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第16课时 二次函数的综合应用
1.(2024·石家庄模拟)已知二次函数y=2(x-k)(x-k+3)的图象与其向上平移m个单位所得的图象都
与x轴有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则m的值为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.(2024·石家庄模拟)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB
上运动,与x轴交于C,D两点(C在D的左侧).
(1)n= .
(2)若点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为 .
3 1
3.(2024·通辽)如图,在平面直角坐标系中,直线y=- x+3与x轴,y轴分别交于点C,D,抛物线y=-
2 4
(x-2)2+k(k为常数)经过点D且交x轴于A,B两点.
(1)求抛物线表示的函数解析式.
(2)若点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP,求四边形ACPD的面积.
4.(2024·邯郸邯山区二模)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(1,2),点B(4,2),∠ABC=30°,抛物线L:y=
1
- (x-t)2+t(t>0)的顶点为M,与y轴的交点为N.
2
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(1)抛物线有可能经过点A吗?请说明理由.
(2)设点N的纵坐标为y ,直接写出y 与t的函数关系式,并求y 的最大值.
N N N
(3)在L的位置随t的值变化而变化的过程中,直接写出点M在△ABC内部所经过路线的长.
1.(2024·衡水桃城区二模)如图是某山坡的截面示意图,坡顶PA距x轴(水平)5 m,与y轴交于点P,与
k
坡AB交于点A,且AP=2,坡AB可以近似看作双曲线y= 的一部分.坡BD可以近似看作抛物线L
x
1
的一部分,且抛物线L与抛物线y= x2的形状相同,两坡的连接点B为抛物线L的顶点,且点B到y
8
轴的距离为5 m.
(1)求k的值.
(2)求抛物线L的解析式及点D的坐标.
(3)若小明站在坡顶PA的点M处,朝正前方抛出一个小球Q(看成点),小球Q刚出手时位于点N处,
小球 Q 在运行过程中的横坐标 x、纵坐标 y 与小球出手后的时间 t 满足的关系式为
13
x=at+1,y=-5t2+ ,a是小球Q出手后水平向前的速度.
2
①若a=5,求y与x之间的函数关系式;
②要使小球最终落在坡BD上(包括B,D两点),直接写出a的取值范围.
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2.(2023·常德)如图,二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D.O为
1
坐标原点,tan∠ACO= .
5
备用图
(1)求二次函数的解析式.
(2)求四边形ACDB的面积.
(3)P是抛物线上的一点,且在第一象限内,若∠ACO=∠PBC,求点P的坐标.
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【详解答案】
基础夯实
1.C 解析:当y=0时,2(x-k)(x-k+3)=0,
解得x=k-3,x=k.
1 2
∴抛物线y=2(x-k)(x-k+3)与x轴的交点坐标为(k-3,0),(k,0),如图,
∴这两个交点之间的距离为k-(k-3)=3,
∵二次函数y=2(x-k)(x-k+3)的图象与其向上平移m个单位所得的图象都与x轴有两个交点,这四个交点中每相
邻两点间的距离都相等,
∴每相邻两点间的距离都为1,
∴平移后的抛物线与x轴的交点坐标为(k-2,0),(k-1,0),
∴平移后的抛物线解析式为y=2[x-(k-2)][x-(k-1)],
即y=2x2-2(2k-3)x+2k2-6k+4,
∵抛物线y=2(x-k)(x-k+3)向上平移m个单位所得的抛物线解析式为y=2x2-2(2k-3)x+2k2-6k+m,
∴m=4.故选C.
2.(1)4 (2)8 解析:(1)∵点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),
∴线段AB所在的直线方程为y=4,
∵抛物线y=a(x-m)2+n的顶点(m,n)在线段AB上运动,
∴n=4.
(2)∵抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,
∴当抛物线顶点为A(1,4)时,点C的横坐标为最小值-3,
此时,对称轴为直线x=1,则D点横坐标为5,CD=8,
当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为直线x=4,
∵CD=8,
∴C(0,0),D(8,0),
此时D点横坐标最大,最大值为8.
3
3.解:(1)在y=- x+3中,令x=0,得y=3,
2
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∴D(0,3),
1
∵抛物线y=- (x-2)2+k经过点D(0,3),
4
1
∴3=- ×(0-2)2+k,
4
解得k=4,
1 1
∴y=- (x-2)2+4=- x2+x+3,
4 4
1
∴抛物线表示的函数解析式为y=- x2+x+3.
4
(2)连接OP,如图.
3
在y=- x+3中,令y=0,得x=2,
2
∴C(2,0),OC=2,
1 1
在y=- x2+x+3中,令y=0,得0=- x2+x+3,
4 4
解得x=6或x=-2,
∴A(-2,0),OA=2,
1
由y=- (x-2)2+4可得抛物线的顶点P的坐标为(2,4),
4
1 1 1
∴S =S +S +S = ×2×3+ ×3×2+ ×2×4=3+3+4=10.
四边形ACPD △AOD △POD △POC 2 2 2
∴四边形ACPD的面积为10.
