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第 50 讲 电场中的图像
1．（安徽）一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，
起始点O为坐标原点，其电势能E 与位移x的关系如图所示，下列图象中合理的是（ ）
p
A． 电场强度与位移关系 B． 粒子动能与位移关系
C． 粒子速度与位移关系 D． 粒子加速度与位移关系
【解答】解：粒子仅受电场力作用，做初速度为零的加速直线运动，电场力做功等于电势能的
△E
减小量，故：F＝| p|，即Ep﹣x图象上某点的切线的斜率表示电场力；
△x
F
A、Ep﹣x图象上某点的切线的斜率表示电场力，故电场力逐渐减小，根据 E= ，故电场强度
q
也逐渐减小；故A错误；
B、根据动能定理，有：F•△x＝△Ek，故Ek﹣x图线上某点切线的斜率表示电场力；由于电场
力逐渐减小，与B图矛盾，故B错误；
C、题图v﹣x图象是直线，相同位移速度增加量相等，又是加速运动，故增加相等的速度需要
的时间逐渐减小，故加速度逐渐增加；而电场力减小导致加速度减小；故矛盾，故C错误；
D、粒子做加速度减小的加速运动，故D正确；
故选：D。（多选）2．（江苏）空间某一静电场的电势 在x轴上分布如图所示，x轴上两点B、C点电场强
度在x方向上的分量分别是E 、E ，下列φ说法中正确的有（ ）
Bx Cx
A．E 的大小大于E 的大小
Bx Cx
B．E 的方向沿x轴正方向
Bx
C．电荷在O点受到的电场力在x方向上的分量最大
D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功
【解答】解：在B点和C点附近分别取很小的一段d，由图象，B点段对应的电势差大于C点段
△φ
对应的电势差，看作匀强电场有E= ，可见E ＞E ，A项正确；
Bx Cx
d
同理可知O点场强最小，电荷在该点受到的电场力最小，C项错误；
沿电场方向电势降低，在O点左侧，E 的方向沿x轴负方向，在O点右侧，E 的方向沿x轴
Bx Cx
正方向，所以B项错误，D项正确。
故选：AD。
一.必备回顾
1.几种典型电场线分布示意图及场强电势特点表（下面均以无穷远处为零电势点）2.常见场强分布图
孤 电场线 直线，起于正电荷，终止于无穷远。
立 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大
E
的 小相等，方向不同。
正 离场源电荷越远，电势越低；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势
φ
点 面，每点的电势为正。
电 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越
等势面
荷 密。
孤 电场线 直线，起于无穷远，终止于负电荷。
立 离场源电荷越远，场强越小；与场源电荷等距的各点组成的球面上场强大
E
的 小相等，方向不同。
负 离场源电荷越远，电势越高；与场源电荷等距的各点组成的球面是等势
φ
点 面，每点的电势为负。
电 以场源电荷为球心的一簇簇不等间距的球面，离场源电荷越近，等势面越
等势面
荷 密。电场线 大部分是曲线，起于无穷远，终止于负电荷；有两条电场线是直线。 2.
