文档内容
第二讲 电场能的性质
知识梳理
一、静电力做功和电势能
1．静电力做功
(1)特点：静电力做的功与电荷经过的路径无关，只与电荷量和电荷移动的初末位置有关。
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为带电体沿电场方向的位移。
②W ＝qU ，适用于任何电场。
AB AB
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中具有的势能，称为电势能。
(2)说明：电势能具有相对性，通常把电荷在离场源无限远处或把电荷在大地表面的电势能规定为0。
3．二者关系
(1)静电力做的功等于电荷电势能的减少量，即W ＝E －E 。
AB pA pB
(2)通过W ＝E －E 可知：静电力对电荷做多少正功，电荷的电势能就减少多少；静电力对电荷做多少负
AB pA pB
功，电荷的电势能就增加多少。
二、电势和等势面
1．电势
(1)定义：电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量之比。
(2)定义式：φ＝（计算时注意φ、q、E 都要带正负号）。
p
(3)矢标性：电势是标量，有正负之分，正(负)号表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
2．等势面
(1)定义：电场中电势相同的各点构成的面。
(2)四个特点
①在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
②电场线一定与等势面垂直，并且从电势高的等势面指向电势低的等势面。
③等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
④任意两个等势面都不相交。
三、电势差
1．定义：在电场中，两点之间电势的差值。2．定义式：U ＝φ －φ 。
AB A B
3．与静电力做功的关系
(1)静电力做的功W 等于电荷在A、B两点的电势能之差。
AB
(2)电势差U 由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功W 无关，与零电势点的选取无
AB AB
关。
4．电势差与电场强度
(1)电势差与电场强度的关系式：U ＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场方向的距离。
AB
(2)电场强度的方向和大小与电势差的关系：电场中，电场强度方向指向电势降低最快的方向。
知识训练
考点一、电场力做功、电势和电势能
1．判断电场力做功的正负：
(1)根据电场力与速度夹角：夹角是锐角，电场力做正功．夹角是钝角，电场力做负功．
(2)根据W ＝qU ：由q和U 的正负，判断W 的正负．
AB AB AB AB
2．判断电势能的变化：
(1)根据电场力做功：电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加．
(2)根据E＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高处电势能越小．
p
3．判断电势高低：
(1)根据电场线：沿电场线的方向电势降低．
(2)根据U ＝ ：判断U 正负，确定φ 和φ 的高低．
AB AB A B
例1、电荷量为q的电荷在电场中由A点移到B点时，电场力做功W，由此可算出两点间的电势差为U，
若让电荷量为2q的电荷在电场中由A点移到B点，则( )
A．电场力做功仍为W
B．电场力做功为
C．两点间的电势差仍为U
D．两点间的电势差为
例2、(2019·江苏高考)(多选)如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在A点。先将一电
荷量也为＋q的点电荷Q 从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场力做功为－W。再将Q 从C点
1 1
沿CB移到B点并固定。最后将一电荷量为－2q的点电荷Q 从无穷远处移到C点。下列说法正确的有(
2)
A．Q 移入之前，C点的电势为
1
B．Q 从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
1
C．Q 从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
2
D．Q 在移到C点后的电势能为－4W
2
例3、如图所示，A点与B点间距离为2l，OCD是以B为圆心，以l为半径的半圆路径．A、B两处各放有
一点电荷，电荷量分别为＋q和－q.下列说法正确的是( )
A．单位正电荷在O点所受的静电力与在D点所受的静电力大小相等、方向相反
B．单位正电荷从D点沿任意路径移到无限远，静电力做正功，电势能减小
C．单位正电荷从D点沿DCO移到O点，电势能增大
D．单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电势能增大
例4、(多选)(2020·山东卷·10)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．一个带负电的试探电
荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．过 O点作两正电荷连线的垂线，以