4.解:(1)抛物线不可能经过点A,理由:
将点A(1,2)代入抛物线的关系式并整理得t2-4t+5=0,
∵Δ=16-20<0,
∴此方程无解,
故抛物线不可能经过点A.
1 1 1
(2)y =- (t-1)2+ ,且y 的最大值为 .
N N
2 2 2
(3)点M在△ABC内部所经过路线的长为√6−√2.
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1
解析:由y=- (x-t)2+t,知顶点M(t,t),则在L的位置随t的值变化而变化的过程中,点M都在直线y=x上移动,设直
2
线y=x交AB于点R,交BC于点G,如图,则点R(2,2),
√3
由点B(4,2)、∠ABC=30°知,直线BC的关系式为y=- (x-4)+2,
3
√3
联立直线BC的关系式和y=x,得x=- (x-4)+2,
3
解得x=√3+1,
则G(√3+1,√3+1),
由点R,G的坐标得RG=√6−√2,
∴点M在△ABC内部所经过路线的长为√6−√2.
能力提升
1.解:(1)由题意得A(2,5),
k
∵双曲线y= 经过点A(2,5),
x
∴k=2×5=10.
(2)设点B的纵坐标为n,则B(5,n).
10
∵点B(5,n)在双曲线y= 上,
x
10
∴n= =2,
5
∴B(5,2).
1
∵抛物线L与抛物线y= x2的形状相同,且顶点为B(5,2),
8
1
∴抛物线L的解析式为y=- (x-5)2+2,
8
1
令y=0,得0=- (x-5)2+2,
8
解得x=9,x=1(舍去),
1 2
∴D(9,0).
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(3)①当a=5时,x=5t+1,
x-1
∴t= ,
5
将t=x-1代入y=-5t2+13,得y=-5(x-1) 2 +13,
5 2 5 2
1 2 63
整理得y=- x2+ x+ ,
5 5 10
1 2 63
∴y与x之间的函数关系式为y=- x2+ x+ .
5 5 10
4√10 8√130
② ≤a≤ .
3 13
解析:∵x=at+1,
x-1
∴t= ,
a
将t=x-1代入y=-5t2+13,得y=-5(x-1) 2 +13,
a 2 a 2
把B(5,2)代入y=-5(x-1) 2 +13,得2=-5(5-1) 2 +13,
a 2 a 2
4√10
解得a=± .
3
∵a是小球Q出手后水平向前的速度,
∴a>0,
4√10
∴a= .
3
把D(9,0)代入y=-5(x-1) 2 +13,得0=-5(9-1) 2 +13,
a 2 a 2
8√130
解得a=± ,
13
∵a是小球Q出手后水平向前的速度,
8√130
∴a>0,∴a= ,
13
4√10 8√130
∴a的取值范围为 ≤a≤ .
3 13
2.解:(1)∵二次函数的图象与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,
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∴设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-5).
1
∵AO=1,tan∠ACO= ,
5
AO 1
∴ = ,∴OC=5,即点C的坐标为(0,5).
OC 5
将点C(0,5)代入解析式,得5=a·(0+1)×(0-5),解得a=-1,
∴二次函数的解析式为y=-(x+1)·(x-5).
(2)∵y=-(x+1)(x-5)=-(x-2)2+9,
∴顶点D的坐标为(2,9).
如图1,过点D作DN⊥AB于点N,DM⊥OC于点M.
1 1 1
S =S +S -S +S = ×1×5+2×9- ×2×(9-5)+ ×(5-2)×9=30.
四边形ACDB △AOC 矩形OMDN △CDM △DNB
2 2 2
图1
(3)如图2,P是抛物线上的一点,且在第一象限,当∠ACO=∠PBC时,连接PB,过点C作CE⊥BC交 BP于点E,过
点E作EF⊥OC交OC的延长线于点F.
图2
∵点B(5,0),C(0,5),∴OC=OB=5,∴△OCB为等腰直角三角形,∠OCB=45°.
由勾股定理,得CB= =5 .
√OB2+OC2 √2
∵∠ACO=∠PBC,
∴tan∠ACO=tan∠PBC,
1 CE CE
即 = = ,
5 CB 5√2
∴CE=√2.
由CE⊥BC,得∠BCE=90°,
∴∠ECF=180°-∠BCE-∠OCB=180°-90°-45°=45°,
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∴△EFC是等腰直角三角形,
∴FC=FE.
由勾股定理,易得FC=FE=1.
∴点E的坐标为(1,6).
设直线BE的解析式为y=kx+b(k≠0).
将点B(5,0),E(1,6)代入,得
3
{k=- ,
{5k+b=0,解得 2
k+b=6, 15
b= ,
2
3 15
∴直线BE的解析式为y=- x+ .
2 2
{ 3 15
联立 y=- x+ ,
2 2
y=-(x+1)(x-5).
1
{ x= ,
解得{x=5,或 2
y=0 27
y= ,
4
1 27 1 27
∴直线BE与抛物线的两个交点为B(5,0),P , ,即所求点P的坐标为 , .
2 4 2 4
9