等
φ 每点电势为负值。 常
量
以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相 见
同 E
连线上 反，都是背离中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。 场
种
φ 由连线的一端到另一端先升高再降低，中点电势最高不为零。 强
负
以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相 分
点
E 反，都沿着中垂线指向中点；由中点至无穷远处，先增大再减小至 布
电 中垂线上
零，必有一个位置场强最大。 图
荷
φ 中点电势最低，由中点至无穷远处逐渐升高至零。
电场线 大部分是曲线，起于正电荷，终止于无穷远；有两条电场线是直线。
等
电势 每点电势为正值。
量
以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相
同 E
连线上 反，都是指向中点；由连线的一端到另一端，先减小再增大。
种
φ 由连线的一端到另一端先降低再升高，中点电势最低不为零。
正
以中点最小为零；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相
点
E 反，都沿着中垂线指向无穷远处；由中点至无穷远处，先增大再减
电 中垂线上
小至零，必有一个位置场强最大。
荷
φ 中点电势最高，由中点至无穷远处逐渐降低至零。
E 大部分是曲线，起于正电荷，终止于负电荷；有三条电场线是直线。
中垂面有正电荷的一边每一点电势为正，有负电荷的一边每一点电势为
φ
等 负。
量 以中点最小不等于零；关于中点对称的任意两点场强大小相
异 E 等，方向相同，都是由正电荷指向负电荷；由连线的一端到另
连线
种 一端，先减小再增大。
点 φ 由正电荷到负电荷逐渐降低，中点电势为零。
电 以中点最大；关于中点对称的任意两点场强大小相等，方向相
荷 E 同，都是与中垂线垂直，由正电荷指向负电荷；由中点至无穷
中垂线上
远处，逐渐减小。
φ 中垂面是一个等势面，电势为零
3.常见电势分布图4. 常见电场电场、电势图像
正电荷电势
负电荷电势
E
Y
5.图像的物理意义及应用
（1）vt图像：
根据电荷在电场中运动的 vt图像的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受静电力的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低
及电势能的变化。
（2）φx图像：
①电场强度的大小等于φ－x图线的斜率的绝对值，电场强度为零处φ－x图线存在极值，其切线的
斜率为零．
②在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．
③在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用W ＝qU ，进而分析W 的正负，然后作出
AB AB AB
判断．
④在φ－x图象中可以判断电场类型，如下图所示，如果图线是曲线，则表示电场强度的大小是变
化的，电场为非匀强电场；如果图线是倾斜的直线，则表示电场强度的大小是不变的，电场为匀强
电场．
图8
⑤在φ－x图象中可知电场强度的方向，进而可以判断电荷在电场中的受力方向．
（3）Ex图像：
①E－x图象反映了电场强度随位移变化的规律，E>0表示电场强度沿x轴正方向；E<0表示电场
强度沿x轴负方向．
②在给定了电场的E－x图象后，可以由图线确定电场强度、电势的变化情况，E－x图线与x
轴所围图形“面积”表示电势差，两点的电势高低根据电场方向判定．图线与x轴围成的“面
积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点电势
的高低。
