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第 14 讲 二次函数的应用
目 录
题型01 最大利润/销量问题
题型02 方案选择问题
题型03 拱桥问题
题型04 隧道问题
题型05 空中跳跃轨迹问题
题型06 球类飞行轨迹
题型07 喷泉问题
题型08 图形问题
题型09 图形运动问题
题型10 二次函数综合问题-线段、周长问题
题型11 二次函数综合问题-面积周长问题
题型12 二次函数综合问题-角度问题
题型13 二次函数综合问题-特殊三角形问题
题型14 二次函数综合问题-特殊四边形问题
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题型 01 最大利润/销量问题
1．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千
克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，
每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可
销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所
获利润最大？最大利润是多少？
2．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本
科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不
变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买
50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．
按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植
和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销
售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．
（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；
（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．
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题型 02 方案选择问题
4．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助
协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，
销售乙种水果获利如下表所示：
销售x（吨） 3 4 5 6 7
获利y（万
0.9 1.1 1.3 1.5 1.7
元）
(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y （万元）、y （万元）与购进水果数量x（吨）的函数关系式；
1 2
(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？
(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足
1
n=20− m2 ，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．
2
5．（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采
购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多
20元．
(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？
(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．
该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m(50≤m≤150)只，若两种风筝能全部售出，求
销售这批风筝的最大利润，并写出此时的采购方案．
6．（2020·山西太原·统考模拟预测）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同
发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，
定制不超过200套时．每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的
平均费用为56元1套
(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？
(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元．平均
每天可多售出2套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？
7．（2023·江苏南通·统考一模）某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，
售价均为x元/件（10”、“=”或“<”）．
1 2 1 2
10．（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于
运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省
赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝
肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中AB´C），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的
半径是______m；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求
桥拱抛物线的解析式；
(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
题型 04 隧道问题
11．（2022·北京通州·统考一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路
面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到
墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF= y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与
y的几组值，如下表：
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x（米） 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
y（米） 3.00 3.44 3.76 3.94 3.99 3.92 3.78 3.42 3.00
(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的
图象．
(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到
隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或
“否”）．
12．（2023·河南信阳·二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小
时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为
16cm，入口最高处OC为12.8米．
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(1)求抛物线解析式；
(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处
降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；
(3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？
题型 05 空中跳跃轨迹问题
13．（2022·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为
( 3 )
− ,−10 ．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动
2
( 5)
作时，运动员在空中最高处A点的坐标为 1, ，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成
4
规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由；
21 27
(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM= ，EN= ，该运动员入水后运动路线对应的抛
2 2
物线解析式为y=a（x−h）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N
两点），请直接写出a的取值范围．
14．（2023·山东青岛·统考二模）跳台滑雪简称：“跳雪”，选手不借助任何外力，从起滑台P处起滑，
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在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道
加速，到达高度OE=42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角
坐标系，OM=38m，ON=114m，设MN所在直线关系式为y=kx＋b．
甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度ym之间的几组对应数据如下：
水平距离
0 10 20 30 40
x/m
竖直高度
42 48 50 48 42
y/m
(1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；
(2)运动员得分由距离得分＋动作分＋风速得分组成．
距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当
运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3米则计
为60.5米．
动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．
风速得分：由逆风或者顺风决定．
甲运动员动作分、风速加分如下表：
距离
动作分 风速加分
分
50 −2.5
请你计算甲运动员本次比赛得分．
15．（2023·河南开封·统考一模）某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，
在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点O为原点建立的平面直角坐标
系（甲位于点O处，乙位于x轴的D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点、B点，且
AB的水平距离为6米，他们到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的
垂直距离为1.8米．
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(1)请求出该抛物线的解析式；
(2)跳绳者小明的身高为1.7米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶
上方；
(3)经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.4米时才能安全起跳，小明与其
他3位同学一起跳绳，如果这3名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？
题型 06 球类飞行轨迹
16．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方
球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物
线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方
球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；
(2)如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这
次吊射？
17．（2022·山东青岛·统考一模）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发
挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官
的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞
行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．
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(1)求这条抛物线的表达式；
(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？
请说明理由；
(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．
18．（2022·浙江台州·统考二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一
时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的
延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知
OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h
的鹰眼数据如下表：
s/m … 9 12 15 18 21 …
h/m … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 …
(1)根据表中数据预测足球落地时，s=
m；
(2)求h关于s 的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的
最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对
足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
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19．（2023·河北衡水·统考二模）如图，春节期间，某同学燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径是一段
抛物线，喷射出时距地面2米，在与他水平距离是20米，达到最大高度18米时爆炸．若是哑弹（在空中
没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面
矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．
(1)求抛物线的解析式（不必写出x的取值范围），请通过计算说明若是哑弹，会落在几层居民楼的外墙或
窗户上（每层楼高按3米计算）；
(2)该同学沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？（结果保留根号）
(3)若居民楼宽AB=CD=12m，该同学沿x轴向居民楼走n米，可使哑弹落在楼顶CD上（不含点C，
D），直接写出n的取值范围．（结果保留根号）
20．（2023·北京海淀·统考二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直
发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，
球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运
动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．
通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，
如下表所示：
表1 直发式
x(dm) 0 2 4 6 8 10 16 20 …
y(dm) 3.84 3.96 4 3.96 m 3.64 2.56 1.44 …
表2 间发式
x(dm) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 …
y(dm) 3.36 n 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 3.20 3 …
根据以上信息，回答问题：
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(1)表格中m=________，n=________；
