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数量关系-高分讲义笔记（ 一）
第一章 数学运算
第一节 代入排除法
【知识点】代入排除法：将答案代入题目中进行排除，将题目当成选择题，
利用选项进行验证。后面考试中，可以利用(cid:1)9(cid:1)的倍数排除、3(cid:1)的倍数排除，8(cid:1)个
选项也是可以排除的。
1.什么时候用？
（1）特定题型：年龄（题目中出现某几个人的岁数关系）、余数（某个数除
几余几）、不定方程（题目中未知数比较多，但是方程比较少。比如(cid:1)x+2y=c，方
程只有一个，未知数有两个、三个）、多位数（出现位数的表述）。现在考试年龄
和不定方程出现最多，多位数出现最少。
（2）选项信息充分：选项为一组数（比如选项是：A.20，10，或者问的是
分别„„/各„„，甲、乙分别是„„？属于信息直接给的）；选项可以转化为一
组数（答案只有一个，比如选项是：A.20，但条件有甲是乙的(cid:1)2(cid:1)倍，如果代入甲
=20，则可以推出乙=10，是很简单一步可以转化出来的，属于信息间接给的）。
（3）其他情况：条件特复杂（比如题目中有(cid:1)5、6(cid:1)个数据，给了甲、乙、丙、
丁、戊，主体多、关系乱，字特别多，分析很麻烦，这种情况要么放弃，要么代
入。数学不是追求满分的学科，给一个小时或半个小时可以都做出来，但是考场
上只有十多分钟，特别难的题目要放弃）；排除后只剩两项（比如答案是(cid:1)5、6、(cid:1)
7、8，分析条件，要求的数据是奇数，可以排除(cid:1)6(cid:1)和(cid:1)8，还剩(cid:1)5(cid:1)和(cid:1)7，代入一项，
比如代入(cid:1)5，5(cid:1)如果对，选(cid:1)5，不对，选(cid:1)7，因为(cid:1)5(cid:1)和(cid:1)7(cid:1)之间一定有一个是正确的。
剩二代一）。做一遍题目和代一遍相比，代一遍更简单。
2.怎么用？
能排除的优先排除，排除不了再进行代入。比如(cid:1)5、6、7、8，正常思路一
个一个代，代(cid:1)5，再代(cid:1)6，再代(cid:1)7，需要代(cid:1)3(cid:1)遍，比较慢，如果排除了两个，还
剩两个，代入一遍就可以了。利用奇偶性、倍数特性、尾数、大小（比如甲+乙
=100，且甲＞乙，则甲＞50）排除。
3.奇偶和倍数在第二节数数字特性出现的比较多。能排除的优先排除，但不
1
是一定要排除，拿到题目看是不是这四大类题型或者选项比较特殊，或者根据某
个思路能排除两项，然后再代入。例1、一家三口，妈妈比儿子大(cid:1)26(cid:1)岁，爸爸比儿子大(cid:1)33(cid:1)岁。1995年，一家
三口的年龄之和为(cid:1)62。那么，2018(cid:1)年儿子、妈妈和爸爸的年龄分别是（ ）。
A.23 ，51 ，57 B.24 ，50 ，57
C.25，51，57 D.26，52，58
【解析】例1.年龄问题，想到代入排除。出现“分别”，想到代入排除。看
能不能优先排除。问三个人的年龄关系，在年龄问题中，两个人的年龄差永远不
变。“妈妈比儿子大 26 岁”，看 A 项：23+26=49，不是 51，排除 A 项。B、C、D
项都符合。“爸爸比儿子大 33 岁”，验证其余选项，只有 B 项符合。也可以看父
母都将孩子做参照，想到父母之间差 33-26=7 岁，看选项后两个数，排除 C、D
项，只有B项符合。【选B】
【注意】1.年龄问题是很常见的考法。 2.先用年龄差不变去排除。
例(cid:1)2、某电商网站推出免息分期购物活动，购买某件商品的消费者第一个月
只用支付总金额的一半加(cid:1)10(cid:1)元，第二个月支付剩余金额的一半加(cid:1)20元，第三个
月支付剩余金额的一半加(cid:1)30(cid:1)元，第四个月付清剩余未支付的(cid:1)10(cid:1)元。问这件商
品的价格为多少元？（ ）
A.400 B.410
C.420 D.460
【解析】例2.方法一：“购买某件商品的消费者第一个月只用支付总金额的
一半加10元”，比如 100元，只要付50+10=60 元，第二个月付剩下的 40元就付
完了。这道题如果列方程，反复除以2叠起来式子很大很复杂，比较麻烦，是比
较复杂的情况，考场上考虑代入排除。也可以考虑题目一直在强调是余下的部分
多一点，类似余数问题，不一定非要是除几余几，比如：每次取 1/3多5元，取
1/4少2 元，这种表述也可以，将零头看作余数，是余数型问题，考虑代入排除
法。总金额的一半，说明总金额是偶数，选项都是偶数，不能排除，代入 A 项，
400元，第一个月付 210，还剩190，第二个月付 115，还剩75，第三个月付 75/2，
出现小数，则第四个月不可能是 10元，A项错误；代入B项：410 元，第一个月
付 215，还剩 195，第二个月付 195 的一半会出现小数，最后也不可能是 10 元，
B 项错误。因此总结规律：出现小数结果就不可能是 10 元。代入 C 项：420 元，
第一个月付220，还剩 200，第二个月付120，还剩80，第三个月付 70，还剩10，
正确，当选。方法二：流程式的代入问题（第一步→第二步→第三步），得到结果与 10
比较，可以居中代入，比如代 C 项，如果结果正好是 10，说明 C 正确，如果不
是，比如是 11，说明 C 项最后结果比条件多，C 项代大了，要找比 C 项更小的，
D 项比 C 项还要大，就更不符合了。如果代 C 项是 9，说明 C 项代小了，则答案
只能是D项。即居中代入后如果偏大，排除更大的选项；代入偏小，则排除更小
的选项。【选C】
【注意】1.未支付的 10元是整数，则前面的每次支付一定都是整数。
2.代入排除最多代三项。
3.流程式的代入题，答案往往是选居中的选项，不是最大最小的，因此居中
代入实际效果会更好。比如代入的是B项，发现 B项结果小于正确答案，则同时
可以排除A项，再代入 C项即得答案。
4.居中代入只要代 1～2项即得答案。
例(cid:1)3、在公司年会表演中，有甲、乙、丙、丁四个部门的员工参演。已知
甲、乙两部门共有(cid:1)16(cid:1)名员工参演，乙、丙两部门共有(cid:1)20(cid:1)名员工参演，丙、丁
两部门共有(cid:1)34(cid:1)名员工参演。且各部门参演人数从少到多的顺序为：甲＜乙＜丙
＜丁。由此可知，丁部门有多少人参演？（ ）
A.16 B.20
C.23 D.25
【解析】例3.本题有四个未知数，三个等量关系（共„„），未知数比方程
多，是不定方程，考虑代入排除。还可以考虑，问丁部门，已知丙丁和 34，比
如丁是 25，则很快知道丙是多少，再根据乙丙和是 20，可以得到乙是多少，即可以很快推出丙、乙、甲，属于间接的信息充分，因此考虑代入排除。先排除再
代入，问丁，找与丁有关的条件，知道丁和丙的和，丁+丙=34，且丁＞丙，则丁
＞34/2=17，小于或等于 17 的选项都是错的，排除 A 项。代入 B 项：丁=20，则
丙=34-20=14，乙=20-14=6，甲=16-6=10，“甲＜乙＜丙＜丁”，都是整数，看顺
序，甲＞乙，与题干甲乙的顺序矛盾，排除。代入 C 项：丁=23，丙=11，乙=9，
甲=7，满足所有条件。当选。
方法二：求的是四人中的丁，是最大的，从 D 项开始验证，丁=25，丙=9，
乙=11，乙＞丙，错误，排除。代入 C项，符合所有条件，当选。【选C】
【注意】1.有四个未知数，但只有三个等量关系，理论上是不能直接求出四
个未知数的。
2.如果求最大的数是多少，或者求某个数最大可能是多少，这两种考法，建
议从大的选项开始代入。第一种问法，不一定选大的答案，但从经验看，答案通
常是偏大的两个数中的一个。第二种问法，必须是最大的，问最大可能是多少，
这种情况通常有2 个正确答案。比如问最大的，如果答案 200和 400都符合，如
果先代入了200符合，答案就选错了，一定要从大往小去代入。两种情况逻辑不
同，但是代入的顺序是一样的。
3.有的同学说听会了，但是做题的时候想不到，数学题不是听会，真正要考
好，需要听会了之后去做。【小结】代入排除法：
1.范围：
（1）典型题：多位数（强化练习课）、余数（第二题）、年龄（第一题）、不
定方程（第三题）。
（2）看选项：选项为一组数（第一题）、可转化为一组数（第三题）。
（3）超复杂（例2）：题干长、主体多、关系乱。常规思路不好做的，都可
以认为是比较复杂的题，考虑代入排除。
（4）剩两项：只剩两项时，代入一项即得答案。
（5）典型题和看选项应用的最多，超复杂是属于兜底的做法，有的题既不
属于选项信息充分，也不属于四大题型，但是可以代入排除，就是因为题目比较
复杂。
2.方法：
（1）优先排除：尾数、奇偶、倍数，数字特性。
（2）直接代入：最值（问最大，从最大开始代，问最小，从最小开始代）、
好算（如果一个选项是 400，一个选项是 467，优先代 400，整百整十的好算）。
第二节 数字特性法
【注意】考试的过程中，代入排除会考虑先排除再代入，但是排除的时候不
能总是通过做简单的比如年龄差不变来排除，更多的是通过奇偶特性，倍数特性
等方法。一、奇偶特性
【知识点】奇偶特性：专门研究答案是奇数还是偶数的特性。
1.加减法：
（1）奇数+奇数=偶数；奇数-奇数=偶数；
偶数+偶数=偶数；偶数-偶数=偶数；
奇数+偶数=奇数；奇数-偶数=奇数；
偶数+奇数=奇数；偶数-奇数=奇数。
（2）结论：观察发现每一行的两个算式，两个数是一样的，但是中间的符
号不一样。a+b与 a-b的奇偶性相同，因此得出：和差同性。比如人数一共是 128
人，可以说属虎的人和不属虎的人数差一定是偶数，因为假设属虎是a，不属虎
是b，已知 a+b=128，是偶数，根据和差同性，则 a-b一定是偶数。
（3）引例：共 50 题，答对得 3 分，答错倒扣 1 分，共得 82 分，问答对的
题和答错的题相差多少道？
A.16 B.17
C.31 D.33
【解析】引例.中学可能会设答对为x，答错为y，或者答对为 x，答错为50-x，
再列方程解题。但是行测的思维是：已知 a+b=50，求a-b，已知两数之和，求两
数之差，和差同性，结果一定是偶数，只有 A项符合。如果答案有两个是偶数，
就代入一项。不可能四个都是偶数，行测不会这么考。【选A】
（4）注意一定都是整数才考虑。
2.乘法（考试应用得更广）：除法不考虑奇偶性，因为会有除不尽的问题，
可以将除法转化为乘法再考虑奇偶性。
（1）奇数*奇数=奇数；偶数*偶数=偶数；奇数*偶数=偶数；偶数*奇数=偶
数。
（2）结论：在乘法中，一偶则偶，全奇为奇。帮助记忆：将偶数想象为“偶
病毒”，乘法中，只要有一个偶数，整个乘法就是偶数。
（3）引例1：甲是乙的 2倍，乙是丙的 3倍，试判定甲、乙、丙的奇偶性。
答：甲是乙的 2 倍，甲=2*乙，有偶数 2 出现，则甲一定是偶数，结论：偶数倍的乘法结果都是偶数。不能说乙是偶数，乙=甲/2，除法不能分析奇偶性。
乙=丙*3，丙是不确定的，如果丙是偶数，3*偶数=偶数，则乙是偶数，如果丙是
奇数，3*奇数=奇数，则乙是奇数，因此乙是无法确定的，奇数倍的乘法，结果
是无法确定的。丙不是别人的倍数，是推不出来的，后面的不能推出前面的。
（4）引例(cid:1)2：已知(cid:1)5x+6y=76（x、y(cid:1)是质数），求(cid:1)x、y。
答：不定方程求解：①先看能确定奇偶性的：5x(cid:1)是奇数倍，不能确定。6y
是偶数倍，可以确定是偶数。76(cid:1)是常数，是偶数，则(cid:1)5x(cid:1)是偶数。②分析未知数
的奇偶性，5x(cid:1)是偶数，则(cid:1)x(cid:1)是偶数，又因为(cid:1)x(cid:1)和(cid:1)y(cid:1)都是质数，则(cid:1)x(cid:1)为偶质数。
只有(cid:1)2(cid:1)是唯一的偶质数，因此(cid:1)x=2，代入(cid:1)5x+6y=76，得(cid:1)y=11。如果推出(cid:1)x(cid:1)是奇
质数，只能一个一个代入，但通常不会这么考，出题老师出题是有逻辑的，考质
数，很可能考其中特殊的偶质数，不会是纯粹的代入计算。
3.质数，中学的时候学过，又称素数，是(cid:1)2、3、5、7、11„„，特点是除
了(cid:1)1(cid:1)和本身，没有别的约数。比如(cid:1)5(cid:1)只能被(cid:1)1(cid:1)和(cid:1)5(cid:1)整除，约数是小于或等于它的
数，不能说(cid:1)10(cid:1)是(cid:1)5(cid:1)的约数，10(cid:1)是(cid:1)5(cid:1)的倍数，不是(cid:1)5(cid:1)的约数。7(cid:1)只有(cid:1)1(cid:1)和(cid:1)7(cid:1)的约
数，11(cid:1)只有(cid:1)1(cid:1)和(cid:1)11(cid:1)的约数。
4.考试的思路：先看能确定的，再分析未知数的奇偶性。
5.逢质必 2。即出题老师每逢考质数的时候，很可能考其中比较特殊的偶质
数 2。因此引例 2 可以猜 x=2 或 y=2，分别代入验证，代入 x=2，得 y=11；再代
入y=2，发现x解出来是非整数，可以排除。这种技巧只是一种解题的经验，是
猜测，不能当做结论。
例(cid:1)1、母亲现在的年龄个位数跟十位数对调再减(cid:1)10(cid:1)岁就是儿子的年龄，再过(cid:1)3(cid:1)
年母亲的年龄就是儿子年龄的(cid:1)2(cid:1)倍，则母亲现在的年龄是（ ）。
A.53 B.52
C.43 D.42
【解析】例1.“个位数跟十位数对调”，提到几位数，是多位数问题，且提
到年龄，代入排除。
方法一：直接代入排除，没有问分别，不能用年龄差排除。代入 A项，符合
所有条件，当选。方法二：“再过(cid:1)3(cid:1)年母亲的年龄就是儿子年龄的(cid:1)2(cid:1)倍”，出现(cid:1)2(cid:1)倍，是偶数倍，
则母亲的年龄是偶数，问母亲的年龄，可以用奇偶性排除。注意这个偶数是母亲
过(cid:1)3(cid:1)年后的年龄，母亲现在的年龄是偶数-3=奇数，答案是奇数，可以排除(cid:1)B、D
项，剩下(cid:1)A、C(cid:1)项，剩二代一，代小的(cid:1)C(cid:1)项(cid:1)43（数字越小越好，比较好做），对
调后是(cid:1)34，减(cid:1)10(cid:1)是(cid:1)24，再过三年母亲是(cid:1)46，孩子是(cid:1)27，46(cid:1)不是(cid:1)27(cid:1)的两倍，C
项错误，则答案是(cid:1)A(cid:1)项。【选(cid:1)A】
【注意】1.不是所有的题答案都是(cid:1)A(cid:1)项，如果答案是(cid:1)B、C、D(cid:1)项，代入比较
慢。
2.方法一是纯代入，需要代入(cid:1)1～3(cid:1)项，方法二根据奇偶性排除两项，再代
入一项，只要代入一项一定出答案，方法二在考场上更有优势。
例(cid:1)2、某出版社新招了(cid:1)10(cid:1)名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会英
文又会日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这(cid:1)10(cid:1)人中，会法文的比会
英文的多(cid:1)4(cid:1)人，是会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？（ ）
A.2 B.0
C.3 D.1
【解析】例2.“小李是唯一掌握一种以上外语的人”，说明其他人都只会一
种。法-英=4，“是会日文人数的两倍”，出现“两倍”，法=2*日，则法是偶数，
问的是英，偶数-4=偶数，因此英是偶数。注意问的是只会英文，英文包含只会
英文和既会英语又会别的语言的（小李），则只会英=英-小李=偶数-1=奇数，排
除A、B项。还剩 C、D 项，剩二代一，代入好算的 D项，只会英是 1人，会英是
2人，法文是6人，日文是 3人，2+6+3=11，这里小李算了两遍，英文和日文都
算了，则总人数是 10人，符合所有条件。这里如果先代C项，总人数是 16人是
不可能的，就算小李重复了也不可能多出 6个人，排除C项。【选 D】【注意】1.考试中，奇偶性问题，喜欢从偶数倍去着手考虑。
2.奇偶特性，往往喜欢在最后的关键问题中加一点陷阱，例 1 和例 2 都是，
现在的出题老师不再直白的考查奇偶性，会将答案+1或-1，再考查大家。
【答案汇总】1-2：AD
【小结】奇偶特性：
1.范围：
（1）知和求差（引例 1）、知差求和。比如某年级有四个班级甲、乙、丙、
丁，已知甲丙-乙丁=1(cid:1)人，问总=（ ）人？
答：因为总=甲丙+乙丁，已知甲丙-乙丁是奇数，相当于知道(cid:1)a-b，求(cid:1)a+b，
知差求和，差是奇数，那么和也是奇数。
（2）不定方程。先看人确定奇偶性，再分析未知数的奇偶性。
（3）A(cid:1)是(cid:1)B(cid:1)的(cid:1)2/4/6„„倍（例(cid:1)1、例(cid:1)2，现在考查最多）、将(cid:1)A(cid:1)平均分成两份
（比如进一堆(cid:1)iPhone，平均分成两份，则总数一定是偶数，不可能将奇数分成
两份）；A(cid:1)为偶数。
2.方法：
（1）和差：（a+b）与（a-b）的奇偶性相同。
（2）积：4x、6y必为偶数；3x、5y 不确定。
（3）注：上述的 a、b、x、y均为整数。
二、倍数特性
【知识点】倍数特性：1.整除基础知识：若 A=B*C（B、C均为整数，即三个数都是整数），则：
（1）A能被 B或C整除。
（2）B和C均是 A的约数。约数考试比较少，重点是（1）。
①比如：甲乙两个工人做零件，用(cid:1)18(cid:1)天做完，问(cid:1)18(cid:1)天共做多少：
A.240、B.270、C.250、D.300。
答：18(cid:1)天做完，说明（ ）=18*未知数，零件通常是整数，则答案是(cid:1)18(cid:1)的倍
数，看选项只有(cid:1)B(cid:1)项能被(cid:1)18(cid:1)整除。
②能被(cid:1)18(cid:1)整除的，可以看作能被(cid:1)2(cid:1)和(cid:1)9(cid:1)都整除的数，因为(cid:1)2(cid:1)和(cid:1)9(cid:1)的公倍数是(cid:1)
18。9(cid:1)的倍数是各位之和相加是(cid:1)9(cid:1)的倍数。也可以直接除，但数字越复杂，利用各
位之和分析越简单。
③18(cid:1)可以看作(cid:1)2*9，因为(cid:1)2(cid:1)和(cid:1)9(cid:1)的最小公倍数是(cid:1)18，但不能看作(cid:1)3*6，因为3(cid:1)和(cid:1)6(cid:1)
的最小公倍数不是(cid:1)18，是(cid:1)6，能被(cid:1)3(cid:1)整除又能被(cid:1)6(cid:1)整除，只能说是(cid:1)6(cid:1)的倍数，比如(cid:1)
12，12(cid:1)不是(cid:1)18(cid:1)的倍数。即一定要两个数是互质的，才能这样看。比如45，可以看
作(cid:1)5*9，之间没有约数，既能被(cid:1)5(cid:1)整除又能被(cid:1)9(cid:1)整除，则一定能被(cid:1)45整除，但不能
看作(cid:1)3*15，因为(cid:1)3(cid:1)和(cid:1)15(cid:1)还能继续约，不是互质的。一个数能被因式分解再判断整
除的情况，大多数情况下只有一种分解方法。
例(cid:1)1、一位女士为了寻找曾经帮助她的司机，向新闻媒体提供了她记得的车
牌信息。女士看到的车牌号为“吉(cid:1)AC****”，最后一位是字母，其他三位全是
奇数，且数字逐渐变大，那么符合要求的车牌有（ ）。
A.380 个 B.260个
C.180 个 D.460个
【解析】例 1.根据题意，车牌的最后一位是字母，其他三位是奇数；字母
共有26种情况，前面三位数字可能有n种情况，所以最终满足要求的车牌数=26*n
种，其结果一定为 26的倍数，只有B项满足要求。【选B】
【注意】题目无需计算出最终结果，只需判断出结果是 26 的倍数就可以快
速选出正确选项，因此无需按照排列组合的方法去精确计算。若要精确计算，即
在 5 个奇数（1、3、5、7、9）中选 3 个数字，因为 3 个数字是逐渐变大，所以只要选出数字，顺序就确定了（逐渐变大），无需再排序，所以应该用(cid:1)C(cid:1)来表示，
最终列式应为(cid:1)C（5,3）*26=260(cid:1)种。
例(cid:1)2、某公司研发出了一款新产品，当每件新产品的售价为(cid:1)3000元时，恰好
能售出(cid:1)15(cid:1)万件。若新产品的售价每增加(cid:1)200(cid:1)元时，就要少售出(cid:1)1(cid:1)万件。如果该
公司仅售出(cid:1)12(cid:1)万件新产品，那么该公司新产品的销售总额为（ ）。
A.4.72 亿元 B.4.46亿元
C.4.64 亿元 D.4.32亿元
【解析】例2.销售总额=单件*销售件数，题目已知销售 12 万件，所以只需
求出单价即可；本题虽然选项是小数，但单位是“亿元”，若将选项单位化成“万
元”时，选项就都是整数了。因为销售件数是 12 万件，所以最终的销售额应是
12 的倍数；将 12 因式分解，12=3*4，一个数是 12 的倍数就应该是 3 的倍数；
若一个数是3的倍数，则这个数各位数之和是 3的倍数；由此根据 3的倍数，可
以排除A、B、C项，对应 D项。【选D】
【注意】1.一个数是 3或9的倍数，则这个数的各位数之和应是 3或9的倍
数。
2.本题中若选项中有两个选项是3的倍数，则需继续验证 4 的倍数。一个数
是 4 的倍数，则这个数的末两位可以被 4 整除；但本题中，选项转化为“万元”
后，末两位都为“00”，此时四个选项都可以被 4 整除，所以本题看 4 的倍数是
没有意义的。
【知识点】余数型：
1.若答案=ax±b，则答案∓b能被a整除（a、x均为整数）。
例：若（ ）=12N+7，则应验证（ ）-7是否是12的倍数。
2.“多退少补”，举例如下：
（1）一堆苹果分给每人 10个，剩余 3个。
答：设人数为 x，则苹果数=10x+3，苹果数多了，应该退掉，说明苹果数-3
应为10 的倍数。若选项中有 83，则很可能当选。
（2）一堆苹果分给每人 10个，还缺 3个。答：设人数为 x，则苹果数=10x-3，苹果数少了，应该补上，说明苹果数+3
应为10 的倍数。若选项中有 87，则很可能当选。
（3）一堆苹果分给每人 8个，还缺 6个。
答：苹果数+6应是8的倍数。
（4）一堆苹果分给每人 7个，还剩 5个。
答：苹果数-5应是7的倍数。
例(cid:1)3、两箱同样多的蛋黄派分别分发给两队志愿者做早餐，分给甲队每人(cid:1)6(cid:1)
块缺(cid:1)8(cid:1)块，分给乙队每人(cid:1)7(cid:1)块剩(cid:1)6(cid:1)块，已知甲队比乙队多(cid:1)6(cid:1)人，则一箱蛋黄派
有（ ）块。
A.120 B.160
C.180 D.240
【解析】例3.根据“分给甲队每人 6块缺8块”，说明蛋黄派总数+8应是6
的倍数，因式分解 6=2*3，若一个数是6 的倍数，则这个数既是 2的倍数、也是
3的倍数；四个选项都是偶数，无法通过 2的倍数进行排除，但通过蛋黄派总数
+8是3 的倍数，可以排除 A、C、D项，对应 B项。【选B】
【注意】1.当遇到题目中第一句话就可以解出题目，就不要继续读题了。
2.根据“分给乙队每人 7块剩6块”，则蛋黄派总数-6是7 的倍数，也只有
B项满足条件。
3.“已知甲队比乙队多 6人”是给没学过倍数特性的同学列方程来用的条件。
例(cid:1)4、某地举办铁人三项比赛，全程为(cid:1)51.5(cid:1)千米，游泳、自行车、长跑的
路程之比为(cid:1)3：80：20。小陈在这三个项目花费的时间之比为(cid:1)3：8：4，比赛中
他长跑的平均速度是(cid:1)15(cid:1)千米/小时，且两次换项共耗时(cid:1)4(cid:1)分钟，那么他完成比
赛共耗时多少？（ ）
A.2 小时14分 B.2小时24分
C.2 小时34分 D.2小时44分
【解析】例 4.题目问比赛的耗时，若用常规思路求解，可能会想到行程问
题，但这样求解会比较复杂；发现整个比赛的耗时实际分为两部分，一部分为换项所用的时间4分钟，另一部分为正常各项目花费的时间；根据“小陈在这三个
项目花费的时间之比为 3：8：4”，设小陈各项目花费的时间分别为 3x、8x、4x，
则总共耗费的时间=三个项目耗时的和+换项耗时=3x+8x+4x+4=15x+4，即总时间=
（15x+4）分钟，所以总时间-4分钟=15x 分钟，说明总时间-4的结果应为 15的
倍数，选项中只有 2 小时 34 分钟-4 分钟=154 分钟-4 分钟=150 分钟，150 是 15
的倍数，对应C项。【选 C】
【注意】可能有的同学认为本题中所设 x不一定为整数，但本题考场上可以
直接选 C 项，因为当看到“小陈在这三个项目花费的时间之比为 3：8：4”时，
此时结果是整数的概率很大；若实在不放心，可以将 C项代入题目中进行验证。
【知识点】1.倍数特性具体分三类：
（1）基础型：（ ）=ax。
（2）余数型：（ ）=ax+b。
（3）比例型：（ ）/y=a/b。
2.比例型：
（1）例：男/女=3/5。
说明：
①男生人数是 3的倍数。
②女生人数是 5的倍数。
③男女生人数之和是8的倍数。
④男女生人数之差是 2的倍数。
（2）结论：若 A/B=m/n（m、n互质，即 m/n是最简分数），则：
①A是m的倍数。
②B是n的倍数。
③A+B是m+n 的倍数。
④A-B是m-n的倍数。
（3）比例的常见形式：
①男生是女生的3/5（分数），男/女=3/5。
②男生与女生之比3：5（比例），男/女=3/5。③男生是女生的60%（百分数），男/女=60%=60/100=3/5。
④男生是女生的0.6倍（倍数），男/女=0.6/1=6/10=3/5。
例(cid:1)5、某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数的(cid:1)62.5%。现又有(cid:1)2(cid:1)
名职工评上中级职称，之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数的(cid:1)
7/11。则该单位原来有多少名职称在中级以下的职工？（ ）
A.68 B.66
C.64 D.60
【解析】例 5.题目出现百分数、分数，考虑倍数特性。
方法一：问“该单位原来有多少名职称在中级以下的职工”，注意问题的时
间和主体的陷阱。根据“某单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数的 62.
