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第25课时 矩形、菱形、正方形
1.(2024·成都)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(
)
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠ACB=∠ACD
2.(2024·邢台一模)如图,有甲、乙两个四边形,分别标出了部分数据,则下列判断正确的是 ( )
甲 乙
A.甲是矩形
B.乙是矩形
C.甲、乙均是矩形
D.甲、乙都不是矩形
3.(2024·济宁)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE=3,则
菱形的边长为 ( )
A.6 B.8
C.10 D.12
4.(2024·迁安二模)已知下列选项中图形均为菱形,所标数据有误的是 ( )
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A B C D
5.(2024·唐山路南区二模)如图1是由一根细铁丝围成的正方形,其边长为1.现将该细铁丝围成一
个三角形(如图2所示),则AB的长可能为 ( )
图1 图2
A.1.5 B.2.0 C.2.5 D.3.0
6.(2024·沧州南皮县三模)已知四边形ABCD是平行四边形,若AC⊥BD,要使得四边形ABCD是正
方形,则需要添加条件 ( )
A.AB=BC B.∠ABC=90°
C.∠ADB=30° D.AC=AB
7.(2023·大庆)将两个完全相同的菱形按如图方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,则β= ( )
1 3 1 3
A.45°+ α B.45°+ α C.90°- α D.90°- α
2 2 2 2
8.(2024·甘肃)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(
)
A.6 B.5 C.4 D.3
9.(2024·邯郸二模)已知:在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,如图,求证,四边形ABCD是菱形.
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证明:∵AB=CD,BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵“ ”,
∴四边形ABCD是菱形.
在以上证明过程中,“ ”可以表示的是 ( )
A.∠A=∠C B.AD∥BC C.AB=BC D.AB∥DC
10.(2024·石家庄长安区模拟)如图,在正方形纸片ABCD上进行如下操作:
第一步:剪去矩形纸条AEFD;
第二步:从矩形纸片BCFE上剪去矩形纸条CFGH.
若矩形纸条AEFD和CFGH的面积相等,则AB的长度为 ( )
A.30 cm B.15 cm C.16 cm D.90 cm
11.(2024·邯郸峰峰矿区三模)如图,菱形 ABCD 中,AC 交 BD 于点 O,CE⊥AB 于点 E,连接 OE,若
∠ABC=80°,则∠OEC的度数为 °.
12.(2023·台州)如图,矩形 ABCD 中,AB=4,AD=6.在边 AD 上取一点 E,使 BE=BC,过点 C 作
CF⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 .
13.传统文化“福”字象征着中华民族的历史文化与精神.如图1是小红家大门上的“福”字,如
图 2 是抽离出来的菱形 ABCD,对角线 AC,BD 相交于点 O,∠ABC=80°,E 是线段 AO 上一点,且
BC=CE,则∠OBE的度数是 .
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图1 图2
14.(2024·扬州)如图1,将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起,得到四边形ABCD.
图1 图2
(1)试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)已知矩形纸条宽度为2 cm,将矩形纸条旋转至如图2位置时,四边形ABCD的面积为8 cm2,求此
时直线AD,CD所夹锐角∠1的度数.
1.(2024·通辽)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是 (
)
A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD
C.OA2+OB2=AD2 D.AD2+OA2=OD2
2.(2024·邯郸峰峰矿区三模)演示课上,王林用四根长度都为4 cm的木条制作了图1所示正方形,而
后将正方形的BC边固定,平推成图2的图形,并测得∠B=60°,则在此变化过程中结论错误的是 (
)
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图1 图2
A.AB长度不变,为4 cm B.AC长度变小,减少4(√2-1)cm
C.BD长度变大,增大4(√3-√2)cm D.四边形ABCD面积变小,减少8(√3-1)cm2
3.(2024·邯郸峰峰矿区二模)如图1,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,要在对角线BD上
找两点M,N,使得四边形AMCN是菱形,现有图2中的甲、乙两种方案,则正确的方案是 ( )
图1
图2
A.只有甲 B.只有乙
C.甲和乙 D.甲乙都不是
4.(2024·邯郸大名县三模)在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是边AB上的一个动点(不与
A,B重合),连接EO并延长,交CD于点F,连接AF,CE,下列四个结论中:
甲:对于动点E,四边形AECF始终是平行四边形;
乙:若∠ABC<90°,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是矩形;
丙:若AB>AD,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形;
丁:若AB>AD,∠BAC=45°,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形.
