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第 52 讲 非匀强电场中的场强、电势、电势能的定性分析与定量
计算
1．（2020•浙江）空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q
两点附近电场的等势线分布如图所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为
0，则（ ）
A．e点的电势大于0
B．a点和b点的电场强度相同
C．b点的电势低于d点的电势
D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加
【解答】解：A、根据电场等势面的图象可以知道，该电场是等量异种电荷的电场，中垂面是等
势面，无穷远处电势为零，故中垂面电势也为0，故A错误；
B、等量异种电荷的电场，它具有对称性（上下、左右），a点和b点的电场强度大小相等，而
方向不同。故B错误；
C、b点离正电荷的距离更近，所以b点的电势较高，高于d点的电势。故C错误；
D、a点离正电荷近，a点电势高于c点，根据负电荷在电势高处电势能小，知负电荷从a点移到
c点，电势能增加，故D正确。
故选：D。
2．（2018•天津）如图所示，实线表示某电场的电场线（方向未标出），虚线是一带负电的粒子只
在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为 、 ，粒子在M和N时加速度大
M N
小分别为 a 、a ，速度大小分别为 v 、v ，电势能分别φ为 Eφ 、E ．下列判断正确的是
M N M N PM PN
（ ）A．v ＜v ，a ＜a B．v ＜v ， ＜
M N M N M N M N
C． ＜ ，E ＜E D．a ＜a ，Eφ ＜φE
M N PM PN M N PM PN
【解φ答】φ解：带电粒子所受电场力指向轨迹弯曲的内侧，根据带负电粒子受力情况可知，电场
线方向斜向左上方，又沿着电场线方向，电势逐渐降低，故 ＞ ①；
M N
若粒子从M到N过程，电场力做负功，动能减小，电势能增φ加，φ故带电粒子通过M点时的速度
比通过N点时的速度大，即v ＞v ②，
M N
在M点具有的电势能比在N点具有的电势能小，即E ＜E ③；
PM PN
根据电场线疏密可知，E ＜E ，根据F＝Eq和牛顿第二定律可知，a ＜a ④；
M N M N
A、由②④可知，A错误；
B、由①②可知，B错误；
C、由①③可知，C错误；
D、由③④可知，D正确；
故选：D。
一.知识回顾
1．静电力做功
(1)特点：静电力所做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场方向的距离，计算时q不带正负号。
②W＝qU，适用于任何电场，计算时q要带正负号。
AB AB
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中由于受到静电力的作用而具有的与其相对位置有关的能量叫作电势能，
用E表示。
p
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，即W＝E－E。
AB pA pB
(3)大小：电荷在某点的电势能，等于把它从这点移动到零势能位置时静电力所做的功。
（4）特点：
①系统性：
电势能是相互作用的电荷系统所共有的，或者说是电荷及对它作用的电场所共有的。我们说某
个电荷的电势能，只是一种简略的说法。
②相对与绝对
电荷在某点的电势能是相对的，与零势能位置的选取有关，但电荷从某点运动到另一点时电势
能的变化是绝对的，与零势能位置的选取无关。
③电势能正负的意义电势能是标量，有正负，无方向。电势能为正值表示电势能大于在参考点时的电势能，电势能
为负值表示电势能小于在参考点时的电势能。
④常规
零势能位置的选取是任意的，但通常选取大地表面或离场源电荷无限远处为零势能位置。
3. 电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比，叫作电场在这一点的电势。
(2)定义式：φ＝。
(3)标矢性：电势是标量，有正负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势与选取的零电势点的位置有关。一般选取离场源
