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第一章数与式真题测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2020·南昌市第一中学初一期中）有下列四个论断：①﹣ 是有理数；② 是分数；
③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川眉山）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·河北·统考中考真题）若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
5．（2018·河北定兴·中考模拟）若x﹣ =3，则 =（ ）
A．11 B．7 C． D．
6．（2020·四川雅安·中考真题）若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
7．（2021·甘肃武威市·中考真题）中国疫苗撑起全球抗疫“生命线”!中国外交部数据显示，
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截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年
中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．
数据“50亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·广东中考真题）实数 、 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立
的是( )
A． B． C． D．
9．（2020·云南峨山·初二期末）△ABC的三边的长a、b、c满足：
，则△ABC的形状为（ ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
10．（2022·湖南常德）我们发现： ， ， ，…，
，一般地，对于正整数 ， ，如果满足
时，称 为一组完美方根数对．如上面 是一组完
美方根数对．则下面4个结论：① 是完美方根数对；② 是完美方根数对；③若
是完美方根数对，则 ；④若 是完美方根数对，则点 在抛物线
上．其中正确的结论有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2022·四川泸州）若 ，则 ________．
12．（2021·四川南充市·中考真题）若 ，则 _________
13．（2021·四川遂宁市·中考真题）若 ，则 _____．
14．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知 ，则代数式 ______．
15．（2022·湖北荆州）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的
值是______．
16．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式 与 的最简公分母是_______，
方程 的解是____________．
17．（2022·安徽）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，……
按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
18．（2021·四川南充市·中考真题）若 ，则 _________
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19.（2022·四川达州）人们把 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法
中的“0.618法”就应用了黄金比．设 ， ，记 ，
，…， ，则 _______．
20．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b， ．若
，则x的值为___________．
三、解答题（本大题共11小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2020·陕西其他） .
22．（2022·浙江丽水）先化简，再求值： ，其中 ．
23．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1， 中选择一个合适的 值代入求值．
．
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24．（2022·四川凉山）先化简，再求值： ，其中m为满足－1＜m＜4
的整数．
25.整式的计算：
(1)先化简，再求值 ，其中 ， ．
(2)已知代数式 ， ， ．小丽
说：“代数式 的值与a，b的值无关．”她说得对吗？说说你的理由．
26.老师布置了一道化简求值题，如下：求 的值，其中 ，
．
(1)小海准备完成时发现第一项的系数被同学涂了一下模糊不清了，同桌说他记得系数是 ．
请你按同桌的提示，帮小海化简求值；
(2)科代表发现系数被涂后，很快把正确的系数写了上去。同学们计算后发现，老师给出的
“ ”这个条件是多余的，请你算一算科代表补上的系数是多少？
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27．（2021·浙江丽水市·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一
道代数式求值问题：
已知实数 同时满足 ，求代数式 的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 时，a的值是__________．
（2）当 时，代数式 的值是__________．
28．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和
是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：
，因为 ，所以3507是“共生数”： ，因为
，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上
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的数字之和能被9整除时，记 ．求满足 各数位上的数字之和是偶数的所有
n．
29．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数 的个位数字不为 ，且能分解成 ，其
中 与 都是两位数， 与 的十位数字相同，个位数字之和为 ，则称数 为“合和
数”，并把数 分解成 的过程，称为“合分解”．
例如 ， 和 的十位数字相同，个位数字之和为 ，
是“合和数”．
又如 ， 和 的十位数相同，但个位数字之和不等于 ，
不是“合和数”．
（1）判断 ， 是否是“合和数”？并说明理由；
（2）把一个四位“合和数” 进行“合分解”，即 ． 的各个数位数字之和
与 的各个数位数字之和的和记为 ； 的各个数位数字之和与 的各个数位数字
之和的差的绝对值记为 ．令 ，当 能被 整除时，求出所有
满足条件的 ．
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30．（2022·重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数
位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵ ，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵ ，∴214不是“和倍数”．
(1)判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
(2)三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且 ．
在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 ，最小的两位数记为
，若 为整数，求出满足条件的所有数A．
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31．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．
Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世
纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地．若 （ 且 ），那么x叫做以a为底N的对数，
记作 ，比如指数式 可以转化为对数式 ，对数式
可以转化为指数式 ．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
，理由如下：
设 ，则 ．
．由对数的定义得
又
．
根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：
（1）填空：① ___________；② _______，③ ________；
（2）求证： ；
（3）拓展运用：计算 ．
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