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GAOZHONGWULIGONGSHIDINGLIDINGLUTUBIAO
高中物理公式、 定理、 定律图表
第七章 机械能守恒定律
知识网络
功： 计算方法： （1） W=F·lcosα （恒力做功） . （2） W=Pt （P为平均功
率） . （3） 功能关系.
W
功率： （1） 平均功率P= =Fv. （2） 瞬时功率P=F·vcosα.
t
机械能： 动能、 重力势能、 弹性势能 （定性） .
动能定理： （合外力做的功与动能变化的关系） W =
合
E -E =ΔE.
机 k2 k1 k
械
能
守 重力做的功与重力势能变化的关系： W G =E p1 -E p2 =-ΔE p .
恒
定
律 弹簧弹力做功与弹性势能的变化关系： W =E -E =
功能关系 弹 p1 p2
-ΔE .
p弹簧
重力和弹簧弹力以外的力做的功与机械能变化的关系： （滑动
摩擦力做功： 机械能转化为内能， 即Q=f·l ） .
相
机械能守恒定律
两个守恒定律
能量守恒定律
概述： 1. 本章涉及的内容是动力学内容的继续和深化， 是在牛顿运动定律的基础上， 从
功、 能的角度为解决力学问题开辟了新的途径.
2. 本章内容可以解决牛顿运动定律无法求解的问题， 要增强从功、 能角度解题的主动
意识.
3. 研究方法的进步： 把对一个物理现象每个瞬时的研究转变为对整个过程的研究.
46第七章 机械能守恒定律
一、 功
一、 知识图解
功的概念： 若在力的方向上发生了位移， 力就对物体做了功.
功
表达式： W=F·lcosα 单位： 焦耳 （J）
二、 重要知识剖析
1. 应用公式W=F·lcosα时应注意：
（1） F一定为恒力， l是力的作用点的位移 （通常以地面为参考系） . 力和物体在力的方向上发
生的位移是力对物体做功的两个要素. 做功与运动形式无关 （不管是匀速或变速） .
（2） 功是标量， 但有正负， 正负不表示方向， 只说明是力对物体做功还是物体克服力做功.
（3） α是力F与位移l方向的夹角. 当 0 ≤α<90°时， W>0， 表示力对物体做正功； 当 90°<α≤
180°时， W<0， 表示力对物体做负功； α=90°时， W=0， 表示力对物体不做功.
（4） 说 “功” 必须说哪个力的功， 某个力的功跟物体是否受其他力无关.
2. 合力做功的两种求解思路：
（1） 先求物体所受的合外力， 再根据公式W =F ·lcosα求合外力的功.
合 合
（2） 先根据W=F·lcosα， 求每个分力做的功W、 W、 W、 …， 再根据W =W+W+W+…， 求
1 2 3 合 1 2 3
合外力的功.
三、 学习方法引导
题型 正确理解功的含义
例题 一物体在外力的作用下从静止开始做直线 F
运动， 合外力方向不变， 大小随时间的变化如图 2F 0
所示. 设该物体在t 和2t 时刻相对于出发点的位
0 0 F
0
移分别是 x 和 x， 速度分别是 v 和 v， 合外力
1 2 1 2
从开始至t 时刻做的功是W， 从t 至2t 时刻做 O t
0 1 0 0 t 2t
0 0
的功是W， 则 （ ）
2
A. x=5x v=3v B. x=9x v=5v
2 1 2 1 1 2 2 1
C. x=5x W=8W D. v=3v W=9W
2 1 2 1 2 1 2 1
at2 Ft2
解析：在0~t
0
时间内有： x
1
=
2
10 =
2m
00
at2 Ft2 2Ft2 2Ft2
t~2t 时间内有： x-x=（at）·t+ 20 = 00 + 00 = 00 ， 即x=5x
0 0 2 1 10 0 2 m 2m m 2 1
Ft 2Ft
名师经验谈：功一定
t 时刻的速度v= 00 ， 2t 时刻的速度v=v+ 00 =3v
0 1 m 0 2 1 m 1 要明确是与哪个力、
F2t2 4F2t2
哪段位移对应的功.
故W=Fx= 0 0 W=2Fx= 0 0 =8W
1 0 1 2m 2 0 2 m 1
答案 C
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二、 功 率
一、 知识图解
定义： 功W跟完成这些功所用时间t的比值.
功率
物理意义： 表示做功的快慢， 是标量.
二、 重要知识剖析
W
1. 定义式： P= 是求某力或合力在一段时间内或一个过程中的平均功率， 只有当物体做匀速
t
运动时， 其值才等于瞬时功率.
2. 计算式： P=F·vcosα的理解 （α是F与v之间的夹角）
（1） 力F可以是恒力、 变力、 某一个力、 某几个力的合力.
（2） 速度v可恒定， 也可变化； 速度大小、 方向都发生变化时， 仍可求力的功率.