电荷无限远处为零电势点，在实际应用中常取大地的电势为0。
4.电势差
(1)定义：在电场中，两点之间电势的差值。
(2)定义式：U＝φ－φ。显然，U＝－U。
AB A B AB BA
(3)影响因素：电场中两点间电势差由电场本身决定，与电势零点的选取无关。
(4)静电力做功与电势差的关系：电荷q在电场中从A点移到B点时，静电力做的功W 与移动
AB
电荷的电荷量q的比等于A、B两点间的电势差，即U＝，计算时q要带正负号。
AB
5.电势高低的判断方法
判断方法 具体应用
依据电场 沿电场线的方向电势逐渐降低，电场线由电势高的等势面指向电势低的等
线方向 势面
依据静电
根据U ＝＝φ－φ，将W 、q的正负号代入，由U 的正负判断φ、φ
AB A B AB AB A B
力做功和电势差的
的高低
正负
依据电势
正电荷在电势较高处电势能较大，负电荷在电势较低处电势能较大
能大小
依据场源
取无限远处为零电势点，正电荷周围电势为正值，且离正电荷越近电势越
电荷的
高；负电荷周围电势为负值，且离负电荷越近电势越低
正、负
6．电势能大小的判断方法
判断方法 具体应用
根据电场线 (1)正电荷顺着电场线运动电势能减小
的方向判断 (2)负电荷顺着电场线运动电势能增加
根据静电力 (1)静电力做正功，电势能必减小
做功判断 (2)静电力做负功，电势能必增加
根据电
由E＝qφ知，电势越高，正电荷的电势能越大，负电荷的电势能越小
p
势判断
根据能量 在电场中，若只有静电力做功，电荷的动能和电势能相互转化，动能增
守恒判断 加，电势能减小，反之，电势能增加7．多个场源点电荷形成的电场中电势高低的比较
根据W ＝－ΔE及φ＝判断如图所示，为了比较A、B点的电势，引入试探电荷q，将q从A
AB p
移到B，则Q和Q对q的静电力对q做功：W ＝W ＋W ；然后由W 的正负根据W ＝－ΔE判断q
1 2 AB AB1 AB2 AB AB p
的电势能是变大还是变小；再由φ＝比较φ和φ的大小。
A B
8.电场线、电场强度、电势、电势能、等势面之间的关系
(1)电场线与电场强度的关系：同一电场，电场线越密的地方表示电场强度越大，电场线上某
点的切线方向表示该点的电场强度方向。
(2)电场线与等势面的关系：电场线与等势面垂直，并从电势较高的等势面指向电势较低的等
势面。
(3)电场强度大小与电势无直接关系：零电势位置可人为选取，电场强度的大小由电场本身决
定，故电场强度大的地方，电势不一定高。
(4)电势能与电势的关系：正电荷在电势高的地方电势能大；负电荷在电势低的地方电势能大。
(5)电场场强的叠加遵从矢量合成法则，电势的叠加遵从代数运算法则。
二.例题精析
题型一：一个点电荷形成的电场
例1．如图，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q（q＞0）的点电荷固定在P点。下列
说法正确的是（ ）
A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B．沿MN边，从M点到N点，电势先减小后增大
C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
【解答】解：A、点电荷的电场以点电荷为中心，向四周呈放射状，如图所示：∠M是最大内角，
所以PN＞PM，因为△PMN是锐角三角形，过P点作MN上的高线为P到线段MN的最短距离，
所以点P到线段MN上的点的距离先减小后变大，即r先减小后变大，根据点电荷的场强公式E
kq
= ，可知从M点到N点电场强度先增大后减小，故A错误；
r2B、电场线与等势面（图中虚线）处处垂直，沿电场线方向电势降低，所以从M→N电势先增大
后减小，故B错误；
C、两点的电势大小关系为 ＞ ，根据电势能的公式E ＝q 可知正电荷在M点的电势能大
M N p
于在N点的电势能，故C正φ确；φ φ
D、正电荷从M点移动到N点，电势能减小，电场力所做的总功为正功，故D错误。
故选：C。
题型二：两个点电荷形成的电场
例2．真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等。一个带负电的试探电荷置于二者连线
上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态。过 O点作两正电荷连线的垂线，以O点
为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示。以下说法正确的是（ ）
