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解密 07 讲：任意角的三角函数、诱导公式及恒等式
【练基础】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的
“会圆术”，如图， 是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在 上， ．“会圆术”
给出 的弧长的近似值s的计算公式： ．当 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，分别求出 ，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接 ，
因为 是 的中点，
所以 ，
又 ，所以 三点共线，
即 ，
又 ，
所以 ，
则 ，故 ，
所以 .故选：B.
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由角 的终边过点 ，求出 ，再由二倍角的余弦公式,求出 即可.
【详解】因为角 的终边过点 ，
所以 ，
因此 .
故选：C.
3．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）若 ，则 （ ）A．3 B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据正切两角差公式，凑角得 的值，再将所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齐次式，再
利用商数关系，化成含 的式子，代入求值即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ．
故选：A.
4．（2023·甘肃兰州·校考一模） 等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】由 ，观察可得 ，代入根据两角差的正弦定理展开整理即可得出答案.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：C.
5．（2022·四川雅安·统考一模）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以 为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.
【详解】∵ ，故选：D.
6．（2022·浙江·模拟预测）设 为锐角，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式及二倍角的正弦公式化简，再由函数的性质可得解.
【详解】 ，
，且 为锐角
，且 ，
故选：C
7．（2023·全国·模拟预测）已知 .若存在 ，使不等式
有解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦余弦的二倍角公式及正弦两角和公式化简函数，然后将问题转化为函数在区间上成立问题，求
出最值，解不等式即可.
【详解】，
若存在 ，使不等式 有解，
则问题转化为在 上
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得： 或
即实数m的取值范围为： ，
故选：B.
8．（2022·河南郑州·郑州外国语学校校联考模拟预测）若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意进行三角恒等变换，把 整理到一边切化弦，通分利用二倍角公式，再把分式化为整式，逆用
两角和的余弦公式即可得到答案.
【详解】由于 ，因为 ，且 ，
整理得 ，故 ，
整理得： ，
故 ．
故选：B．
二、多选题
9．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点 ，
以x轴非负半轴为始边作锐角 ， ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ，P，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．扇形 的面积为
C．
D．当 时，四边形 的面积为
【答案】AD
【分析】由题意圆的半径 在平面直角坐标系中写出 的坐标用两点间的距离公式计算即可得A选
项；选项B，利用扇形的面积公式计算即可；选项C，利用两点间的距离公式写出 化简即可；选项D，分别表示出来化简即可
【详解】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以
所以 ，故A正确；
选项B：因为 ，
所以扇形 的面积 ，
故B错误；
选项C，故C错误；
选项D：
因为 ，
所以
故D正确
故选：AD.
10．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC【分析】利用辅助角公式和诱导公式可求得 ，结合诱导公式可判断出AC正误；利用
可得正余弦的齐次式，根据同角三角函数商数关系可求得BD正误.
【详解】对于AC， ， ；
，
，A错误；
，C正确；
对于BD， ， ，
即 ，
，
，
，B正确，D错误.
故选：BC.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的最小正周期为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 为 的极小值点
B． 的图象关于 中心对称
C． 在 上有且仅有5个零点D． 的定义域为
【答案】ACD
【分析】由题意可得 ，
对于A，只需验证 是不是函数 的最小值即可；
对于B，只需验证 是否成立即可；
对于C，令 ，解出在 上的零点即可判断；
对于D，令 ，解出 的范围即可判断.
【详解】解：因为 = ，
又因为 的最小正周期为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
对于A，当 时， ，
取最小值，所以 为 的极小值点，故正确；
对于B，因为 ，
所以 的图象不关于 中心对称，故错误；
对于C，令 ，可得 或 ，
解得 或 ，
所以函数 在 上的零点为： ，共5个，故正确；
对于D，因为 的定义域为 ，即 ，
所以 ，
解得 ，
即函数 的定义域为 ，故正确.
故选：ACD.
12．（2023·全国·高三专题练习）下列四个等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据两角和的正切可判断A的正误，根据同角的三角函数基本关系式及诱导公式可判断B的正误，根据
倍角公式可判断C的正误，根据辅助角公式可判断D的正误.
【详解】∵ ，
∴ ，所以A正确；
∵设 ，
则 ，
而 ，故 即 ，故B错误.
，所以C错误，，所以D正确，
故选：AD．
三、填空题
13．（2023·广东惠州·统考模拟预测）在平面直角坐标系 中，角 的终边经过点 ，则
__________．
【答案】
【分析】法一：利用三角函数的定义求出 、 的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；
法二：利用三角函数的定义求出 的值，利用二倍角的正弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】法一：由三角函数的定义可知 ， ，
所以 ；
法二：因为角 的终边经过点 ，所以 ，
所以 ．
故答案为： .