5%”，则原来中级职称以下人数/总人数=1-62.5%=37.5%=12.5%*3=1/8*3=3/8，根
据倍数特性，说明原来中级职称以下人数应为 3的倍数，由此可以排除 A、C项；
剩余B、D项，剩二代一，优先代入 D项的整数 60，即原来中级职称以下人数为
60 人，则总人数=60÷（3/8）=160 人，根据“现又有 2 名职工评上中级职称”，
则此时中级职称以下人数=60-2=58人，此时的中级职称以下人数/总人数=58/16
0；根据“之后该单位拥有中级及以上职称的人数占总人数的 7/11”，所以此时
的中级职称以下人数/总人数=1-7/11=4/11，但发现 58/160≠4/11，产生矛盾，
排除D项，对应 B 项。
方法二：倍数特性结合方程法。设未知数时应尽量设不变量，根据“62.5%”
“7/11”，说明总人数是 8和11的倍数，因此本题设总人数为 88x人；根据“某
单位原拥有中级及以上职称的职工占职工总数的 62.5%”，则原来中级职称以下
人数=88x*37.5%=88x*3/8=33x，说明原来中级职称以下人数应为 33 的倍数，对
应B项。【选B】
【注意】若求现在中级职称以下人数，根据“之后该单位拥有中级及以上职
称的人数占总人数的 7/11”，则现在中级职称以下人数=88x*4/11=32x，说明现
在中级职称以下人数是 32的倍数，对应 C项。
例(cid:1)6、甲乙两个班各有(cid:1)30(cid:1)多名学生，甲班男女生比为(cid:1)5：6，乙班男女生比为 5：4，问甲、乙两班男生总数比女生总数（ ）。
A.多 1人 B.少1人
C.多 2人 D.少2人
【解析】例6.“30多名学生”指的是 31～39名学生。根据“甲班男女生比
为 5：6”，说明甲班男女生人数之和应为 11 的倍数，在 31～39 中，只有 33 是
11的倍数，即甲班有 33人，甲班男生占 5份、女生占6份，共11份对应 33人，
则每份为 3 人，所以甲班男生人数=5*3 人，甲班女生人数=6*3 人；根据“乙班
男女生比为 5：4”，说明乙班男女生人数之和应为 9 的倍数，在 31～39 中，只
有36是 9的倍数，乙班男生占 5份、女生占 4份，共9份对应 36人，则每份为
4 人，所以乙班男生人数=5*4 人，甲班女生人数=4*4 人。所以两班男生总数
=5*3+5*4=35人，女生总数=6*3+4*4=34人，即男生总人数比女生总人数多 1人，
对应A项。【选A】
【注意】本题除了思维上的难度外，还有一定的计算量。
【小结】倍数特性：1.基础：
（1）若A=B*C，则A能被B或者C整除，前提：B、C均为整数。
（2）判定：
①口诀：3、9、5、4是重点。
②因式分解：45=5*9≠3*15，分解时必须互质。
③拆分：普遍适用。
例：判断682 能否被7整除，682=700-18，700是7的倍数、18不是7的倍
数，所以682不能被 7整除。
2.余数型：
（1）若答案=ax+b，则答案-b能被 a整除；若答案=ax-b，则答案+b 能被a
整除。
（2）前提：a、x均为整数。
3.比例型：
（1）若A/B=m/n，则：
①A 是m的倍数，B是n的倍数。
②A±B是m±n的倍数。
（2）前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比。
第三节 方程法
【知识点】方程法：
1.普通方程，设未知数的技巧：
（1）设小不设大（减少分数计算）。
例：甲=3*乙，此时若设甲为 x，则乙=1/3*x，此时会出现分数，容易出错；
此时往往设乙=x，则甲=3x，都为整数。
（2）设中间量（方便列式）。
例：已知甲、乙关系，乙、丙关系，此时往往设乙，来表示甲、丙。
（3）问谁设谁（避免陷阱）。
这种方法只能为了避免陷阱，不能减少计算量，往往与上两种设法产生矛盾，这种方法适用于容易粗心的同学。
例(cid:1)1、年终某大型企业的甲、乙、丙三个部门评选优秀员工，已知甲、乙部
门优秀员工数分别占三个部门总优秀员工数的(cid:1)1/3(cid:1)和(cid:1)2/5，且甲部门优秀员工
数比丙部门的多(cid:1)12(cid:1)人，问三个部门共评选出优秀员工多少人？（ ）
A.120 B.150
C.160 D.180
【解析】例 1.根据“已知甲、乙部门优秀员工数分别占三个部门总优秀员
工数的 1/3 和 2/5”，通过倍数特性可知，三个部门共评选出优秀员工应既是 3
的倍数，又是5的倍数，只能排除 C项，此时倍数特性并不能帮助我们快速解题，
建议采用方程法求解。根据题意，甲部门和乙部门都和总共评选出优秀员工有关
系，且求的是总共评选出优秀员工，因此设总共评选出优秀员工；根据倍数特性，
设总共评选出优秀员工为 15x，则甲部门优秀员工人数=15x/3=5x，乙部门优秀
员工人数=15x*（2/5）=6x，丙部门优秀员工人数=15x-5x-6x=4x；根据“甲部门
优秀员工数比丙部门的多 12人”列方程：5x-4x=12，解得x=12，故总共评选出
优秀员工=15x=15*12=180，对应D项。【选 D】
【知识点】不定方程：
1.方法：分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，尝试代入排除。
2.例：不定方程 ax+by=M：
（1）奇偶：
①a、b恰好一奇一偶。
②例：6x+5y=37。
根据6x是偶数，37是奇数，则5y 是奇数；5 是奇数，说明 y是奇数，则
y=1、3、5、7、9„„；代入验证，当 y=1 时，x=32/6，此时 x 不是整数，排
除；当y=3时，x=22/6，此时x不是整数，排除；当 y=5时，解得 x=12/6=2，
得到整数解。
（2）倍数：
①a或b与 M有公因子。②例：5x+7y=63。
不定方程两个未知数的系数都是奇数，不适用奇偶性；发现 7y、63 都含
有 7 这个公因数，则 5x 一定是 7 的倍数，即 5x 一定能被 7 整除；5 不能被 7
整除，说明x一定能被 7整除。当x=14 时，y不是正整数；当 x取大于14的
整数时，y为负；因此 x=7，解得y=4。
（3）尾数：考查较少，且这个特性很不好用。
①a或b的尾数是 5或0。
②例：7x+10y=109。
10y的尾数为 0，7x与10y的和为 109，说明7x的尾数为 9，即 x的尾数
为7。当x=7时，y=6；当x=17时，y的结果为负。
例(cid:1)2、小张的孩子出生的月份乘以(cid:1)29，出生的日期乘以(cid:1)24，所得的两个乘
积加起来刚好等于(cid:1)900。问孩子出生在哪一个季度？（ ）
A.第一季度 B.第二季度
C.第三季度 D.第四季度
【解析】例 2.要确定孩子出生在哪一个季度，只需判断孩子出生在哪一个
月份。设小张的孩子出生的月份为 x，日期为 y；根据“小张的孩子出生的月份
乘以 29，出生的日期乘以 24，所得的两个乘积加起来刚好等于 900”，则
29x+24y=900。出现不定方程，优先考虑倍数特性，再考虑奇偶特性，最后考虑
尾数或直接代选项；29 和 900 没有公约数；24 和 900 有公约数，通过短除法来
找二者公约数，24、900 约 2 得 12、450，再约 2 得 6、225，再约 3 得 2、75，
将最外层数字相乘得公约数=2*2*3=12，说明 24、900的公约数为 12，即 29x应
为12的倍数，29 不是 12的倍数，则x一定为 12的倍数，又因为 x为月份，所
以x=12，12月为第四季度，对应 D项。【选 D】【知识点】不定方程组：
1.第一类：未知数一定是整数的不定方程（组）。
例如：aX+b Y+cZ=M，aX+bY+cZ=N，两个不定方程联立构成不定方程组。
1 1 1 2 2 2
2.方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。一般消两个不定方
程中系数较接近、较好消的系数。
例(cid:1)3、小王打靶共用了(cid:1)10(cid:1)发子弹，全部命中，都在(cid:1)10(cid:1)环、8(cid:1)环和(cid:1)5(cid:1)环上，
总成绩为(cid:1)75(cid:1)环，则命中(cid:1)10(cid:1)环的子弹数是（ ）。
A.1 发 B.2发
C.3 发 D.4发
【解析】例3.设命中10环、8环、5环的枪数分别为 x、y、z，根据“小王
打靶共用了 10 发子弹”“总成绩为 75 环”列方程：10x+8y+5z=75①，x+y+z=10
②，三个未知数、两个方程，构成不定方程组。优先消系数好消的 z，①-②*5
得：5x+3y=25，发现 5x、25 都含有公因子 5，则 3y 是 5 的倍数，3 不是 5 的倍
数，y 一定是 5 的倍数，当 y=10 时，x 为负，不符题意；则 y=5，解得 x=2，则
命中10 环的子弹数为2发，对应B项。【选 B】
【知识点】不定方程组：
1.第二类：未知数不一定是整数的不定方程组。
例如：不定方程 5x+3y=25，若 x、y 为时间、钱数，因为此时 x、y 不一定
为整数，所以无法求出唯一一组解。
2.赋零法：对应未知数不一定是整数的不定方程组，可以赋其中 1个未知数
为0，从而快速计算出其他未知数。
3.配系数：属于中学中的难题，所有能配系数的题都能通过赋零法得到答案。
例(cid:1)4、现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲(cid:1)1(cid:1)件、乙(cid:1)3(cid:1)件、丙(cid:1)7件共需(cid:1)200(cid:1)
元；若购买甲(cid:1)2(cid:1)件、乙(cid:1)5(cid:1)件、丙(cid:1)11(cid:1)件共需(cid:1)350(cid:1)元。则购买甲、乙、丙各(cid:1)1(cid:1)件共
需（ ）元。A.50 B.100
C.150 D.200
【解析】例 4.所求钱数不一定为整数，且题目中出现三个未知数、两个方
程，此时可以使用赋零法；往往赋最复杂的、件数最多的单价为 0元。设丙的单
价为 0 元，根据题意得：甲+3*乙=200①，2*甲+5*乙=350②，解得：甲=50，乙
=50，此时购买甲、乙、丙各 1件共需50+50+0=100元，对应B 项。【选B】
【注意】1.可以用大学中线性代数的方法推出：配系数方法能做的不定方程
组题目一定可以用赋零法求解，大胆用赋零法去做即可。
2.赋零法使用条件：
（1）未知数个数＞方程个数的不定方程组（至少2个方程）。
（2）未知数不一定为整数，例如：钱数、时间。
3.当不定方程组的未知数不一定为整数时，可以求出无穷组解，但这种题的
答案却是唯一的，因此只要得到其中一组特解即可；而设其中一个未知数为 0
是求出这组特解最简便的方法。
4.若问其中特定某个未知数为多少时，可以设另两个未知数中的任意一个为
0，最终还是可以求出所求的特定未知数。
例：问甲=？，此时设乙或丙为 0，最终是可以求出甲的值的。【小结】方程法：
1.普通方程：设 x。
（1）设小不设大（避免分数）。
（2）设中间量（方便列式）。
（3）求谁设谁（避免陷阱）。
2.不定方程：代入排除。
（1）奇偶特性：系数一奇一偶。
（2）倍数特性：系数与常数有公因子。
（3）尾数特性：系数尾数为 5或0。
（4）直接代入选项。
3.不定方程组：
（1）未知数一定是整数：消元。
（2）未知数不一定是整数：赋零法或配系数。
【注意】1.预习范围：
（1）第四节：工程问题。
（2）第五节：行程问题。
2.预习要求：
（1）原则上要做完每个章节至少 50%的题目。
（2）实在不会做的话，对每节前几题要有充分的思考，熟悉题型和题意。
3.下节课 18：45开始答疑。
4.大多数人放弃的科目，我选择攻克。每天提高一点点，风雨兼程，胜利必
将属于我！数量关系-高分讲义笔记（ 二）
第四节 工程问题
【知识点】工程问题：（如修路、搬砖）
1.三量关系：总量=效率*时间。
（1）例：1000块砖每小时搬 50 块，需要 1000/50=20小时搬完。单位时间
内的工作量为效率。
（2）给出总量和时间可以求出效率，三量中知道任何两个都能求出另一个。
2.给定完工时间型：
（1）赋总量（完工时间的公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列方程。
【引例】要折叠一批纸飞机，若甲单独折叠要半个小时完成，乙单独折叠需
要45分钟完成。若两人一起折，需要多少分钟完成：
A.10 B.15
C.16 D.18
【解析】引例.题目中没有工作总量，只给出时间，赋值总量为两个时间的
公倍数。（1）赋总量：半小时=30 分钟，通过短除法，赋值总量为 30 和 45 的最
小公倍数 90（赋值随便一个公倍数也可以，可以取成 450）。（2）算效率：甲效
率=90/30=3 个/分，乙效率=90/45=2 个/分，合作效率=3+2=5 个/分。（3）列方
程：合作时间=90/5=18 分钟。【选 D】例 1、要完成某项工程，甲施工队单独干需要 30 天才能完成，乙施工队需
要 40 天才能完成。甲乙合作干了 10 天，因故停工 10 天，再开工时甲、乙、丙
三个施工队一起工作，再干 4 天就可全部完工。那么，丙队单独干需要大约
（ ）天才能完成这项工程。
A.21 B.22
C.23 D.24
E.25 F.26
G.27 H.28
【解析】例 1.（1）赋总量：设总量为30和40的公倍数，用短除法。30 和
40 先约 10，剩 3 和 4 互质，则公倍数为 10*3*4=120。（2）算效率：甲=120/30
天=4，乙=120/40 天=3。（3）列方程：分析题意，前面 10 天甲乙合作，后面4 天
甲乙丙合作。设丙的效率为 x，120=（4+3）*10+（4+3+x）*4，解得 x=5.5。数
字设的越大，计算量越大，一般设最小公倍数。丙单独工作时，时间=120/5.5=21+，
比21多一点，选 22天，选择偏大的取整的结果。【选B】
【注意】1.完工时间：一次性完成全部工作所需的时间（只有40和30是全
部完成的）。
2.找公倍数训练：
（1）25、30：约数为5，剩下 5和6互质，则公倍数=5*5*6=150。
（2）8、10、15：8 和 15 是互质的，先乘互质的，为 8*15=120，120 和 10
求公倍数，120 是10的倍数，则公倍数是 120本身。
（3）6、12、20：6和12有倍数关系，留大的，找 12 和20的公倍数，约数
为4，剩下3和 5互质，则公倍数=4*3*5=60。
（4）12、15、18：用不了技巧，先约分，约数为 3，剩下 4、5、6，4 和 6
有约数2，剩下 2、5（不能约，照抄）、3 互质，则公倍数为 3*2*2*5*3=180。例 2、编制一批“中国结”，甲乙合作 6 天可完成；乙丙合作 10天可完成；
甲乙合作 4 天后，乙再单独做 5 天可完成，则甲、乙、丙的工作效率之比是
（ ）。
A.3：2：1 B.4：3：2
C.5：3：1 D.6：4：3
【解析】例 2.方法一：完成全部工作所需的时间是 6 和 10。（1）赋总量：
赋值总量为 6 和 10 的公倍数 30。（2）算效率：甲乙效率和=30/6=5，乙丙效率
和=30/10=3。（3）看选项：甲乙：乙丙形成 5：3的关系，A项：3+2=5，2+1=3，
满足5：3；B 项为7：5；C项为2：1；D项为10：7；只有 A项满足。
方法二：（1）赋总量：赋值总量为 6和10的公倍数 30。（2）算效率：甲乙
效率和=30/6=5，乙丙效率和=30/10=3。（3）列方程：30=5*4+乙*5=30，解得乙
效率=2，乙丙效率为 2，则丙效率=1，甲乙效率为 5，则甲效率=3，对应 A 项。
【选A】
【注意】若改为：甲丙合作几天后，乙再做几天。条件中没有给出甲丙的效
率，可以将乙表示出来，设乙效率为 x，则甲效率为5-x，丙效率为 3-x，列出方
程也可以算出总量，方程中只有一个未知数 x，可以解出 x，再得出答案，但计
算难度较大。
【知识点】给效率比例：
1.赋效率（满足比例即可）。
2.算总量：效率*时间=总量。
3.根据工作过程列方程或式子。
【引例】甲和乙的效率比为 2：3，甲、乙合作完成一项工程需要 10天，如
果甲单独做这项工程需要多少天？
A.15 B.20
C.25 D.30【解析】引例.没有给出具体工作量和具体效率，给出效率的比例关系，则
赋值效率。设甲效率为 2，乙效率为 3。有效率有时间，总量=效率*时间，总量
=（2+3）*10=50，甲单独做，时间=50/2=25 天。【选 C】
例 3、某新建农庄有一项绿化工程，交给甲、乙、丙、丁 4 人合作完成。已
知 4 人的工作效率之比为 3：5：4：6，甲乙合作完成所需时间比丙丁合作多9
天，则 4 人合作完成工程所需时间是（ ）。
A.17 天 B.18天
C.19 天 D.20天
【解析】例 3.方法一：题目给出效率比例关系。（1）设效率：甲=3，乙=5，
丙=4，丁=6。（2）求总量：根据“甲乙合作完成所需时间比丙丁合作多 9 天”，
总量=甲乙*天数 =丙丁*天数 ，设小不设大，设丙丁完工时间为 x 天，则总量=
1 2
（3+5）*（x+9）=（4+6）*x，解得 x=8*9/2=36天，则总量=10*36=360。（3）列
算式：时间=360/（3+5+4+6）=360/18=20 天。
方法二：给出时间差值，可以用比例思维来做。甲乙合作完成所需时间比丙
丁合作多9 天，完成的总量是一定的，时间与效率成反比，甲乙效率为 8，丙丁
效率为10，则 t /t =10/8=5/4。假设 t =5x，t =4x，5x-4x=9 天，则 x=
甲乙 丙丁 甲乙 丙丁
9 天，甲乙用了 45 天，丙丁用了 36 天。4 人合作效率为 8+10=18，则 4 人合作
时间为（10*36）/18=20 天。【选 D】
例 4、机械厂加工某器件，需依次进行 3 道工序，工作量的比依次是3：2：
4。甲完成 1 个工件后又完成了第 2 个工件的前两道工序，正好用时1 小时。已知
甲和乙的加工效率比是 7：9，问乙完成 1 个工件需要多长时间？（ ）
A.30 分钟 B.36分钟
C.42 分10 秒 D.46分40秒
【解析】例 4.方法一：本题很特殊，前面给出了工作量和甲的时间，可以推
出甲的效率；后面给出甲乙效率比，可以求出乙的效率，最后可以求得乙的时间。
（1）赋值工作量分别为 3、2、4，则一个工件的工作量为 3+2+4=9，甲效率=[（3+2+4）+（3+2）]/1 小时=14/h；甲、乙效率比是 7：9，则乙的效率=14*9/7=18
/h。（2）乙完成一个工件的时间 t =（3+2+4）/18=1/2 小时=30 分钟，对应 A 项。
乙
方法二：甲、乙效率比是 7：9，有效率比例关系，时间比较少时，赋值效率。
（1）赋值甲效率为 7，乙效率为 9。（2）求总量，甲效率*甲时间=一个工件+前
两道工序，7*1 小时=（3x+2x+4x）+3x+2x，解得 x=0.5。（3）乙完成一个工件的
时间t =（3x+2x+4x）/9=x=0.5 小时。【选 A】
乙
例 5、工程队接到一项工程，投入 80 台挖掘机。如连续施工 30天，每天工
作 10 小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有 10 天时间无法施工。
工期还剩 8 天时，工程队增派 70 台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完
成，平均每天需多工作多少个小时？（ ）
A.1.5 B.2
C.2.5 D.3
【解析】例 5.方法一：（1）赋效率：设每台机器每小时效率为 1。（2）求总
量：总量=30*10*80*1。（3）前面 12 天是正常工作的，有 10 天无法施工，最后
8天增加70台挖掘机。设每天工作 x小时，列方程：30*10*80=12*10*80+8*（8
0+70）*x，化简为 18*10*80=8*150x，解得x=12小时，则每天多工作 12-10=2 小
时。
方法二：少干了 10天，现在用 8天来顶原来正常8天和少干 10天的量，即
现在用 8 天顶 18 天的工作量。18 天*80 台*10h=8 天*150 台*xh，这样计算量会
简单很多。【选 B】
【注意】遇到 N名工人、N台机器等表述时，一般默认每人效率相等，可设
为1，则此时工作效率=人数。
【知识点】给具体单位型：有 1000 块砖，我用了 10h，效率为 50/h，请别
人来帮忙，别人用了 20h，则别人的效率为（1000-50*10）/20=25/h。
1.设未知数。2.找等量关系列方程。
3.具体单位是指总量和效率的具体单位，如块、米、个零件……
例 6、办公室需要复印一批文件，使用甲复印机单独印需要 20分钟，使用
甲乙两台复印机一起印需要 12 分钟，已知甲复印机每分钟比乙复印机多印6 份