在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况．
③在这类题目中，还可以由E－x图象画出对应的电场，利用这种已知电场的电场线分布、等势面分布或场源电荷来处理相关问题．
（4）E x图像：
p
①由E x图像可以判断某一位置电势能的大小，进而确定电势能的变化情况，根据
p
电势能的变化可以判断静电力做功情况，结合带电粒子的运动可以确定静电力的方向。
②E x图像的斜率k＝＝＝＝－F ，即图像的斜率绝对值和正负分别表示静电力
p 静电
的大小和方向。
二.典型例题：
题型1 v－t图象
（多选）例1．如图甲所示，光滑绝缘水平面上有一沿水平方向的电场，MN是其中的一条直线，
线上有A、B、C三点。一带电量为+2×10﹣3C、质量为1×10﹣3kg的小物块从A点静止释放，沿
MN做直线运动，其运动的v﹣t图象如图乙所示，其中B点处的切线斜率最大（图中标出了该
切线），C点处的切线平行于t轴，运动过程中小物块电量保持不变，则下列说法中正确的是（
）
A．AB两点电势差U ＝4V
AB
B．B点为AC间电场强度最大的点，场强大小E＝2V/m
C．由A到C的过程中小物块的电势能先减小后变大
D．小物块从B点到C点电场力做的功W＝10﹣2J
【解答】解：A、物块在A到B过程电场力做功为W ，根据动能定理得：
AB
1 1 1
W ＝qU = mv2- v2 = ×1×10﹣3×（42﹣0）J＝8×10﹣3J，
AB AB 2 B 2 A 2
W 8×10-3
得：U = AB= V＝4V，故A正确；
AB q 2×10-3
4
B、据v﹣t图的斜率等于加速度，可得物块在B点的加速度最大为a= m/s2＝2m/s2，所受的
5-3
电场力最大为 F＝ma＝1×10﹣3×2N＝2×10﹣3N，
F 2×10-3
则电场强度的最大值为 E= = =1N/C，故B错误；
q 2×10-3
C、由v﹣t图可知由A到C的过程中小物块的动能一直增大，则电势能一直减小，故C错误；1 1 1
D、物块从B点到C点电场力做的功W= mv2 - v2= ×1×10﹣3×（62﹣42）J＝10﹣2J，故D
2 C 2 B 2
正确。
故选：AD。
题型2 φ－x图象
例2．两电荷量分别为q 和q 的点电荷分别固定在x轴上的A、B两点，两点电荷连线上各点电势
1 2
ϕ随坐标x变化的关系图象如图所示，其中P点电势最高，且x ＜x ，则（ ）
AP PB
A．q 和q 都是正电荷
1 2
B．q 的电荷量大于q 的电荷量
1 2
C．一点电荷只在电场力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐变小
D．在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电势能先减小后增大
【解答】解：A、由 A到P的电势升高，从P到B电势降低，因为沿电场线电势降低，所以电场
线方向由P到A，再从P到B，则q 和q 是同种电荷，且一定是负电荷，故A错误。
1 2
B、 ﹣x图线切线斜率大小等于电场强度大小，在 P点切线斜率为零，则P点的电场强度大小
Q
φ
为零，说明q 和q 两点电荷在P点产生的场强大小相等，方向相反，由公式E＝k ，因为 x
1 2 r2 AP
＜x ，故q 的电荷量小于q 的电荷量，故B错误。
PB 1 2
C、图线切线斜率为场强的大小，从P点到B点斜率越来越大，故场强越来越大，电场力越来越
大，故加速度越来越大，故C错误。
D、负电荷从P点左侧移到右侧，电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，故D正确。
故选：D。
题型3 E－x图象
（多选）例3．空间内有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图所示。﹣x 、x 、
1 1
