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第三章三角形章节测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，直线 ， 于点E．若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 ，与 交于点 ，根据平行线的性质，求出 的度数，再直角三
角形的两锐角互余即可求出 ．
【详解】解：延长 ，与 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线
的性质是解题的关键．
2．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径 的卡钳，
卡钳交叉点O为 、 的中点，只要量出 的长度，就可以道该零件内径 的长度．
依据的数学基本事实是（ ）
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A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
【答案】A
【分析】根据题意易证 ，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为 、 的中点，
， ，
（对顶角相等），
在 与 中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
3．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在 中，
为 的中点．若点 在边 上，且 ，则 的长为（ ）
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A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【答案】D
【分析】根据题意易得 ，然后根据题意可进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵点D为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
①当点E为 的中点时，如图，
∴ ，
②当点E为 的四等分点时，如图所示：
∴ ，
综上所述： 或2；
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故选D．
【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角
三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．
4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，已知 ， ，若 的
长度为6，则 的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质即可求出．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B.
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题
的关键.
5．（2023·山东东营·统考中考真题）如图， ，点 在线段 上（不与点 ，
重合），连接 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的外角的性质求得 ，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
6．（2023·云南·统考中考真题）如图， 两点被池塘隔开， 三点不共线．
设 的中点分别为 ．若 米，则 （ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】B
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解∶∵ 的中点分别为 ，
∴ 是 的中位线，
∴ 米 ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第
三边的一半是解题的关键．
7．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，以
为腰作等腰直角三角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是
（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的性质可得 ， ， ，
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再判断出点 四点共圆，在以 为直径的圆上，连接 ，根据圆周角定理可得
， ，然后根据相似三角形的判定可得 ，根
据相似三角形的性质即可得．
【详解】解： 是以 为腰的等腰直角三角形，
， ， ，
，
，
，
点 四点共圆，在以 为直径的圆上，
如图，连接 ，
由圆周角定理得： ， ，
，
，
，
在 和 中， ，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形
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的性质等知识点，正确判断出点 四点共圆，在以 为直径的圆上是解题关键．
8．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲
同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直
到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与
镜子的水平距离为 ，镜子与旗杆的水平距离为 ，则旗杆高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据镜面反射性质，可求出 ，再利用垂直求 ，最后
根据三角形相似的性质，即可求出答案.
【详解】解：如图所示，
由图可知， ， ，
.
根据镜面的反射性质，
∴ ，
∴ ，
，
，
.
小菲的眼睛离地面高度为 ，同时量得小菲与镜子的水平距离为 ，镜子与旗杆的
水平距离为 ，
， ， .
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.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和
相似三角形的性质.
9．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在 中，点D、E为边 的三等分点，
点F、G在边 上， ，点H为 与 的交点．若 ，则 的长为
（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出 ， ， ，
是 的中位线，易证 ，得 ，解得 ，则
．
【详解】解： 、 为边 的三等分点， ，
， ， ，
， 是 的中位线，
，
，
，
，即 ，
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解得： ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形
中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在 和 上分别截取 ，使 ；
②分别以 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；
③作射线 ，连接 ，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】A
【分析】由作图过程可得： ，再结合 可得
，由全等三角形的性质可得 即可解答．
【详解】解：由作图过程可得： ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴A选项符合题意；
不能确定 ,则 不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定 ,故C选项不符合题意，
不一定成立，则 不一定成立，故D选项不符合题意．
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故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解
尺规作图过程是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2023·江苏连云港·统考中考真题）一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边
长可以是__________．（只填一个即可）
【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于
第三边可得 ，再解即可．
【详解】解：设第三边长为x，由题意得：
，
则 ，
故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而
小于两边的和．
12．（2023·全国·统考中考真题）如图，在 中， ，分别以点B和点C为
圆心，大于 的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线 交 于点E．若
，则 的大小为__________度．
【答案】55
【分析】首先根据题意得到 是 的角平分线，进而得到
．
【详解】∵由作图可得， 是 的角平分线
∴ ．
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故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
13．（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学
用边长为 的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正
方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________ ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意， ，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 与
位似，原点O是位似中心，且 ．若 ，则 点的坐标是___________．
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【答案】
【分析】直接利用位似图形的性质得出相似比进而得出对应线段的长．
【详解】解∶设
∵ 与 位似，原点 是位似中心，且 ．若 ，
∴位似比为 ，
∴ ，
解得 ， ，
∴
故答案为： .