文件，则这批文件一共有（ ）份。
A.216 B.240
C.360 D.600
【解析】例 6.方法一：有具体单位，设未知数解方程。可以设总量和效率
时，选择设效率。设乙效率为 x 份/分，甲效率为 x+6 份/分。总量=20*（x+6）
=12*（x*+x+6），解得x=12，总量=20*18=360。
方法二：（1）设总量为 12、20 的公倍数60x。（2）甲效率=60x/20=3x，甲、
乙效率=5x，乙效率=5x-3x=2x。根据“甲复印机每分钟比乙复印机多印 6 份文
件”，则3x-2x=6份，x=6，总份数=60x=360。【选C】
【小结】工程问题：
1.给完工时间型：（1）先赋总量（公倍数）。
（2）再算效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列方程。
2.给效率比例型：
（1）先赋效率（满足比例即可）。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列方程。
3.给具体单位型：设未知数，找等量关系列方程。
第五节 行程问题
【注意】1.三量关系：路程=速度*时间。
2.考查题型：
（1）基础行程：研究的三量关系：路程=速度*时间。
（2）相对行程（重要）：相遇、追及、流水行船问题。
（3）比例行程（考的最少）。
一、基础行程
【知识点】基础行程：
1.基础公式考查：路程=速度*时间。
2.等距离平均速度：
（1）公式：𝑉=2VV/（V+V）。平均速度=总路程/总的时间，考的最多的
1 2 1 2
是从A到B，然后原路返回，去的时候速度为 V，回来的时候速度为 V，路程
1 2
相同，直线往返，为等距离平均速度。总路程为 S+S，去的速度为 S/V，回来
1
的速度为S/V ，𝑉=（S+S）/[（S/V）+（S/V）]=2/[（V+V）/V*V]=2VV/（V+V）。
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
（2）适用于：
①等距离两端（考的较少）：从 A 到 B，速度为 V，再从 B 到 C，速度为
1
V，B为AC中点，求 AC段的平均速度可以用等距离平均速度公式。
2②直线往返（考的较多）。
③上下坡往返（考的最多）。若从 A 到 B 的路是九曲十八弯，每个上下坡
不一定相等。将路程一段一段切开，若去的时候是上坡，则回来的时候是下坡，
若去的时候是下坡，则回来的时候是上坡，同一段路程都是走两次。每一段的
平均速度都是𝑉，只要是上下坡往返的题都可以用等距离平均速度公式，一步
得答案。
例 1、一辆汽车第一天行驶了 5 个小时，第二天行驶了 600 公里，第三天
比第一天少行驶 200 公里，三天共行驶了 18 个小时。已知第一天的平均速度
与三天全程的平均速度相同，问三天共行驶了多少公里？（ ）
A.800 B.900
C.1000 D.1100
【解析】例 1.方法一：已知三天共行驶了 18 小时，则三天共行驶了 18V，
答案应和18有关系，只有 B项是18的倍数，选B项。
方法二：画图辅助理解，假设第一天的速度为 V，已知第一天行驶了 5小时，
则第一天的路程为 5V。已知第二天行驶了 600 公里，第三天比第一天少行驶了
200公里，则第三天行驶的路程为 5V-200。已知第一天的平均速度为三天全程的
平均速度相同，则三天速度都是V，时间是18小时，总共的路程为18V。5V+600+5V-
200=18V，解的 V=50，全程S=18V=900，对应B项。【选B】
【注意】行程问题用倍数特性有一定的风险，但是绝大多数时候可以选对。
例 2、李大夫去山里给一位病人出诊，他下午 1 点离开诊所，先走了一段平
路，然后爬上了半山腰，给那里的病人看病。半小时后，他沿原路下山回到诊
所，下午 3 点半回到诊所。已知他在平路步行的速度是每小时4千米，上山每小时 3千米，下山每小时 6千米。请问李大夫出诊时共走了多少
路？（ ）
A.5 千米 B.8千米
C.10 千米 D.16千米
【解析】例 2.已知李大夫下午 1点离开诊所，下午3 点回到诊所，共用2 个
半小时，看病用了半小时，则走路用了 2小时。问总路程，S =𝑉 *t 。在病人
总 全 全
家里的时间是不动的，相当于停工了，只考虑动的时间，则 S =𝑉 *2h。根据题
总 全
意画图，假设 AB是平路，速度为4，BC段为上山，速度为 3，回来的时候BC 段
速度为6，AB段速度为 4。对于平路来说，𝑉 =4。BC段为上下坡，𝑉 =（2*3*3）
AB BC
/（3+6）=4。平路平均速度和上下坡平均速度相等，则𝑉 =4，S =4*2=8，对应 B
全 总
项。【选B】
【注意】1.若记不住等距离平均速度公式，可以记住公式为 2*速度的乘积/
速度和。
2.若本题上下坡的平均速度不是 4的话，则本题无法进行求解，因为不知道
上下坡和平路的比例。从真题角度而言，有平路有上下坡，往往全程的平均速度
和平路的平均速度相同，不是必然结论，但是出题老师习惯于这样出。因此，本
题还有一种方法：𝑉 =𝑉 =4，则S=4*2=8。
全 平
二、相对行程【知识点】相对行程：
1.相对行程：（1）相遇追及；（2）多次运动；（3）流水行船。
2.直线相遇：两人同时相向而行（考试过程中需要自己判定是相遇还是追
及，判定是相遇还是追及需要看方向，若两人是相对的，即面对面，则为相遇，
若方向为同向，即往同一个方向跑，则为追及）。
（1）公式：S =（V+V）*t。
相遇 1 2
①如下图中，左边为运动员，右边为唐老师，运动员的速度为 V，唐老师
1
的速度为V，相遇时间为 t，则运动员跑的路程是 V*t，唐老师跑的程为 V*t，
2 1 2
S =（V+V）*t。
相遇 1 2
②若运动员先出发 1分钟，然后唐老师才出发，此时需要分两段考虑。运
动员1分钟走的路程为 1*V，两人相遇走的路程为（V+V）*t，1*V+（V+V ）
1 1 2 1 1 2
*t=S 。用起点差减去运动员 1 分钟走的路程，就可以求出相遇路程。
起点差
（2）S ：就是一起走的路程。
相遇
3.环形相遇（同点出发，若不同点和直线相遇是相同的，环形为首尾连在
一起的封闭圆）：（1）S =（V+V）*t。同点出发，一个往左走，一个往右走，然后两人
相遇 1 2
相遇。往左走的人走了 V*T，往右走的人走了 V*T，合起来两个人走了整整 1
1 2
圈。无论是环形还是直线，公式都是相同的。
（2）相遇 1 次，S =1 圈，相遇 N 次，S =N 圈。从 O 点出发，到①点
相遇 相遇
相遇，跑了1 圈；再从①点出发，②点相遇，从 O到②共相遇 2次，跑了2圈，
相遇几次，就一起跑了几圈。线性是两人起点之间的距离是多远，相遇就是相
距多远，而环形相遇一次就是 1圈。
例 1、甲、乙、丙、丁四人同时同地出发，绕 一椭圆形环湖栈道行走。甲顺时针行走，其余三人逆时针行走。已知乙的行走速度为 60 米/分钟，
丙的速度为 48 米/分钟。甲在出发 6、7、8 分钟时分别与乙、丙、丁三人相遇，
求丁的行走速度是多少？（ ）
A.31 米/分钟 B.36米/分钟
C.39 米/分钟 D.42米/分钟
【解析】例 1.“椭圆形环湖栈道”“同时同地出发”为环形同点出发。甲和
乙、丙、丁都相遇 1次，简单相遇不需要画图。甲与三人分别相遇。甲、乙相遇：
已知乙的速度为 60 米/分钟，甲乙相遇时间为 6 分钟，列式：1 圈=（V +60）
甲
*6。甲、丙相遇：已知丙的速度为 48 米/分钟，甲丙相遇时间为 7 分钟，列式：
1 圈=（V +48）*7。甲、丁相遇：相遇时间为 8 分钟，列式：1 圈=（V +V ）
甲 甲 丁
*8。求 V ，要知道 V 和 1 圈的路程。根据前两个算式可以求出：V =6*60-
丁 甲 甲
7*48=24，则 1 圈=84*6，因为需要将 1 圈的路程和 V 代入到第三个方程进行求
甲
解，所以不需要计算出具体结果。代入最后一个算式，设 V =x，84*6=（24+x）
丁
*8，解得x=39，对应C项。【选C】
【注意】1.本题计算量大，考场上若想到方法只是计算量比较大，希望大家
可以尽量做一下。
2.本题不建议用比例做，1圈是一定的，但是反比是两个速度之和与时间成
反比，不能用 60和48去推V 。
丁
【知识点】直线追及：两人同向而行。
1.公式：S =（V-V）*t。
追及 1 2
（1）图中两人之间有距离差，即 S ，前面的人速度慢，为 V，后面的人速
追 2
度快，为V，到追上时，前面的人路程为 V*t，后面的人路程为 V*t，由图可知，
1 2 1
S =V*t-V*t=（V-V）*t。
追 1 2 1 2（2）若前面的人偷了后面运动员的钱包，跑了 100 米之后被运动员发现，
运动员的速度为 10m/s，前面人的速度为 6m/s。t=S /V =100/4=25s。追及问题
追 差
要弄清楚追及路程和速度差。
2.S ：追及刚开始时两人相差的距离。
追及
例 2、清晨，爷爷、爸爸和小磊在同一条笔直跑道上朝同一方向匀速晨跑，
某一时刻，爷爷在前，爸爸在中，小磊在后，且三人之间的间距正好相等。跑
了 12 分钟后小磊追上了爸爸，又跑了 6 分钟后小磊追上了爷爷，则再过
（ ）分钟，爸爸可追上爷爷。
A.12 B.15
C.18 D.36
【解析】例 2.笔直跑道即直线运动，同一方向为追及。已知三人之间间距相
等，则小磊追上爸爸追了一个 S，小磊追爷爷追了 2 个 S，为两个追及过程。小
磊追爸爸：S=（V -V ）*12。小磊追爷爷：分析的时候只分析最开始和最后追
小 父
上，不分析动态过程，小磊追爷爷在最开始就已经在追了，2S=（V -V ）*18。
小 爷
爸爸追爷爷：S=（V -V ）*t分钟。前两个方程中有 4个未知数，本题从头到尾
父 爷
求的都是时间，与工程问题类似，考虑赋值，赋值 S=36（12 和 18 的公倍数），
根据第一个方程解得 V -V =3，根据第二个方程解得 V -V =4，则 V -V =1，
小 父 小 爷 父 爷
解得 t=36/1=36 分钟。问再过多少分钟，则再过 36-12-6=18 分钟，对应 C 项。
【选C】【注意】1.工程问题中没有总量，可以给总量赋值，行程问题中没有路程，
可以给路程进行赋值。
2.已知小磊跑了 12 分钟追上爸爸，又跑了 6 分钟追上了爷爷，问再过多少
分钟爸爸追上爷爷，若不仔细的话，很有可能算为总的时间，故正确答案和错误
答案之间相差 18，D项比C项多18，D项为多算的，则选择 C项。
【知识点】环形追及（同点出发）：
1.引例：一个人跑的很快，一个人跑的很慢，以致于一个人已经跑了 1圈回
来了，另一个人才出发一点点。例如唐老师和刘翔一起跑步，唐老师才出发一点
点，而刘翔已经从后面追上了唐老师，同点出发，刘翔比唐老师多跑了 1圈。记
刘翔跑的路程为 V*t，唐老师跑的路程为 V*t，则S =（V-V）*T。
1 2 追及 1 22.公式：S =（V-V）*T。
追及 1 2
3.追上 1 次，S =1圈；追上N 次，S =N圈。考试过程中很少有追上 n 次
追及 追及
的，一般考的都是 1 次的。
例 3、老林和小陈绕着周长为 720 米的小花园匀速散步，小陈比老林速度
快。若两人同时从某一起点同向出发，则每隔 18 分钟相遇一次；若两人同时从
某一起点相反方向出发，则每隔 6 分钟相遇一次。由此可知，小陈绕小花园散步
一圈需要多少分钟？（ ）
A.6 B.9
C.15 D.18
【解析】例 3.同向出发，考追及。题干出现“每隔 18分钟相遇一次”，只要
出题老师写的方向是追及，则考的一定是追及。“追及”为背后相遇，从广义上
说追及也是相遇的一种。只要看到方向是同向，直接套追及公式即可。已知两人
同时从同向出发，每隔18分钟相遇一次，则 S =1圈=720=V *18分钟。已知两
追 差
人同时从某一起点相反方向出发，每隔 6 分钟相遇一次，则 S =1 圈=720=V *6
遇 和
分钟，解得 V =40，V =120。要算小陈绕一圈的时间，速度快的人 V =（V +V
差 和 大 和）/2=（40+120）/2=80，则小陈的速度为 80，则小陈绕小花园散步一圈的时间
差
t=720/80=9分钟，对应 D项。【选D】
【注意】速度大的 V =（V +V ）/2，速度小的V =（V -V ）/2。
大 和 差 小 和 差
【知识点】多次相遇（两人之间多次相遇，考的最多的是两端出发）：
1.两端出发相遇：
（1）第 1次相遇，共走1S。
（2）第 2次相遇，共走3S。
（3）第 3次相遇，共走5S。
（4）第 n次相遇，共走（2n-1）*S=（V+V）*t。
1 2
2.引例：牛郎和织女一左一右，牛郎走一大半，织女走一小半，两端出发
能相遇，要走完整个 S，则第一次相遇时走了一个全程。若第一相遇时因为两
人都化妆了，没有认出对方，则第二次相遇时走了三个全程，第三次相遇走了
五个全程。多次相遇默认为面对面的相遇。以此类推，第 n次相遇，走奇数个
全程。由此可知公式为：（2n-1）*S=V *t。
和
3.该题型不属于热门题型，属于套路化的题。
例 4、在一次航海模型展示活动中，甲乙两款模型在长 100 米的水池两边
同时开始相向匀速航行，甲款模型航行 100 米要 72 秒，乙款模型航行100米要
60 秒，若调头转身时间略去不计，在 12 分钟内甲乙两款模型相遇次数是
（ ）。
A.9 B.10
C.11 D.12
【解析】例 4.已知甲乙速度，“调头转身时间略去不计”即只看运动过程。
“两端出发”“相向匀速而行”“12 分钟相遇的次数”，则本题为多次相遇问题。公式：（2n-1）S=V *t，已知水池长 100 米，甲款模型航行 100 米要 72 秒，乙
和
款模型航行100 米要60秒，问题时间是 12分钟，因此要注意统一单位，（2n-1）
*100=（100/72+100/60）*12*60，解得 n=11.5，n为已经相遇的次数，工程问题
中若时间为 11.5 天，要选 12 天，因为 11 天还没有完成，工程问题中时间要向
上取整。但是本题问的是已经相遇的次数，已经相遇了 11 次，第 12 次还没到，
对应C项。【选 C】
【注意】本题不能通过 2n-1是奇数，因此排除 B、D 项。因为奇数乘以一个
数，奇偶无法确定。
【知识点】流水行船：
1.公式：
（1）常识式（必须记住）：V =V +V ，V =V -V 。考试中会暗示水流方
顺 船 水 逆 船 水
向。
（2）推导式（尽量记住）：V =（V +V ）/2，V =（V -V ）/2。
船 顺 逆 水 顺 逆
2.注意（重要）：静水速度=船速、漂流速度=水速，不能看到水就是水速。
例 5、有 A、B 两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别从
A、B 港口出发前往两地中间的 C 港口。C 港与 A 厂的距离比其与 B 厂的距离远
10 公里。乙船出发后经过 4 小时到达 C 港，甲船在乙船出发后 1 小时出发，正
好与乙船同时到达。已知两船在静水中的速度都是 32 公里/小时，问河水流速
是多少公里/小时？（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】例 5.题干已经明确已知上游和下游，画图辅助理解，上游画的高一
点，下游画的低一点，观察方向。注意 C点为中间不是中点，已知 C港与A厂的
距离比其与B 厂的距离远10公里，则 AC=BC+10。乙船为逆流，乙船出发后经过
4小时到达C港，则BC=4*V 。甲船比乙船晚 1小时出发，同时达到，即 3小时
逆
到达，甲为顺流，列式：3V =4V +10。已知两船在静水中的速度都是 32 公里/
顺 逆
小时，问河水流速度，知道船速问水速，3（32+V ）=4（32-V ）+10，解得 V
水 水 水=6，对应C项。【选 C】
【注意】本题属于流水行船问题中整体难度较高的题，考的是对 V 和V 的
顺 逆
理解，知道公式就可以解题。
三、比例行程
【知识点】比例行程：
1.三量关系：路程=速度*时间。
2.（1）路程一定，速度与时间成反比（考的最多，是唯一的反比，难度较
高）。工程问题中当总量一定时，效率和时间成反比，行程问题中，路程相当
于工程问题的总量，速度相当于工程问题的效率。
（2）速度一定，路程与时间成正比。
（3）时间一定，路程与速度成正比。
3.引例：甲从 A到B用60分钟，乙从 B到A用了70分钟，问甲乙速度比
是多少？
答：路程一定，时间为 6：7，速度之比为反比，即 7：6。
例、老王和老李沿着小公园的环形小路散步，两人同时出发，当老王走到一
半路程时，老李走了 100 米；当老王回到起点时，老李走了 5/6 的路程。问环
形小路总长多少米？（ ）
A.200 B.240
C.250 D.300【解析】例.根据“同时出发”“走到……时候”（结束时间相同）可知时间
是定值，比例行程。已知当老王走到一半路程时，老李走了 100米；当老王回到
起点时，老李走了 5/6的路程，列式：S (S*1/2)/S （100 米）=V /V =S （S）
王 李 王 李 王
/S （S*5/6），整理得：S*（1/2）/100=V /V =S/（S*5/6），100*1=1/2*S*5/6，
李 王 李
解得S=240，对应 B项。【选B】
【注意】1.时间一定，即时间对于两人来说是相等的。
2.本题有 5/6的路程，遇到分数、百分数、比例，可以考虑倍数特性，全程
要被6整除，排除 A、C项。剩二代一，代入 D项验证：老王走 150，老李走100，
150/100=3/2，速度之比为 3/2。老王回到起点时，即老王走完全程 300米，而老
李走了5/6的全程，即走了 250米，3/2≠300/250，则D 项错误，对应B项。
3.方法精讲一为方法论，对后面三天的课程有影响，但是后面三天的课程彼
此之间是没有影响的。后面三天为题型，可以各个击破，优先掌握自己好懂的。
【小结】行程问题：
1.普通行程：
（1）路程=速度*时间（S=V*T）。
（2）平均速度：
①总路程/总时间。
②等距离平均速度=2V*V/（V +V）。
1 2 1 22.相对行程（考的最多）：
（1）相遇追及：
①相遇：S =V *T 。
和 和 遇
②追及：S =V *T 。
差 差 追
（2）多次运动：
①线形两端出发第 n次相遇：（2n-1）S=V *T。同一端出发，公式为 2n*S=V
和
*T，同一端出发，走偶数个全程。
和
②环形第 n次相遇：n =V *T。
圈 和
③环形第 n次追及：n =V *T。
圈 差
（3）顺水逆水：
①顺水：S=（V +V ）*T 。
船 水 顺
②逆水：S=（V -V ）*T 。
船 水 逆
③拓展：若人在电梯上走和船在水中游是一样的，顺着电梯走会比平时走的
更快，逆着电梯走会比平时走的更慢。应注意拓展中的电梯为商场中的电梯，上
下电梯是不行的。
3.比例行程（当……时候，时间一定；走同一段路，路程一定）：
（1）S一定，V、T成反比。
（2）V一定，S、T成正比。
（3）T一定，S、V成正比。数量关系-高分讲义笔记（ 三）
第六节 经济利润问题
【知识点】经济利润：
1.有一个点与行程问题较像，就是有很多公式，但这些公式比行程问题好理
解，因为可以结合生活经验（每天都会买东西）去理解。
2.公式：
（1）利润=售价-进价。
①利润：经济利润问题很多都是研究一个商店卖东西能赚多少钱，会涉及到
利润。利润在经济利润问题中是指售价比进价多出来的部分。
②例：王某开了个商店，进了一个商品是(cid:1)100(cid:1)元钱，卖了(cid:1)120(cid:1)元钱，利
润为120-100=20 元。
（2）利润率=利润/进价。
①如果卖很多种商品，这个赚 20，那个赚 50，且价格不同，有的是 1000
元赚(cid:1)20，有的是(cid:1)50(cid:1)元赚(cid:1)20，利润率就不同，此时就用利润的百分数去想。所以
王某商店卖的产品利润率=20/100=20%。
②利润率在资料分析和数学运算中不同。
a.数学运算中：利润率=利润/成本（进价），在进价基础上算的利润率，称
为成本利润率。
b.资料分析中：利润率=利润/营业收入，在收入基础上算的利润率，称为收
入利润率。
c.不同的学科研究重点不同，数学中研究的是成本的基础上赚了多少；资料
中研究的是收入中有哪些是利润，研究的是一个比重问题，如1个亿中有 1千万
是利润还是有几千万是利润，把利润率当作比重理解。
d.知识点不会一起考，数量关系是一题一题出，一般在试卷中间；资料分析
是一篇一篇出，一般在试卷最后。
（3）售价=成本*（1+利润率）。
①推导：售价=进价+利润，利润=利润率*进价，则售价=进价+进价*利润率=
进价*（1+利润率）。②例：
a.进价 100 元，利润率为20%，则售价=100*（1+20%）=120 元。
b.已知售价为120 元，利润率为20%，则 120=（ ）*（1+20%），就可以求
出（ ）=100 元。
（4）折扣=折后价/折前价。