A．a点电势低于O点
B．b点电势高于c点
C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
【解答】解：A、由于带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保
持静止状态，可知O点合场强为零，根据同种电荷之间电场线的分布可知aO之间电场线由a到
O，故a点电势高于O点电势，故A错误；
B、同理可得，c点电势高于O点电势，两个固定电荷在bO射线上的点电场方向斜向上，故b点电势低于O点电势，则b点电势低于c点，故B错误；
C、a点电势高于O点电势，b点电势低于O点电势，则a点电势高于b点，试探电荷为负电荷，
故该试探电荷在a点的电势能小于在b点的电势能，故C错误；
D、根据电荷电场的对称分布可得，b、d两点电势相同，则c点电势高于d点，试探电荷为负电
荷，则该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能，故D正确。
故选：D。
题型三：多个点电荷形成的电场
（多选）例3．电荷量相等的四个点电荷分别固定于正方形的四个顶点，O点是正方形的中心，电
场线分布如图所示，取无限远处电势为零。下列说法正确的是（ ）
A．正方形右下角电荷q带正电
B．M、N、P三点中N点场强最小
C．M、N、P三点中M点电势最高
D．负电荷在P点的电势能比在O点的电势能小
【解答】解：A、根据电场线的特点，正方形左上角电荷带正电，顺时针开始，第二个电荷带负
电，右下角电荷带正电，第四个电荷带负电，故A正确；
B、根据电场线的疏密，M、N、P三点中M点场强最小，故B错误；
CD、正方向四边的中垂面为等势面并且电势为零，O、M点电势为零，N、P两点更接近负电荷，
电势为负，所以三点中M点电势最高。
将负电荷从P点移动到O点，电势升高，电场力做正功，电势能减少，所以负电荷在 P点的电
势能比在O点的高，故C正确，D错误。
故选：AC。
三.举一反三，巩固练习
1. A、B是某电场中一条电场线上的两点，一正电荷仅在电场力作用下，沿电场线从A
点运动到B点，速度图像如图所示。下列关于A、B两点电场强度E的大小和电势 的高低的
φ判断，正确的是（ ）
A．E ＝E B．E ＜E C． ＜ D． ＞
A B A B A B A B
【解答】解：AB、从v﹣t图象可知：正电荷仅在φ电场φ力作用下沿电场线φ从Aφ点到B点做加速度
不断减小的减速运动，故正电荷在A点受到的电场力大于电荷在B点的电场力，A点的场强大
于B点的场强，即E ＞E ，故AB错误；
A B
CD、由于电荷做减速运动，故电场力与速度方向相反，所以电场线方向从 B到A，根据顺着电
场线电势降低，则知 ＜ ，故C正确，D错误；
A B
故选：C。 φ φ
2. 如图所示，正电荷Q均匀分布在半径为r的金属球面上，沿x轴上各点的电场强度大
小和电势分别用E和ϕ表示．选取无穷远处电势为零，下列关于 x轴上各点电场强度的大小E
或电势ϕ随位置x的变化关系图，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、B：金属球是一个等势体，等势体内部的场强处处为0，故A错误，B错误；
C、D：金属球是一个等势体，等势体内部的电势处处相等，故C正确，D错误。
故选：C。3. （多选）如图所示，是电视机显像管主聚焦电场中的电场线分布图，中间一根电场线
是直线，电子从O点由静止开始只在电场力作用下运动到A点，取O点为坐标原点，沿直线
向右为x轴正反向。在此过程中关于电子运动速度 v、加速度a随时间t的变化，电子的动能
Ek、运动径迹上电势 随位移x的变化曲线，下列可能正确的是（ ）
φ
A． B．
C． D．
【解答】解A、在v﹣t图象中，斜率表示加速度，而加速度由电场力产生，而F＝Ee，由于电场
线的疏密表示电场强弱，故可得在电子运动过程中，电场先增强后减弱，故加速度应先增大后
减小，故斜率应先增大后减小，故A错误；
B、由A分析，结合电场线的分布特点可得，故B正确；
C、由动能定理可得，E ＝W＝Eex，故E 图象中，斜率代表电场力，根据电场线分布特点知，
k kx
电场力先增大后减小，故C正确；
D、△ ＝U＝Ex，故在 ﹣x图象中，斜率表示电场强度，故斜率应先增大后减小，故D错误。
故选：φBC。 φ
4. 如图所示，三条虚线表示某点电荷电场的等势面．一带电粒子仅受电场力作用，沿实