以上所有正确说法的序号是 ( )
A.甲、丙、丁正确,乙错误
B.甲、乙、丙、丁都正确
C.甲、乙、丙正确,丁错误
D.甲、乙、丙错误,丁正确
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5.(2023·菏泽)(1)如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 DC,BC 上,AE⊥DF,垂足为 G.求证:
△ADE∽△DCF.
【问题解决】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接
DH.求证:∠ADF=∠H.
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形ABCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的长.
图1 图2 图3
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【详解答案】
基础夯实
1.C 解析:∵四边形ABCD是矩形,
1
∴AC=BD,∠ADC=90°,AD=BC,AD∥BC,OA= AC,
2
∴AC⊥BD,∠ACB=∠ACD不一定成立,AC=BD,一定成立,AB=AD不一定成立.故选C.
2.A 解析:由题意知,甲中对角线相等且互相平分,
∴甲中的四边形是矩形,
如图,记AC,BD的交点为O,
由图可知,OA=OD,OB=OC,OA,OB的数量关系未知,
∴乙中的四边形不一定是矩形.故选A.
3.A 解析:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴△AOB是直角三角形,
∵E是AB的中点,
1
∴OE= AB,
2
∵OE=3,∴AB=6,
即菱形的边长为6.故选A.
4.D 解析:由菱形的性质得,菱形的四条边都相等,对角线互相垂直,对角线平分每一对对角得到选项A,B,C不
符合题意,选项D符合题意.故选D.
5.A 解析:由正方形的性质知,铁丝的总长度为1+1+1+1=4,
根据三角形的三边关系知,两边之和大于第三边,
∴AB边的长小于2.故选A.
6.B 解析:需要添加条件∠ABC=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形,
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.故选B.
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7.D 解析:∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形,
∴∠DBE=∠BAD=α,AB=AD,∠ABD=∠CBD=∠CBE+∠DBE=β+α,
∴∠ADB=∠ABD=β+α,
∵∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°,
∴α+β+α+β+α=180°,
3
∴β=90°- α.故选D.
2
8.C 解析:∵四边形ABCD为矩形,对角线AC,BD相交于点O,AB=2,
∴OA=OB=OC=OD,
∵∠ABD=60°,
∴△OAB为等边三角形,
∴OA=OB=AB=2,
∴OC=OA=2,
∴AC=OA+OC=4.故选C.
9.C 解析:根据“有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”,可得“ ”可以表示的是AB=BC.故选C.
10.A 解析:设正方形ABCD的边长为a cm,
由题意,得5a=6(a-5),解得a=30.故选A.
11.40 解析:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=80°,AB=BC,
1
∴∠CAB=∠ACB= ×(180°-80°)=50°,AO=CO,
2
∵CE⊥AB,
∴OE=OA=OC,∠AEC=90°,
∴∠OEA=∠OAE=50°,
∴∠OEC=90°-50°=40°
12.2√5 解析:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠A=90°,
∴∠AEB=∠FBC,
∵CF⊥BE,
∴∠CFB=90°,
∴∠CFB=∠A,
{
∠A=∠CFB
在△ABE和△FCB中, ∠AEB=∠FBC,
BE=CB
∴△ABE≌△FCB(AAS),
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∴FC=AB=4,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=6,
在Rt△FCB中,由勾股定理得BF= =2 .
√BC2-FC2=√62-42 √5
13.25° 解析:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=80°,
∴∠ABO=∠CBO=40°,AC⊥BD,
∴∠BAC=90°-40°=50°=∠ACB,
∵BC=CE,
1
∴∠CBE=∠CEB= ×(180°-50°)=65°,
2
∴∠OBE=65°-40°=25°.
14.解:(1)四边形ABCD是菱形,理由如下:如图1,过点C作CH⊥AB,垂足为H,CG⊥AD,垂足为G,
∵两个纸条均为矩形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵S =AB·CH=AD·CG,且CH=CG,∴AB=AD,
▱ABCD
∴四边形ABCD是菱形.
图1 图2
(2)如图2,过点A作AM⊥CD,垂足为M,
∵S =CD·AM=8 cm2,且AM=2 cm,
菱形ABCD
∴CD=4 cm,
∴AD=CD=4 cm,
AM 1
在Rt△ADM中,sin∠1= = ,
AD 2
∴∠1=30°.
