AB是半径为3R
的弧形轨道，BC是半径为R的弧形轨道，两轨道在地面上的B点平滑对接。 BC的圆心为O，BO竖直，
AB的圆心在O点正上方，CO与竖直线夹角为θ。D点是 C点关于过BO竖直线始终对称的点。一个质
量为m的小球在轨道AB上从距PQ高h处静止释放。已知重力加速度为g。
（1）小球经过B点前、后瞬时对轨道压力大小的变化量。
（2）如果小球能够到达C点，求小球静止
释放位置高h的最小值。
（3）如果半径R确定，改变夹角为θ，并相应调整小球在AB轨道上静止释放的位置，以确保能依次
通过C、 D两点，求h的最小值。
4. （2023湖南三湘创新发展联合起点考试）如图所示，
有两足够长倾角均为 的粗糙斜面AB和CD均通过一小段平滑的圆弧与足够长的光
滑水平面BC连接，小滑块a与斜面AB间的动摩擦因数 ，小滑块b与斜面CD间
的动摩擦因数 ，小滑块a从斜面AB上的P点由静止开始下滑，一段时间后，与静止在水平面BC上的装有质量不计的弹簧的物块b发生第一次碰撞，之后弹簧储存的弹
性势能的最大值 ，已知小滑块a、b均可视为质点，质量均为 ，小滑
块a与弹簧碰撞过程中不损失机械能，且弹簧始终在弹性限度内，取重力加速度大小
， ， 。求：
（1）P点距水平面的高度h；
（2）小滑块a与小滑块b第一次碰撞后，小滑块b沿CD斜面上滑的最大距离 ；
（3）小滑块b在斜面上运动的总路程 。
5. （2023重庆八中高三质检）如图所示，一倾角为 的粗糙斜面固定在水平地面上，
斜面底端固定一垂直于斜面的挡板，现将一质量为 的小滑块A从离挡板距离为18L处
由静止释放：随后某一时刻，再将质量为 的小滑块B从斜面上的另一位置由静止释放；
滑块A与挡板相撞反弹后向上运动到离挡板距离为 处与同速率下滑的滑块B发生弹性碰
撞，碰后立即将滑块B取走。已知每次滑块A与挡板碰撞，碰后速率为碰前的 倍，两滑
块和斜面之间的动摩擦因数 ，重力加速度为 ，两滑块均视为质点，不计各次碰
撞时间。求：（1）滑块A第一次与挡板碰撞前的速度大小；
（2）滑块A、B释放的时间差；
（3）整个过程中滑块A与挡板碰撞损失的能量。
6 (2020·日照模拟)如图所示，两个质量分别为m、m的小圆环A、B用不可伸长的细
线连着，套在一个竖直固定的大圆环上，大圆环的圆心为O。系统平衡时，细线所对的圆
心角为90°，大圆环和小圆环之间的摩擦力及细线的质量忽略不计，重力加速度大小用g表
示，下列判断正确的是( )
A．小圆环A、B受到大圆环的支持力之比是∶1
B．小圆环A受到大圆环的支持力与竖直方向的夹角为15°
C．细线与水平方向的夹角为30°
D．细线的拉力大小为mg
6 如图，固定在竖直平面内的倾斜轨道AB，与水平固定光滑轨道BC相连，竖直墙
壁CD高H＝0.2 m，在地面上紧靠墙壁固定一个和CD等高，底边长L ＝0.3 m的固定斜面。
1
一个质量m＝0.1 kg的小物块(视为质点)在轨道AB上从距离B点L ＝4 m处由静止释放，
2
从C点水平抛出，已知小物块与AB段轨道间的动摩擦因数为0.5，通过B点时无能量损失；
AB段与水平面的夹角为37°。(空气阻力不计，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8)
(1)求小物块运动到B点时的速度大小；
(2)求小物块从C点抛出到击中斜面的时间；
(3)改变小物块从轨道上释放的初位置，求小物块击中斜面时动能的最小值。7 如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、二象限内，存在以虚线OM为边界的匀
强电场和匀强磁场。匀强电场方向沿y轴负方向，匀强磁场方向垂直于xOy平面向里，虚
线OM与x轴负方向成45°角。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从坐标原点O处以初
速度v 沿x轴正方向运动，粒子每次到达x轴将反弹，第一次反弹无能量损失，以后每次
0
反弹水平分速度不变、竖直分速度大小均减为反弹前的，方向相反。电场强度大小等于，
磁感应强度大小等于，求：(不计粒子重力，题中各物理量单位均为国际单位，计算结果可
用分式表示)
(1)带电粒子第三次经过OM时的坐标；
(2)带电粒子第三次到达OM时经过的时间；
(3)带电粒子从第二次进入电场开始，沿电场方向运动的总路程。
8．(2020·银川模拟)如图所示，a、b两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一