x 、x 是x轴上的四个点，图象关于坐标原点O中心对称，规定沿x轴的正方向为场强E的正方
2 3
向，下列说法中正确的是（ ）A．﹣x 处的电势与x 的电势相等
1 1
B．将一负电荷由﹣x 移到x ，电势能先增大后减小
1 2
C．将一负电荷由﹣x 处由静止释放，若只受电场力作用，则运动到O点时电势能最小
1
D．将一正电荷由x 处由静止释放，若只受电场力作用，则先做加速再做减速运动
1
【解答】解：A、根据题意，电场关于x轴对称分布作出电场线，根据顺着电场线电势降低，则
O电势最高，从图线看出，电场强度关于原点O对称，则x轴上关于O点对称位置的电势相等。
则﹣x 处的电势与x 处的电势相等，故A正确；
1 1
B、由A选项分析，若将负电荷由﹣x 移到x ，即负电荷从低电势到高电势，再到低电势，那么
1 2
其电势能先减小，后增大，故B错误；
C、由B选项分析，可知，将一负电荷由﹣x 处由静止释放，若只受电场力作用，其电势能先减
1
小后增大，运动到O点时电势能最小，原因是负电荷没过O点时，电场力做正功，当负电荷越
过O点后，电场力做负功，故C正确；
D、当过O点后，电场线方向与x轴同向，当将一正电荷由x 处由静止释放，若只受电场力作用，
1
负电荷受到的电场力与速度同向，则其一直做加速运动，故D错误；
故选：AC。
题型4 E －x图象
p
例4．将两个点电荷A、B分别固定在水平面上x轴的两个不同位置上，将一正试探电荷在水平面
内由A点的附近沿x轴的正方向移动到B点附近的过程中，该试探电荷的电势能随位置变化的
图象如图所示，已知x ＞x ，图中的水平虚线在C点与图线相切，两固定点电荷的电荷量分
AC CB
别用q 、q 表示。则下列分析正确的是（ ）
A B
A．两固定点电荷都带负电，且q ＞q
A B
B．C点的电场强度最小但不等于零
C．如果将试探电荷改为负电荷，则该电荷在C点的电势能最大
D．A、B两点间沿x轴方向的电场强度始终向右
【解答】解：B、由图可知：C点处电势能斜率为零，故电势变化为零，那么由电场强度为电势
图斜率可知：电场强度为零，故B错误；
C、试探电荷为正时，电势能为正，C点电势能最小；那么，试探电荷为负时，电势能为负，C
点电势的绝对值最小，则电势能最大，故C正确；
D、由图可知：电势能先减小后增大，故电势先减小后增大，那么，电场强度方向先向右，后向
左，故D错误；A、由电场强度方向先向右，后向左可知：两个点电荷同为正；又有 x ＞x ，故中点电场方向
AC CB
向右，那么，q ＞q ，故A错误；
A B
故选：C。
三.举一反三，巩固练习
1. 如图所示，一平行板电容器充电后与电源断开，负极板接地，两板间的 P点固定一个
带正电的检验电荷。用C表示电容器的电容，E表示两板间的电场强度的大小， 表示P点的
电势，W表示正电荷在P点的电势能。若正极板保持不动，将负极板缓慢向右平移一小段距离
φ
l ，上述各物理量与负极板移动距离x（x≤l ）的关系图像中正确的是（ ）
0 0
A． B．
C． D．
ε S
【解答】解：A、当负极板左移时，两板间的距离增加，由C= r 可知，C与x的图象
4πk(d+x)
不是一次函数图象，故A错误；
Q 4πkd U 4πkQ
B、由U= 可知：U= Q，则电场强度E= = ，E与d、x无关，故B错误；
C ε S d ε❑ S
r r
C、因负极板接地，设P点开始距负极板的距离是d'，则P点的电势： ＝E（d'﹣x），故C正
确；
φ
D、正电荷在P点的电势能：W＝q ＝qE（d'+x）＝qEd'+qEx，所以W﹣x图象是一条倾斜的直
线，故D错误。
φ
故选：C。
2. 空间有一沿x轴对称分布的电场，其x轴上电场强度E随x变化的图像如图所示，取
x轴正向为电场正方向，下列说法正确的是（ ）A．O点的电势最低，x 点的电势最高
2
B．x 和﹣x 两点的电势相等
1 1
C．电子在 x 的电势能大于在x 的电势能
1 2
D．电子由x 运动到x 电场力先做正功后做负功
1 3
