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第 87 讲 电磁感应中的单杆模型
1．（2022•上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀
强磁场。虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R 和最大阻值为20 的滑动变阻器R。一根与导轨等宽的
0
金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全Ω部接入和一半接入时沿 abcda方向电势
变化的图像。求：
（1）匀强磁场的方向；
（2）分析并说明定值电阻R 在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R 大小为多少：
0 0
（3）金属杆运动时的速率；
（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率P 。
m
一.知识回顾
1.力学对象和电学对象的相互关系
2.能量转化及焦耳热的求法
(1)能量转化
――→――→
(2)求解焦耳热Q的三种方法(纯电阻电路)3.单杆模型
初态 v≠0 v＝0
0 0
质量为m、电阻 轨道水平光滑，
轨道水平光滑， 轨道水平光滑，
示意图
不计的单杆ab 单杆ab质量为
单杆ab质量为 单杆ab质量为
以一定初速度v m，电阻不计，
0 m，电阻不计， m，电阻不计，
在光滑水平轨道 两平行导轨间距
两平行导轨间距 两平行导轨间距
上滑动，两平行 为l，拉力F恒
为l 为l，拉力F恒
导轨间距为l 定
定
Δt时间内流入
电容器的电荷量
Δq＝CΔU＝
CBlΔv
电流I＝＝CBl
运动分析
当E ＝E时，v
导体杆做加速度 感 ＝CBla
当a＝0时，v最
最大，且v＝，
越来越小的减速 m 安培力F ＝IlB
大，v＝，杆开 安
m
最后以v匀速运
运动，最终杆静 m ＝CB2l2a
始匀速运动
动
止 F－F ＝ma，a
安
＝，
所以杆以恒定的
加速度匀加速运
动
电能转化为动能 外力做功转化为 外力做功转化为
动能转化为内
能量分析 和内能，E ＝ 动能和内能，W 电能和动能，W
电 F F
能，mv＝Q
mv＋Q ＝mv＋Q ＝E ＋mv2
电
二.例题精析
题型一：单杆+电阻模型之动态分析（多选）例1．如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的足够长的光滑金属导轨，电阻不
计，匀强磁场垂直导轨平面向里。具有一定质量和电阻的金属杆 ab垂直导轨放置，与导轨接触
良好。开始时，断开开关S，让金属杆ab由静止开始沿导轨下落，经过一段时间后，闭合开关
S。从闭合开关S开始计时，取竖直向下为正方向，金属杆的速度v、加速度a、安培力F及电流
表示数i随时间t变化的图象可能是图中的（ ）
A． B．
C． D．
题型二：单杆+电阻模型之通过动量定理求位移和电荷量
例2．如图所示，间距为L＝1m的光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，导轨足够长且电阻不计，
左端接有阻值R＝2 的定值电阻。质量为m＝1kg的金属棒放在导轨上。整个装置处在垂直于
导轨平面向下的匀强Ω磁场中，磁场的磁感应强度大小为1T。现对金属棒施加个平行导轨向右的
水平拉力，使金属棒从静止开始运动，金属棒运动过程中始终与两导轨垂直并接触良好，金属
棒接入电路的电阻为r＝2 。求：
（1）若施加的拉力大小恒Ω为1N，金属棒运动的最大速度为多少；当速度为最大速度一半时，
金属棒的加速度多大？
（2）若水平拉力的功率恒定为1W，则施加拉力后的4s内（此时金属棒已做匀速运动），电阻
R上产生的焦耳热多大？题型三：单杆+电容模型之充电过程分析
（多选）例3．如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左
端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向与轨道平
面垂直，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。现将开关拨
向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t 后，将开关S拨向
0
“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。下列说法正确的是（ ）
A．开关拨向“1”时，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动
B．t 时刻电容器所带的电荷量为 CBLFt
0 0
m+B2L2C
FR
C．开关拨向“2”后，导体棒匀速运动的速率为