14．（2023·陕西商洛·校考三模）我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图"巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古
代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个
大正方形若直角三角形中较小的锐角记为 ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则
_________.
【答案】
【分析】利用勾股定理求出直角三角的边长，即可求出 ，再根据 计算可得．【详解】解：根据已知条件四个直角三角形全等，
所以设直角三角形的短的直角边长为 ，则较长的直角边长为 ，
所以 ，整理得 ，
解得 或 （负值舍去），
所以 ，则
．
故答案为： ．
15．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知多项式 满足对任意
，则 _________（用数字作答）．
【答案】1
【分析】根据二倍角公式进行三角恒等变换，化简后可得即可求解.
【详解】解：由题意得：
，
由 可知：.
故答案为：1
16．（2022·上海金山·统考一模）函数 的值域为___________.
【答案】
【分析】由三角恒等变换得 ，再整体代换求解值域即可.
【详解】
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为：
四、解答题
17．（2022·浙江金华·模拟预测）已知角 的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点
.
(1)求 的值；
(2)求值： .
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合三角函数的定义和诱导公式即可求解.
（2）结合二倍角公式和两角差的正弦公式即可求解.
(1)
由已知可得， ，
所以 .
(2)
由题知 ， ，
所以
.
18．（2022·浙江·模拟预测）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)若 ，求C；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由题给条件求得 ，进而求得 ；
（2）先利用正弦定理和题给条件求得 和 ，再构造函数 ，求得此函数值域
即为 的取值范围【详解】（1）由 ，
可得 ，则
整理得 ，解之得 或
又 ，则 ，则 ，则
（2）A ，B为 的内角，则
则由 ，可得 ，则 均为锐角
又 ，则 ，
则 ，则
则
令 ，则
又 在 单调递增， ，
可得 ，则 的取值范围为 ，
则 的取值范围为
19．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调递减区间;
(2)求 在 上的解.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）现根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数得性质结合整体思想即可得出答案；
（2）由 ，得 ，再求出 得范围，从而可得出答案.
【详解】（1）解： ，
令 ，
解得 ，
函数 的单调递减区间为 ；
（2）解：由 ，得 ，
，
，解得 .
20．（2022·全国·高三专题练习）在 内角A，B，C所对应的边分别为 已知
(1)求角C的大小.
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由二倍角和两角和与差的余弦公式化简等式，即可求出角C的大小；
（2）由余弦定理和基本不等式可求出 再由三角形面积公式即可得出答案.
【详解】（1）由倍角公式知原式可化为
即
整理得： ，
即
所以 ，故
（2）由余弦定理和基本不等式可得： ，
即
即
当且仅当 时，等号成立..
即
【提能力】
一、单选题21．（2021·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化
为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用 ，求出 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化
处理，可以避开了这一讨论．
22．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： ,
即： ，
即：
所以
故选：C[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取 ，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β ，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
23．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知 ，利用角的范围和同角三角函数关系可求得 和 ，分别在
和 两种情况下，利用两角和差正弦公式求得 ，结合 的范围可确定最终结果.
【详解】 且 ， ， .
又 ， ， .当 时，
，
， ， 不合题意，舍去；
当 ，同理可求得 ，符合题意.
综上所述： .
故选： .
【点睛】易错点睛：本题中求解 时，易忽略 的值所确定的 的更小的范围，从而误认为 的取值也
有两种不同的可能性，造成求解错误.
24．（2022·天津·校联考二模）已知 ，给出下列结论：
①若f(x)=1，f(x)=﹣1，且|x﹣x| =π，则ω=1；
1 2 1 2min
②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为 ；
④若f(x)在 上单调递增，则ω的取值范围为 .
其中，所有正确结论的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】D
【分析】对函数 化简可得 ，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性
及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案.
【详解】∵ ，∴ 的最小正周期为 .
对于① ：因为f(x)=1，f(x)=﹣1，且|x﹣x| =π，所以 的最小正周期为T=2π，
1 2 1 2min
. 故① 错误；
对于② ：图象变换后所得函数为 ，
若其图象关于y轴对称，则 ，k∈Z，解得ω=1+3k，k∈Z，
当k=0时， .故② 正确；
对于③ ：设 ，当 时， .
在 上有7个零点，即 在 上有7个零点.
则 ，解得 . 故③错误；
对于④ ：由 ，
得 ，
取k=0，可得 ，
若f(x)在 上单调递增，则 ，解得 .故④ 正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的恒等变形和正弦函数的单调性、周期性、奇偶性、零点等知识，解答③
的关键是先化简函数不等式得 ，设 ，当 时， ，将问题转化为 在 上有7个零点.
25．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】先根据诱导公式化简得 ,再结合半角公式整理得
.