线运动，A、B、C、D、G是轨迹与等势面的交点。则（ ）A．产生电场的点电荷和运动的带电粒子都带正电
B．带电粒子经过B、G两点时加速度一样大
C．带电粒子从A点到B点的过程中电势能减小
D．带电粒子从C点到D点的过程中动能一直不变
【解答】解：A、根据电场线与等势面垂直且指向电势降低的方向，可知产生电场的点电荷带负
电；由图可知，轨迹向下弯曲，则带电粒子所受的电场力方向向下，则带电粒子受到了排斥力
作用，根据同种电荷相互排斥可知，带电粒子也带负电，故A错误；
B、由于B、G两点的电势相等，结合点电荷的电场的特点可知，B与G点到点电荷的距离是相
等的，所以B与G点的电场强度的大小也相等，则带电粒子经过 B、G两点时受到的电场力的
大小相等，所以加速度一样大，故B正确；
C、带电粒子受到了排斥力作用，则从A运动到B的过程中电场力做负功，带电粒子的电势能增
大，故C错误；
D、带电粒子受到了排斥力作用，则从C到D的过程中电场力先做负功，后做正功，带电粒子
的动能先减小后增大，故D错误。
故选：B。
5. 如图所示，虚线a、b、c为某电场中的等差等势面，其中等势面b的电势为0，实线
为电子在该电场中的运动轨迹。若电子经过等势面a时的动能为16eV，经过等势面c时的速度
大小为经过等势面a时速度大小的一半，以下说法正确的是（ ）
A．等势面a的电势为16V
B．等势面c的电势为6V
C．实线可能是该电场的某条电场线
D．电子不可能运动到电势为﹣12V的等势面
1
【解答】解：A、电子从a到c，速度减小为原来的一半，根据E = mv2可知动能减小为原来
k 21
的 ，为4eV；
4
根据动能定理得：﹣eU ＝E ﹣E ＝4eV﹣16eV＝﹣12eV，解得，U ＝12V；
ac kc ka ac
1
虚线a、b、c为某电场中的等差等势面，则：U =U = U =6V
ab bc 2 ac
由于：U ＝ ﹣ ，U ＝ ﹣
ab a b bc b c
等势面b的电φ势为φ0，则 φ＝6Vφ， ＝﹣6V；故AB错误；
a c
C、根据电场线与等势面垂φ直，由图φ知等势面c与实线不垂直，可知实线不可能是该电场的某条
电场线，故C错误；
D、电子的总能量：E＝E +E ＝16eV+（﹣e）×（6V）＝10eV；若电子能到达电势为﹣12V的
ka Pa
等势面时，电子的电势能为12eV，根据能量守恒则电子的动能为﹣2eV，这显然是不可能的，
所以电子不可能运动到电势为﹣12V的等势面，故D正确。
故选：D。
6. 静电透镜是利用静电场使电子束会聚或发散的一种装置。如图所示，虚线表示这个静
电场在xOy平面内的一簇等势线，等势线形状相对于Ox轴、Oy轴对称，且相邻两等势线的电
势差相等，图中实线为某个电子通过电场区域时的轨迹，不计电子重力，关于此电子从 a点运
动到b点过程中，下列说法正确的是（ ）
A．a点的电势高于b点的电势
B．电子在a点的加速度大于在b点的加速度
C．电子在a点的动能大于在b点的动能
D．电场力一直做正功
【解答】解：A、根据等势线与电场线垂直，可作出电场线，电子所受的电场力与场强方向相反，
故电子在y轴左侧受到一个斜向右下方的电场力，在y轴右侧受到一个斜向右上方的电场力，故
电子一直加速，对负电荷是从低电势向高电势运动，则a点的电势低于b点的电势，故A错误；
B、根据等势线的疏密知道b处的电场线也密，场强大，电子的加速度大，故B错误；
C、电子一直加速，动能一直增大，则电子在a点的动能小于在b点的动能，故C错误；D、根据负电荷在电势低处电势能大，可知电子的电势能一直减小，则电场力对电子一直做正功，
故D正确。
故选：D。
7. 如图所示，在光滑绝缘水平面内有一四边形 ABCD，其中∠ABC＝∠ADC＝90°，
∠ACB＝∠ACD＝30°，AB＝AD，O点为AC与BD的交点。在B、D两点分别固定一电荷量
为+q的小球（可视为点电荷），取无穷远处电势为零，下列说法正确的是（ ）
A．O点的电势为零
B．A、C两点的电势关系为 ＜
A C
C．A、C两点的电场强度大小φ之比φ为√3：1
D．若将一个带负电的光滑小球从A点由静止释放，它将沿直线AC运动，并能经过C点
【解答】A、由题意可知，AC为BD的中垂线，由等量同种电荷电场分布规律可知，O点电场
强度为零，AC上的电场线从O点发出，分别沿OA和OC方向指向无穷远，根据沿电场线方向
电势降低可知O点的电势大于零，故A错误。