B2L2
D．开关拨向“2”后t时间内，导体棒通过的位移为 FR （t mt mR ）
+ 0 -
B2L2 m+B2L2C B2L2
题型四：单杆+电容模型之放电过程分析
例4．如图所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，阻值为R的导体棒垂直于导
轨放置，且与导轨接触良好．导轨所在空间存在匀强磁场，匀强磁场与导轨平面垂直，t＝0时，
将开关S由1掷向2，分别用q、i、v和a表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度大
小和加速度大小，则图所示的图象中正确的是（ ）A． B．
C． D．
题型五：单杆+电源模型
例5．（2020•上海）如图所示，足够长的光滑金属导轨L＝0.5m，电阻不计。左端接一个电动势为
3V的电源，整个装置处于匀强磁场中。现闭合电键S，质量0.1kg的金属棒ab由静止开始运动
回路的电流逐渐减小，稳定后电源电动势为E，回路的电流为0，从闭合电键到逐渐稳定的过程
中，电源提供的能量E＝10J，电源、导体棒产生的焦耳热分别是Q ＝0.5J，Q ＝4.5J。
s 1 2
（1）求内阻r和电阻R的阻值之比；
（2）求导体棒稳定时的速度和匀强磁场磁感应强度；
（3）分析电键闭合后导体棒的运动情况和能量的转化关系。
三.举一反三，巩固练习
1. （多选）如图，阻值不计的平行光滑金属导轨与水平面夹角为 ，导轨间距为d，下
端接一阻值为R的定值电阻，磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直于导轨θ平面向上。质量为m
的金属杆MN由静止开始沿导轨运动距离L时，速度恰好达到最大。已知MN接入电路的电阻
为r，MN始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，则在此过程中（ ）BLd
A．通过定值电阻的电荷量为
R
B．金属杆中的电流由N流向M
mg(R+r)sinθ
C．金属杆运动的最大速度为
B2d2
D．金属杆与定值电阻产生的热量之比为R：r
2. （多选）间距为d的金属导轨竖直平行放置，空间有垂直于导轨所在平面向外、大小
为B的匀强磁场。在导轨上端接一电容为C的电容器，一质量为M的金属棒与导轨始终保持
良好接触，距地面高度为H由静止开始释放金属棒。（重力加速度为g，一切摩擦及电阻均不
计）在金属棒下滑至地面的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒做变加速运动
Mg
B．金属棒做匀加速运动，加速度为
M+CB2d2
C．金属棒运动到地面的过程中，机械能守恒
D．金属棒运动到地面时，电容器储存的电势能为MgHCB2d2
M+CB2d2
3. （多选）如图所示，光滑平行金属导轨间距d＝1m，竖直四分之一圆弧部分与水平部
分平滑连接，圆弧半径R＝1.8m，导轨右端接有阻值R ＝6 的定值电阻，导轨水平部分区域
0
有垂直导轨向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝3T，磁场Ω区域长L＝2m，导体棒ab从圆弧
导轨顶部无初速度释放，导体棒ab质量m＝0.5kg，接入回路部分电阻r＝3 ，导体棒与导轨
Ω始终接触良好，不计其他电阻，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒克服安培力做功功率的最大值为18W
B．导体棒两端最大电势差为12V
1
C．整个过程通过导体棒电荷量为 C
3
16
D．电阻R 上产生的最大热量为 J
0
3
4. （多选）如图所示，宽为L的足够长U形光滑导轨放置在绝缘水平面上，整个导轨处
于竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，将一质量为m、有效电阻为R、长度略大于
L的导体棒垂直于导轨放置。某时刻给导体棒一沿导轨向右、大小为v 的水平速度，不计导轨
0
电阻，棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒中感应电流方向为由a到b
1
B．导体棒中的最大发热量为 mv2
2 0
C．导体棒的加速度逐渐减小到0
mv
D．通过导体棒的电荷量最大值为 0
2BL
5. （多选）如图甲所示，两固定平行且光滑的金属轨道 MN、PQ与水平面的夹角 ＝
37°，M、P之间接电阻箱，电阻箱的阻值范围为0～9.9 ，导轨所在空间存在匀强磁场，磁θ场
方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度大小为B＝0.5TΩ，质量为m的金属杆ab水平放置在轨
道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得最大速度为v ，改变电阻箱的阻值