【详解】由诱导公式化简整理得： ，
由于 ，
所以
故选：A
【点睛】本题考查诱导公式化简，半角公式，同角三角函数关系，考查运算求解能力，本题解题的关键在于寻找
与 之间的关系，从半角公式入手化简整理.考生需要对恒等变换的相关公式熟记.
26．（2022·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． 的图象关于点 对称B． 在 上的值域为
C．若 ，则 ，
D．将 的图象向右平移 个单位得 的图象
【答案】D
【分析】先对函数化简得 ，由正弦函数的对称中心可判断A；根据 的范围求 的值域可
判断B；根据正弦函数的周期性可判断C；利用图象的平移变换可判断D，进而可得正确选项.
【详解】 ，
对于A：令 ，可得 ，所以点 不是 的图象的对称中心，故选项A不正确；
对于B：当 时， ， ，
所以 ，故选项B不正确；
对于C： 的最小正周期为 ，所以若 ，则 ， ，故选项C不正确；
对于D：将 的图象向右平移 个单位得 的图象，故选项
D正确；
故选：D．
27．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 ．若关于x的方程 在
上有解，则实数m的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 在 上的值域后可求实数m的取值范围.
【详解】
,
当 时， ，所以 ，
故 的值域为 ，
因为 在 上有解即 在 上有解，
故 即 ，
故选：C.
28．（2022秋·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考阶段练习）通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达
哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 表示，即 .记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果.【详解】 ，
故选:A.
二、多选题
29．（2022秋·山东济宁·高三校考阶段练习）函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递增
B． 的图象关于点 成中心对称
C．将 的图象向左平移 个单位后与 的图象重合
D．若 则
【答案】ACD
【分析】由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质判断．
【详解】 ，
时， ，此时 递增，A正确；
，B错误；将 的图象向左平移 个单位后得解析式 ，C正确；
易知函数周期为 ，因此当 则 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质．解题方法是利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函
数为 形式，然后结合正弦函数 的性质求 的性质，此时有两种思路：一种是根据
的性质求出 的性质，然后判断各选项，另一种是由 的值或范围求得 的值或范围，然后由
的性质判断各选项．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． 的图像关于直线 对称
B． 在 上递增
C． 的值域是
D．若方程 在 上的所有实根按从小到大的顺序分别记为 ，则
【答案】ACD
【分析】化简函数 ，对A选项，利用轴对称的意义验证并判断；对B，C选项，换元借助导数求解并判断；
对D选项，利用对称性、周期性计算并判断.
【详解】依题意有 ，
对于A选项： ，
即 ， 的图像关于直线 对称，A正确；对于B选项： 在 上单调递增， ， ，
， 时 ， 时 ，即 在 不单调，
由复合函数单调性知， 在 上不单调，即B错误；
对于C选项：令 ，则 ， ，
在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增， ， ， ，
， 的值域是 ， 的值域是 ，C正确；
对于D选项：由已知得 ，
解得 或 (舍去)，
由 得函数 图象在区间 且确保 成立的，
对称轴为 ， 在 内有11个根 ，
数列 构成以 为首项， 为公差的等差数列，
，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：涉及关于正(余)弦的三角方程的根的和，合理利用对应函数的对称性是解决问题的关键.
31．（2022春·江苏盐城·高三江苏省阜宁中学校考阶段练习）若关于 的方程 在区间上有且只有一个解，则 的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】AC
【分析】整理换元之后，原问题转化为 在区间 上有且只有一个解，即 的图象和直线
只有1个交点. 作出简图，数形结合可得结果.
【详解】 整理可得 ，
令 ，因为 ，则 .
所以 在区间 上有且只有一个解，即 的图象和直线 只有1个交点.
由图可知， 或 ，解得 或 .
故选：AC.
32．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知扇形OAB的半径为1， ，点C、D分别为线段OA、OB上
的动点，且 ，点E为 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A． 的最小值为0 B． 的最小值为
C． 的最大值为1 D． 的最小值为0
【答案】BCD
【分析】以 为原点建立如图所示的直角坐标系，得 ， ，设 ，则 ，
求出 ，利用 的范围可判断A；
求出 、 的坐标，由 ，利用 的范围可判断B；设 ，可得
，求出 、 ，由 ，利用 、 、 ，的范围可判断CD.
【详解】
以 为原点建立如图所示的直角坐标系，所以 ， ，
设 ，则 ， ，
，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， 的最小值为 ，故A错误；
， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
的最小值为 ，故B正确；
设 ，又 ，所以 ，可得 ，
， ，
所以
，其中 ，
又 ，所以 ，所以 ， ，
， ，所以 ，
的最小值为0，故CD正确.
故选：BCD.