能力提升
1.D 解析:A.∵∠BAC=∠BCA,∴AB=BC,
∴▱ABCD是菱形,故选项A不符合题意;
B.∵四边形ABCD是平行四边形,
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∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∵∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,
∴▱ABCD是菱形,故选项B不符合题意;
C.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,
∵OA2+OB2=AD2,∴OA2+OD2=AD2,∴∠AOD=90°,
∴AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形,故选项C不符合题意,
D.∵AD2+OA2=OD2,∴∠OAD=90°,∴OA⊥AD,
∴不能证得▱ABCD是菱形,故选项D符合题意.故选D.
2.D 解析:如图1,连接AC,BD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC=4 cm,AB2+BC2=AC2,
∴AC2=32,正方形ABCD面积=42=16(cm2),
∴AC=BD=4√2 cm,
如图2,在菱形ABCD中,连接AC,BD,过A作AH⊥BC于点H,AB=BC=4 cm,BO=DO,AO=CO,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AC=AB=BC=4 cm,AO=2 cm,BH=CH=2 cm,
∴BD=2BO=2 =4 (cm),
√AB2-AO2 √3
AH= =2 (cm),
√AB2-BH2 √3
∴菱形ABCD面积=4×2√3=8√3(cm2),
故选项A不符合题意;
∵4√2-4=4(√2-1)(cm),
故选项B不符合题意;
∵4√3-4√2=4(√3−√2)(cm),
故选项C不符合题意;
∵16-8√3=8(2-√3)(cm2),
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故选项D符合题意.故选D.
3.C 解析:∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD,
∵BM=DN,
∴OM=ON,
∵OA=OC,MN⊥AC,
∴四边形AMCN是菱形,
故方案甲正确;
∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD,OA=OC,AC⊥BD,∠BAC=∠DAC,
∵AM,AN分别是∠BAC和∠DAC的平分线,
∴∠MAC=∠NAC,
∵∠AOM=∠AON=90°,
{∠MAC=∠NAC,
在△AOM和△AON中, AO=AO,
∠AOM=∠AON,
∴△AOM≌△AON(ASA),
∴OM=ON,
∵OA=OC,
∴四边形AMCN是平行四边形,
∵AC⊥MN,
∴四边形AMCN是菱形,
故方案乙正确.故选C.
4.A 解析:如图1,
图1
∵四边形ABCD为平行四边形,对角线AC与BD交于点O,
∴AB∥DC,AB=DC,OA=OC,OB=OD,
∴∠OAE=∠OCF,
∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF,
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又∵AE∥CF,
∴四边形AECF为平行四边形,
即E在AB上任意位置(不与A,B重合)时,四边形AECF恒为平行四边形,故结论甲正确;
如图2,
图2
当CE⊥AB时,点E不在边AB上,故结论乙错误.
如图3,
图3
当EF⊥AC时,四边形AECF为菱形,故结论丙正确;
由丙知,若AB>AD,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是菱形,
∵∠BAC=45°,
∴∠FAC=∠BAC=45°,
∴∠FAB=90°,
∴若AB>AD,∠BAC=45°,则至少存在一个点E,使得四边形AECF是正方形,故结论丁正确.故选A.
5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADE=∠DCF=90°.
∴∠CDF+∠DFC=90°.
∵AE⊥DF,
∴∠DGE=90°.
∴∠CDF+∠AED=90°.
∴∠AED=∠DFC.
∴△ADE∽△DCF.
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,AD∥BC,
∠ADE=∠DCF=90°.
∵AE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL).
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∴DE=CF.
又∵CH=DE,
∴CF=CH.
∵点H在BC的延长线上,
∴∠DCH=∠DCF=90°.
∵DC=DC,
∴△DCF≌△DCH(SAS).
∴∠H=∠DFC.
∵AD∥BC,
∴∠ADF=∠DFC.
∴∠ADF=∠H.
(3)如图,延长BC到点G,使CG=DE=8,连接DG.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=DC,AD∥BC.
∴∠ADE=∠DCG.
∴△ADE≌△DCG(SAS).
∴∠AED=∠DGC=60°,AE=DG.
∵AE=DF,
∴DG=DF=11.
∴△DFG是等边三角形.
∴FG=CF+CG=DF=11.
∴CF=11-CG=11-8=3.
13
