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5.2 三角公式的运用（精练）（提升版）
题组一 公式的基本运用
1．（2020·全国·高考真题（理））已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ，得 ，即 ，解得 或
（舍去），又 .故选：A.
2．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知角 的终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】C
【解析】因为角 的终边经过点 ，所以 ，
即 ，即 ，解得 ，
所以 ．
故选：C．
3．（2022·江苏南通）（多选）下列等式成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A选项， ，A对；
对于B选项， ，B错；
对于C选项，
，C对；
对于D选项，
，D错.
故选：AC.
4（2022·山东·济南市章丘区第四中学）（多选）下列各式中，与 相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项， ， ，所以A选项不符合.
对于B选项， ，所以B选项符合.对于C选项，
，
由于 ， ，所以 ，所以C选项符合.
对于D选项， ，所以D选项符合.
故选：BCD
5．（2021·江苏·常州市第一中学）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A． 的值等于
B．若 ，则
C．
D．
【答案】AC
【解析】A ， ，
所以 ，A正确
B .若 ，则 ，即 ，解得 ，B错误；
C ，C正确；
D ， ，D错误故选：AC．
6．（2022·广东·高三开学考试） 的值为（ ）A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】依题意， ，
所以 的值为 .故选：A
7．（2022·河北邢台·高三期末）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 .
故选：A.
8．（2022·河南省直辖县级单位·二模（文））已知 ， ，则
（ ）
A． B．12 C．－12 D．
【答案】C
【解析】因为 ， ， 解得： ，所以 .
所以 .所以 .故选：C
9．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知 、 都是锐角，且 ，
，那么 、 之间的关系是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，所以， ，
因为 、 都是锐角，由题意可得 ，所以， ，
所以， ，
因为 、 都是锐角，则 且 ，则 ，所以， ，因此，
.
故选：D.
10．（2021·江苏·姜堰中学）已知 ， 均为锐角，满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，且 为锐角，可得 由 ，且 为锐角，可得
则 又由 ， 均为锐角，可得 ，则
故选：D
题组二 角的拼凑
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ， ，
则 ，故选：B．
2．（2022·江苏省阜宁中学）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，又 ，联立得 ，解得
，又 ， ，故 .故选：C.
3．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
.故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】B【解析】
，故选：B
5．（2022·全国·高三课时练习）已知 ， ，且 ， ，求
=
【答案】
【解析】 ， ，
， ，
， ，
， ，
所以
即 .
6．（2022·湖南）若 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】 ，
因为 所以 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
则 ．故选：C
7．（2022·贵州毕节）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，又 ，
所以 .故选：C．
8．（2021·福建·厦门一中）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】（用整体的观点看待角度，用已知表示所求）令 ，则 ，所以
故选：A
（法二）因为 ， ，
所以
故选：A
题组三 公式的综合运用
1．（2022·四川成都）已知 ，则 的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．0或2
【答案】D
【解析】因为 所以 所以解得 或
当 时
当 时 故选：D
2．（2022·重庆·二模）已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，所以 或 ；
若 ，则 ，此时 （舍）；
若 ，则 ，此时 （符合题意），
所以 ，即 ；
因为 且 ，所以 且 ，
解得 ， ，则 ，所以 .故选：C.
3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）（多选）已知 ，其中 为锐角，
则以下命题正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AB
【解析】因为 ， ，所以 ，故A正确；
因为 ，所以
所以 ，故B正
确；
， ，
由 得， ，解得 ；故C不正确；
由 得， ，解得 ；
，故D不正确.故选：AB.
4．（2021·江苏南通·高三期中）（多选 ）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于AC， ， ；， ，A错误；
，C正确；
对于BD， ， ，
即 ，
，
，
，B正确，D错误.故选：BC.
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 的值是________.
【答案】
【解析】在 中，因 ，则 ，
假定 ，则 ， ，
于是得 ，此时 ， ，矛盾，即 ，
从而有 ，又 ，则 ， ，
所以 .故答案为：
6．（2022·河南焦作·一模（理））计算： ___________.【答案】
【解析】
.故答案为：
7．（2022·江苏南通·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝ 的θ＝_________.
【答案】 （答案不唯一）．
【解析】由题意
，
因此 （实际上 ）．故答案为： （答案不唯一）．
8．（2022·河北石家庄·一模）已知角 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】 ， ，
，
，
， ， ，则 .故答案为： .9．（2022·江苏南通·高三期末）若 ，则α的一个可能角度值为__________.
【答案】 等答案较多
【解析】
则 ，故 ，或
故答案为： 等均符合题意.
题组四 三角公式与其他知识的综合运用
1．（2022·山东济南·二模）已知倾斜角为 的直线l过定点 ，且与圆 相切，则
的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【解析】容易判断，若 ，则直线l与圆相交，不合题意，于是设 ，根据直
线与圆相切可得： ，因为 ，所以
，解得： ，所以，原式 .
故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）已知四边形OABC各顶点的坐标分别为 ， ， ， ，
点D为边OA的中点，点E在线段OC上，且 是以角B为顶角的等腰三角形，记直线EB，DB的倾
斜角分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为正方形，
又∵ 为边 的中点， 是以角 为顶角的等腰三角形，
∴ 必为边 的中点，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
直线 与 轴垂直，则 ，∴ .
故选：B.
3．（2022·全国）复数 的模为1，其中 为虚数单位， ，则这样的
一共有（ ）个.
A．9 B．10 C．11 D．无数
【答案】C
【解析】 ，其中 ，所以
，即 ， ，当 时，①
， ，所以 ， ，因为 ，所以 或 ；② ，
，所以 ， ，因为 ，所以 ， ， ， ， 或 ；当
时，① ， ，即 ， ，因为 ，所以
，② ， ，即 ， ，因为 ，所以 ， ，
， ， ，综上： ， ，一共有11个.故选：C
4．（2021·全国·单元测试）▲表示一个整数，该整数使得等式 成立，这个整数▲为
（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则因此 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故选：B.
5．（2022·四川省广安第三中学校高一阶段练习）设
，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
，
因为函数 在 上单调递增，
，即 .
故选：B
6．（2022·河北石家庄）黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中．在三角形中，底与腰之比为黄金分割
比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形．达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形．如图，在黄金三角形 中， ，根
据这些信息，可得 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题设，可得 ， ，
所以 ，又 ，所以 .故选：B
7．（2022·江西·上高二中高二阶段练习）已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为6，当该扇形面积最
大时，其圆心角为 ，则 _________．
【答案】
【解析】根据题意： ，故 ，，
当 ，即 时等号成立.
.
故答案为： .
8．（2021·全国·单元测试）已知α，β∈(0，2π)且α＜β，若关于x的方程(x＋sinα)(x＋sinβ)＋1＝0有实数根，
则代数式 ＝________．
【答案】
【解析】整理方程(x＋sinα)(x＋sinβ)＋1＝0得x2＋x(sinα＋sinβ)＋sinαsinβ＋1＝0．
由题意得Δ＝(sinα＋sinβ)2－4sinαsinβ－4≥0，即(sinα－sinβ)2≥4①，
∵－1≤sinα≤1，－1≤sinβ≤1，∴sinα－sinβ∈[－2，2]，从而(sinα－sinβ)2≤4②．
由①②得 或
且 ，即
因此 ．
故答案为： ﹒
9．（2022·山东）如果 ， 是方程 的两根，则 ______．
【答案】【解析】由已知得 ， ，
.故答案为： .