（3） 若v是某一时刻的瞬时速度， 则求得的P为该时刻的瞬时功率； 若F为恒力， v是某一段
时间内的平均速度， 则求得的P为这段时间内的平均功率.
（4） 注意P、 F、 v、 α的同时性. 在P一定时， F与v成反比； 在F一定时， P与v成正比.
三、 学习方法引导
题型 关于机车功率问题
例题 图示为修建高层建筑常用的塔式起
重机. 在起重机将质量m=5×103 kg的重物
竖直吊起的过程中， 重物由静止开始向上
做匀加速直线运动， 加速度 a=0.2 m/s2，
当起重机输出功率达到其允许的最大值
时， 保持该功率直到重物做 v =1.02 m/s，
m
名师经验谈：在功率 的匀速运动. 取g=10 m/s2， 不计额外功. 求：
确定时， 最大速度的 （1） 起重机允许输出的最大功率.
P
条件是 F=f时 v = 定. （2） 重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2秒末的输出功
m f
率.
但要注意匀加速启动
时先达到匀加速的最 解析： （1） 设起重机允许输出的最大功率为P 0 ， 重物达到最大速度
大值， 此时条件 F= 时， 拉力F
0
等于重力. P
0
=F
0
v
m
① F
0
=mg ② 得： P
0
=5.1×104W
P ③
ma+f， v = 定 ， v <
0 ma+f 0
（2） 匀加速运动结束时， 起重机达到允许的最大功率， 设此时重物
v . 匀加速的时间根据
m 受到的拉力为F， 速度为v， 匀加速运动经历时间为t， 有：
v=at 求出t. 1 1
0 0 0 P=Fv ④ F-mg=ma ⑤ v=at ⑥ 得： t=5 s ⑦
0 1 1 1 1
t=2s时， 重物处于匀加速运动阶段， 设此时速度为v， 输出功率为P，
2
则v=at ⑧ P=Fv ⑨ 得： P=2.04×104W
2 2
48第七章 机械能守恒定律
三、 重 力 势 能
一、 知识图解
重力做功的特点： 重力做功与路径无关.
概念： 地球上的物体具有跟它的高度有关的能.
重力势能
表达式： E=mgh. 单位： 焦耳 （J）
重力势能 p
重力势能具有相对性.
重力做功和重力势能的变化关系： Ｗ ＝－ΔE=mgh-mgh
Ｇ p 1 2
二、 重要知识剖析
1. 重力做功的特点： 重力对物体做功跟物体的初、 末位置的高度有关， 与路径无关； 物体沿闭
合路径一周， 重力做功为零.
2. 重力势能
（1） 严格讲重力势能是物体和地球所共有的， 单独一个物体谈不上具有势能.
（2） 相对性： 要确定物体的重力势能， 首先选定参考平面. E=mgh， h 是相对参考面的高度，
p
当物体在参考平面以上， h>0， E>0； 当物体在参考平面以下h<0， E<0； 当物体处在参考平面上时
p p
h=0， E=0. 所以， 物体在同一位置， 由于参考平面选择的不同， 其重力势能也不同.
p
（3） 是标量， 正负表示势能的大小.
3. 重力做功Ｗ 与重力势能E 的区别与联系
Ｇ p
表达式 Ｗ ＝mgΔh E=mgh
Ｇ p
影响大小的因素 重力和始末位置的高度差 重力和物体到参考平面的高度
只与始末位置的高度差有关， 与路径及参考平面无关 与参考平面有关
特点
过程量 状态量
（1） 重力做功是重力势能改变的量度， 重力对物体做多少功， 物体的重力势能就减少多
联系 少， 即Ｗ ＝Ｅ -Ｅ ＝－ΔＥ.
Ｇ p1 p2 p
（2） 重力做正功， 重力势能就减少； 重力做负功， 重力势能就增加.
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四、 动能和动能定理
一、 知识图解
定义： 物体由于运动而具有的能.
动能
mv2
定义式： E= ， v为瞬时速度. 单位： 焦耳 （J）
k 2
内容： 力在一个过程中对物体所做的功， 等于物体在这
个过程中动能的变化.
动能和动能定理 动能定理
1 1
表达式： Ｗ＝Ｅ -Ｅ = mv2- mv2
k2 k1 2 2 2 1
动能定理的应用
二、 重要知识剖析
1. 动能概念的理解
（1） 是标量， 没有负值， 与物体速度的方向无关.
（2） 是状态量， 具有瞬时性， 某一时刻， 物体的动能由其质量及该状态下的速度共同决定.
2. 动能定理的理解及应用
（1） Ｗ是合外力对物体做的总功， 等于所有外力对物体做功的代数和. Ｗ>0表示合外力作为动
力对物体做正功， 其动能增加； Ｗ<0表示合外力作为阻力对物体做负功， 其动能减少.
（2） 应用动能定理时， 可以分段考虑， 也可以将全过程作为一个整体来处理.