①例：原来是100 元，现在售价为120 元，如果现在打折变成60 元，请问
打了几折？（打九折售价是原来的 90%，打八折售价是原来的 80%，打几折就是
原来打折前价格的百分之几十）
答：打五折，120*50%=60，注意不要用进价100 和折后价60 比较。
②打折是在售价基础上打折，与成本价/进价没有关系。
③折后的考法可能会出特殊概念——折扣率，如折扣率为2(cid:1)0%不是打(cid:1)
两折，而是打八折，因为打八折是卖(cid:1)80%，与原来相比少了(cid:1)20%，20%就称作折扣
率，所以折扣率为(cid:1)20%=打八折，打八五折=85%。
（5）一批商品，研究总售价或利润的情况。
①总价=单价*数量。
②总利润=单个利润*数量。
③总利润=单个利润*数量=总售价-总进价。
a.在用总利润=单个利润*数量时，一定要注意陷阱，如果有些商品卖不掉，
不卖了，如：生产一个包子的成本1元钱，有些包子卖不掉了，不卖了，卖不掉
的包子就亏了1 元，亏损的要另算。若一个包子赚1元钱，卖了 100 个包子，赚
了100 元，但是还有10 个没有卖掉，亏损了10 元，也要将这10 元算进去，即
实际利润=100-10=90 元。
b.用总利润=总售价-总进价运算时，卖的就是售价，进货的/生产的就是成
本，卖掉的、卖不掉的都考虑进去了，就不用额外单算。一般容易算对，不容易
算错，推荐用此方法做题。
④无论求总的什么东西，用单个的对应概念*对应的个数即可。
3.公式中，第一个和第二个是定义，把概念搞清楚，不要理解错；第三个是
推导。在考试过程中都有可能考，但是最重要的是前面两个，定义错了后面就没
有办法做了。例(cid:1)1、某品牌的葛粉进价为(cid:1)20(cid:1)元，现降价(cid:1)20%卖出，结果还获得进价(cid:1)52%
的利润。那么，该葛粉的定价是多少元？（ ）
A.36 B.37
C.38 D.39
【解析】例 1.“降价 20%”指的是在售价/定价基础上降价的，降价 20%是
打八折。而题干中“进价 20 元”是成本。52%=利润/进价=利润率。题目中所求
的定价是打折前原来的价格。设定价为 x 元，根据折后售价=成本*（1+利润率）
列式得，x*（1-20%）=20*（1+52%），化简得 0.8x=30.4，则 x=30.4/0.8，选项
很接近，要算两位，首位商3，次位商 8，对应C 项。【选 C】
【注意】1.本题考查最基本的公式的概念，要对数字间关系熟悉，不能想当
然的看错。如“进价20 元，降价20%”不是卖16 的意思，是在定价的基础上降
了20%，打八折，打八折后获得进价52%的利润，52%是指利润率。
2.利润+百分数，理解为利润率，如20%的利润，意思是利润率为20%。
3.降价 20%是打八折；降价到20%是打两折。
4.代入做也可以，但是会出现小数，计算量较大。
例(cid:1)2、商店购入一批某种水果，如按定价销售，每千克盈利(cid:1)23元。销售总
量的(cid:1)5/9(cid:1)后，每千克降价(cid:1)8(cid:1)元卖出剩余部分，销售这批水果共盈利2275(cid:1)元。
问按原定售价卖出了多少千克水果？（）
A.60 B.65
C.75 D.80
【解析】例2.盈利 23 元，盈利就是利润。有原定售价和降价的过程，分两
个阶段（按原价卖的和按降价后卖的）去看较好理解。因为总共盈利（利润）2275
元，总利润=总售价-总成本，但本题没有给具体的售价，所以用总利润=单个利
润*公斤数计算。按原价卖单价为23 元，但数量未知，因为原价卖的重量是总量
的 5/9，所以设总量为 9x 千克，则按原价卖的数量为 5x 千克，降价后卖了 4x
千克。所以按原价卖的利润为23*5x，根据按原价卖的单个利润*数量+按降价卖的单个利润*数量=总利润列方程，但是降价后的单价未知，因为在进价不变的情
况下，售价变多少，利润就变多少，本题中降价前的利润为 23，降价 8 元，则
降价后利润=23-8 元，所以根据等量关系列方程为：23*5x+（23-8）*4x=2275
元，约分后得23x+12x=455，解得x=13。问的是原价卖的千克数5x，则5x=5*13=65。
【选 B】
【注意】1.在进价不变的情况下，售价变多少，利润就变多少。
2.本题中将总量设成9x是按照倍数特性设出来的，如果设成x会出现分数。
例(cid:1)3、某水果批发商从果农那里以(cid:1)10(cid:1)元/公斤的价格购买了一批芒果，运
送到某地区售出。在长途运输过程中有(cid:1)5%的芒果磕碰受损和另外(cid:1)5%的芒果过度
成熟，因此无法卖出，其余部分以(cid:1)25(cid:1)元/公斤的价格售出后，如果不计运输等其
他费用，这批芒果赚得利润(cid:1)12000(cid:1)元。则该批发商从果农那里购买了多少公斤芒
果？（ ）
A.480 B.800
C.960 D.1000
【解析】例 3.方法一：已知进价为 10 元，水果中 10%卖不掉，还有 90%的
水果是按照25元/公斤卖的，总利润为 12000 元。优先使用总利润=总售价-总成
本=卖掉的售价*卖掉的重量-总进价*总数量。设购买了10x公斤，其中x卖不掉，
卖掉的部分为9x，所以根据关系式列方程为：25*9x-10*10x=12000，化简得 2400=
（5*9-20）x，解得 x=2400/25，首位商 9，根据题目和所设未知数，我们要求的
是10x，因为 x是 9 开头的数，所以 10x 首位不变，也是 9 开头的数，对应 C项。
方法二：运用总利润=单个利润*数量做题。设总重量为 10x，已知原价为 25，
进价为 10，所以单个利润为 25-10，因为在销售的过程中有 0.5x 磕碰受损，0.5x
过度成熟，无法卖出，所以卖出9x 的水果，则列式为12000=（25-10）*9x，这
种做法是错误的。要把磕碰受损和过度成熟的无法卖出的部分算进去，亏损了x，
亏损部分的售价为0，所以亏损的就是成本。综上所述，根据关系式列式为 12000=
（25-10）*9x+（0-10）*x，化简得 12000=135x-10x，则 x=12000/125，首位商
9,10x 首位商也是9，对应C项。【选 C】【注意】1.算出x等于多少时，一定要看我们需要求的是几倍的x，如本题，
如果要求的是5x，则首位是4 开头，本题求的是10x，所以首位不变。
2.在用总利润=单个利润*数量做题时，出题老师会出陷阱：在一批货物中不
会全部卖完，会有一些货物卖不掉，亏损了。如本题中磕碰受损和过度成熟的无
法卖出的部分，所以要把亏损的部分算进去。
3.有无法卖出的题优先用第二种方法，即总利润=总售价-总成本。
例(cid:1)4、某商品今年的成本比去年减少(cid:1)15%，由于售价不变，利润率比去年增
加了(cid:1)24(cid:1)个百分点，则该商品去年的利润率为（ ）。
A.24% B.30%
C.36% D.42%
【解析】例 4.售价不变是与去年相比，有时间点、有多个主体，用列表法
解题。如图，去年到今年涉及的主体有成本、售价和利润率。列表法写出主体需
要填数，在填数的过程中发现题目中给的数据都是比例，求的也是比例，没有给
具体数值，此时需要赋值。赋去年成本为 100，“今年成本比去年减少 15%”，则
今年的成本为 100-15=85。设售价为 x，因为售价不变，所以今年和去年售价都
是x。利润率=利润/成本，所以去年利润率=（x-100）/100；今年利润率=（x-85）
/85。因为“利润率比去年增加了 24 个百分点”，所以（x-100）/100+24/100=
（x-85）/85。方法一：（x-100）/100+24/100=（x-85）/85，化简得（x-76）/100=（x-85）
/85，交叉相乘得，17*（x-76）=20*（x-85），解出 x=136（较难算，计算量较
大）。去年的利润率=（136-100）/100=36%，对应C项。
方法二：（x-76）/100=（x-85）/85（将分子分母同时做差做和，进行比例
传递），原式约分后得（x-76）/20=（x-85）/17，将分子分母做差得：（-76+85）
/（20-17）=9/3=3，则（x-76）/20=（x-85）/85=3，解得 x=136，去年的利润
率=（136-100）/100=36%，对应 C 项。【选C】
【注意】1.对“利润率比去年增加了 24 个百分点”的理解：去年是 10%的
利润率，今年的利润率就是24%+10%=34%。
2.如果去年利润是1000 元，今年利润是1240 元，则文字表述为“利润增加
24%”。
3.有时间点，有多个主体用列表法解题。
4.（1）一般来说，有成本有利润的题一般赋成本，因为利润、利润率是在
成本的基础上算的；将去年的赋值为100，因为今年是在去年的基础上改变的。
（2）赋值的特点：赋任何值不影响答案的计算，为了看起来更具体，所以
会赋值，成本会做减少15%、减少或增多百分之几十几的运算，如果设小了，可
能会出现小数。
5.小技巧：如果A/B=C/D，那么A/B=C/D=（A±C）/（B±D）。
（1）例：①6/10=3/5，（6+3）/（10+5）=9/15=6/10=3/5，（6-3）/（10-5）
=6/10=3/5。
②（x-76）/20=（85-x）/17，分子分母做和得，[（x-76）+（85-x）]/（2
0+17）=（85-76）/37=9/37。
（2）目的：不论是做和还是做差，都是为了消 x。等号左边和右边未知数
同正同负，用减法消x；等号左边和右边未知数一正一负，用加法消x。
（3）练一练：（x+24）/100=（x+15）/85=[（x+24）-（x+15）]/（20-17）
=9/3=3。如果本题是将利润设为x 时就会得到这个算式。所以（x+24）/100=（x
+15）/85=3，解出x=36，说明去年的利润为36，则去年的利润率=36/100=36%。【知识点】分段计费：
1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费不等。问：在不同收费标准
下，一共需要的费用？
2.计算方法：
（1）按标准，分开。
（2）计算后，汇总。
3.例：某地出租车收费标准为：3 公里内 8 元，超出 3 公里，每公里 2 元，
小明打车坐了12公里，共花费多少钱？
答：12 公里分为 2 段，前面 3 公里，收费为 8 元；后面 9 公里，每公里 2
元，则列式为8+2*9=26 元。
4.变形：若增加为超出10 公里的部分每公里收3 元。
答：方法一：本题分3 段，第一段是3 公里（8元起步价），第二段是 3～10
段（走了7 公里，2 元/公里），第三段是 10 公里以后的（走了2 公里，3 元/公
里）。则 8+2*7+2*3=8+14+6=28 元。
方法二：在原题中计算出如果超出部分是(cid:1)2(cid:1)元，我们需要付费(cid:1)26(cid:1)元。本来
要求是超出(cid:1)3(cid:1)公里收(cid:1)2(cid:1)元，之后又改为超出(cid:1)10(cid:1)公里的收(cid:1)3(cid:1)元，则说明超出十公
里比原来超出(cid:1)3(cid:1)公里的要多付费(cid:1)3-2=1(cid:1)元，而超出十公里的部分为(cid:1)12-10，所以
列式为(cid:1)26+（12-10）*1=28(cid:1)元。但是考试时不会有这样的前提。例(cid:1)5、贾某在停车场停车，每个月前几个小时内收费的基础价格为(cid:1)5(cid:1)元/小
时，之后按照基础价格的(cid:1)90%收费，某月贾某的停车时间为(cid:1)120(cid:1)小时，共交了(cid:1)
545(cid:1)元，则按照基础价格停车的时间为多少小时？（ ）
A.8 B.10
C.15 D.20
【解析】例5.方法一：前几个小时收费基础价格为5 元/小时，之后按照基
础价格的 90%收费，说明之后收费为 5*90%=4.5 元/小时。只分了 2 段，设按照
基础价格停车的时间为x小时，因为一共停了 120 小时，所以超过基础价格停车
的时间为12-x，所以列式为5x+（12-x）*4.5=545，解得x=10，对应 B项。
方法二：可以不用列方程，按照假设的方法去做，假设全部都是按照基础价
格的90%收，都是按照4.5 元/小时收费，没有5元/小时的收费标准的话，共收
费4.5*120=540 元，而现在收费545 元，实际总费用比假设情况多收了5 元，因
为我们计算出来的一部分时间实际上是按照基础收费标准 5 元/小时收费的，基
础时间每个小时多5-4.5=0.5 元，共多了5 元，所以基础时间=5/0.5=10 个小时，
对应B项。【选 B】
【注意】1.方法二与解方程步骤相似，只是把算式拆碎了，但是计算上并没
有节省太多时间（小学解法：鸡兔同笼）。
2.方法是要革新的，小学的盈亏、鸡兔同笼等问题可以用方程来替代。方程
法与小学所学的方法相比，小学的方法步骤不仅没有少，而且在思考的基础上要
额外的学一些东西。例(cid:1)6、为了节约水资源，某城市规定每人每月不超过(cid:1)5(cid:1)吨，则按2.5(cid:1)元/吨收
费；超出(cid:1)5(cid:1)吨的，超出部分按(cid:1)4(cid:1)元/吨收费，每次收费时用水量都按整数计算，
已知胡家(cid:1)3(cid:1)口人，熊家(cid:1)4(cid:1)口人。某月月底结算时，胡家收费(cid:1)69.5(cid:1)元，比熊家多
交了(cid:1)15.5(cid:1)元。那么，熊家该月用了多少吨水？（）
A.20 B.21
C.22 D.23
【解析】例(cid:1)6.因为胡家收费(cid:1)69.5(cid:1)元，比熊家多交了(cid:1)15.5(cid:1)元，所以熊家交
了(cid:1)69.5-15.5=54(cid:1)元。本题实际是求熊家用了多少吨水花了(cid:1)54(cid:1)元？熊家有(cid:1)4(cid:1)口人，
标准是每人每月不超过(cid:1)5(cid:1)吨，则熊家的标准是(cid:1)4(cid:1)人*5(cid:1)吨=20(cid:1)吨，则熊家一个月用
水在(cid:1)20(cid:1)吨以内收费为(cid:1)2.5(cid:1)元/吨，超过(cid:1)20(cid:1)吨，超出部分按(cid:1)4(cid:1)元/吨收费。
方法一：20*2.5=50(cid:1)元，熊家交了(cid:1)54(cid:1)元，而超出(cid:1)20(cid:1)吨水的收费标准是(cid:1)4(cid:1)元(cid:1)
/吨，正好是多交的(cid:1)4(cid:1)元，说明熊家用了(cid:1)20+1=21(cid:1)吨水，对应(cid:1)B(cid:1)项。
方法二：设超出部分为(cid:1)x(cid:1)吨水，则(cid:1)20*2.5+4x=54，解得(cid:1)x=1，所以熊家用了
20+1=21(cid:1)吨水，对应(cid:1)B(cid:1)项。【选(cid:1)B】
【小结】经济利润问题：1.基础经济：
（1）公式：
①利润=售价-进价。
②利润率=利润/进价。
③折扣=折后价/折前价。
④总价=单价*个数：总利润的算法有两种：总利润=单个利润*个数（要算亏
损）=总售价-总利润。
（2）方法：公式法（有具体的钱数：例 1、例 2、例 3）、赋值法（给了比
例：例 4）。
（3）公式中要了解售价与利润的关系，是课上推导出来的。
2.分段计费：
（1）水电费、出租车费、税费等。
（2）分段计算，汇总求和。第七节 高频几何问题
一、公式类
例(cid:1)1、某单位准备扩建一矩形花圃，若将矩形花圃的长和宽各增加(cid:1)4(cid:1)米，则
新矩形花圃的面积比原来的面积增加了(cid:1)40(cid:1)平方米。那么，原矩形花圃的周长
是多少？（ ）
A.12 米 B.24 米
C.32 米 D.40 米
【解析】例(cid:1)1.矩形就是长方形。问原来的周长，需要知道原来的长和宽，
现在只知道各增加(cid:1)4(cid:1)米，不知道长和宽，可以设原来长为(cid:1)a，宽为(cid:1)b，那么新的
长方形的长为（a+4），宽是（b+4），根据等量关系可得，（a+4）*（b+4）=ab+40，
则(cid:1)ab+4b+4a+16=ab+40，化简得(cid:1)a+b=6，周长是(cid:1)4(cid:1)条边，是(cid:1)2(cid:1)倍的长加宽，即周
长=2*（a+b）=2*6=12，对应(cid:1)A(cid:1)项。【选(cid:1)A】
【注意】如果知道长和宽的关系可以只设一个未知数，如：长是宽的(cid:1)2(cid:1)倍，
那么设宽为(cid:1)a，长就是(cid:1)2a。
例(cid:1)2、如图所示长方形恰好分成六个正方形，其中最小的正方形面积是(cid:1)
1cm2，则这个长方形的面积是（ ）。A.143cm2 B.132cm2
C.110cm2 D.90cm2
【解析】例 2.方法一：图是长方形，分出来的是正方形。正方形面积是边
长的平方，因为A（最小的正方形）的面积为1cm²，所以 A的边长为 1cm。求长
方形的面积，需要知道长方形的长和宽。根据图可知，五个正方形除了F 之外都
与 A 相邻，E 与 A 相邻且是除了 A 之外最小的正方形，根据设小不设大的原则，
设E 的边长为a，则F的边长也是a（因为F与 E有公共边），D的边长为 a+1，C
的边长为=a+1+1=a+2，a未知，想要知道一个数的值要找等量关系，因为外面的
图形是长方形，长和宽不一定相等，但长和长一定相等，由图可知，
a+3+a+2=a+a+a+1，化简得 2a+5=3a+1，解得 a=4，所以 S=（3a+1）*（2a+3）
=13*11=143，对应A项。
,
方法二：凡是如图所示的题不一定要算，通过观察、目测、测量即可。已知
A 的边长是 1，可以通过测量，没有尺子可以看份数（用手比），通过测量可知，
E的边长为 4，F 的边长也是4，D的边长为5，C 的边长为 6，所以面积=（4+4+5）
*（5+6）=13*11=143，对应A项。【选 A】例(cid:1)3、本题图中，左边的图形每个小圆的面积为(cid:1)π，那么右边 图形中阴影部分面
积为（ ）。
A.8π B.64-16π
C.4π+8 D.20
【解析】例 3.方法一：看选项结构：不规则图形，怎么转化为规则图形，
即S =S -S ，观察选项，因为大正方形一定是不带π的数字，而圆的面积
阴 大正方形 大圆
带π，所以是一个减法形式，一个不带π的数减去带π的，且不能约掉，对应B
项。
方法二：完整的解法：求大正方形的面积，需要知道大正方形的面积，因为
小圆的面积=πr²=π，所以小圆的r=1，而左右两个图的边长相同，大正方形的
边长是小圆半径的8倍，即边长为 8，大圆的半径R=8/2=4。S =a²-πR²=64-16
阴
π。【选 B】
【注意】1.本题求的是不规则图形，想怎么转化为规则图形。
2.几何体图形重要，选项也重要，选项往往会给算式的形式，因为有的含无
理数π或根号几，有的不含无理数，是自然数、整数，没有办法放在一起。
3.考场上优先选择方法一，但是如果选项无法用方法一做，需要知道方法二。例(cid:1)4、如图所示，市政部门在一块周长为(cid:1)260(cid:1)米的长方形草地旁边铺设宽为(cid:1)
10(cid:1)米的(cid:1)L(cid:1)形道路。已知铺好道路后，道路和草地面积之和为草地面积的(cid:1)1.5(cid:1)
倍，则草地的面积为（ ）平方米
A.4200 B.4000
C.3000 D.2800
【解析】例 4.方法一：代数思路。根据“道路和草地面积之和为草地面积
的1.5 倍”得出：整个面积为原来的1.5 倍，原来只有草地，现在为道路和草地
之和。此题与例 1类似。假设原来的（草地）长为 a，宽为 b，则新的长为 a+10，
宽为 b+10。根据题意，（a+10）（b+10）=1.5ab，整理得出：ab+10*（a+b）+100=1.5ab，
10*（a+b）+100=0.5ab①。因周长=2*（长+宽），则 260=2*（a+b），得出 a+b=130。
代入①式得出：0.5ab=10*130+100=1400，则草地面积 ab=2800，对应 D项。
方法二：几何思路。几何题可以不运用公式进行计算。将道路的不规则图形
切分为规则图形，如下图，因道路宽 10m，则将“L”型右下角切分出面积为 10
*10 的小正方形、右上是面积为 10*b 的长方形、左下是面积为 10*a 的长方形，
则S =10*a+10*b+100。因周长为260，则周长=2*（a+b）=260，得出 a+b=130，
道
S =1300+100=1400。因“道路和草地面积之和为草地面积的1.5 倍”，则 S =0.