O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，如图所示．以下说法正确的是( )
A．a点电势低于O点
B．b点电势低于c点
C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
课堂随练
训练1、(2021·高考广东卷，T6)图是某种静电推进装置的原理图，发射极与吸极接在高压电源两端，两极
间产生强电场，虚线为等势面，在强电场作用下，一带电液滴从发射极加速飞向吸极，a、b是其路径上的两点，不计液滴重力，下列说法正确的是( )
A．a点的电势比b点的低
B．a点的电场强度比b点的小
C．液滴在a点的加速度比在b点的小
D．液滴在a点的电势能比在b点的大
训练2、(多选)(2022·沈阳5月第三次教学质检)如图所示，正六边形的两个顶点 F、D上固定等量异种电
荷，则下列说法正确的是( )
A．C点电场强度大于B点电场强度
B．若带正电的粒子仅在电场力作用下沿直线从F运动到D，其加速度先变大后变小
C．将一个正电荷从A点移到C点电场力做功等于将其从A点移到E点电场力做功的2倍
D．将一个正电荷从B点移到O点电场力做功小于将其从B点移到E点电场力做的功
训练3、(多选)(2020·全国卷Ⅱ)如图，竖直面内一绝缘细圆环的上、下半圆分别均匀分布着等量异种电荷。
a、b为圆环水平直径上的两个点，c、d为竖直直径上的两个点，它们与圆心的距离均相等。则( )
A．a、b两点的场强相等 B．a、b两点的电势相等
C．c、d两点的场强相等 D．c、d两点的电势相等
训练4、(多选)如图所示，四个带电荷量绝对值相等的点电荷分别固定在竖直平面内某一正方形的四个顶点
上，A、B、C、D四个点分别为对应的四条边的中点，现有某一带正电的试探电荷在四个电荷产生的电场
中运动，下列说法正确的是( )A．D点的电势小于A点的电势
B．D点的电势小于C点的电势
C．试探电荷仅在静电力作用下从A点沿AC运动到C点，其加速度逐渐增大
D．直线BD所在的水平面为等势面
训练5、(2020·全国卷Ⅲ)(多选) 如图，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为q(q>0)的点电荷固定
在P点。下列说法正确的是( )
A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小
C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
考点二、电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
1．判断速度方向
带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
2．判断电场力(或电场强度)的方向
仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方
向。
3．判断电场力做功及电势能的增减
若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
4．几种常见等势面的比较
电场 等势面(虚线)图样 特点
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两电荷连线的中垂面为等势面
在电荷连线上，中点电势最
等量同种正点电荷的电场 低；在中垂线上，中点电势最
高
例1、如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动
轨迹，设M点和N点的电势分别为φ 、φ ，粒子在M和N时加速度大小分别为a 、a ，速度大小分别为
M N M N
v 、v ，电势能分别为E 、E 。下列判断正确的是( )
M N pM pN
A．v ＜v ，a ＜a B．v ＜v ，φ ＜φ
M N M N M N M N
C．φ ＜φ ，E ＜E D．a ＜a ，E ＜E
M N pM pN M N pM pN
例2、(2021·6月浙江选考，T6)某书中有如图所示的图，用来表示横截面是“<”形导体右侧的电场线和等
势面，其中a、b是同一条实线上的两点，c是另一条实线上的一点，d是导体尖角右侧表面附近的一点。
下列说法正确的是( )A．实线表示电场线
B．离d点最近的导体表面电荷密度最大
C．“<”形导体右侧表面附近电场强度方向均相同
D．电荷从a点到c点再到b点电场力做功一定为零
例3、(多选)(2021·高考全国卷甲，T18)某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个
点，则( )
A．一正电荷从b点运动到e点，电场力做正功
B．一电子从a点运动到d点，电场力做功为4 eV
C．b点电场强度垂直于该点所在等势面，方向向右
D．a、b、c、d四个点中，b点的电场强度大小最大
例4、如图所示，虚线为某静电场中的等差等势线(相邻两虚线间的电势差相等)，实线为某带电粒子在该静
电场中运动的轨迹，a、b、c、d为粒子的运动轨迹与等势线的交点，除静电力外，粒子受到的其他力均可
不计。下列说法正确的是( )
A．粒子在a、c两点的加速度大小一定相等
B．粒子在b、c两点的速度大小一定相等
C．粒子运动过程中速度一定先减小后增大
D．粒子在b点时的电势能一定比在d点时的电势能大课堂随练
训练1、(多选)如图所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一
