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2023高三第一次教学质量检测
数 学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C C B C D A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号 9 10 11 12
答案 AC AD ABD AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【答案】3．
14．【答案】 ，其中 （只要符合题意即可）．
15．【答案】 ．
16．【答案】 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
【解析】（1）由题意， ， ， ，令 得 ，又数列 为
等比数列，所以 ，即数列 为公比为 等比数列．
所以， ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
数列 的通项公式： ． （3分）
由 ， ， 成等差数列，得： ， ， ，有 ． （5分）
（2）由（1）知： ，数列 的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，
偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列．
． （ 10
分）
18．（12分）
【解析】（1）选择条件① ：
，
所以 ，于是 ，又 ，所以 ．选择条件② ：
因为 ，
解得 ，又 ，所以 ．
选择条件③ ：
则 ，由正弦定理得： ，
即 ，整理得： ，
由 得： ，又 ，所以 ． （6分）
（2）由（1）知， ， 为锐角三角形，所以 ，
由正弦定理 ，得 ，
于是， ．
化简得， ，
因为 ，所以 ， ，
故 的取值范围为 ． （ 12
分）
19．（12分）
【解析】（1）证法1：因为 底面 ，所以 ，
又 为正方形，所以 ，
且 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
因为 ， 为线段 的中点，所以 ，
且 ，所以 平面 ，
而 平面 ，所以平面 平面 ． （6分）
证法2：以 点为坐标原点，以 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系
，如图，由已知可得 ， ， ， ， ， ，则
， ， ， ．
z
设平面 的法向量为 ， P
M
由 , 得 , ，所以 ，
y
D
C
N
x A B
第19题图令 ，得 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ，
由 , 得 , ，所以 ，
令 ，得 ， ，所以 ，
因为
，所以 ，所以平面 平面 ． （6分）
（2）方法1：因为底面 为正方形，所以 ，
所以直线 与平面 所成角等于直线 与平面 所成角，设所求角为 ，
由已知可求得 ， ， ，所以 ，
所以 ，又 ，点 到平面 的距离为2，
设 点到平面 的距离为 ，由 ，得 ，得 ，
又 ，所以 ． （ 12
分）
方法2：因为 ，平面 的法向量为 ，
设直线与平面 所成的角为 ，则 ． （ 12
分）
20．（12分）
【解析】（1）随机变量 的可能取值为 ， （1分）
， ，
， ，
． （4分）
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4
随机变量 的期望 ． （6分）
， ， ．
（2）， ， ．（8分）
根据公式，甲品种的变异系数为 ，乙的变异系数为 ，
系数大． （ 12
所以甲品种的成年水牛的变异
分）
21．（12分）
【解析】（1）由题意， ， 满足 ，即 ．
于是， ， （4分）
所以双曲线 的渐近线方程为 ． （5分）
（2）由题， ，直线 ，直线 ．
联立直线 与直线 方程，解得 ，故 ． （7分）
由（1）知双曲线 ，故 ，
于是直线 ，即 ，即 ，与双曲线 联立
得： ，即 ， （ 10
分）
即 ，因为 ，所以直线 与双曲线
只有一个公共点． （ 12
分）
22．（12分）
【解析】（1）由 ，得 ．
令 ，则 ，
．
于是 在 上单增，故 ．
① 当 时，则 ，所以 在 上单增， ，
此时 对 恒成立，符合题意； （4分）② 当 时， ， ，故存在 使得 ，
当 时， ，则 单减，此时 ，不符合题意．
综上，实数 的取值范围 ．（6分）
（2）由（1）中结论，取 ，有 ，即 ．
不妨设 ， ，则 ，整理得 ． （9分）
于是 ，
即 ． （ 12
分）
