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专题 04 三角形的证明与计算
（限时90分钟，满分120分）
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·上海长宁·一模）在直角坐标平面xOy内有一点A(3,4)，那么射线OA与x轴正半轴的夹角的正
弦值等于（）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
2．（21-22八年级上·湖北荆州·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半
1
径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于
2
点P，作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC=6，CD=2，AB=7，当DE最小时，△BDE的面
积是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．7
3．（2025·陕西西安·二模）如图，在等边△ABO中，点A 在第二象限，点B 的坐标为(−1,0)，若正比例
函数y=kx的图象经过点A， 则 k 的值为（ ）
√3 √3
A．−√3 B．− C．− D．√3
4 3
4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D、E分别是边AC、BC的中
点，连接BD、DE，则图中的等腰直角三角形共有（ ）
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A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2023·江西萍乡·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，AD,BD,CD分别平分
∠EAC,∠ABC,∠ACF，以下结论不一定成立的是（ ）
1
A．AD=CD B．AD∥BC C．∠BDC= ∠BAC D．∠ADC=90°−∠ABD
2
6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，△ABC的面积为10，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，
AD=2，DB=3，△ABE的面积与四边形DBEF的面积相等，则△ABE的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°)，得到
△ADE，DE交AC于点F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8．（2025·江西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=2√5，点D是边AC的中点，
沿BD翻折三角形ABD得到三角形EBD，使点A落在同一平面的点E处，若BE⊥AC，则AB的长度为
（ ）
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A．5 B．5√2 C．5√3 D．√3
9．（2024·宁夏银川·一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径
1
作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交
2
于点 ，连接 ．① ② ③BE √5−1 ④S √5+1，以上结论正确的
AB E DE ∠BCE=36° BC=AE = △AEC =
AC 2 S 2
△BEC
个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023·河南驻马店·一模）如图1， Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，将△ ABC放置
在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ ABC按如图2方式顺时针滚动(无滑
动)，则滚动2022次后，点B的横坐标为( )
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A．2022+673 √5 B．2022+674 √5 C．2023+674 √5 D．2023+673 √5
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
2
11．（2025·安徽亳州·一模）在 中，若| 1| (√2 ) ，则 ．
△ABC sin A− + −cosB =0 ∠C=
2 2
12．（2025·陕西·一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD=1，AD=2，
则BC的长为 ．
13．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的角平分线交DE于点F，若
AC=6，BC=13，则DF的长为 ．
14．（2025·上海静安·一模）如图，点O在四边形ABCD的内部，∠COD=∠ABC=90°，AB=BC，
OD=OC，如果BO=a，那么AD的长为 ．（用含字母a的式子表示）
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15．（2025·广西柳州·一模）如图，在△ABC中，BC=AC=10，AB=16，CD为AB边的高，点A在x轴
上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B
随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动．连接OC，
线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t= ．
16．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,AC=6，
点D是BC边上的一点（不与B、C重合），连接AD，将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处，当
△BDE是直角三角形时，CD的长为 ．
三、解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23
题9分，24题10分，25题13分）
17．（2025·广东广州·一模）如图，在△ABC中，AB=AC,BD是△ABC的角平分线．
(1)实践与操作：作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)应用与证明：求证：AD=AE．
18．（2025·上海长宁·一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，连接CD、AE交于点F，
AF=FC，∠ADC=∠ACB．
(1)求证：AC2=CD⋅AE；
(2)如果点E是边BC的中点，求证：BC2=2AD⋅AB．
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19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O作一条直线分
别与AB，CD交于点M，N，点E，F在直线MN上，且OE=OF．求证：∠MAE=∠NCF．
20．（2025·江西·模拟预测）如图1，是某物体的三角支架实物图，由竖杆、支杆和连接杆组成，图2是其
右侧部分抽象后的几何图形，其中点C是支干PD上一可转动点，点P是中间竖杆BA上的一动点，当点P
沿BA滑动时，点D随之在地面上滑动，点A是动点P能到达的最顶端位置，当P运动到点A时，PC与
BC重合于竖干BA，经测量PC=BC=50cm，CD=60cm．
(1)当∠BCD=60°时，求竖杆最下端B到地面的距离
BO；
(2)点P从点A滑动至AB的中点的过程中，∠BCD变
化的度数是多少？（参考数据：√3≈1.73，结果精确
到0.1cm）
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21．（2025·河南安阳·模拟预测）已知△AOB与△COD都是等腰直角三角形，其中
∠AOB=∠COD=90°，且BO=2(BO>CO)．
(1)如图1，连接AC，BD，求证：AC=BD．
(2)如图2，如果等腰直角三角形COD绕点O旋转到某一位
置恰好使得OC∥AB，且BA=BD．求线段OC的长．
22．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三条边BC,AC,AB及AB边上
的高CD分别记为a,b,c,h．
(1)求证：ab=ch；
1 1 1
(2)求证： + = ；
a2 b2 h2
(3)若将Rt△ABC变为锐角△ABC，其他不变，如图，设
其外接圆的直径为d，试探索并写出a,b,h,d这4个量的一个等量关系，然后给出证明．
23．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题背景】在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α(0°<α≤45°)，点
D，E分别在线段BC，AC上，将线段DE绕点D逆时针旋转180°−2α得到线段DF，求F落在线段AB
上．
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【问题初探】（1）如图1，当α=45°，点E与点C重合时，求证：FB=FA；
【问题提升】（2）如图2，当α=45°，点E在线段AC上时，过点E作EG∥BC，交线段AB于点G，猜
想线段AG与线段BF之间的数量关系，并证明；
【问题拓展】（3）如图3，当α≠45°，点E在线段AC上时，过点E作¿∥BC，交线段AB于点G，
（2）的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
24．（22-23九年级下·湖南常德·期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M为AB的中点，点F是线段
CM上一动点，过点F作DE⊥CM分别交边CA,CB于点D,E．
(1)如图1，求证△CDE∽△CBA；
(2)如图1，若DE=CM，求证：
BC=2DC；
(3)如图2，若点F为CM的中点，求
AD BE
+ 的值．
CD CE
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25．（2025·山东济南·二模）两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴
k
上，已知∠COD=∠OAB=90°，OC=√2，反比例函数y= 的图象经过点B．
x
(1)求k的值．
k
(2)把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y= 图象上时，求点D经过的路径长．
x
(3)如图2，点O与点M关于点A成中心对称，连接BM把△OBM绕点B逆时针旋转α°(0°<α°<45°)得
k
到三角形△O'BM'，BO'所在直线与x轴交点Q，BM'所在直线与反比例函数y= (k>0)交于点P，试问，
x
是否存是否存在α的一个值，使得BQ=BP，若存在请求出点P的坐标及tanα的值，若不存在，请说明理
由．
9