三、填空题
π
33．（2020秋·福建福州·高三福建省福州华侨中学校考阶段练习）已知 ，tanα=2，则cos(α− )
4
=______________．【答案】
【详解】由 得 ，又 ，所以 ，因为 ，所以
，因为 ，所以 ．
34．（2023·全国·高三专题练习）若 ， ，且 ， ，则 的值是
________.
【答案】
【分析】依题意,可求得 ，进一步可知 ，于是可求得 与 的值，再利用两
角和的余弦公式及角 的范围即可求得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 所以 .
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 .
所以.
因为 ， ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
35．（2021·福建泉州·福建省南安第一中学校考二模）若 ，则 ______．
【答案】
【分析】利用角 的关系，建立函数值的关系求解．
【详解】已知 ，且 ，则 ，故
．
【点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值．
36．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，
若 ，且 的面积 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由面积公式及余弦定理求出 ，再由正、余弦定理将角化边，即可求出 ，再由正弦定理及三角恒等变换
公式将 转化为关于 的三角函数，最后由三角函数的性质计算可得；
【详解】解：由 ， ，
又 ，所以 ，， ， ，
， ．
， ，
由正弦定理得 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
，
．
故答案为： ．
四、解答题
37．（2007·全国·高考真题）设锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为
（1）求B的大小；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）由 ，根据正弦定理得，
所以 ，
由△ABC为锐角的三角形得
（2）
由△ABC为锐角的三角形知，
所以， ，
，
由此有 ，
所以， 的取值范围为
38．（2022·吉林长春·长春市实验中学校考二模）在锐角 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若
， ．
（1）求角 的大小和边长 的值；
（2）求 面积的最大值．
【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】（1）根据 得出 ，然后根据角 是锐角得出 ，最后根据正弦定理与余弦定理对 进行转化，即可得出结果；
（2）由正弦定理得出 、 ，然后根据 得出 ，再然后根据解三角形面积公式
得出 ，并将其转化为 ，最后根据正弦函数的性质即可求出最值.
【详解】（1）因为 ，所以 ， ，
因为角 是锐角，所以 ，
因为 ，
所以由正弦定理与余弦定理易知， ，
整理得 ，解得 .
（2）因为 ，所以 ， ，
因为 ， ， ，所以 ，
则
，
因为 ，所以 ，则 ， ，
故 ， 面积的最大值为 .
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化
边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求
最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
39．（2022秋·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，满足 .
（1）求角A；
（2）若 ， ，求△ABC的面积.
【答案】（1）A ；（2） .
【解析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有 ，完成化简并计算出 的值；
（2）利用 的值以及余弦定理求解出 的值，再由面积公式 即可求解出△ABC的面积.
【详解】（1）在三角形ABC中， ，
由正弦定理得： ，
化为： ，
三角形中 ，解得 ， ，
∴A .
（2）由余弦定理得 ，
， ，
，化为 ，所以三角形ABC的面积S 4
【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，属基础题.
熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用.
40．（2022·四川泸州·统考模拟预测）已知函数 .
（1）求 的最小正周期和 的单调递减区间；
（2）当 时，求函数 的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）π； ；（2）当 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出 ，利用周期公式可计算出函数
的最小正周期，解方程 可得出函数 的对称中心坐标；解不等式
，可得出函数 的单调递减区间；
（2）由 ，计算出 的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的 的值.
【详解】（1）
，
所以，函数 的最小正周期为 .
由 ，可得 ，
函数 的对称中心为 ；
解不等式 ，解得 .因此，函数 的单调递减区间为 ；
（2）当 时， ，
当 时，即当 时，函数 取得最小值，最小值为 ．
【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式
化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
41．（2021春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习） 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知
．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角 ；
(2)利用正弦定理求出 ，再根据 ，可知 ，进而可根据同角三角函数关系，求出 ，再利用两角
差的余弦公式可求得答案.
【详解】(1)由 化简，
得 ，由正弦定理，得 ，
由余弦定理得 ，又 ，所以 .
(2)因为 ， ，所以由正弦定理 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．所以 ．
【点睛】易错点睛：本题在利用同角三角函数求 时，需要注意利用大边对大角确定角 的范围.
42．（2022·全国·高三专题练习）已知 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） （ ）；（2） ．
【分析】（1）根据两角和正弦公式、二倍角公式、辅助角公式化简可得 ，令
，即可求得 的单调递增区间.
（2）根据（1）化简可得 ，则原题等价于 ，
即可，利用二倍角公式，对 化简变形，结合对勾函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）化简得
=
= ，
令 ，解得
所以单调递增区间为 ， .（2）由（1）可得 ，
即 ，对任意的 恒成立，
只需要 即可，
，
令 ，因为 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
由对勾函数性质可得，当 时， 为减函数，
所以当 时， ，
所以 ．
【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换各个公式，并灵活应用，齐次式问题，需上下同除 ，得到关于
的方程，再结合对勾函数的性质，求解即可，综合性较强，属中档题.