道 道
5*S ，故 S =2*1400=2800，对应 D项。
草 草
方法三：猜。因“道路和草地面积之和为草地面积的1.5 倍”，求草地，则
S =S *1.5，即 S 与S 为 1.5 倍关系。观察选项关系，直接看前两位（后两位
和 草 和 草
为0 省略），则A项=D 项*1.5，利用以坑治坑，得出草地面积为D项。【选D】【知识点】几何公式：前面四题：要么为圆、长方形、正方形，有具体公式
求解的，要么为不能直接用公式表达，但能间接转化为公式表达的，这些题目都
是依托于公式出题的，因此需要复习公式。
1.周长：
（1）正方形：4a。
（2）长方形：2*（a+b）。
（3）圆形：2π*R。
（4）弧长：2πR*n°/360°。
如下图，圆中截取其中一段，像披萨饼，求 A 点到 B点弧线的长度。将弧线
看为圆的一部分，假设弧心角为 n°，则弧长=圆周长*比重=2πR*n°/360°。
（5）公式不要死记硬背，理解记忆。
2.面积：
（1）正方形：边长²=a²。
（2）长方形：长*宽=a*b。（3）三角形：（底*高）/2=（a*h）/2。
（4）圆形：πR²。
（5）扇形：πR²*n°/360°。
①与圆形面积类似，如下图，求阴影部分面积，将其看为圆的一部分，则 S
=S *比重=πR²*n°/360°。
扇 圆
②弧长是为周长的一部分，扇形面积为圆面积的一部分。
③扇形的周长≠弧长，扇形的周长=弧长+2*R。
（6）梯形：[（a+b）*h]/2。
如下图，上下两条边平行，另外两边可以等腰也可以不等腰，假设上底为 a，
下底为 b，高为 h，找一个一模一样的梯形，倒过来放置，则变为底为 a+b、高
为h 的平行四边形，S 与S 相同，S =底*高=（a+b）*h，则 S =1/2*S
平行四边形 长方形 平行四边形 梯形
=1/2*（a+b）*h。
平行四边形
（7）菱形：对角线乘积/2。
菱形四边相等，且对角线垂直。如下图，若将对角线往上、下、左、右进行
拓展，则各角也相互垂直，变化一个长方形。此时长方形的长为较长的对角线a，宽为较短的对角线b，S =长*宽=a*b，即对角线的乘积。将菱形分为四个相等
长方形
的小三角形，扩张时相当于翻倍，则S =（a*b）/2=对角线乘积/2。
菱形
3.表面积：周长和面积为平面图形，表面积和体积为立体图形。
（1）正方体：正方体每个面相同，6*a2。
（2）长方体：2*（ab+bc+ac）。
①长方体有六个面，长*宽为一个面，宽*高为一个面，长*高为一个面，则
表面积=2*（ab+bc+ac）。
②考试很少考查纯粹的长方体，一般考查无盖的长方体。
例：小明买了一个带游泳池的别墅，游泳池为长方形的，现需要铺瓷砖。
游泳池是无盖的，则铺的瓷砖少一个长*宽的面，只有(cid:1)5(cid:1)面需要铺瓷砖。
（3）圆柱体：2π*R²+2πR*h。
例：如易拉罐，上下两个圆与侧面积需要分开求。一个圆的面积=π*R²，则
上下两个圆的面积=2π*R²。侧面积：将侧面铁皮展开（如下右图所示），高度在
每一个展开的位置都是相同的，即相当于长方形，因此需要求出上边的弧长。上
下弧长即为圆的周长，因此侧面积=圆周长*高=2πR*h，则圆柱体体积=2π*R²+2
πR*h。
（4）球体：4π*R²。近五年没有考查过，需要微积分才能进行推导。
4.体积：（1）正方体：a³。
（2）长方体：a*b*c。
①正方体是长、宽、高相等的长方体。
②长方形包括正方形。
③正方形是特殊的菱形，菱形为四边形相等且对角线垂直，正方形也为四边
相等且对角线垂直，因此S =对角线乘积/2。
正方形
（3）柱体：S*h。
①一般圆柱体考查较多。
②拓展：三棱柱，如下图，上、下为三角形，则 V =底面积*高，圆柱体
三菱柱
亦相同。无论是何种柱体，体积公式都是相同的，因此不用特别记忆是三棱柱还
是圆柱，唯一的区别为S不同，如三角形的面积和圆形的面积公式不同。
（4）锥体：1/3*S*h。
①最常考查的椎体为圆锥，V =底面积*高*1/3。
圆锥
②如金字塔，底面为平的，上面为尖顶，则为锥形，V =底面积*高*1/3。
椎体（5）球体：4/3*π*R3。考查较少，可以打星号，选择性记忆。
5.几何公式不建议死记硬背，考试时不需要这么多公式做题。如前面四道例
题，复杂的公式都没有用过，因此公式是备用的，记忆简单的即可。
二、结论类
例(cid:1)1、小王近期正在装修新房，他计划将长(cid:1)8(cid:1)米、宽(cid:1)6(cid:1)米的客厅按下图所示
分别在各边中点连线形成的四边形内铺设不同花色的瓷砖，则需要为最里侧的
四边形铺设多少平方米的瓷砖？（ ）
A.3 B.6
C.12 D.24
【解析】例(cid:1)1.根据题意，即求最中间部分面积，不用考虑瓷砖如何铺，只
需要求出面积即可。按照常规思路需要计算面积，若记得中学的结论，则(cid:1)10s
能够做出。此题为四边形，则将四边形平分、再平分，最开始面积为(cid:1)48，连接
了(cid:1)3(cid:1)次，则除(cid:1)3(cid:1)次，48/2=24，24/2=12，12/2=6，对应(cid:1)B(cid:1)项。【选(cid:1)B】
【注意】结论：各边中点连线，则任意一个三角形面积为四等分，任意一个
四边形（非特殊）的面积为平分。结论为初中几何的证明题，初中需要证明，但
是公务员考试不需要证明。例(cid:1)2、用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的
交点，第(cid:1)1(cid:1)条直线将平面分成(cid:1)2(cid:1)块，第(cid:1)2(cid:1)条直线将平面分成(cid:1)4(cid:1)块，第3(cid:1)条直线将
平面分成(cid:1)7(cid:1)块，按此规律将平面分为(cid:1)46(cid:1)块需要（ ）。
A.7 条直线 B.8 条直线
C.9 条直线 D.10 条直线
【解析】例 2.方法一：此题不需要一步步切，出题老师是为了让我们观察
规律，我们做的是选择题，不需要研究证明规律，只需要枚举归纳规律，四项即
能推出规律。1 条直线2 个面，2条直线4 个面，3 条直线 7个面，则面的个数：
2、4、7，不能成等差、等比数列，则需要先观察4条线的规律。画图得出 4 条
直线 11 个面，此时面的个数：2、4、7、11，两两做差得出：2、3、4，差值构
成等差数列，则猜测面个数的差值依次为：5、6、7、8、9，面的个数为：16、2
2、29、37、46，即 16 个面对应 5 条线，22 个面对应 6条线，29 个面对应7 条
线，37 个面对应 8 条线，46 个面对应 9条线，对应C 项。
方法二：根据题意，已知 1条直线2个面，2 条直线4个面，3条直线7 个
面，则0 条线为1个面，此时面的个数：1、2、4、7，两两做差得出：1、2、3，
构成等差数列，此时一样可以找到规律，不用画图找第四条线面的个数，继而得
出答案。【选 C】例(cid:1)3、如图所示，甲和乙在面积为(cid:1)54π平方米的半圆形游泳池内游泳，他们
分别从位置(cid:1)A(cid:1)和(cid:1)B(cid:1)同时出发，沿直线同时游到位置(cid:1)C。若甲的速度为乙的(cid:1)2(cid:1)倍，则
原来甲、乙两人相距（ ）。
A.9√2米 B.15 米
C.9√3米 D.18 米
【解析】例3.根据题意，S =1/2*S =1/2πR²=54π，则 R=√108=√36∗3=
半圆 圆
6√3。因甲和乙分别从A 和 B同时出发，沿直线同时游到C，出现两个“同时”，
说明甲从 A 到C、乙从 B到 C的时间相同，则路程之比和速度成正比，故AC/BC
=V /V =2/1，即 AC=2*BC。想要运用勾股定理，需要有直角，若不能判定∠ABC
甲 乙
是否为直角，则可以猜测它为直角。方法有两种：（1）直接目测，因考场上有配
图，则可以目测出AB⊥BC，故∠ABC=90°；（2）因图为半圆，则 AC 为直径，直
径所对的角∠ABC为直角（直径所对为直角，直角所对为直径）。根据勾股定理，
斜边²=直角边的平方之和，则 AC=2R，BC=R，则 AB=√3*R=√3*6√3=18，对应 D
项。【选 D】
【注意】1.相距多少求的为直线长度。
2.求 AB 弧长，则圆心角为到圆心的距离（A到圆心、B的圆心的距离）。【小结】结论类：
1.连接各边中点：
（1）三角形则面积减少为1/4。
（2）四边形则面积减少为1/2。
2.已知第1、2、3 个……推第n个：枚举归纳找规律。不用证明规律、推出
公式，找到规律即可。
3.圆内接三角形：
（1）直径所对角是直角。
（2）直角所对弦是直径。
三、技巧类
【知识点】技巧类：
1.直角三角形：
（1）勾股定理：①已知直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
②常见勾股数：3、4、5；5、12、13。可以将勾股数成比例扩大若干倍，同
样符合勾股定理，如 6、8、10；9、12、15。
（2）特殊直角三角形：
①30°所对的直角边为斜边的1/2。
②60°所对的直角边为斜边的√3/2。
③45°的直角三角形：即等腰直角三角形，直角边为√2/2，斜边为1。
④中学有较复杂的三角函数，公务员考试不用记忆。出题老师一般考查30°、
60°、45°的直角三角形。
2.相似三角形。
3.最短路径。
例(cid:1)1、老王围着边长为(cid:1)50(cid:1)米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，
跑了(cid:1)500(cid:1)米之后，与出发点相距有多远？（ ）
A.50（√3-1）米 B.50√3米
C.50（√2-1）米 D.50√2米【解析】例1.如下图，假设从A点出发，因边长为 50 米，要跑 500 米，则
跑了 10 条边。因没有限制方向，则任意方向跑到 B 点，问相距多远，即求 AB。
若A、B 中间点为C 点，即已知三角形两边为50，故为等腰三角形。∠C 为正六
边形内角，即120°。求 120°所对边长，作AB 的高 CD，根据三线合一定理，D
点为 AB 的中点，∠C被 CD 平分为两个60°的角。AD 为Rt△ACD 中60°角所对
的直角边，则 AD=斜边*√3/2=50*√3/2，故 AB=2*AD=2*50*√3/2=50√3，对应 B
项。【选 B】
【注意】1.正六边形内角为 120°。正多边形中，除了正方形和正六边形，
其他没有考查过。
2.等腰三角形性质：三线合一，即中线、角平分线、高是一条线。
3.看到等腰三角形，考虑作高。
4.120°的等腰三角形，三边分别为a、a、√3a。
例(cid:1)2、一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方
向左转(cid:1)30°后，立即以(cid:1)15(cid:1)节（1(cid:1)节=1(cid:1)海里/小时）的速度逃跑，同时执法船沿
某一直线方向匀速追赶，并正好在某一点追上，已知渔船在被追上前逃跑的距离
刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同，问执法船的速度为多少节？A.20 B.30
C.10√3 D.15√3
【解析】例 2.方法一：已知 v =15，求 v 。假设渔船从 A 点开始逃跑，
渔船 执
追上的地点为C 点，执法船出发的地点为 B点，此时构成△ABC。因“渔船在被
追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法船的距离相同”，发现执法船时，
渔船在 A点，执法船在 B点，即 AC=AB。渔船的速度为 15，时间未知，假设为 t，
则AC=速度*时间=15t=AB，需要求出执法船的距离才能求出速度。与上一题类似，
等腰三角形看中间角度，∠CAB=30°+90°=120°，根据 120°内角的等腰三角
形三边分别为a、a、√3，则 BC=15√3t。
方法二：因渔船发现执法船时，渔船开始跑，同时执法船追，即二者同时开
始运动，与前面的题目从(cid:1)A、B(cid:1)出发，到(cid:1)C(cid:1)点相遇相同，因此时间相同，即渔船
和执法船的时间都为(cid:1)t，故(cid:1)v(cid:1)=15√3t/t=15√3，对应(cid:1)D(cid:1)项。【选(cid:1)D】
执
【知识点】相似三角形：
1.判定：中学有六种方法判定两个三角形相似，考试只需要记住常考的两种
即可。
（1）平行线中有交叉，则两个三角形相似。如横着两条平行线，中间打个
叉；竖着两条平行线，中间打个叉，此时两个三角形相似。因两个角对应相等，
则判定两个三角形相似，如下图，∠1 对应相等、∠2 对应相等（错位角）。（2）任意一个三角形，中间出现平行线，则两个三角形相似。
2.性质：
（1）各边对应成比例：三角形有三条边，第一条边和第一条边成比例，第
二条边和第二条边成比例。如第一条边的比例为 a：b，第二条边也对应成同样
的比例 a：b，每个对边的比例相同。
（2）面积之比=边长比的平方：如边长比为2倍关系，则面积比为 4倍关系。
（3）例：如下图，上面三角形边长分别为 5、4、4.5，下面的三角形一条
边为10，求下面三角形的另外两条边长。
答：平行线中间有交叉，则两个三角形相似。横着线对应的比=5：10=1：2，
则其他边的比也为 1：2，则下面三角形左边为 9，右边为 8。对应边位置相同，
上面三角形的左边夹着∠1 和∠2，下面三角形的右边也与∠1和∠2 挨着。
（4）对应边一定方向上是一样的，若往左边倾斜则两边都往左边倾斜，若
往右边倾斜则两边都往右边倾斜，若横着则两边都横着，若竖着则两边都竖着。
例(cid:1)3.一块种植花卉的矩形土地如图所示，AD(cid:1)边长是(cid:1)AB(cid:1)的2倍，E 是 CD 的中点，甲乙丙丁戊区域分别种植白花，红花，黄花，紫花，白花，则种植白花的面积占
矩形土地面积的：
A.3/4 B.2/3
C.7/12 D.1/2
【解析】例3.根据题意，白花为第一块（甲）和最后一块（戊）。因四边形
ABCE 虽构成梯形，但中间只有一条对角线，故不能运用蝴蝶定理，则圈出四边
形 ABDE，即甲、乙、丙、丁够成的梯形，连对角线。假设 AB 为 a，DE 为 b，E
点为中点，则 a：b=2：1，甲（上）：丙（下）：乙（左）：丁（右）=2²：1²：（2*1）：
（2*1）=4：1：2：2。因题中没有具体数值，则可以赋值甲、丙、乙、丁的面积
分别为 4、1、2、2。因EC=DE，且△ADE 和△BEC 的高相等，则S =S ，即戊
△ADE △BEC
=丙+丁=3，则（甲+戊）/总=7/12。【选 C】
【注意】1.若此题直接计算，则需要运用赋值、相似三角形，过于复杂，故
重点考查中学的蝴蝶定理。
2.蝴蝶定理：用相似推出的结论。任意画一梯形，梯形对角线相连，上底是
a，下底是 b，此时分为四个区域，四个区域像一个蝴蝶，四个区域有面积的比
例关系，上面的面积是a2，左边面积是a*b，下面面积是b2，右边面积是a*b，则上：下：左：右=a²：b²：ab：ab。
3.若将 E点变为三等分点，此时DE 为 1，根据蝴蝶定理，则甲为 9，乙为 3，
丙为 1，丁为3。
【知识点】最短路径：
1.两个点最短路径为直线：若连接两点需要中间经过一条线，则最短路径为
直接连接AB。
2.从 A 点到 B点，中间经过一条公路，此时A、B 在公路的同侧，若直接连
接AB，则不经过公路。如照镜子，找离公路近的 B 点，作关于公路对称的B’点，
连接 AB’交公路于 O 点，计算路径为 A→O→B’，实际路径为 A→O→B，计算路
径与实际路径相同，计算路径为两点之间直线最短，则实际路径也为最短。3.结论：镜面对称再连线，哪个点离镜子近则找哪个。
例(cid:1)4、悟空与二郎神在离地面(cid:1)1(cid:1)米的空中决斗，两人相距(cid:1)2(cid:1)米，悟空想用分
身直接偷袭二郎神，为了不引起对方的警觉，分身必须在地面反弹一次再进行攻
击，则分身到达二郎神的位置所走的最短距离为（ ）。
A.2√2米 B.√3米
C.√2米 D.2√3米
【解析】例4.根据题意画图，悟空是A点，二郎神是 B点，A、B要经过地
面连线，作镜面对称。让土地公公将悟空的分身A’放到地下，连接 A’B，即求
A’B 的距离。要求斜边，则放到直角三角形中，因 AB为水平线，A’A是竖直线，
则△AA’B为直角三角形，已知 AB 为 2m，悟空离地面为1m，镜面与其相同，距
离地面也是 1m，故 AA’=2m，则 A’B=√AB2+AA’²=√4+4=2√2m，对应 A 项。
【选A】
【注意】1.此题为热点题型。
2.因最短线路为直线+拐过去的线，若有的同学没有计算拐过去的线路则错
误，因直线为2m，则答案必定＞2m，故排除B、C 项。例(cid:1)5、某市规划建设的(cid:1)4(cid:1)个小区，分别位于直角梯形(cid:1)ABCD(cid:1)的(cid:1)4个顶点处
（如图），AD=4(cid:1)千米，CD=BC=12(cid:1)千米。欲在(cid:1)CD(cid:1)上选一点(cid:1)S(cid:1)建幼儿园，使其与(cid:1)4(cid:1)
个小区的直线距离之和为最小，则(cid:1)S(cid:1)与(cid:1)C(cid:1)的距离是（ ）。
A.3 千米 B.4 千米
C.6 千米 D.9 千米
【解析】例 5.方法一：根据题意，要求 S 与 4 个小区的直线距离之和为最
小，即求 SA+SB+SD+SC 最小。因SC+SD=CD=12km 为定值，故只需求 SA+SB 最短即
可。作 A 点关于 CD 的镜面对称点 A’，连接 A’B，交 CD 于S 点，连接 AS、BS，
求SC。因选项最小的为3km，最大的为 9km，故可以根据观察选项得出答案。因
CD=12，由下图可知SC＞1/2*CD=6，只有D 项满足条件。
方法二：求 SC，∠C为直角，但 BS、CS 的长度未知，故无法使用勾股定理。因两条竖线之间有交叉，则△ADS∽△BCS，故各边对应成比例，4/12=SD/SC=1/3。
因SD+SC=12，则 SD=3km，SC=9km。【选 D】
【注意】1.梳理：
（1）确定 SC+SD 为定值，求SA+SB 最短即可。
（2）连接A’B，由图可知S靠近 D点，则SC＞6。
2.若选项差距大，则可以不用计算；若选项差距小，都大于6，则运用方法
二。
3.此题考查了相似、最短路径。
【小结】高频几何：
1.公式类：（1）规则图形直接用公式，如例1、例2。
（2）不规则图形转化为规则图形再用公式，如例3、例 4。
2.结论类：
（1）连接各边中点：
①三角形则面积减少为1/4。
②四边形则面积减少为1/2。
（2）已知第1、2、3 个……推第 n个：枚举归纳找规律。
（3）圆内接三角形：
①直径所对是直角。
②直角所对弦是直径。
（4）面积的比例：底相等则面积与高成正比。
3.技巧类：
（1）直角三角形：
①勾股数：3/4/5，5/12/13。
②30°——1/2；45°——√2/2；60°——√3/2。
（2）相似三角形：
①判定：横着线平行交叉、竖着线平行交叉、三角形中间出现平行线。
②对应边长比、高度比均等于相似比。任意找三角形的边，比例都相等。
③面积比等于相似比的平方。
（3）最短路径：
①平面反射：镜面对称再连线，经过的线即为镜面。
②立体表面（考查较少）：展开成平面再连线。
例：正方体从左下角A 点到右上角的B点（从表面爬过），因A、B不在同一
平面，若将B点往外翻开，则 B点到B’点，此时 A与 B’在同一个面，因此连
接 AB’。逻辑与平面反射类似，将镜面展开为平面，都是为了让起点和终点共
面。数量关系-高分讲义笔记（ 四）
第八节 容斥原理
【知识点】两集合（出现 A 和 B，且二者有交叉）：A+B-A∩B=全-都不。
例 1、一个停车场有 50 辆汽车，其中红色轿车 35 辆，夏利轿车 28 辆，既
不是红色轿车又不是夏利轿车 8 辆，问停车场有红色夏利轿车多少辆？（ ）
A.14 辆 B.21 辆
C.15 辆 D.22 辆
【解析】例 1.本题描述“红色”和“夏利”两种情况，将红色用 A 表示，
夏利用 B 表示，“既不是 A 又不是 B”即为“都不”，“红色夏利轿车”即“A∩B”。
“A”“B”“都不”均已知，求“A∩B”，可以直接利用公式，直接代入，不要修
改公式，容易犯错，35+28-（ ）=50-8，看选项，选项尾数各不相同，用尾数
法，尾 5+尾 8-（ ）=尾 2，尾 3-（ ）=尾 2，（ ）=尾 1，对应 B 项。【选 B】
例 2、篮子里有苹果和梨两种水果若干个，将这些水果分发给13 个人，每
人最少拿一个，最多拿两个不同的水果。已知有9 个人拿到了苹果，有 8 个人
拿到了梨，最后全部分完。那么，有（ ）人只拿到了苹果。
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】例 2.“拿到苹果”用 A 表示，“拿到梨”用B 表示。分析题干得到：
“每人最少拿一个”即“没有都不”，“最多拿两个不同的水果”即“A∩B”，求
只拿到苹果的人数。出现“只……”用画图法：
方法一：9 个人拿到苹果，8 个人拿到梨，需要求出苹果和梨都拿到的人数，
再用 9-都拿到的人数=只拿到苹果的人数。共有 13 个人，只拿梨的人数（右侧
月牙部分）=13-9=4 人，都拿的人数（中间交叉部分）=拿梨的人数-只拿梨的人
数=8-4=4 人，只拿苹果人数=拿苹果人数-都拿的人数=9-4=5 人。方法二：本题求只拿苹果的人数，直接求左边月牙，只拿苹果的人数=总-
拿梨的人数=13-8=5 人。【选 B】
【注意】1.方法一的优点是将所有的数据都求出来了，缺点是没有直接求出
问题所问的数据。
2.如果对容斥原理比较熟悉，可以用公式计算：只苹+梨=全，即只 A+B=总。
拓展的小公式不做重点记忆，不熟悉的可以用画图法。
例 3、某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测评都不合格的为
次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评
Ⅰ合格的产品数是优品数的 2 倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数
之比为 6：5。
若该批产品次品率为 10%，则该批产品的优品率为（ ）。
A.10% B.15%
C.20% D.25%
【解析】例 3.读题干分析，出现只Ⅰ的说法，用画图法，两个圆圈交叉部
分为优品，两边月牙为中品，圆以外方块内为次品。注意测评Ⅰ合格和只有测评
Ⅰ合格是不同的。画图标数据，题干所有条件都是比例，用赋值法，赋值优品数
量为 1 件，只Ⅰ：优品=2：1，得到只Ⅰ=2 件，情况Ⅰ=2+1=3 件，情况Ⅰ：情况
Ⅱ=6：5，此时会出现小数，可以将数字放大。赋值优品数量为 2 件，只Ⅰ有 4
件，情况Ⅰ为 6 件，情况Ⅱ为5 件。可以得到只Ⅱ=3，优品=2，不是次品=4+2+3=9
件，总件=不是次品/90%=10 件，优品率=优品数量/总件=2/10=20%。【选 C】【注意】1.题干前两行是在交代背景，让考生知道本题是两集合容斥原理问
题。
2.如果赋值优品为 1 人，只Ⅰ=2，Ⅰ=3，优品=1。Ⅰ：Ⅱ=6：5，则Ⅱ=2.5，
只Ⅱ=1.5，次品占 10%，优品数=2+1+1.5=4.5，占产品总数的 90%，全=4.5/90%=5，
优品率=1/5=20%，赋值是不影响最终答案的。
【知识点】三集合标准型：三集合即比两集合多一个公式：A+B+C-A∩B-
B∩C-C∩A+A∩B∩C=全部-都不。