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
15．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在平行四边形 中，E是线段 上一
点，连结 交于点F．若 ，则 __________．
【答案】
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【分析】四边形 是平行四边形，则 ，可证明 ，得到
，由 进一步即可得到答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明
是解题的关键．
16．（2023·浙江台州·统考中考真题）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若
，则∠2的度数为________．
【答案】
【分析】如图，先标注点与角，由对折可得： ，求解
，利用 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，先标注点与角，
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由对折可得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本
题的关键．
17．（2023·河南·统考中考真题）矩形 中，M为对角线 的中点，点N在边
上，且 ．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时， 的长为______．
【答案】2或
【分析】分两种情况：当 时和当 时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当 时，
∵四边形 矩形，
∴ ，则 ，
由平行线分线段成比例可得： ，
又∵M为对角线 的中点，
∴ ，
∴ ，
即： ，
∴ ，
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当 时，
∵M为对角线 的中点，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∵四边形 矩形，
∴ ，则 ，
∴
∴ ，
综上， 的长为2或 ，
故答案为：2或 ．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出
草图进行分类讨论是解决问题的关键．
18．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在正方形 中， ，延长 至 ，
使 ，连接 ， 平分 交 于 ，连接 ，则 的长为
_______________．
【答案】
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【分析】如图，过 作 于 ， 于 ，由 平分 ，可知
，可得四边形 是正方形， ，设
，则 ，证明 ，则 ，即
，解得 ， ，由勾股定理得 ，计算求解
即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ， 于 ，则四边形 是矩形，
，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的
关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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19．（2023·山东·统考中考真题）如图， 是边长为6的等边三角形，点 在边
上，若 ， ，则 _________．
【答案】
【分析】过点A作 于H，根据等边三角形的性质可得 ，再由 ，
可得 ，再根据 ，可得 ，从而可得
，利用锐角三角函数求得 ，再由
，求得 ，即可求得结果．
【详解】解：过点A作 于H，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明
是解题的关键．
20．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，
交 于点 ， ．若 ，则 的长是__________．
【答案】4
【分析】由 可得 ，由 是 的垂直平分线可得 ，从
而可得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
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【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知
识是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·江西·统考中考真题）如图， ， 平分 ．求证：
．
【答案】见解析
【分析】先由角平分线的定义得到 ，再利用 证明 即可．
【详解】解
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是
解题的关键．
22．（2023·四川宜宾·统考中考真题）已知：如图， ， ， ．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质得出 ，然后证明 ，证明
，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴
即
在 与 中
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题
的关键．
23．（2023·湖南·统考中考真题）在 中， 是斜边 上的高．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形高的定义得出 ，根据等角的余角相等，得出
，结合公共角 ，即可得证；
（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是斜边 上的高．
∴ ，
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
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（2）∵
∴ ，
又
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题
的关键．
24．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 中，点E是 的中点，连接
并延长交 的延长线于点F．
(1)求证： ；
(2)点G是线段 上一点，满足 ， 交 于点H，若 ，求
的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ， ，证明
，推出 ，即可解答；
（2）通过平行四边形的性质证明 ，再通过（1）中的结论得到
，最后证明 ，利用对应线段比相等，列方程即可解答．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
是 的中点，
，
，
，
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∴ ，
；
（2）解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
设 ,则 ，
可得方程 ，
解得 ，
即 的长为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和
性质，熟练运用上述性质证明三角形相似是解题的关键．
25．（2023·河南·统考中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测
量树高，测高仪 为正方形， ，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高
的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线 交 于点H．经测量，
点A距地面 ，到树 的距离 ， ．求树 的高度（结果精确到
）．
【答案】树 的高度为
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【分析】由题意可知， ， ，易知 ，可得
，进而求得 ，利用 即可求解．
【详解】解：由题意可知， ， ，
则 ，
∴ ，
∵ ， ，
则 ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
答：树 的高度为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到 是解决问题的关键．
26．（2023·辽宁·统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需
要登顶 高的山峰，由山底A处先步行 到达 处，再由 处乘坐登山缆车到达山
顶 处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡 的坡角为 ，缆车行驶路线
与水平面的夹角为 （换乘登山缆车的时间忽略不计）
(1)求登山缆车上升的高度 ；
(2)若步行速度为 ，登山缆车的速度为 ，求从山底A处到达山顶 处大
约需要多少分钟（结果精确到 ）
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（参考数据： ）
【答案】(1)登山缆车上升的高度
(2)从山底A处到达山顶 处大约需要
【分析】（1）过B点作 于C， 于E，则四边形 是矩形，在
中，利用含30度的直角三角形的性质求得 的长，据此求解即可；
（2）在 中，求得 的长，再计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，过B点作 于C， 于E，则四边形 是矩形，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
答：登山缆车上升的高度 ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
∴从山底A处到达山顶 处大约需要：
，
答：从山底A处到达山顶 处大约需要 .
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关
键．
27．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东 方向，
距离灯塔 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 方
向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：
．）
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【答案】B处距离灯塔P大约有 ．
【分析】在 中，求出 的长，再在 中，求出 即可．
【详解】解：设 与灯塔P的正东方向相交于点C，
根据题意，得 ， ， ；
在 中，
∵ ，
∴ ；
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
答：B处距离灯塔P大约有 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直
角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
28．（2023·北京·统考中考真题）在 中、 ，
于点M，D是线段 上的动点（不与点M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得
到线段 ．
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(1)如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
(2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ， ，
直接写出 的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，利用三角形外角的性质求出
，可得 ，等量代换得到 即可；
（2）延长 到H使 ，连接 ， ，可得 是 的中位线，然后求出
，设 ， ，求出 ，证明
，得到 ，再根据等腰三角形三线合一证明 即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2） ；
证明：如图2，延长 到H使 ，连接 ， ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形
中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形
是解题的关键．
27