【解答】解：A、从图像可以看出，电场强度的大小和方向都沿着x轴对称分布，沿着电场强度
的方向，电势降低，由此可知O点电势最高，沿着x轴降低，故A错误；
B、由于x 和﹣x 两点关于y轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x 和O点到﹣x
1 1 1 1
电势降落相等，故x 和﹣x 两点电势相等，故B正确；
1 1
CD、电子带负点，沿着电场线方向做负功，电势能增大，电子在 x 的电势能小于在x 的电势能
1 2
故CD错误；
故选：B。
3. （多选）如图甲所示，在x轴上有O、A、B、C、D五点，坐标分别为0、x 、2x 、
0 0
3x 、4x ，静电场的电场强度方向与x轴平行，电势 随x的分布如图乙所示。一质量为m、
0 0
带电荷量为+q的粒子，以初速度v
0
甲从0点沿x轴正
φ
方向进入电场，不计粒子重力，下列说
法正确的是（ ）
√qφ
A．若粒子能运动到A处，v 至少为 0
0
m
B．若粒子能运动到A处，粒子一定能运动到D处
C．若粒子能运动到B处，粒子在A、B间做匀速直线运动
√ qφ
D．若粒子能运动到C处，粒子在C处的速度为 v2- 0
0 m1 √2qφ
【解答】解：A、从O到A的过程，根据动能定理有：﹣q ＝0- mv 2 ，解得v = 0；
0 2 0 0 m
φ
故A错误；
B、由题图可知粒子从O到A电场力做负功，若粒子恰好运动到A处，则粒子会在A处静止，
不会运动到D处，故B错误；
C、由题图可知AB间电势不变，电势能不变，所以若粒子能运动到B处，粒子在A、B间做匀
速直线运动，故C正确；
φ φ 1 1
D、由题图可知C处电势 = 0，粒子从O到C根据动量定理有：﹣q 0= mv2 - mv2，解
C 2 2 2 C 2 0
φ
√ qφ
得：v = v2- 0，故D正确；
C 0 m
故选：CD。
4. （多选）如图所示，曲线表示固定在x轴上a、b两点的两个点电荷产生的电势与位
置之间的对应关系，两个点电荷所带电荷量分别为q 和q ，a、p间距离大于p、b间距离。从
1 2
图可知以下正确的是（ ）
A．两点电荷带异种电荷
B．电势最低的p点的电场强度为零
C．p、b两点之间电场方向都指向p点
D．将一负电荷从p点移到a点电势能增加
Δφ
【解答】解：AB．由E= 可知， −x图象斜率表示电场强度，可知p点场强最小，由沿电场
Δx
线方向电势降低，可知a、b两点电荷φ均为正电荷，且两点电荷在p点产生的场强大小相等，方
向相反，所以电势最低的p点的电场强度是零，故A错误，B正确；
C．由沿电场线方向电势降低，p点电势最低，可知p、b两点之间电场方向都指向p点，故C正
确；
D．由E ＝q 可知，负电荷在电势高处电势能小，在电势低处电势能大，将一负电荷从 p点移
p
到a点，即从低电势移到高电势，电势能减少，故D错误。
φ
故选：BC。
5. （多选）一带负电的微粒（电荷量不变，所受重力不计）只在电场力作用下沿 x轴正
方向运动，其电势能E 随位移x变化的关系如图所示，其中0～x 段是曲线，x ～x 段是平行
p 1 1 2
于x轴的直线，x ～x 段是倾斜直线，则下列说法正确的是（ ）
2 3A．0～x 段电场强度逐渐增大
1
B．0～x 段电势逐渐升高
1
C．x ～x 段电场强度为零
1 2
D．x ～x 段微粒做匀加速直线运动
2 3
【解答】解：A、C：图线的斜率表示电场力，0～x 段粒子所受电场力减小，故电场强度减小，
1
同理，x ～x 段电场强度为零，故A错误、C正确；
1 2
B、0～x 段微粒的电势能逐渐增大，而微粒带负电荷，所以其电势降低，故B错误；
1
D、x ～x 段微粒受到的电场力不变，则微粒做匀加速直线运动，故D正确。
2 3
故选：CD。
6. 图甲中AB是某电场中的一条电场线。若将一负电荷从 A点处由静止释放，负电荷沿
电场线从A到B运动过程中的速度图象如图乙所示。关于A、B两点的电势高低和场强大小关