个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为a 、a ，电势能分别为
A B
E 、E 。下列说法正确的是( )
pA pB
A．电子一定从A向B运动
B．若a >a ，则Q靠近M端且为正电荷
A B
C．无论Q为正电荷还是负电荷一定有E E B．F >F ，E >E
M N pM pN M N pM pN
C．F F ，E 0)，保持该
A B C
电场的大小和方向不变，让等边三角形以A点为轴在纸面内顺时针转过30°，到△AB′C′位置，则此时的C′
点电势为( )
A．φ B．2φ
C．φ D．(1＋)φ例3、(多选) (2021·四川泸州市诊断)如图所示，abcd为匀强电场中的一直角梯形，其平面与场强方向平
行。已知ab＝ad＝2 cm，∠adc＝60°，a、b、d三点的电势分别为0 V、4 V、4 V，则( )
A．c点的电势为10 V
B．匀强电场的场强大小为400 V/m
C．若将电子从a点移到b点，需克服电场力做功4 eV
D．电子和质子分别放在d点时，具有相同的电势能
例4、(多选)(2017·全国卷Ⅲ)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三
点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
课堂随练
训练1、(2022·广东省高三模拟)如图，圆形区域内存在平行于圆面的匀强电场，mn和pq是圆的两条互相
垂直的直径．将一带正电的粒子从另一直径ab的a点移到m点，其电势能增加量为ΔE(ΔE>0)，若将该粒
子从m点移到b点，其电势能减少量也为ΔE，则电场强度的方向( )
A．平行直径ab指向a
B．平行直径ab指向b
C．垂直直径ab指向pm弧
D．垂直直径ab指向nq弧
训练2、(多选)(2022·石家庄一模)如图所示，匀强电场的方向平行于xOy平面，cd、cb分别垂直于x轴、y轴，a、b、c三点的电势分别为4 V、8 V、10 V。现使一电荷量为q＝－2×10－5 C、质量m＝2×10－3 kg的
带电粒子从O点垂直ab斜向上运动恰好通过b点。已知该粒子仅受电场力作用，下列说法正确的是( )
A．坐标原点O的电势为8 V
B．电场强度的大小为100 V/m
C．该粒子从O点运动到b点过程中，电场力做功为4×10－5 J
D．该粒子在O点速度大小为2－ m/s
训练3、(多选) (2021·四川广安月考)如图所示，在电场中有一等边三角形OPC，O点位于坐标原点，OC与
x轴重合，P点坐标为(2 cm，2 cm)，A、B分别为OP、PC的中点，坐标系处于匀强电场中，且电场方向
与坐标平面平行。已知O点电势为6 V，A点电势为3 V，B点电势为0，则下列说法正确的是( )
A．C点电势为3 V
B．C点电势为0
C．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
D．该匀强电场的电场强度大小为100 V/m
训练4、(2018·全国卷Ⅱ)(多选)如图，同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中，电场方向与此平面
平行，M为a、c连线的中点，N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点，其电势
能减小W；若该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W，下列说法正确的是( )
1 2
A．此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B．若该粒子从M点移动到N点，则电场力做功一定为
C．若c、d之间的距离为L，则该电场的场强大小一定为D．若W＝W，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
1 2
训练5、(2021·东北三省四市教研联合体4月模拟(二))空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向
未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点
电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是( )
A．E＝3 V/m，方向沿x轴正方向
B．E＝5 V/m，方向指向第一象限
C．E＝400 V/m，方向沿y轴负方向
D．E＝500 V/m，方向指向第三象限
考点四、电场中的图像问题
1．vt图像：根据电荷在电场中运动的vt图像的速度变化、斜率变化(即加速度变化)，确定电荷所受静电力
的方向与静电力的大小变化情况，进而确定电场强度的方向、电势的高低及电势能的变化。
2．φx图像：(1)电场强度可用φx图线的斜率表示，斜率的绝对值表示电场强度的大小，斜率的正负表示电
场强度的方向。
(2)在φx图像中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系分析电荷移动时电势能的变化。
3．Ex图像：(1)反映了电场强度随位移变化的规律。
(2)E>0表示场强沿正方向；E<0表示场强沿负方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，“面积”的正负表示始末两点
电势的高低。