(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d “间发式”模式下球第二次接触台
1
面时距离出球点的水平距离为d ，则d ________d （填“>”“=”或“<”）．
2 1 2
题型 07 喷泉问题
21．（2022·北京西城·统考一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一
个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x m，距地面的高度为y m．测量得到如下数值：
x/m 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.37
y/m 2.44 3.15 3.49 3.45 3.04 2.25 1.09 0
小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数的图象；
(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m
（结果保留小数点后两位）；
(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，
估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．
22．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．
喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛
物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为d m．
当OH=1.5m，DE=3m，EF=0.5m时，解答下列问题：
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(1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求出点B的坐标；
(2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
题型 08 图形问题
23．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某
校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴
趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问
题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积
为32m2，试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？
24．（2020·山东日照·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化
环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围．
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25．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y
轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点
E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线BC的解析式；
(3)求△BCP的面积最大值．
26．（2023下·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将
如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另
一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边
长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植
面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
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题型 09 图形运动问题
27．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点P从点A
出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点
C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）．
(1)当t为何值时，△PBQ的面积为2cm2；
(2)求四边形PQCA面积的最小值．
28．（2021下·吉林·九年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q两点同时
从C出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿CA
向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ．当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动．设点Q的
运动时间为t秒．
（1）在点P的运动过程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代数式表示）；
（2）当点M落在AB边上时，t ＝_________s；
（3）设矩形CPMQ与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
29．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向
终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动
点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为
ts(0≤t≤4)，解答下列问题：
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(1)当E、Q重合时，求t的值；
(2)设四边形BQPE的面积为S，当线段PE在点Q右侧时，求出S与t之间的函数关系式；
(3)当BE∥PQ时，求t的值；
(4)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求
的t的值；若不存在，请说明理由．
30．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=6cm．动点P
从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交直线AC于点Q，以PQ为边向
左侧作矩形PQMN，使QM=√3PQ．设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间
为t(s)(00）的图
4 2
象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，动点P在对称轴l上，连接AC、BC、
PA、PC．
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(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；
(2)当PA+PC的最小值等于4√5时，求m的值及此时点P的坐标；
(3)当m取（2）中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．
1
38．（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）如图，已知抛物线y=− x2+bx+c交x轴于A(−3,0)，B(4,0)
3
两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接OP，BP，若S =2S ，求点P的坐标；
△BOP △AOC
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由．
题型 13 二次函数综合问题-特殊三角形问题
39．（2021上·云南红河·九年级校考期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交
于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，
请说明理由．
40．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点
A,B，与y轴交于点C，且直线y=x−6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段
OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q,M,N三点为顶点的三角形是直角三角形，若
存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
题型 14 二次函数综合问题-特殊四边形问题
41．（2022·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+c与x轴交于点A，B（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为(−5,0)．
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(1)求点C的坐标；
(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；
(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1
42．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2+bx+c
2
与x轴交于A(−1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC
于点G，求PE＋PG的最大值，以及此时点P的坐标；
1
(3)将抛物线y= x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H(2,−1)，点M为D的对应点，平
2
移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角
坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，
并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．
√2
43．（2023·重庆江北·校考一模）如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于点A(−√2,0)、B，与y轴交
4
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于点C，抛物线的对称轴为直线x=√2，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作AF⊥AD交对称轴于点F，在直线AF下方对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作
PQ∥y轴交直线AF于点Q，过点P作PE⊥DF交于点E，求PQ+PE最大值及此时点P的坐标；
(3)将原抛物线沿着x轴正方向平移，使得新抛物线经过原点，点M是新抛物线上一点，点N是平面直角坐
标系内一点，是否存在以B、C、M、N为顶点的四边形是以BC为对角线的菱形，若存在，求所有符合条
件的点N的坐标．
44．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图1，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0），B
（6，0）两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为
D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；
(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；
(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的
对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．
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1．（2022·安徽·统考中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边
BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐
标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(00)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润
仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，
求a的取值范围．
9．（2022·山东潍坊·中考真题）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地
调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况
的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．
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m
小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y= (m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号
x
田的年产量变化趋势．
m
(1)小莹认为不能选y= (m>0)．你认同吗？请说明理由；
x
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数
表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
10．（2022·浙江金华·统考中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统
计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y （吨）关于售价x（元/千克）的函数图
1
象可以看成抛物线，其表达式为y =ax2+c，部分对应值如表：
1
售价x（元/千克） … 2.5 3 3.5 4 …
需求量y （吨） … 7.75 7.2 6.55 5.8 …
1
②该蔬菜供给量y （吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y =x−1，函数图象见图1．
2 2
1
③1~7月份该蔬菜售价x （元/千克），成本x （元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x = t+2，
1 2 1 2
1 3
x = t2− t+3，函数图象见图2．
2 4 2
请解答下列问题：
(1)求a，c的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
11．（2021·湖北随州·统考中考真题）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有
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一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一
端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离
1
地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y=− x2+bx+c，现测得A，B两
6
墙体之间的水平距离为6米．
图2
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
37
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土
24
地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
12．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm，将
△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度
为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP,EQ．
设运动时间为t(s)(0