系，下列说法中正确的是（ ）
A． ＞ ，E ＞E B． ＞ ，E ＜E
A B A B A B A B
C．
φA
＜
φB
，E
A
＜E
B
D．
φA
＜
φB
，E
A
＞E
B
【解答】解：从速度时间图象可以看出，物体加速，负试探电荷受到的电场力方向为场强的反
φ φ φ φ
方向，故电场力向左，场强方向也向左，逆着电场力方向，电势升高，故 ＜
A B
速度时间图象的切线的斜率表示加速度，故说明加速度不断减小，电场力不断减小，场强也不
φ φ
断减小，故E ＞E ；
A B
故选：D。
7. （多选）如图所示为带电粒子在某电场中沿x轴正方向运动时，其电势能随位移的变
化规律，其中两段均为直线。则下列叙述正确的是（ ）A．该粒子带正电
B．2m～4m内电势逐渐升高
C．0m～2m和2m～6m的过程中粒子的加速度大小相等方向相反
D．2m～4m电场力做的功和4m～6m电场力对该粒子做的功相等
【解答】解：A、因为电场的方向未知，所以粒子的电性不能确定，故A错误；
B、2m﹣6m的范围内粒子的电势能逐渐增大，但是粒子的电性未知，所以电势的高低也无法判
断，故B错误；
△φ 1 △E
C、根据电势能与电势的关系：E ＝q ，场强与电势的关系E= ，可得E= ⋅ p，由数
p △x q △x
φ
△E
学知识可知E ﹣x图象的斜率等于 p，故斜率间接代表了场强的大小，0﹣2m和2m﹣6m的
p
△x
斜率大小相等方向相反，因此在这两个范围内电场强度的大小相等方向相反，所以粒子的加速
度大小相等方向相反，故C正确；
D、2m﹣4m两点间距与4m﹣6m两点间距相等，电场强度也相等，因为由 U＝Ed可知，2m﹣
4m两点间的电势差与4m﹣6m两点间的电势差相等，则在这两个距离内电场力做功也相等，故
D正确。
故选：CD。
8. （多选）如图甲所示，在一条电场线上有A、B两点，若从某点由静止释放一电子，
假设电子仅受电场力作用，电子从A点运动到B点的速度时间图象如图乙所示．则（ ）
A．A、B两点的电势 ＜
A B
B．A、B两点的电场强
φ
度EφA ＞E
B
C．电子在A、B两点受的电场力F ＜F
A B
D．电子在A、B两点具有的电势能 E ＜E
PA PB
【解答】解：A、根据题意，电子从静止释放后从 A运动到B，则电子受到的电场力方向从
A→B，而电子带负电，电场线方向从B→A，则B点的电势大于A点的电势，即 ＜ ．故A
A B
正确
φ φ
B、从速度图象看出，电子从A运动到B过程速度增大，加速度变小，电场力减小，即F ＞
A
F ，场强变小，则B点的场强小于A点的场强，即E ＞E ．故C错误，B正确；
B A B
D、因电场力做正功，则电势能减小，故D错误。
故选：AB。
9. 静电场方向平行于x轴，其电势 随x的分布可简化为如图所示的折线。一质量为
φm、带电量为+q的粒子（不计重力），以初速度v 从O点（x＝0）进入电场，沿x轴正方向
0
运动。下列叙述正确的是（ ）
A．粒子从O运动到x 的过程中加速度逐渐增加
1
B．粒子从x 运动到x 的过程中，电势能先减小后增大
1 3
√2qϕ
C．要使粒子能运动到x 处，粒子的初速度v 至少为 0
4 0
m
√qϕ √3qϕ
D．若v = 0，粒子在运动过程中的最大速度为 0
0
m 2m
【解答】解：A、电势能E
p
＝q ，根据功能关系：﹣F电x＝q ，从O运动到x
1
， 和x是线性
关系，故电场力恒定，粒子从Oφ 运动到x
1
的过程中加速度不变
φ
，A错误；
φ
B、粒子从x 运动到x 的过程中，电势一直减小，电势能也一直减小，故B错误；
1 3
1
C、要使粒子能运动到x 处，粒子到达x 处速度不小于零。根据功能关系： mv 2＝q ，解得
4 1 2 0 0
φ
√2qϕ
最小速度v = 0，故C正确；
0
m
√qϕ √qϕ
D、若v = 0，粒子过不了x 点，它会回到O点，最大速度还是v 0，故D错误。
0 1
m m
故选：C。