1.推导：用 A、B、C 凑出全部，A、B、C 对应三个圆圈，A+B+C 有重复部分，
分别扣掉两两相交的部分，即去重复，得到 A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A。然后考虑
中间网状部分，A+B+C 时中间加了三次，减的时候 A∩B、A∩C、B∩C 也将中间
减了三次，阴影部分没有了，需要将中间补上，得到 A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A
∩B∩C=全-都不。
2.记忆公式：A、B、C 各加一次，去掉重复部分，再补充漏掉部分。口诀：
各加，去重，补漏。例 4、有关部门对 120 种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标
的有 68 种，防腐剂达标的有 77 种，漂白剂达标的有 59 种，抗氧化剂和防腐剂
都达标的有 54 种，防腐剂和漂白剂都达标的有 43 种，抗氧化剂和漂白剂都达标
的有 35 种，三种食品添加剂都达标的有 30 种，那么三种食品添加剂都不达标的
有（ ）种。
A.14 B.15
C.16 D.17
E.18 F.19
G.20 H.21
【解析】例 4.给出 3 种方法，分别用 A、B、C 表示，利用公式：A+B+C-A∩
B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=全-都不，可以转换为 A+B+C-（A∩B+B∩C+C∩A）+A∩B
∩C=全-都不，代入数据：68+77+59-（54+43+35）+30=120-x，八个选项尾数各
不相同，用尾数法，尾 8+尾 7+尾 9=尾 4，尾 4+尾 3+尾 5=尾 2，尾 4-尾 2=尾 0-x，
尾 2=尾 0-x，解得x 尾数为 8，对应 E 项。【选 E】
【注意】1.本题 8 个选项，但即使有 18 个选项甚至更多，可以当填空题直
接做。
2.刚练习的时候建议每次都写一遍公式，加深印象。
【知识点】三集合非标准型（比较特殊，更容易考，为重中之重）：A+B+C-
满足两项-满足三项*2=全-都不，公式变得更简单。
1.推导（帮助记忆）：同样标出 A、B、C，其中只 A、只 B、只 C 是不可能重
复的。情况Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都算了 2 遍，需要各去掉1 遍，情况Ⅳ算了3 遍，需要去
掉 2 遍，无需补漏，得到：A+B+C-Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-2*Ⅳ=全-都不。情况Ⅳ即为满足三
项，情况Ⅰ为满足 A、B 两项，情况Ⅱ为满足 B、C 两项，情况Ⅲ为满足 A、C 两
项，所以Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ即满足两项，公式转化为：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全-
都不。2.注意例 4 中不能将 54+43+35 当做满足两项的情况，因为 54=情况Ⅰ+都，
43=情况Ⅱ+都，35=情况Ⅲ+都，三者相加多计算了 3*都。
3.判定：题干中出现“既……又……（A∩B）”用标准公式；没有出现“既……
又……”用非标准公式。即出现 A∩B 为标准，没出现 A∩B 为非标。例 5、某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为 90%，在调查对
象中有 180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行学习，100人利用
移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有 50 人，同时使用两种方
式学习的有 20 人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这次共发放了多少
份问卷？（ ）
A.370 B.380
C.390 D.400
【解析】例 5.问卷调查，回收率为 90%，即发出 100 份，回收 90 份。根据
已知得出，有三种情况，都不=0，将网络、书本、移动设备看成 A、B、C，使用
三种方式（A∩B∩C）有 50 人，使用两种方式（A∩B+B∩C+C∩A）有 20 人，与
例 4 完全不同，本题没有出现“既……又……”，用非标公式。公式：A+B+C-满
足两项-满足三项*2=全-都不，代入数据，180+200+100-20-50*2=x-0，选项尾数
都是 0，不能用尾数法，直接计算，解得 x=360。但答案中没有 360，因为本题
中涉及回收率为 90%，x 为收回的 360 份，求发放的份数，回收率=收回/发放，
360/（ ）=90%，（ ）=360/90%=400。【选 D】
【注意】1.本题如果出现 360 的选项会是个坑，但可以根据 360 和 400 以坑
治坑去做，因为 360/400=90%，很可能发放 400 份，回收 360 份。
2.当算出结果后不要急着选答案，不要漏掉条件（回收率），题干不会平白
无故的给一句话。
例 6、某单位有 72 名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋
培训班，要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为
36、20、28，则同时报名三个班的职工数至多是（ ）。
A.6 人 B.12 人
C.16 人 D.20 人
【解析】例 6.本题题干看起来比较短，而且有三种情况，一般是三集合非
标准型。“每个职工至少参加一个”即“没有都不”，书法、乒乓球和围棋用 A、
B、C 表示，求“满足三项”的至多有多少人。三集合，无“既……又……”，为三集合非标准型。
方法一：没有满足两项和满足三项的人数，分别用 x 和 y 表示，代入公式：
36+20+28-x-2*y=72-0，化简得，x+2*y=12。问报名三个班的职工最多有多少人，
即求 y 最大为多少，注意不是 2*y。当 x=0 时，2*y =12，此时y =6。
最大 最大
方法二：x+2*y=12，不定方程，可以直接代入选项，选项都是偶数，无法用
奇偶性，直接代入，当 y=12/16/20 时，x 均为负数，人数不可能为负数，排除 B、
C、D 项。【选 A】
【注意】1.如果用方法二，要从 D 项开始代入，因为求至多，要从最大的开
始代入。
2.如果问“报名两个班的职工数至多是多少”，即求 x 最大为多少，此时当
y=0 时，x =12。
最大【小结】容斥原理：
1.公式：
（1）两集合：A+B-AB=总数-都不。
（2）三集合，判定：出现“既……又……”用标准型公式；没有出现“既……
又……”用非标准型公式；出现“满足一项”用常识性公式。其中非标准型公式
最常考。
①标准型公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。
②非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。
③常识公式（考查比较少）：根据常识，三集合只有四种情况：满足一项、
满足两项、满足三项、都不满足。如果已知满足两项有 50 个，满足三项有 30
个，都不满足有 7 个，总数有 100 个，根据公式：满足一项+满足两项+满足三项
=总数-都不，得到满足一项=100-7-50-30=13。
2.画图：
（1）画圈圈，标数据。如果“都不=0”，不用画外面的方框。
（2）从里到外，注意去重。
第九节 排列组合与概率
一、基础题型
【知识点】基础题型：
1.分类与分布：
（1）分类（要么……要么……）：相加。例：老师从北京到广州，共有 5
个航班、3 个高铁可以选，分类用加法，从北京到广州共有 5+3=8 种方式。
（2）分步（先……后……）：相乘。例：老师从北京到广州，没有直达票，
先从北京到武汉，有 5 种方式，再从武汉到广州，有3 种方式，“先……后……”
“既……又……”，两种方式都要有，分步用乘法，从北京到广州共有 5*3=15
种方式。
2.排列与组合：
（1）排列：与顺序有关。①公式：从 n 个元素中选 m 个，有顺序为 A（n,m）=n*（n-1）*……*（n-m+1）。
②理解：n 个元素中选 m 个（n≥m），第一次是从 n 个中选一个，有 n 种情
况；第二次是从剩下的 n-1 个中选一个，有 n-1 种情况，先选一个再选一个，有
顺序用乘法，即 n*（n-1）。以此类推，A（n,m）=n*……（乘 m 个数）。
③操作：A（10,3）=10*9*8，A（8,4）=8*7*6*5。数字比较大时不要愁怎么
计算，考题中一般结合尾数法计算。
④公式、理解听懂即可，重点为操作。
（2）组合：与顺序无关。
①公式：从 n 个元素中选 m 个，没有顺序为 C（n,m）=[n*（n-1）*……*
（n-m-1）]/[m*（m-1）*……*1]，也可以用阶乘表示，m*（m-1）*……*1=m！，
但阶乘知识点不做重点，考试中一般不会考到。
②理解：先不考虑顺序，选拔之后又要考虑顺序，即先从 n 个人中选m 个人，
然后再将 m 个人进行排列，A（n,m）=C（n,m）*A（m,m）→C（n,m）=A（n,m）
/A（m,m）。
③同样，公式、理解听懂即可，重点为操作：C（n,m）=[n*……（乘 m
个）]/[m*……（乘 m 个）]。
④操作：C（10,3）=（10*9*8）/（3*2*1），C（8,4）=（8*7*6*5）/（4*3*2*1）。
C（8,7）=（8*7*6*5*4*3*2）/（7*6*5*4*3*2*1），其中很多数据都相同，当 n
和 m 很接近时，C（n,m）=C（n,n-m），即 C（8,7）=C（8,1），8 个人中选7 个人
去扫地和 8 个人中选1 个人不扫地，二者实质是相同的。
3.判定标准：从已选的主体中任意挑选出两个，调换顺序。有差别，与顺序
有关（A）；无差别，与顺序无关（C）。
4.例：100 人中选3 人去领奖，一等奖奖金1 亿，二等奖奖金1 万，三等奖
奖金 1 毛，一、二、三等奖有差别，用 A（100,3）；如果一、二、三等奖奖金都
是 1 万，三者没差别，用 C（100,3）。
例 1、甲、乙、丙三所学校的学生被安排在周一至周五参观某革命纪念馆。
纪念馆每天最多只能安排一所学校，其中甲学校连续参观两天，其余学校均只
参观一天，那么共有多少种安排方法？（ ）A.12 种 B.24 种
C.36 种 D.60 种
【解析】例 1.甲需要连续参观两天，比较特殊。（1）先安排甲：从周一到
周五选连续两天，时间/数字无需排序，周一～周五本身是有顺序的，可以选周
一、周二，周二、周三，周三、周四，周四、周五，共有 4 种情况，不能用 C（5,2）。
（2）再排乙和丙，剩下 3 天中选 2 天给乙和丙，假如选周一和周二，周一给乙
周二给丙和周一给丙周二给乙是不同的，有顺序用 A（3,2）。“先……再……”，
分步用乘法，4*A（3,2）=4*3*2=24 种。【选 B】
例 2、某部门开展年终评选工作，需从 11 名员工中评选出一名优秀员工和
两名积极员工，且优秀员工与积极员工不能为同一人，则可能会出现的评选结果
共有（ ）种。
A.495 B.990
C.1210 D.1980
【解析】例 2.方法有很多种：（1）可以先从 11 人中选3 人，再考虑谁是积
极，谁是优秀；（2）先从 11 人中选 1 名优秀的，再选 2 名积极的。本次讲解第
二种方法，从 11 人中选 1 人，不用考虑 A 还是 C，有 11 种；再从剩下的 10 人
选 2 名积极员工，2 人调换顺序对结果没有影响，没有顺序为 C（10,2）=（10*9）
/（2*1）=45 种。评选结果=11*45，尾数为 5，对应A 项。【选 A】
例 3、某交警大队的 16 名民警中，男性为 10 人，现要选4 人进行夜间巡逻工
作，要求男性民警不得少于 2 名，问有多少种选人方法？（ ）
A.1605 B.1520
C.1071 D.930
【解析】例 3.16 名民警中，男性有 10 人，则女性有 16-10=6 人。共选 4
人，要求男性不少于 2 名，即男性≥2 人，分情况考虑：（1）男性 4 人、女性 0人：从男性 10 人选 4 人去巡逻，没有顺序用 C（10,4）=（10*9*8*7）/（4*3*2*1）
=10*7*3=210，或者看尾数为0，如果说选4人到4个区域巡逻，那就要用A（10,4）；
（2）男性 3 人、女性1 人：10 男选 3 人，6 女选1 人，“先……再……”用乘法，
C（10,3）*C（6,1）=（10*9*8）/（3*2*1）*6=10*9*8，尾数为 0；（3）男性 2
人、女性 2 人：同理，C（10,2）*C（6,2）=[（10*9）/2]*[（6*5）/2]=5*9*3*5，
尾数为 5。要么选 4 男，要么选 3 男，要么选 2 男，分类用加法，尾 0+尾 0+尾
5=尾 5，对应 A 项。【选 A】
【注意】不能先选 2 个男的，再从剩余人里选2 个。如果这样理解，列式为：
C（10,2）*C（14,2），公式可以理解为先选择甲、乙，后面选出丙、丁；也可以
先选出丙、丁，再选出甲、乙。两种情况是重复的，所以不能这样计算。
二、特殊题型
【知识点】特殊题型：
1.前面三道题为基础题型，并不是因为它们的难度低，而是因为它们不需要
额外的思想、技巧就能解答，接下来讲解的为特殊题型，因为它们每种都有特定
的方法，若是掌握方法，则比前面的三道例题更加简单。
2.一共讲解五种题型，例 1～例5 各对应一种题型，但比前面的题目更加简
单。
（1）凑数字——枚举法。
（2）相邻——捆绑法。
（3）不相邻——插空法。
（4）分苹果——插板法。
（5）不回原位——错位排列。
3.大家不用一次将五种方法全部听懂，五种方法一定有两三种是相对简单
的，可以各个突破，不用一次全部掌握。
【知识点】枚举法：适用于凑数字或选项数字小的时候使用。例 1、餐厅需要使用 9 升食用油，现在库房里库存有 15 桶 5 升装的，3 桶
2 升装的，8 桶 1 升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅所需
要的 9 升食用油？（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
【解析】例 1.因“正好发出”，则不能 2 桶 5 升的（超出 9 升），因此需要
正好凑到 9 升，此时不适用公式（公式为怎么选数字），凑数运用枚举法。若随
便枚举则可能遗漏，因此优先用大的，先用 5 升的，然后用4 升的。情况数：
（1）1 桶 5 升，2 桶2 升，0桶 1 升；
（2）1 桶 5 升，1 桶2 升，2桶 1 升；
（3）1 桶 5 升，0 桶2 升，4桶 1 升；
（4）0 桶 5 升，若用 4 桶 2 升的，则不满足条件，因 2 升只有 3 桶，则不
能用 4 桶，排除。
（5）0 桶 5 升，3 桶2 升，3桶 1 升；
（6）0 桶 5 升，2 桶2 升，5桶 1 升；
（7）0 桶 5 升，1 桶2 升，7桶 1 升；
（8）0 桶5 升，若用 0桶 2 升，则1 升的需要9 桶，1 升的只有 8 桶，排除。
故共有 6 种情况，对应C 项。【选 C】
【注意】1.考查凑数字会有相应的限制，不会有无限的条件去凑数，2 升的
和 1 升的一般是有限的，大数字一般较多，小数字一般出现的恰好，如 9/2≈4，
但题干只有 3 桶；9/1=9，但题干只有 8 桶，故意少给一点，此时则不能简单的
用 9/2 或者 9/1 计算，需要与具体的条件对应。
2.凑数题运用枚举法。若排列组合情况较为复杂，如周一～周五连续 2 天，
则一样运用枚举法。
【知识点】捆绑法：中学排列组合最有名的方法，解决相邻问题。
1.引例：甲乙丙丁戊己 6 个老师站成一排照相，要求甲乙丙 3 人必须相邻，
有（ ）种不同的站法？答：因“甲乙丙必须相邻”，若随意排则容易将甲乙丙打散，因此将甲乙丙
捆在一起，捆时需要注意内部是否有顺序。内部是否有顺序取决于他们是干什么，
照相内部有顺序，若只是随意站成一堆，则不用考虑顺序。一般考查捆绑法内部
都是有序的，若是捆足球之类的物品可能是无序的，若是捆人一般都是有序的。
（1）先捆：三个人捆绑，即将三个人内部排序，即 A（3,3）。（2）再排：甲乙
丙捆完之后变成一个大胖子，大胖子需要与丁、戊、己再进行排序，四个元素排
序，即 A（4,4）。第一步先捆，第二步再排，列式：A（3,3）*A（4,4）=6*24=144。
2.（1）先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
（2）再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。
3.n 个元素站成一排即全排列，为 A（n,n）。
4.（1）捆绑法是针对相邻的元素进行先捆再排，“先……再……”用乘法。
（2）捆绑中经常运用到全排列，因此需要记住常见的数据。A（3,3）=6，A
（4,4）=24，A（5,5）=120。
例 2、为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛，3个部门
分别派出3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相
连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？（ ）
A.小于 1000 B.1000～5000
C.5001～20000 D.大于 20000
【解析】例 2.一起排九个选手，要必须相邻，考虑捆绑法。
（1）先捆：要求每个部门的选手相邻，因此每个部门捆绑一次，第一个部
门捆绑一次，第二个部门捆绑一次，第三个部门捆绑一次，一共捆绑三次。第一
个部门三个选手为 A（3,3），第二个部门两个选手为 A（2,2），第三个部门四个
选手为 A（4,4）。三个部门为“先……再……”，用乘法，即 A（3,3）*A（2,2）
*A（4,4）=6*2*24。
（2）再排：三个部门都捆成胖子，三个部门进行排序，即 A（3 部门,3 部
门）=6。若选项为尾数可以根据尾数进行选择，此题选项为范围，则估算即可。
列式：A（3,3）*A（2,2）*A（4,4）*A（3,3）=6*2*24*6≈12*100+=1000+，
对应 B 项。【选 B】【注意】三个部门每个部门内部之间进行捆绑，再部门与部门之间进行排序，
此时能够实现三个部门之间是有序的、每个部门内部的选手都是挨在一起的。
【知识点】插空法：不相邻。
1.若运用反面求解，随便排的情况数-相邻的情况数，此种方法两人相邻时
可以运用，若三个人以上不相邻用此种方法则错误。
2.引例：甲乙丙丁戊己庚，7 个老师站成一排照相，要求甲乙丙3 人必须不
相邻，有（ ）种不同的站法？
答：（1）先排：因“甲乙丙必须不相邻”，则先安排可以相邻的元素劝架。
先让可以相邻的丁、戊、己、庚站成一排，即 A（4,4），四个人形成五个空位。
（2）再插：从 5 个空中选出 3 个空，将甲、乙、丙插入空中。是否有序有两种
理解方法：①插入甲、乙、丙，有顺序（人不同），如先插甲再插乙，还是先插
乙再插甲则不同，即 A（5,3）；②空与空是相同的，先从 5 个空中选3 个空，则
无顺序，即 C（5,3），但需要从 3 个空中放 3 个人，3 个人到 3 个空中有顺序，
列式：C（5,3）*A（3,3）。两种方法都正确，但是第一种方法更加简单，因此插
空只要是插人都是有序的（人和人不同）。列式：A（4,4）*A（5,3）。
3（1）先排：先安排可以相邻的元素，形成若干个空位。
（2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。
4.插空法用来解决不相邻问题。
例 3、某兴趣组有男女生各5 名，他们都准备了表演节目。现在需要选出 4
名学生各自表演1 个节目，这4 人中既要有男生，也要有女生，且不能由男生连
续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种？（ ）
A.3600 B.3000
C.2400 D.1200
【解析】例 3.“不能连续”即不相邻，考虑插空法。因男生不相邻，则先
排可以相邻的女生，然后将男生插空。因四个中既要有男生又要有女生，因此需
要先从 5 男5 女中选出4 人，然后再从四个人中考虑男生不相邻的顺序，故此题
需要两步，先将人选出，然后考虑男生不相邻的顺序。5 男5 女中选四个人，情况数：
（1）3 男1 女：因男生不能连续表演（三个男生全部隔开），则一个女生不
能隔开三个男生，此时男生必然连续。如男女男男，有两个男生相邻，故不满足
条件，排除。
（2）2 男 2 女：
①先选人：从 5 个男的中选2 个男的，因先选人，后面才排序，则不用考虑
顺序，即 C（5,2）；从 5 个女的中选 2 个女的，即 C（5,2）。列式：C（5,2）*C
（5,2）。
②再排序：2 个女生排序，即 A（2,2），形成 3 个空。从 3 个空中选 2 个将
男生插入，插得对象为人，则用 A，即 A（3,2）。“先……再……”用乘法。列式：
C（5,2）*C（5,2）*A（2,2）*A（3,2）=10*10*2*3*2=1200，答案一定大于 1200，
排除 D 项。
（3）1 男 3 女：
①先选人：从 5 个男生中选 1 个，即 C（5,1）；从 5 个女生中选3 个，即 C
（5,3）。
②再排序：先排三个女的，即 A（3,3）。
方法一：3 个女生形成 4 个空，从 4 个空中插入 1 个男的，1 个人是否有顺
序都相同，即 A（4,1）。列式：C（5,1）*C（5,3）*A（3,3）*A（4,1）=5*10*6*4=1200。
总情况=1200+1200=2400。
方法二：因只有 1 个男的，则不可能出现男生相邻，故将n 个人全排序，即
A（4,4）。总情况=1200+1200=2400。【选 C】
【注意】1.若同时出现选人和排序的，则先选人，选完之后再进行排序。若
一边选人、一边排序，则容易出错，若从四个人中选出 2 男2 女，选出四个人后
还要进行排序，则会重复。
【知识点】插板法（隔板法）：中学中极其经典的方法，解决分东西问题。
1.公式：n 个相同的物品分给m 人，每人至少分 1 个，有 C（n-1,m-1）种分
法。（1）例：10 个苹果分给 3 个人，每人至少分 1 个，则有 C（9,2）种分法。
（2）此为一个公式，因此不需要进行分析。
（3）n 为相同的物品，m 为分给的对象人数。
（4）“减 1”与“每人至少分一个无关”。
2.变形：若每人至少分 x 个，则先分（x-1）个，再将剩下的按插板法分。
（1）考场很少考查至少分一个情况，经常考查至少分多个，则先分 x-1 个，
剩下的再每人至少分一个，分两步思考。
（2）例：30 个苹果分给 3 个人，每人至少分 5 个，有多少种分法？
答：①先给每人分四个，即大锅饭，每个人都分同样的东西，属于一种情况
②剩下 30-4*3=18 个，每人至少分一个，即 C（18-1,3-1）=C（17,2）。
先每人分，再分剩下的，“先……再……”用乘法，列式：1*C（18-1,3-1），故
只需要计算后一种情况即可。
3.公式的推导思路（打星号，不需要都掌握，能掌握最好）：n 个物品不含
两边，共有（n-1）个空，将（m-1）个木板插入到其中，就能将其分成 m 堆，且
每堆至少 1 个。
（1）例：有 6 个鸡蛋分给 3 个人，常规思路为分 3 个框，此为分类讨论，
若数据较大则不能计算清楚，因此用木板隔开，用两个木板将鸡蛋隔成 3 堆，如