B、由电场分布的对称性可知U ＜U ，即 ﹣ ＜ ﹣ ，故 ＞ ，故B错误。
OA OC O A O C A C
C、根据平行四边形定则画出A、C两点的电φ场强度φ叠加φ的矢φ量图如φ图所示φ：
kq kq
E ＝2× cos60°，E =2× cos30°
A AB2 C CB2联立解得：E ：E =√3：1，故C正确。
A C
D、若将一个带负电的光滑小球从A点由静止释放，它将在A点与A点关于0点的对称点之间
往返运动，无法到达C点，故D错误。
故选：C。
8. 在x轴上A、B两点处分别有点电荷Q 和Q ，A、B之间连线上各点的电势如图所示，
1 2
取无穷远处电势为零，从图中可以看出（ ）
A．Q 和Q 是异种电荷
1 2
B．Q 的电荷量大于Q 的电荷量
2 1
C．P点的电场强度为零
D．负电荷从P 点移动到P点，电势能减小
1
【解答】解：A、取无穷远处电势为零，因Q 处电势大于零，Q 处电势小于零，根据沿电场线
1 2
方向电势降落可知，则Q 和Q 一定带异种电荷，故A正确；
1 2
B、在两点电荷的连线上的P点的电势是零，但P点离Q 近，所以Q 的电荷量要大于Q 的电荷
2 1 2
量，故B错误；
C、Q 带正电，在P点产生的电场的电场强度沿x轴正方向，Q 带负电，在P点产生的电场的电
1 2
场强度沿x轴正方向，两分场强叠加后合场强不为零，故C错误；
D、负电荷从P 点移动到P点，电势降低，沿电场线运动，电场力做负功，电势能增大，故 D
1
错误。
故选：A。
9. （多选）如图所示，固定的点电荷M，N均带正电，M的带电量为Q ，N的带电量
1
为Q ，Q ＞Q ，O是M、N两电荷连线中点，A，B是连线上关于O点对称的两点，一个质量
2 1 2
为m、带电量为q的正点电荷P（重力不计）从O点以初速度飞沿M、N连线向左运动，运动
到A点时速度刚好为零，再次返回到O点时加速度为a，已知O点电势为 ，静电力常量为
0
k，则下列判断正确的是（ ） φA．点电荷P从O点运动到A点，加速度不断增大
B．点电荷P从A点运动到B点，电势能不断减小
C．A点的电势为 ＝ mv2
A 0+ 0
q
φ φ
D．M、N两点间的距离为2√kq(Q -Q )
1 2
ma
【解答】解：A.由于Q ＞Q ，且均带正电，由场强的叠加可知M、N连线上场强为零的位置在
1 2
O点右侧，因此点电荷P从O点到A点，受到的电场力越来越大，加速度越来越大，故A正确；
B.由于M、N连线上电场强度为零的位置与B点的位置关系无法确定，因此不能确定点电荷P
从A运动到B电场力是否一直做正功，故B错误；
C.由于点电荷 P 只受电场力，因此电势能与动能之和守恒 mv2 ，解得：
qφ = 0+qφ
A 2 0
mv2，故C错误；
φ =φ + 0
A 0 2q
Q q Q q
1 -k 2 =ma
D.设M、N间的距离为L，由于电荷P在O点的加 L L
2 2
( ) ( )
2 2
解得：L √kq(Q -Q )故D正确。
=2 1 2
ma
故选：AD。
10. （多选）若规定无限远处的电势为零，真空中点电荷周围某点的电势 可表示为 ＝
φ φ
Q
k ，其中k为静电力常量，Q为点电荷的电荷量，r为该点到点电荷的距离。如图所示，M、
r
N、C是真空中三个电荷量均为+Q的固定点电荷，M、N、C连线构成一等边三角形且边长
L，D是三条边中垂线的交点。已知静电力常量为k，规定无限远处的电势为零。则下列说法正确的是（ ）
A．O、A、B三点场强相等
4kQ
B．场强E =
A
3L
C．电势 ： ＝（2+4√3）：9
A D
φ φ 3√3kQq
D．在D处放置一负电荷q，其电势能E =-
p
L
【解答】解：A、根据点电荷电场的计算公式可知，MC两电荷在A点场强为0，故A点场强是
kQ kQ
只有N电荷在A点的场强，E= ，根据对称性可知OB两点场强大小也等于 ，故A正确；
r2 r2
√3 kQ 4kQ
B、三角形边长为L，则NA＝Lcos30°= L，代入E= = ，故B错误；
2 r2 3L2
kQ kQ 12kQ+2√3kQ
× + =
C 、 A 点 的 电 势 ： ＝ 2 L √3 3L ， D 点 的 电 势 ： ＝ 3
A D
L
2 2
φ φ
kQ 3√3kQ
× =
√3 L ，所以 A ： D ＝（2+4√3）：9，故C正确；
L
3
φ φ
3√3kQ 3√3kQq
D、 = ，在D处放置一负电荷q，其电势能E =- ，故D正确。
D p
L L
φ
故选：ACD。