条细绳跨过定滑轮连接。已知b球质量为m，杆与水平面的夹角为30°，不计所有摩擦。当
两球静止时，Oa段绳与杆的夹角也为30°，Ob段绳沿竖直方向，则a球的质量为( )
A.m B.m
C.m D．2m
．
9.[多选](2020·临沂期末)如图所示，矩形线框abcd处于磁感应强度为B的匀强磁场中
磁场方向与线框平面垂直，线框ab长为2L，bc长为L，MN为垂直于ab并可在ab和cd上
自由滑动的金属杆，且杆与ab和cd接触良好，abcd和MN上单位长度的电阻皆为r。让
MN从ad处开始以速度v向右匀速滑动，设MN与ad之间的距离为x(0≤x≤2L)，则在整
个过程中( )A．当x＝0时，MN中电流最小
B．当x＝L时，MN中电流最小
C．MN中电流的最小值为
D．MN中电流的最大值为
10．(2020·肇庆一模)如图(a)所示，一物体以一定的速度v 沿足够长的固定斜面向上运
0
动，此物体在斜面上的最大位移与斜面倾角的关系如图(b)所示。设各种条件下，物体与斜
面间的动摩擦因数不变，取g＝10 m/s2。试求：
(1)物体与斜面之间的动摩擦因数及物体的初速度大小；
(2)θ为多大时， x值最小？求出x的最小值。
11.在仰角α＝30°的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示。运动员从坡上方A点开始
下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水平面成θ角的方向
起跳。最后落在坡上B点，坡上OB两点距离为L。已知A点高于O点h＝50 m，不计摩擦
和阻力，则OB两点距离L最大值为多少米？此时起跳角为多大？
12．如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接
着质量M＝2 kg的小物块A；装置的中间是水平传送带，它与左右两边的水平面等高，并
能平滑对接，传送带始终以v＝2 m/s的速率逆时针转动。装置的右边是一光滑的曲面，质
量m＝1 kg的小物块B从其上距水平面h＝1.0 m处由静止释放。已知物块B与传送带之间
的动摩擦因数μ＝0.2，传送带的长度l＝1.0 m。设物块A、B之间发生的是对心弹性碰撞，
第一次碰撞前物块A静止，g取10 m/s2。
(1)求物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小；
(2)通过计算说明物块B与物块A第一次碰撞后能否运动到右边曲面上；(3)如果物块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时都会立即被锁定，而当它们
再次碰撞前锁定被解除，试求出物块B第n次碰撞后运动的速度大小。
13．(2020·烟台一模)如图所示，质量为M＝4.5 kg的长木板置于光滑水平地面上，质
量为m＝1.5 kg的小物块放在长木板的右端，在木板右侧的地面上固定着一个有孔的弹性
挡板，孔的尺寸刚好可以让木板无接触地穿过。现使木板和物块以v ＝4 m/s的速度一起向
0
右匀速运动，物块与挡板碰撞后立即以碰前的速率反向弹回，而木板穿过挡板上的孔继续
向右运动，整个过程中物块不会从长木板上滑落。已知物块与挡板第一次碰撞后，物块离
开挡板的最大距离为x＝1.6 m，重力加速度g取10 m/s2：
1
(1)求物块与木板间的动摩擦因数；
(2)若物块与挡板第n次碰撞后，物块离开挡板的最大距离为 x ＝6.25×10－3 m，求
n
n；
(3)求长木板的长度至少应为多少？
14．(2020·南昌一模)如图所示，坐标系x轴水平，y轴竖直。
在第二象限内有半径 R＝5 cm 的圆，与 y 轴相切于点 Q(0,5
cm)，圆内有匀强磁场，方向垂直于 xOy平面向外。在x＝－10
cm处有一个比荷为＝1.0×108 C/kg的带正电荷的粒子，正对该
圆圆心方向发射，粒子的发射速率 v ＝4.0×106 m/s，粒子在Q
0
点进入第一象限。在第一象限某处存在一个矩形匀强磁场，磁场
方向垂直于xOy平面向外，磁感应强度 B ＝2 T。粒子经该磁场偏转后，在 x轴M点(6
0
cm,0)沿y轴负方向进入第四象限。在第四象限存在沿x轴负方向的匀强电场。有一个足够
长挡板和y轴负半轴重合，粒子每次到达挡板将反弹，每次反弹时竖直分速度不变，水平
分速度大小减半，方向反向(不考虑粒子的重力)。求：
(1)第二象限圆内磁场的磁感应强度B的大小；
(2)第一象限内矩形磁场的最小面积；
(3)带电粒子在电场中运动时水平方向上的总路程。