2、1、3，1、2、3，插不同的位置，顺序则不同，因此插木板的过程中自带顺序。
理论上 6 个鸡蛋有7 个空，若将木板插在最左边，则左边人只有0 个，不满足至
少一个，同理最右边也不行，因此木板只能插在中间 5 个空中。从中间5 个空中
选 2 个插入，因是木板，则没有顺序，即 C（5,2）。六个鸡蛋对应 5 个空，3 个
人插 2 个木板。若有 n 个蛋，不含两边，则有 n-1 个内部空；m 个人，则有 m-1
个板。
（2）此推导较为抽象，若数学悟性好能够理解更好，若不理解很正常，因
此推导不用掌握，掌握公式即可。
例 4、某办公室接到 15 份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处
理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于 3 份，也不得多于 10 份，则共有多少种分配方式？（ ）
A.15 B.18
C.21 D.28
【解析】例 4.根据题意，“15 份公文”即 n 个物品，“分给 3 个人”即分给
m 个人，每人至少分 3 份，至多 10 份，典型的插板法要求，运用插板法。题目
转化为“15 个公文分给 3 个人，每个人至少分 3 份，至多 10 份”，先算至少 3
个的情况，然后扣除违反“至少 10 个”的情况，如满足至少 3 个的有 100 种，
违反至多 10 个的有5 种，则满足条件的有 100-5=95 种情况。
（1）至少 3 个：先给每人分2 个，再用插板，每人先分 2 个，共分了6 个，
此为一种情况。剩下 9 个，分给3 个人，每人至少1 份，即 C（9-1,3-1）=C（8，
2）=28 种。
（2）违反“至多 10 个”的情况：若有一个人拿 11 份，剩下两个人要至少
3 份，11+3+3＞15，则不满足条件。故共有 28 种情况，对应 D 项。【选 D】
【注意】1.此题公文为任务，任务是相同的。若不一样，则选项答案会非常
大，因此默认任务是一样的。
2.往往“至多”的情况都是烟雾弹。
【知识点】错位排列：不回原位。
1.例：有 n 个厨师，每个人做了一道菜，做了 n 道菜，互相尝别人的菜，有
多少种情况？
答：若 n 个厨师尝自己的菜，则为简单的情况。本来菜有原来的位置，但是
现在每人尝别人的菜，即不回原位。n 个厨师为元素数 n，错排数为 D。一个厨
n
师尝别人的菜，不可能，则 D =0；两个厨师错位：甲尝乙的，乙尝甲的，二者同
1
时发生，故有 1 种情况；三个厨师错位：甲、乙、丙，则错位情况有两种：甲尝
乙的、乙尝丙的、丙尝甲的；甲尝丙的、乙尝甲的、丙尝乙的；若甲尝乙的、乙
尝甲的，丙尝丙的，则错误，此时丙的位置没有错位，不是全部错位，故有 2
种情况；四个人错排有 9 种情况，5 个人错排有 44 种情况。
2.错误的数据较多，但不用全部记忆，重点记忆 D =9、D =44。因为小的过
4 5
于简单，不会考查；大的过于复杂，也不会考查；公式也不会考查，因为公式为大学知识点。
3.推导：观察发现，（2+9）*4=44，（1+2）*3=9，（0+1）*2=2，则 D =（9+44）
6
*5=265。规律不重要，是帮助大家理解的。
例 5、某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个
科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？（ ）
A.120 B.78
C.44 D.24
【解析】例 5.5 个科室各抽调了一个人，即 5 个人；“都交流到其他科室”
即不回原位，5 个人的错位有 44 种情况，对应 C 项。【选 C】
三、概率问题
【知识点】概率问题：概率也是运用排列组合做题。生活中的概率容易做错
误，但行测考试中的概率题目越来越简单，得分率比工程问题高。
1.给情况求概率：概率=满足要求的情况数/总的情况数。
例：满足一等奖的概率为 100 个，总的情况有 10000 种，满足一等奖彩票的
概率为多少？
答：中奖概率=100/10000=1%。即运用排列组合求解，概率的知识点还是排
列组合。
2.给概率求概率：题干中有概率，求概率。
（1）分类：P=P +P +……+P 。
1 2 n
例：今天是下雨还是阴天还是晴天，要么下雨、要么阴天、要么晴天，则不
下雨的概率=阴天的概率+晴天的概率。
（2）分步：P=P *P *……*P 。
1 2 n
例：做一个零件有三道程序，需要三道程序都成功才能将零件做出来，先
“先……再……”用乘法。3.2013 年之前概率问题比较难，现在为了区分，考查比较简单。
4.正难则反：满足的概率=1-不满足的概率。
例：求不下雨的概率，则 P =1-P 。
不下雨 下雨
例 1、某公司将在本周一至周日连续七天举办联谊会，某员工随机地选择其
中的连续两天参加联谊会，那么他在周五至周日期间连续两天参加联谊会的概率
为（ ）。
A.1/2 B.1/3
C.1/4 D.1/6
【解析】例 1.P=满足的情况/总情况=周五～周日连续 2 天/7 天中选连续 2
天。周五～周日连续两天，时间和数字天然的有顺序，因此不需要排序，直接进
行枚举。周五～周日连续两天的情况数：周五、周六连续，周六、周日连续，共
有 2 种；7 天中连续两天的情况数：周一周二、周二周三、周三周四、周四周五、
周五周六、周六周日，有 6 种情况。列式：P=2/6=1/3，对应B 项。【选 B】
例 2、某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相同。小张和小李
随机入座，则他们坐在同一排的概率（ ）。
A.不高于 15% B.高于 15%但低于 20%
C.正好为 20% D.高于 20%
【解析】例 2.方法一：P=同排的情况数/总的情况数。（1）总的情况数：从
40 个座位中随机选 2 个座位，如小张在第一排，小李在最后一排，调换顺序则
不同，则用 A，即 A（40,2）。（2）同排的情况数：从 8 个座位中选 2 个，座位有
顺序，即 A（8,2）。同排不确定排数，因此需要考虑排数，40 个座位将5 排考虑
完全，则需要分为两部分考虑，先从 5 排中选 1 排即 C（5,1），再从8 个座位中
选 2 个。列式：P=[A（8,2）*C（5,1）]/A（40,2）=（8*7*5）/（40*39）=7/39，
首位商 1，次位商 8，对应B 项。方法二：两个人做同一件事，求 P，如小张、小李随机入座、买火车票等。
（1）先算第一个人的概率（小张的概率），小张随便选一个座位的概率为百分之
百一定能发生，即 P =100%。（2）小李再选座位：因小张已经先选了，则座位已
张
经固定。①满足的情况数：若小李要和小张在同一排，只能在某一排的 7 个座位
中选一个（一排 8 个座位，小张已经坐了一个）；②总的情况数：40 个座位小张
已经坐了一个座位，还剩 39 个座位，则小李从剩下的 39 个座位中选一个，即P
=7/39。【选 B】
李
例3、某仓库存放三个厂家生产的同一品牌洗衣液，其中甲厂生产的占
20%，乙厂生产的占 30%，剩余为丙厂生产的，且三个厂家的次品率分别为
1%，2%，1%，则从仓库中随机取出一件是次品的概率为（ ）。
A.1.6% B.1.3%
C.1% D.2%
【解析】例 3.求概率，P=满足的情况/总情况=次品中抽一个/从仓库中随便
取一个=次品个数/总零件个数，即求次品数在总零件数中比例。此题没有具体数
值，都是百分号，考虑赋值。因需要乘以两个百分数，故设总零件个数为 10000，
则甲厂次品数=10000*20%*1%=20，同理，乙厂次品数=10000*30%*2%=60，丙厂次
品数=10000*50%*1%=50，故总次品数=20+60+50=130，则 P=130/10000=1.3%。【选
B】
【注意】1.次品率：如生产 100 个产品，有 1 个次品，则次品率为 1%。次
品率是波动的，但是计算中想象的比较理想。
2.若理解全概率公式可以直接用百分数相乘，P =甲厂的比率*次品率+乙
全概率
的比率*次品率+丙的比率*次品率，行测中考查较少，用赋值更好理解。
例4、某集团企业5个分公司分别派出1人去集团总部参加培训，培训后再将 5 人随机分配到这5 个分公司，每个分公司只分配1 人。则5 个参加
培训的人中，有且仅有 1 人在培训后返回原分公司的概率（ ）。
A.低于 20% B.在 20%～30%之间
C.在 30%～35%之间 D.高于 35%
【解析】例 4.五个公司派 5 个人，因“有且仅有 1 人在培训后返回原分公
司”，即有 4 个人不回原公司。P=满足的情况数/总情况数=5 人中有 4 人不回原
位的情况数/总情况数=[C（5 人,4 个人不回原位）*D ]/A（5,5），5 个人随
4 人错位
机分配到 5 个公司，即五个人排序，即 A（5,5）。列式：P=（5*9）/120=3/8=37.5%，
对应 D 项。【选 D】
【小结】排列组合与概率：1.排列组合：
（1）概念：先写数字，然后看用 A 还是 C，不要死记硬背。
①分类用加法（要么……要么……）。
②分步用乘法（先……再……）。
③有序用排列 A（不可互换）。
④无序用组合 C（可以互换）。
（2）题型：
①凑数字/选项小：枚举法，不重不漏。
②必须相邻：捆绑法，先捆再排。
③不能相邻：插空法，先排（可以相邻的）再插。
④至少 x 个：插板法，必须为同种东西，公式+变形。若东西不同，如 8 道
不同的数学题，则不能用插板法，难度较高，建议放弃。
⑤不回原位：错位排列，0/1/2/9/44。重点记住 D =9、D =44。
4 5
（3）排列组合难度无极限，有很简单的，也有很难得，因此可以抓住经典
题型，这些题型都是可以送分的。一个个击破，套路都是一样的，因此固定题型
可以做，若遇到没有做过的，则考虑放弃。
2.概率：建议大家做，在 2013 年之前概率问题较难，但 2014 年之后则变简
单。
（1）给情况求概率：满足要求的情况数/所有的情况数，可以先求分母，如
分母求出为 10，选项的分母分别为 3、4、5、6，则只有可能是分母为5 的选项。
（2）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。
（3）正难反易：1-反面情况概率。正面情况复杂从反面考虑。数量关系-高分讲义笔记（五）
第一节 基础数列
【知识点】基础数列：基础数列是数字推理的地基，很多其他数列通过加减
运算回归到基础数列。
1.等差数列：1、6、11、16、21、26，公差为 5 的等差数列。
2.等比数列：3、6、12、24、48、96，公比为 2 的等比数列。
3.质数数列：质数就是除了 1 和它本身没有其它约数的数，例如：
2、3、5、7、11、13、17、19。 (cid:1)
4.合数数列：了解即可，考查不是很多；不是质数的数就是合数，例如：4、
6、8、9、10、12。特殊说明：1 既不是质数，又不是合数。5.周期数列：
（1）数字循环：1、5、1、5、1、5；5、2、0、5、2、0、5、2、0，数字周
期出现。
（2）符号循环：+1、-2、+3、-4、+5，符号正负交替出现，下一项应为-6。
6.简单递推数列：
（1）递推和：1、2、3、5、8、13。
（2）递推差：21、13、8、5、3、2。
（3）递推积：1、2、2、4、8、32。
（4）递推商：256、32、8、4、2、2。
例1：19，38，57，76，95，（ ）
A.114 B.133
C.171 D.190
【解析】例1.观察数列，后一项-前一项=19，构成公差为19的等差数列，则
（ ）=95+19=114，对应A项。【选A】
例2：4，12，36，108，（ ）
A.223 B.257
C.315 D.324
【解析】例2.观察数列，后一项/前一项=3，构成公比为3的等比数列，则（ ）
=108*3=324，对应D项。【选D】
例3：2，3，-1，4，-5，（ ） A.-8
B.-9
C.8 D.9
【解析】例 3.观察数列，发现：2-3=-1，3-（-1）=4，（-1）-4=-5，构成
递推差数列，则（ ）=4-（-5）=9，对应D项。【选D】
【答案汇总】1-3：ADD【注意】区分：
1.数列：1、3、5、7、（ ），（ ）=9，构成等差数列。
2.数列：2、3、5、7、（ ），（ ）=11，构成质数数列。
3.数列：2、3、5、8、（ ），发现2+3=5，3+5=8，则（ ）=5+8=13，构成
递推和数列。该数列还有其它较复杂的规律，当一个数列有多个规律时，往往优
先考虑基础、好算的规律。
4.数列：2、4、6、8、（ ），（ ）=10，构成等差数列。
5.数列：2、4、8、16、（ ），（ ）=32，构成等比数列。
6.数列：2、4、8、32、（ ），2*4=8，4*8=32，（ ）=8*32=256，构成递推
积数列。
【知识点】1.特征数列：多重数列（特别长）、分数数列（出现分数）、做商
数列、幂次数列、图形数列（出现图形）。
2.非特征数列（没有明显规律）：多级数列（非常重要）、递推数列。
3.由于非特征数列比较重要，且没有明显规律，大家刚开始学习数字推理时，
会觉得什么数列都没有明显规律，所以从非特征数列入手开始讲解。
第二节 多级数列
【知识点】多级数列：
1.题型特征：无明显特征，变化趋势平缓。
2.解题方法：两两做差。
3.注意：
（1）做差时保持方向一致，要么后减前，要么前减后。
（2）做差的目的是将数列转化为基础数列。
例1：2，8，18，32，50，（ ）
A.68 B.72C.76 D.98
【解析】例1.观察数列，没有明显特征，考虑做差，做差得：6、10、14、
18，做差后构成公差为4的等差数列，做差后的数列下一项应为22，则原数列（ ）
-22=50，所以（ ）=72，对应B项。【选B】
例2：2，14，34，62，（ ）
A.90 B.98
C.108 D.116
【解析】例2.观察数列，没有明显特征，考虑做差，做差得：12、20、28，
做差后构成公差为8的等差数列，做差后的数列下一项应为36，则（ ）-36=62，
所以（ ）=98，对应B项。【选B】
例3：1，4，10，22，46，（ ）
A.70 B.72
C.92 D.94
【解析】例3.观察数列，没有明显特征，考虑做差，做差得：3、6、12、24，
做差后构成公比为2的等比数列，做差后的数列下一项应为48，则（ ）-46=48，
所以（ ）=94，对应D项。【选D】
例4：40，8，24，16，20，（ ）
A.18 B.24
C.28 D.32
【解析】例4.观察数列，没有明显特征，考虑做差，一定要注意保证做差的
方向一致，后减前做差得：-32、16、-8、4，做差后构成等比数列，做差后的数
列下一项应为4/（-2）=-2，则（ ）-（-2）=20，所以（ ）=18，对应A项。
【选A】
例5：1，3，6，11，18，（ ）
A.25 B.27C.29 D.33
【解析】例5.观察数列，没有明显特征，考虑做差，做差得：2、3、5、7，
做差后构成质数列，做差后的数列下一项应该是11，则（ ）-18=11，所以（ ）
=29，对应C项。【选C】
【注意】本题做差后构成质数数列，不是等差数列，不要掉“坑”。
【答案汇总】1-5：BBDAC
例6：5，7，17，19，29，（ ）
A.31 B.39
C.41 D.47
【解析】例6.观察数列，没有明显特征，考虑做差，做差得：2、10、2、10，
做差后构成周期数列，做差后数列的下一项是2，则（ ）-2=29，所以（ ）=31，
对应A项。【选A】
例7：1，2，4，7，12，（ ）
A.18 B.19
C.20 D.21
【解析】例7.观察数列，没有明显特征，考虑做差，做差得：1、2、3、5，
做差后构成递推和数列，做差后的数列下一项应为 8，则（ ）-8=12，所以（ ）
=20，对应C项。【选 C】
， ，（ ）， ，
例8
A. B.
C. D.
【解析】例 8.数字推理的重点看的是“数”，本题的“ ”是用来迷惑考生的。 和数列中其他数字的形式不一样，要统一形式，将数字放在根号内；
统一后得到 、 、（ ）、 、 ，单独看根号下的数字：2，6，（ ），20，
30，做差得：4、？、？10。出现两个“？”，考试中可以代入选项依次进行验证，
也可以大胆猜测，猜测做差后数列为：4、6、8、10；验证：6+6=12，12+8=20，
符合规律，则原数列（ ）= =2 ，对应D 项。【选D】
例9 2，3，4，3 ， ，（ ）
A.81 B.
C. D.9
【解析】例9.将数列中数字还原至根号下，得： 、 、 、 、 ，
单独看根号下的数字：4，9，16，27，46，做差得：5，7，11，19，依旧没有规
律，尝试再次做差，得：2，4，8，则二次做差后的下一项应为 16，所以一次做
差后的数字应为35，原数列（ ）= = =9，对应D项。【选 D】
【答案汇总】6-9：ACDD
【小结】多级数列：
1.题型特征：无明显特征，变化趋势平缓。
2.解题方法：两两做差，一次不行做两次。
3.注意点：
（1）注意方向性。（2）有根号：转化为纯数字。
（3）差值为新数列：有规律直接做，无规律再做差。
第三节 递推数列
【知识点】递推数列：递推数列是数字推理中最难的部分，递推的考频并不
是很高，虽然是最难的题型，但不是最重要的。
1.题型特征：没有明显特征，排在多级之后。
2.解题方法：
（1）简单递推直接做。
（2）圈仨数——凑大数——做验证。
例1：10，12，13，22，25，35，（ ）
A.60 B.50
C.47 D.37
【解析】例1.观察数列，数列的变化趋势不是很快，做和可以发现：10+12=22，
12+13=25，13+22=35，发现做和后的结果等于原数列相隔的一项，则（ ）
=22+25=47，对应C项。【选C】
【注意】1.数列的变化趋势慢，此时往往从加减入手。
2.本题的规律并不是很难，属于简单的递推和规律。
3.本题可以优先考虑做差，做差发现没有明显规律，此时转而考虑递推。
例2：2，3，6，18，（ ），1944
A.102 B.96
C.58 D.108
【解析】例2.观察数列，优先考虑做差，做差没有明显规律；发现数列从较
小的数字跳跃到1944，变化趋势非常快，此时优先考虑乘法；发现：2*3=6，3*6=18，
6*18=108，符合递推积规律，则18*（ ）=1944，所以（ ）=1944/18=108，对应D项。【选D】
【注意】递推积规律变形：2，3，4，6，12，24，72，（ ）。发现2*3=6，
3*4=12，4*6=24，6*12=72，则（ ）=12*24=12*12*2=144*2=288。
【知识点】递推数列：
1.题型特征：没有明显特征，排在多级之后。
2.解题方法：圈仨数——凑大数——做验证。
3.说明：
（1）圈仨数：大部分递推都是三项之间的变化，由于三个数的情况最多，
所以优先圈仨数来找规律。
（2）凑大数：通过加、减、乘、除凑大数。
（3）做验证：找到规律后，做验证。
4.例.2，3，5，14，69，（ ）
A.968 B.967
C.966 D.965
【解析】例.做差后没有明显规律，考虑递推数列。若圈三个大的数，比较
难计算；若圈最小的三个数，小的数字规律多，非常容易出现混乱；因此，优先
圈中间的三个数：3，5，14。发现数列变化较快，优先考虑乘法，发现3*5-1=14；
验证规律：2*3-1=5，5*14-1=69，“-1”称为修正项，则14*69-1=（ ），所以（ ）
=966-1=965；也可以结合尾数法，尾数为6-尾数为1的结果尾数应为5，对应D项。
【选D】
例3：2，2，3，4，8，24，（ ）
A.160 B.176
C.192 D.256
【解析】例3.观察数列，做差得：0、1、1、4、16，没有明显规律，考虑递
推。圈中间3、4、8这三个数，结合选项，出现三位数，数字变化趋势快，优先
考虑乘法，发现：3*4-4=8；验证：2*2-1=3，2*3-2=4，4*8-8=24，发现修正项
为：-1、-2、-4、-8构成公比为2的等比数列，修正项的下一项应为-16，则（ ）=8*24-16=192-16=176，对应B项。【选B】
例4：2，3，4，15，56，（ ）
A.285 B.235
C.245 D.225
【解析】例4.观察数列，做差后没有明显规律，考虑递推。圈仨数：3，4，
15，根据选项出现三位数，选项约是56的5倍，数字变化较快，考虑乘法，发现：
3*4+3=15；验证：2*3-2=4，4*15-4=56，发现修正项：-2，+3，-4，则下一项的
修正项应为+5；但此时发现15*56=800+，没有答案。观察发现：乘号后面3、4、
15来自于原数列，下一项肯定是来自于原数列，下一项的乘号后应为56；但乘号
前面2、3、4不一定是来自于原数列，下一项的乘号前面还可能为5，符合2，3，
4，5的规律，此时( )=5*56+5=280+5=285，对应A项。【选A】
【注意】数字一般来源于原数列，发现无规律时，一定要观察数字自身是否
形成规律。
例5：1，2，7，20，61，182，（ ）
A.268 B.374
C.486 D.547
【解析】例 5.观察数列，考虑递推，发现 7 和 20 约 3 倍左右，20 和 61 也
是约3倍左右，61和 182也是约3倍左右，发现：2*3+1=7，7*3-1=20，20*3+1=61，
61*3-1=182，修正项为：+1、-1、+1、-1，周期循环，修正项的下一项应为+1，
则（ ）=182*3+1，尾数为 6的数+1的结果尾数为 7，也可以精确计算为 547，
对应D项。【选D】
【答案汇总】1-5：CDBAD
例8：7，9，23，41，87，（ ）
A.129 B.137
C.150 D.169【解析】例 8.观察数列，发现 9 和 23 约是 2 倍关系，23 和 41 约是 2 倍关
系，41和87约是2倍关系；发现：9*2+5=23，23*2-5=41，41*2+5=87，修正项
为：+5、-5、+5、-5，修正项周期循环，修正项的下一项应为-5，则（ ）
=87*2-5=174-5=169，对应 D项。【选D】
【注意】1.考试中找到非常严谨的规律时，即可直接算结果，无需逐项验证，
本题也可以继续验证：7*2-5=9。
2.两项规律比较简单，做题速度更快；看三项规律可能更复杂一些。
3.两项之间倍数关系明显时，优先考虑两项之间的规律。
例6：2，3，10，26，72，（ ）
A.124 B.170
C.196 D.218
【解析】例6.观察数列，没有明显特征，做差后依然无特征，此时考虑递推。
圈中间的三个数：3、10、26，数列变化缓慢，优先考虑加法，发现：（3+10）
*2=13*2=26；验证：（2+3）*2=5*2=10、（10+26）*2=36*2=72，符合规律，则（ ）
=（26+72）*2=98*2=196，对应C项。【选C】
例7：18，13，10，6，8，（ ）
A.9 B.14
C.0 D.-4
【解析】例7.观察数列，考虑递推，圈中间13、10、6这三个数，发现：（13-10）
*2=3*2=6，验证：（18-13）*2=5*2=10、（10-6）*2=4*2=8，符合猜想，则（ ）
=（6-8）*2=-2*2=-4，对应D项。【选D】
【注意】数列变化趋势慢时，优先考虑加减。
例9： 2，3，7，16，65，（ ）
A.146 B.256C.321 D.475
【解析】例 9.观察数列，数列没有明显规律，做差后依旧没有规律，此时
考虑递推。数列变化趋势较快，优先考虑乘法，圈中间的三个数：3、7、16，通
过乘法依然找不到规律，此时考虑平方，若考虑两个数的平方，结果较大，且
7²=49也很大，所以只考虑 3²，发现：3²+7=16，即第一项²+第二项=第三项；验