4．Ex图像：(1)由Ex图像可以判断某一位置电势能的大小，进而确定电势能的变化情况，根据电势能的
p p
变化可以判断静电力做功情况，结合带电粒子的运动可以确定静电力的方向。
(2)Ex图像的斜率k＝＝＝＝－F ，即图像的斜率绝对值和正负分别表示静电力的大小和方向。
p 静电
例1、反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其振荡原理与下
述过程类似，已知静电场的方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图所示，一质量m＝1.0×10－20 kg、电
荷量大小为q＝1.0×10－9 C的带负电的粒子从(－1,0)点由静止开始，仅在静电力作用下在 x轴上往返运
动。忽略粒子的重力等因素，则( )A．x轴上O点左侧的电场场强方向沿x轴正方向同向
B．x轴上O点左侧的电场场强E 和右侧的电场场强E 的大小之比E∶E＝2∶1
1 2 1 2
C．该粒子运动的周期T＝1.5×10－8 s
D．该粒子运动的最大动能E ＝2×10－8 J
km
例2、(多选)光滑绝缘水平面上固定两个等量点电荷，它们连线的中垂线上有A、B、C三点，如图甲所
示。一质量m＝1 g的带正电小物块由A点静止释放，并以此时为计时起点，沿光滑水平面经过B、C两
点，其运动过程的vt图像如图乙所示，其中图线在B点位置时斜率最大，根据图线可以确定( )
A．中垂线上B点电场强度最大
B．A、B两点之间的位移大小
C．B点是连线中点，C与A点必在连线两侧
D．U ＞U
BC AB
例3、(多选)(2020·湖北省黄冈模拟)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能E 随位移
p
x变化的关系如图所示，其中0～x 段是关于直线x＝x 对称的曲线，x～x 段是直线，则下列说法正确的是
2 1 2 3
( )
A．x 处电场强度最小，但不为零
1
B．粒子在0～x 段做匀变速运动，x～x 段做匀速直线运动
2 2 3
C．在0、x、x、x 处电势φ、φ、φ、φ 的关系为φ<φ＝φ<φ
1 2 3 0 1 2 3 3 2 0 1
D．x～x 段的电场强度大小方向均不变，为一定值
2 3
例4、真空中，在x轴上x＝0和x＝8 m处分别固定两个点电荷Q 和Q 。电荷间连线上的电场强度E随x
1 2变化的图像如图所示(＋x方向为场强正方向)，其中x＝3 m处E＝0。将一个正试探电荷在x＝2 m处由静止
释放(重力不计，取无限远处电势为零)。则( )
A．Q、Q 为等量同种电荷
1 2
B．Q、Q 带电量之比为9∶25
1 2
C．在x＝3 m处电势等于0
D．该试探电荷向x轴正方向运动时，电势能一直减小
课堂随练
训练1、(2021·河北“五个一名校联盟”模拟)如图1所示，a、b为等量同种点电荷Q 、Q 连线的三等分
1 2
点，重力不计的带电粒子从a点由静止释放，沿ab方向运动。则带电粒子从a运动到b的过程中，其速度
随时间变化的图像可能正确的是( )
图1
训练2、q、q 为固定在x轴上的两个点电荷，x轴上部分区域的电势分布如图所示，则( )
1 2
A．q 带负电，q 带正电
1 2B．q 电荷量小于q 电荷量
1 2
C．a点场强小于c点场强
D．若将电子从a点沿x轴移到c点，其电势能先减小后增大
训练3、静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系如图所示，在x轴上有四点：x 、x 、x 、x ，相邻两
1 2 3 4
点间的距离相等，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷( )
A．x 和x 两点处电势相等
2 4
B．由x 运动到x 的过程中加速度先增大后减小
1 4
C．由x 运动到x 的过程中电势能先增大再减小
1 4
D．设电荷从x 运动到x，电场力做功W，电荷从x 运动到x，电场力做功W，则W＝W
2 1 1 3 2 2 1 2
训练4、一带负电粒子只在电场力作用下沿 x轴正方向运动，其电势能E 随位移x的变化关系如图所示，
p
则粒子在从x 向x 运动的过程中，下列说法中正确的是( )
1 3
A．在x 处粒子速度最大
1
B．在x 处粒子加速度最大
2
C．在x 处电势最高
3
D．在x 处电势为零
2
同步训练
1、(2021·辽宁高考) 等量异号点电荷固定在水平向右的匀强电场中，电场分布如图所示，实线表示电场
线，虚线表示等势线。将同一负电荷先后置于a、b两点，电势能分别为E 和E ，电荷所受电场力大小分
pa pb
别为F 和F，则( )
a bA．E >E ，F>F B．E >E ，FF D．E 0)的点电荷固定在正方体的两个顶点上，a、b
是正方体的另外两个顶点。则( )A．a点和b点的电势相等
B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同
D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
14、如图所示，空间存在一匀强电场，电场强度方向与水平方向间的夹角为60°，A、B为其中的一条电场
线上的两点，一质量为m、电荷量为q的带正电小球，在A点以初速度v 水平向右抛出，经过时间t小球
0
最终落在C点，速度大小仍是v，且AB＝BC，重力加速度为g，求：
0
(1)匀强电场电场强度的大小；
(2)小球下落高度；
(3)此过程小球增加的电势能。