（3） 若两个以上的物体组成系统， Ｗ应包括系统内力做功， Ｅ -Ｅ 为整个系统动能的变化.
k2 k1
（4） 该式不仅适用于恒力做功， 也适用于变力做功； 不仅适用于直线运动， 也适用于曲线运
动； 研究对象既可以是单个物体， 也可以是几个物体所组成的一个系统.
（5） 动能定理反映的是物体初末的动能变化和其合外力做功的量值关系， 与运动性质、 轨迹、
做功的力是恒力还是变力等诸多因素无关. 不涉及物体运动过程中的加速度、 时间以及中间状态的
速度和动能， 因此用它处理问题比较方便.
50第七章 机械能守恒定律
五、 机械能守恒定律
一、 知识图解
物体的动能和势能之和统称为物体的机械能.
机械能
包括物体的动能、 重力势能、 弹性势能.
机
械
能 只有重力做功： 重力势能与动能的相互转化.
守 动能和势能的转化
恒
只有弹簧弹力做功： 弹性势能与动能的相互转化.
定
律
内容： 在只有重力或弹力做功的物体系统内， 动能与势能可
以相互转化， 而总的机械能保持不变.
机械能守恒定律 条件： 只有弹簧弹力和重力做功.
1 1
表达式： Ｅ +Ｅ ＝Ｅ +Ｅ 即： mv2+mgh= mv2+mgh
k1 p1 k2 p2 2 1 1 2 2 2
研究对象： 可以是一个物体， 也可以是一个系统.
二、 重要知识剖析
1. 注意守恒的条件是 “系统内重力、 弹簧弹力 （弹性力） 做功”
（1） 弹簧弹力 （弹性力） 不是 “弹力”， 如图甲中细绳的绷紧过程、 小车碰撞， 其内力都是弹
力， 但机械能都不守恒.
（2） 系统内的弹力做功， 如图乙所示， 球与弹簧组成的系统机械能守恒， 但对球机械能不守
恒.
v 0 v 0 橡皮泥
B A A B
图甲 图乙
2. “守恒” 是指机械能一直保持不变， 而不只是指我们选定的两个状态的机械能相等.
3. 如何判断机械能是否守恒
（1） 确定好研究对象和研究范围 （哪个系统？ 哪一段物理过程？）
（2） 分析系统所受各力的情况及各力做功的情况.
（3） 在下列几种情况下， 系统机械能守恒.
①物体只受重力或弹力作用；
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②只有系统内的重力或弹簧弹力做功， 其他力均不做功；
③虽有多个力做功， 但除系统内的重力或弹簧弹力以外的其他力做功的代数和为零；
④系统跟外界没有发生机械能传递， 系统内外也没有机械能与其他形式能之间的转化.
三、 学习方法引导
名师经验谈：功能问 题型一 理解机械能守恒条件
题， 首先还要进行受力 例题1 图为游乐场中的一种滑梯. 小朋友从轨道顶端由静止开始下
分析， 再根据条件求 滑， 沿水平轨道滑动了一段距离后停下来， 则 （ ）
解.
A. 下滑过程中支持力对小朋友做功
B. 下滑过程中小朋友的重力势能增加
C. 整个运动过程中小朋友的机械能守恒
D. 在水平面滑动过程中摩擦力对小朋友做负功
解析：在滑动过程中， 人受到三个力的作用： 重力、 支持力、 摩擦
力. 重力做正功， 势能降低， B 错； 支持力不做功， 整个过程摩擦
力做负功， 机械能不守恒， A、 C错.
答案 D
题型二 领会机械能守恒定律的运用
名师经验谈：1. 单个 例题 2 如图所示， 半径为 R、 圆心为 O 的大圆环
C
物体机械能守恒时， 既 固定在竖直平面内， 两个轻质小圆环套在大圆环上. θ θ
可运用机械能守恒定律
一根轻质长绳穿过两个小圆环， 它的两端都系上质
O
解题， 也可运用动能定
量为 m 的重物， 忽略小圆环的大小. 将两个小圆环
理解题， 这两种方法等
效. 固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上. 在
m m
2. 多个物体组成 两个小圆环间绳子的中点 C 处， 挂上一个质量 M=
的系统机械能守恒时，
姨2 m的重物， 使两个小圆环间的绳子水平， 然后无初速度释放重
一般运用机械能守恒定
物M. 设绳子与大小圆环间的摩擦均可忽略， 求重物M下降的最大
律解题， 不方便运用动
能定理. 距离.
解析：重物 M 向下先做加速运动， 后做减速运动， 当重物 M 速度
为零时， 下降的距离最大.
设下降的最大距离为h， 由机械能守恒定律得：
Mgh=2mg［姨h2+（Rsinθ）2 -Rsinθ］
解得： h=姨2 R. （另解h=0舍去）
答案 姨2 R
52