证：2²+3=7、7²+16=65，符合规律，则（ ）=16²+65，尾数为6+尾数为 5的结
果尾数应为1，对应C 项。【选C】
【答案汇总】6-9：CDDC
【小结】递推数列：
1.题型特征：没有明显特征，排在多级之后。
2.解题方法：
（1）简单递推直接做。如：例1、例2。
（2）圈仨数——凑大数——做验证。
如：例 3、例 4、老师编写的引例考查乘法；例 5、例 8 考查两项之间的倍
数关系；例6、例7的变化趋势慢，考查加减；例 9的变化趋势快，考查平方。
3.注意点：
（1）圈仨数——不大不小。
（2）一一对应做验证。
【小结】非特征数列：
1.多级数列：
（1）特征：无明显特征，变化平缓。
（2）方法：两两做差一到两次。2.递推数列：
（1）特征：无明显特征。
（2）方法：圈三数、找规律、做验证。
第四节 做商数列
【知识点】做商数列：
1.题型特征：任意相邻两项之间倍数关系明显。
2.解题方法：两两做商找规律。
3.注意：做商时要保持方向的一致。
例1： 1，1，3，15，105，（ ）
A.765 B.742
C.903 D.945
【解析】例1.倍数关系明显，考虑两两做商找规律，做商后得：1、3、5、7，
下一项应为9，（ ）=105*9=945，对应D项。【选D】
例2： 1，-5，10，10，40，（ ） A.-35
B.50
C.135 D.280
【解析】例2.倍数关系明显，做商：-5、-2、1、4，为公差为3的等差数列，
下一项应为7，（ ）=40*7=280，对应D项。【选D】
例3： 2，-8，24，-48，48，（ ） A.-96
B.-32
C.0 D.64
【解析】例3.倍数关系明显，做商：-4、-3、-2、-1，下一项应为0，（ ）
/48=0，则（ ）=0，对应C项。【选C】
【注意】做商的结果可以有正有负有零，也可以有小数，但一般是比较好算的小数，不会是1.1、1.3之类的比较麻烦的数。
例4：2，6，15，30，45，（ ）
A.63 B.57
C.51 D.45
【解析】例4.倍数关系明显，做商：3、2.5、2、1.5，下一项应为1，（ ）
/45=1，（ ）=45，对应D项。【选D】
【注意】有同学考虑两两分组：2和6一组、15和30一组、45和（ ）一组，
求得倍数分别为3、2、1，但这样做规律不够严谨。
例5： 9.6，48，12，36，18，（ ）
A.4.5 B.9
C.18 D.24
【解析】例5.本题要保持做商的方向，倍数关系明显，做商（后/前）：5、
1/4、3、1/2，下一项应为 1，（ ）/18=1，则（ ）=18，对应C项。【选 C】
【注意】1.1/7=7-1，1/5=5-1，为负幂次的形式，即分数可以写成整数的-1
次方，记住即可，如 1/6=6-1，分子为2不考虑负幂次。本题中：5、1/4、3、1/2
可以写成51、4-1、31、2-1、1，底数为5、4、3、2、1，指数为1、-1、1、-1、1
的循环。
2.本题做商时也可用前/后，保持方向的一致即可。
【答案汇总】1-5：DDCDC
【知识点】做商数列：
1.题型特征：任意相邻两项之间倍数关系明显。
2.解题方法：两两做商找规律。
3.注意点：
（1）做商时注意方向。
（2）商有正有负、有整数有分数有小数（6和15同时出现，15/6=2.5）。第五节 幂次数列
【知识点】幂次数列（本节课第二难的点，平均 1～2年考一题，难度偏高）：
1.题型特征：本身是幂次数或附近有幂次数（幂次数：3²=9，3³=27，5²=25）。
2.解题方法：
（1）普通幂次——直接找规律。
（2）修正幂次。
3.引例.4，9，16，25，（ ）
A.36 B.49
C.64 D.76
答：4=2²，9=3²，16=4²，25=5²，（ ）=6²=36，答案选 A 项。很少考这么
直白的题目。
4.重点记住：
（1）11²=121，12²=144，13²=169，14²=196，15²=225，16²=256，17²=289，
18²=324，19²=361（361°）。会的划掉，剩下不会的可以写到手上，背不过就不
擦掉。
（2）1³=1，2³=8，3³=27，4³=64，5³=125，6³=216，7³=343。
（3）24=16，34=81，44=256，54=625。
（4）21～210 依次为：2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024（常见
内存数，为二进制数，联想游戏“2048”）。
5.特别注意（爱考，还原时优先还原 4、9、25、49等固定的数，避开 64、
81等变化多端、不确定的数字）：
（1）变化多端的数字：16=4²=24，64=8²=4³=26，81=9²=34。
（2）1这个特殊数字：1=n0（n≠0）=1n。
（3）2²=（-2）²=4。
例 1： 1，32，81，64，25，（ ）
A.12 B.10C.8 D.6
【解析】例1.幂次数列，先还原，优先还原 25=5²，32=25，推导：2 和中间
空了两处，大胆猜测为 2、3、4、5，81=9²=34，64=4³，可知规律为：底数：2、
3、4、5、6，指数为 5、4、3、2、1，（ ）=61=6，对应D项。【选D】
【注意】1=16。
例 2： 256，25，1，1/49，（ ）
A.1/81 B.1/144
C.1/1331 D.1/4096
【解析】例2.25、1、49均是幂次数，考虑幂次数列，先还原 25、49：25=5
²，49=7²，则1/49=1/7²=7-2，5和7中间空了一个数，考虑填 6，则1=60，底数
为：5、6、7、8，指数为：2、0、-2、-4，（ ）=8-4=1/64²。
方法一：观察：分母＞60²=3600，对应D项。
方法二：尾数法求得分母尾数为6，对应D 项。【选D】
【注意】考试时不需要看“256”了。观察规律：底数为：4、5、6、7，指
数（公差为2的等差数列）为：4、2、0、-2，44=16²=256。
例 3： 1，–3，4，1，25，（ ）
A.15 B.100
C.325 D.676
【解析】例3.4、1、25是幂次数，从幂次切入：25=5²，4=2²，2和 5中间
只有一个空，填 3 或 4 均不合适，需要推断：4+1=5，（4+1）²=5²=25，即（①+
②）²=③，验证规律：（1-3）²=（-2）²=2²=4，（-3+4）²=1²=1，规律成立，则
（1+25）²=26²，尾数为 6，对应D项。【选D】
【注意】本题为幂次数列+递推数列结合考查。
例 4： 5，7，4，9，25，（ ）
A.49 B.121
C.189 D.256【解析】例4.4、9、25均是幂次数，考虑幂次：4=2²，9=3²，25=5²。（5-7）
²=2²=4，（7-4）²=3²=9，（4-9）²=5²=25，则（ ）=（9-25）²=（-16）²=16²=256，
或求得尾数为6，对应 D项。【选D】
【知识点】修正幂次：
1.数列附近有幂次数。
2.解题方法：转化为幂次数，先转化为普通幂次±修正项。
3.引例：4、9、16、25、36，为2²、3²、4²、5²、6²，此时将数列每项“-1”，
变为：3、8、15、24、35，做法为：将数列还原为幂次数列，找到之后再推出修
正项的值。
例 5： 3，11，13，29，（ ）
A.31 B.34
C.38 D.41
【解析】例 5.本题做差无规律，考虑递推，但只有 4 项不好递推，考虑幂
次数列。找出数列周围的幂次数：29 周围的幂次数为 25=5²，13 周围的幂次数
为 16=4²，11 周围的幂次数为 9=3²，3 周围的幂次数为 4=2²，找出修正项：
25+4=29，16-3=13，9+2=11，4-1=3，则修正项为：-1、+2、-3、+4、-5，（ ）
=6²-5=31，对应A项。【选 A】
【注意】出题人爱考的幂次数为 64：64变化多端，64=8²=4³=26，且数列趋
势均为从大到小或从小到大，都有可能经过64，因此64相当于幂次数列的网红
数字。
例 6： 1，5，18，67，（ ）
A.258 B.259
C.260 D.261
【解析】例6.67 周围的幂次数为64=8²，64+3=67；18周围的幂次数为 16=4
²，16+2=18；5周围的幂次数为 4=2²，4+1=5；1周围的幂次数为1=1²，1+0=1。
修正项为：+0、+1、+2、+3、+4，（ ）=16²+4=256+4=260，对应C项。【选 C】【注意】本题也可通过尾数法求解，16²尾数为 6，尾6+尾4=尾0。
【拓展】 15，26，35，50，63，（ ）
A.74 B.78
C.82 D.90
【解析】拓展.63=64-1=8²-1，50=49+1=7²+1，35=36-1=6²-1，26=25+1=5²
+1，15=16-1=4²-1，因此修正项：-1、+1、-1、+1、-1、+1，则（ ）=9²+1=81+1=82，
对应C项。【选C】
【答案汇总】1-5：DDDDA；6：C
【小结】幂次数列：
1.题型特征：本身或附近有幂次数（64比较热门）。
2.解题方法：
（1）普通幂次——直接找规律。
（2）修正幂次——先转化为普通幂次±修正项，再找规律。
3.注意点：
（1）从唯一变化入手（避开变化多端的数字：1，16，64，81）。
（2）负幂次（1/7=7-1，1/7²=7-2）。
（3）修正项（-5～5）小，从64入手。
第六节 分数数列
【知识点】分数数列：
1.题型特征：全部或大部分是分数。
2.解题方法：先观察分子、分母是否递增或递减。若满足，先分开看，再一
起看（分子分成一部分，分母分成一部分）。
（1）是：先分开看，再一起看。如1/4，5/4，9/20，将分子和分母看成一
个整体，分子：1+4=5，4+5=9，分母：1*4=4，4*5=20。（2）否：反约分变为递增。如 1/3，2/4，3/5，4/6，可知下一项为 5/7，
但出题人不会出这么简单，利用分数性质：2/4=1/2，4/6=2/3，此时数列变为：
1/3、1/2、3/5、2/3，找规律较难，即出题人会通过约分增加难度，做题时考虑
先反约分（变为递增或递减），再找规律。
例 1: 1/2，4/7，7/12，10/17，（ ）
A.11/20 B.12/21
C.13/22 D.14/23
【解析】例1.方法一：分数数列，分子：1、4、7、10，为公差为3 的等差
数列，分母：2、7、12、17，为公差为5的等差数列，（ ）=（10+3）/（17+5）
=13/22，对应C项。
方法二：已知所求项分子为 13，13 无法约分为 11、12、14，因此直接选 C
项。【选C】
【注意】分子唯一（无法约分）时，可提速，但当所求项分子为“26”时，
则无法用提速法。
例 2: 1，2，3/2，5/6，11/30，（ ）
A.17/90 B.23/180
C.37/240 D.41/330
【解析】例 2.分数数列，单独看无规律，联合看：2+3=5，6+5=11，（ ）
处分子=30+11=41，41 无法约分为17、23、37，排除 A、B、C项，对应D 项。【选
D】
【注意】1.分母：2*3=6，5*6=30，则（ ）处分母=11*30=330。
2.题干中：1=1/1，2=2/1。分子：1+1=2，1+2=3，分母：1*1=1，1*2=2，符
合规律。
【拓展】 2/5，3/10，7/30，23/210，（ ）
A.31/967 B.35/1208
C.159/2282 D.187/4830【解析】拓展.分子、分母单独看无规律，联合起来看，分子：5-2=3，10-3=7，
30-7=23，（ ）处分子=210-23=187；分母：2*5=10，3*10=30，7*30=210，（ ）
处分母=23*210=4830，因此（ ）=187/4830，对应D项。【选D】
例 3: 1/3，1/2，3/7，5/11，4/9，（ ）
A.13/29 B.11/27
C.9/25 D.15/31
【解析】例3.分子、分母不是递增或递减的规律，1/2和4/9影响了递增规
律，考虑反约分：优先反约分 1/2（反约分可能性很多，只要分子、分母符合两
倍关系即可，但观察后发现 1/2夹在两数中间，此时容易确认反约分后的数值，
即反约分优先反约分夹在中间的），1/2=2/4。找规律：分子变为 1、2、3、5，
分母变为 3、4、7、11，分子为递推和数列，分母为递推和数列，则下一项
=8/18=4/9，说明规律正确，则（ ）=13/29，对应 A项。【选A】
【注意】分子1、2、3、5、8、13，只能选 A项。
例 4: 2/5，11/18，16/21，7/8，26/27，（ ）
A.31/30 B.31/32
C.61/60 D.63/64
【解析】例4.分数数列，7/8“掉链子”，考虑反约分：当 7/8=14/16，不满
足递增规律；当7/8=21/24时，分子变为2、11、16、21、26，为公差为 5的等
差数列；分母变为5、18、21、24、27，为公差为 3的等差数列，则（ ）=（26+5）
/（27+3）=31/30，对应 A项。【选A】
【注意】验证：11-5=6，18-3=15，6/15=2/5，规律成立。
例 5: 1/16，1/7，1/4，2/5，5/8，（ ）
A.6/7 B.1
C.3/2 D.2
【解析】例 5.分子呈递增趋势，分母从 16→8 为递减趋势，反约分时要兼
顾两个规律，分子要想递增，则 1/7变为2/14，1/4变为3/12，2/5 变为 4/10，分子变为1、2、3、4、5（递增），分母变为16、14、12、10、8（递减），则（ ）
=6/6=1，对应B项。【选 B】
例 6 : 2，1，2/3，1/2，2/5，1/3，（ ）
A.2/7 B.1/4
C.5/2 D.1
【解析】例 6.分子、分母为交叉变化规律，既不是递增又不是递减，此时
考虑统一规律或大通分（将分子或分母统一起来），将分子变为相同：2/1、2/2、
2/3、2/4、2/5、2/6，则（ ）=2/7，对应A项。【选 A】
【注意】既没有递增也没有递减规律时，考虑大通分（兜底方法）。
【答案汇总】1-5：CDAAB；6：A
【小结】分数数列：
1.题型特征：全部或大部分是分数。
2.解题方法：先观察分子、分母是否递增或递减。
（1）是：先分开看，再一起看。
（2）否：反约分变为递增（规律一致）。
3.注意点：
（1）通过分子或分母直接锁定答案。
（2）反约分从数列中间的入手。
（3）分子或分母容易统一想大通分。
第七节 多重数列
【知识点】多重数列（难度较低，考频较高）：
1.题型特征：项数多（≥6项）。
2.解题方法：先交叉（奇数项和偶数项分开看）再分组（两两分组）。如2、
4、3、6、4、8，两两分组，均为2倍关系。例 1: 2，2，5，4，8，6，11，8，14，10，（ ）
A.15 B.17
C.12 D.16
【解析】例1.数列较长，先交叉后分组。奇数项：2、5、8、11、14、（ ），
为公差为3的等差数列，则（ ）=14+3=17，对应 B项。【选B】
【注意】1.偶数项：2、4、6、8、10，为公差为 2的等差数列。
2.考试中，括号在奇数项就看奇数项，括号在偶数项就看偶数项，可以节省
时间。
例 2: 2，3，4，9，16，45，（ ），315
A.90 B.96
C.102 D.120
【解析】例 2.数列长，考虑多重数列，奇数项：2、4、16、（ ），倍数关
系明显，做商得：2、4、则（ ）/16大概率结果为 6，偶数项：3、9、45、315，
做商得：3、5、7，为等差数列，因此规律比较严谨，（ ）=16*6=96，对应 B
项。【选B】
例 3: 1，1/3，2，2/3，3，1，4，（ ）
A.2 B.4/3
C.5 D.5/2
【解析】例3.方法一：数列长，考虑多重数列：奇数项没有括号，偶数项：
1/3、2/3、1=3/3，则（ ）=4/3，对应B项。
方法二：两两分组，前/后=3，则（ ）=4/3，对应B项。【选B】
例 4: 11，22，13，26，15，30，17，（ ）
A.32 B.34
C.36 D.38
【解析】例 4.方法一：数列长，考虑多重数列，先交叉后分组，奇数项没有括号，偶数项：22、26、30，相差为4，则（ ）=34，对应B项。
方法二：两两分组，（11、22）、（13、26）、（15、30）为两倍关系，则（ ）
=17*2=34，对应B项。【选 B】
【知识点】拓展：多重数列常常分组求解，但出题人往往出两组数，如质数
列：2、3、5、7、11；等比数列：1、2、4、8、16，合并为 12、23、45、87、
1611，此时考虑拆分。考试时也可能用其他符号合并，如“.”：1.2、2.3、4.5、
8.7、16.11，小数可能做差，但“.”也可能起连接作用，考虑拆分看。
例 5: 2.1，5.2，8.4，11.8，14.16，（ ）
A.19.52 B.19.24
C.17.82 D.17.32
【解析】例5.数列小数点多，做差无规律，考虑拆分，“.”起连接作用，“.”
前：2、5、8、11、14，为公差为3的等差数列，则下一项为 17；“.”后：1、2、
4、8、16，下一项为 32，因此（ ）=17.32，对应 D项。【选D】
【注意】出题人有时候也会省略“.”。
例 6: 1716，2523，3330，4642，5853，（ ）
A.6862 B.6765
C.6662 D.6460
【解析】例 6.四位数出现时千万不要做差，考虑拆分，从中间拆开，17、
25、33、46、58，做差：8、8、13、12，单独看没有规律，考虑联合看，即内部
分组找规律：17 和 16 差 1，25 和 23 差 2，33 和 30 差 3，46 和 42 差 4，58 和
53差5，下一项差6，A项：68-62=6，保留；B项：67-65≠6，排除；C项：66-62
≠6，排除；D项：64-6≠6，排除，A项当选。【选 A】
【注意】用好“拆”字诀，快速求解。
【答案汇总】1-5：BBBBD；6：A【小结】多重数列：
1.题型特征：
（1）项数多（≥6项）。
（2）变形：有小数点或特殊符号。
2.解题方法：先交叉再分组。
3.注意：
（1）交叉看时只看括号所在组。
（2）小数点或者特殊符号起连接作用。
第八节 其他数列
【注意】其他数列：机械拆分数列、图形数列。
【知识点】机械拆分数列：
1.题型特征：数字位数较多。
2.解题思路：优先求和（广东爱考），不行再找内部之间的运算规律。
例 1: 325，118，721，604，（ ）
A.911 B.541
C.431 D.242
【解析】例1.三位数和四位数不要加减，考虑机械拆分，求和：3+2+5=10，
1+1+8=10，7+2+1=10，6+0+4=10。A项：9+1+1≠10，排除；B项：5+4+1=10，保
留；C项：4+3+1≠10，排除；D项：2+4+2≠10，排除。B项当选。【选B】
【注意】数列中数字为三位数时，往往机械拆分求和。
例 2: 3861，8712，5247，4356，1485，（ ）
A.3564 B.3654
C.4563 D.3724
【解析】例 2.本题难度较高，四位数考虑多重数列，无法找到规律，考虑机械拆分，求和：3+8+6+1=18，8+7+1+2=18，5+2+4+7=18，4+3+5+5=18，1+4+8
+5=18，排除 D 项（3+7+2+4≠18）。观察内部关系：18=9+9，3+6=9，8+1=8，即
千位+十位=百位+个位=9，只有A项满足。【选 A】
【注意】1.此类题型考试中建议放弃。
2.38+61=99，87+12=99，43+56=99，14+85=99，依旧是千位+十位=百位+个
位的规律。
【知识点】图形数列：
1.题型特征：有图。
2.解题思路：有中心凑中心，有对角线优先对角线，以上均不行凑大数。
例 3:
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】例 3.无中心，优先对角线：3+2=5，7-2=5，即 3+2=7-2；验证：
3+1=9-5=4；1+3=10-6=10，规律成立，则-3+8=5=7-？=5，？=2，对应B 项。【选
B】
【注意】本题也可凑左下角的数求解：3+2+2=7，3+5+1=9，1+6+3=10，-3+？
+8=7。
例 4:A.2 B.4
C.6 D.8
【解析】例 4.没有中心有对角线，优先看对角线：12+8=20，12-8=4，4*5=20，
则 12+8=4*5=20；验证：12+6=3*6=18；9+5=2*7=14。则 4*4=16=10+？，因此？
=6，对应 C 项。【选 C】
例 5: 从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定
的规律性。（ ）
A.80 B.82
C.84 D.86
【解析】例 5.有中心，凑中心。凑的时候要注意“34”数值最小，用34 找
规律，34=2*17，19-2=17，40-38=2，即对角线做差后相乘即为中心数：（19-2）
*（40-38）=17*2=34，验证：（10-4）*（20-3）=6*17=102，（39-22）*（11-3）
=17*8=136，？=（12-6）*（38-24）=6*14=84，对应 C 项。【选 C】
例 6: 观察表中数字的变化规律，依次填入空格 X、Y 中的数字是（ ）。
A.5，81 B.5，121
C.7，81 D.7，121
【解析】表格既可以横着看也可以纵着看。方法一：题干无中心，有对角线，但对角线以外还有很多数据没法用，考虑
凑大数，大数在最后一行，竖着看：4+2=6，6+5=11，8+7=15，则X=3+4=7。6²=36，
7²=49，15²=225，因此 Y=11²=121，对应D项。
方法二：考虑幂次数：36、49、225 是平方数，即 6²、X²=7²、15²，Y=11²
=121，对应D项。【选 D】
【答案汇总】1-5：BABCC；6：D
【小结】图形数列：
1.题型特征：有图。
2.解题思路：有中心凑中心，有对角线优先对角线，以上均不行凑大数。
3.注意点：
（1）每个图的规律一致，从数小的图入手。
（2）有对角线看对角。【小结】数字推理：
1.基础数列：直接观察。
2.非特征数列：
（1）多级数列：
①特征：无明显特征，变化平缓。
②方法：两两做差一到两次。
（2）递推数列：
①特征：无明显特征。
②方法：圈三数、找规律、做验证。
3.特征数列：
（1）做商数列：
①特征：倍数关系明显。
②方法：两两做商找规律。
（2）幂次数列：
①特征：本身或附近（64）有幂次数。
②方法：
a.普通幂次：直接转化为幂次数找规律。
b.递推幂次：有幂次特征并结合递推找底数。
c.修正幂次：先转化为普通幂次±修正项（记住网红数字 64）。
（3）分数数列：
①特征：全部或大部分是分数。
②方法：
a.单调：先分开看，再一起看。
b.不单调：反约分。
③兜底：大通分（分子或分母容易化统一）。
（4）多重数列：
①题型特征：项数一般≥6项（变形：有小数点或特殊符号或位数多）。
②方法：先交叉再分组。
（5）其他数列：①位数之和：较大的整数。
②图形数列：凑大数。
课后测验
1. 0.5，3，8，18，38，（ ）
A.75 B.78
C.82 D.85
【解析】1.本题正确率为 98%。无明显特征做差：2.5、5、10、20，均为 2
倍关系，下一项为40，则（ ）=38+40=78，对应 B 项。【选 B】
2. ln4-ln3，ln8-ln8，ln16-ln15，ln32-ln24，（ ）， ln128-ln48
A.ln64-ln35 B.ln32-ln28
C.ln64-ln36 D.ln32-ln35
【解析】2.本题正确率为 80%。数字推理重点看数，符号不一定是本身的意
思，可能起连接作用，本题为多重数列，前：4、8、16、32、（64）、128；后：3、
8、15、24、（ ）、48，做差：5、7、9、11，则下一项为 24+11=35，对应 A项。
【选A】