mR，得到v 与R的关系如图乙所示。已知轨道间距为L＝2m，重力加速度g＝10m/s2，轨道足
m
够长且电阻不计（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），则（ ）
A．金属杆的质量m＝0.5kg
B．金属杆接入电路的电阻r＝2
C．当R＝2 时，杆ab匀速下滑Ω过程中R两端的电压为4V
D．当R＝1Ω时，若杆ab用时2.2s达到最大速度，则此过程中下滑的高度为6m
6. （Ω多选）如图所示，有一边长开小口且边长为L的正三角形的导体，有一导体直杆长
√3
为 L，单位长度电阻均为R，正三角形水平放置且固定，内部分布垂直于纸面向里的匀强磁
2
场，磁感应强度大小为B，杆平行于正三角形放置，以速度大小为v向右匀速运动，杆与三角
形始终有两个点接触良好，从左侧与三角形接触点开始运动，则（ ）
A．当杆的有效长度为L时，杆产生的电动势为BLv
√3 √3
B．当杆的有效长度为 L时，杆产生的电动势为 BLv
2 2
C．当杆的有效长度为L时，杆受到的安培力大小为F B2Lv
=
(1+√3)R
D．当杆的有效长度为√3L时，杆受到的安培力大小为F 4B2Lv
=
2 (3+2√3)R
7. （多选）如图所示，光滑平行的金属导轨由半径为 r的四分之一圆弧金属轨道MN和
M'N'与足够长的水平金属轨道NP和N'P'连接组成，轨道间距为L，电阻不计；电阻为R，质量为m，长度为L的金属棒cd锁定在水平轨道上距离NN'足够远的位置，整个装置处于磁感应强
度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中．现在外力作用下，使电阻为 R、质量为m，长度为
L的金属棒ab从轨道最高端MM'位置开始，以大小为v 的速度沿圆弧轨道做匀速圆周运动，
0
金属棒ab始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．ab刚运动到NN'位置时，cd受到的安培力大小为B2L2v ，方向水平向左
0
2R
B．ab从MM'运动到NN'位置的过程中，回路中产生的焦耳热为πrB2L2v
0
4R
C．若ab运动到NN'位置时撤去外力，则ab能够运动的距离为mv R
0
B2L2
D．若ab运动到NN'位置撤去外力的同时解除cd棒的锁定，则从ab开始运动到最后达到稳定状
态的整个过程中回路产生的焦耳热为πB2L2v r 1
0 + mv2
8R 4 0
8. （多选）如图所示，光滑平行导轨水平固定，间距为l，其所在空间存在方向竖直向
上，磁感应强度大小为B的匀强磁场，导轨左侧接有阻值为R的定值电阻，一导体棒垂直导轨
放置，导体棒的有效电阻为r、质量为m。导轨电阻忽略不计，导体棒运动中始终与导轨垂直
且接触良好。现使导体棒获得一水平向右的速度，在导体棒向右运动过程中，下列说法正确的
是（ ）A．流过电阻R的电流方向为a→R→b
B．导体棒的最大加速度为
B2l2v
0
m(R+r)
mv
C．通过电阻R的电荷量为 0
Bl
1
D．全过程电阻R的发热量为 mv 2
0
2
9. 两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角 ＝37°的光滑绝缘斜面上，顶部接有
一阻值R＝3 的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝1m。θ 整个装置处于磁感应强度为B＝2T
的匀强磁场中Ω，磁场方向垂直斜面向上。质量m＝1kg的金属棒ab，沿导轨运动时始终垂直于
导轨，且与导轨接触良好。金属棒ab从静止开始运动下降的竖直高度为h＝6m时，速度已经
达到最大速度。金属棒ab在导轨之间的电阻R0＝1 ，电路中其余电阻不计。sin37°＝0.6，
cos37°＝0.8，取g＝10m/s2。求： Ω
（1）求金属棒ab达到的最大速度v 的大小；
m
（2）金属棒ab沿导轨向下运动速度最大后，导体棒ab两端的电势差U ；
ab
（3）从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的热量Q 。
R
10. 为了提高城市摩天大楼中电梯的运行效率并缩短候梯时间，人们设计了一种电磁驱动
的无绳电梯，如图甲。图乙所示为电磁驱动的简化模型：光滑的平行长直金属导轨置于竖直面
内，间距L＝1m。导轨下端接有阻值R＝1 的电阻，质量m＝0.1kg的导体棒（相当于电梯车
Ω厢）垂直跨接在导轨上，导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上存在磁感应
强度大小 B＝0.5T，方向垂直纸面向里的匀强磁场，导体棒始终处于磁场区域内，g 取
10m/s2。t＝0时刻，磁场以速度v ＝10m/s速度匀速向上移动的同时静止释放该导体棒。
1
（1）求t＝0时刻导体棒的加速度大小；
（2）若导体棒随之运动并很快达到一个恒定速度，求该恒定速度的大小。
