文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
大题 03 利用函数解决实际问题（10 大题型）
函数与实际问题在中考数学中出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，解答题中
常见题型为：最值问题、方案问题、几何图形问题等，并且对应难度中等，是属于占分较多的一类考点，
所以需要学生在复习这部分内容时，应扎实掌握好基础， 在书写计算步骤时注意细节，避免因为粗心而
丢分.
题型一： 最大利润问题
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高
10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．
(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过
11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是30元和20元
(2)A种纪念品购进267件，B种纪念品购进133件，两种纪念品使总费用最少
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
（1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是(x−10)元，利用数量=总价÷单价，结合“用
600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可；
（2）设购买a件A种纪念品，总费用为y元，利用总价=单价×数量，可得出关于a的一次函数，求出a的
取值范围，根据函数的增减性解题即可．
【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为x元，则B种纪念品的单价为(x−10)元，
600 400
= ，
x x−10
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解，
∴B种纪念品的单价为x−10=20元，
答：纪念品A、B的单价分别是30元和20元．
（2）解：设A种纪念品购进a件，总费用为y元，
则y=30a+20(400−a)=10a+8000，
又∵¿，
800
解得 ≤a≤300，
3
∵10>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=267时，购买这两种纪念品使总费用最少，
这时A种纪念品购进267件，B种纪念品购进400−267=133件，两种纪念品使总费用最少．
2．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：
件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多
少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为y=−5x+800
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大利润是7920元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b，函数经过(100,300)，(120,200)，可以
利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售
单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为z，写出z关于x的二次函数解析式，根据二次函数的
增减性和x的取值范围，即可求出获得利润的最大值
【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为y=kx+b，
∵由图象可知，函数经过(100,300)，(120,200)，
∴可得¿，解得¿，
∴这段时间内y与x之间的函数解析式为y=−5x+800；
（2）解：∵销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
∴x≥100，y≥220，
即¿，解得100≤x≤116，
设获得利润为z，即z=(−5x+800)x−(−5x+800)×80=−5x2+1200x−64000，
b 1200
∴对称轴x=− =− =120，
2a 2×(−5)
∵−5<0，即二次函数开口向下，x的取值范围是100≤x≤116，
∴在100≤x≤120范围内，z随着x的增大而增大，
即当销售单价x=116时，获得利润z有最大值，
∴最大利润z=−5×1162+1200×116−64000=7920元．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，
解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
利用函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的
利润x销售量，在解答此类问题时，应建立函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解
析式，从而解决问题.
1．（2024·浙江嘉兴·一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型
多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同．
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)A，B两种型号电脑每台进价各是多少？
(2)随着技术的更新，A型号电脑升级为A 型号，该商城计划一次性购进A 、B两种型号电脑共100台，B
1 1
型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A 型号电脑所获利润P(万元)与A 销售量m台(
1 1
1 29
0≤m≤80)，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分P= m2− m+c(400，
100
∴w随m的增大而增大，
3 41
∴当m=40时，w有最大值，w = ×40+7= (万元)；
最大值 100 5
1 29 26 7 1 241
当400，对称轴为直线m=50，
600
1 241 143
∴当m=80时，w有最大值，w = ×(80−50) 2+ = (万元)；
最大值 600 30 15
41 143
∵ < ，
5 15
∴A 型电脑总共购进80台，B型电脑总共购进20台时，利润最大．
1
2．（2024·四川广元·一模）文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商城销售某品牌空
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
调，该空调每台进货价为2500元，已知该商店6月份售出75台空调，8月份售出108台空调．求该商城
7、8两个月售出空调数的月平均增长率； 调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；
售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商城如何定价能使每天的利润最大？ 最大利润是多少？
【答案】该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为20%；该商城将空调定价为2800元时，每天的
利润最大，最大利润是7200元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，正确建立方程模型
与函数模型解决问题．
（1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为，根据题意列方程求解即可；
4m
（2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售 台， 每天的利润为w元.
50
( 4m)
根据题意列出W =(3000−m−2500) 8+ ，然后根据二次函数的性质即可求解
50
【详解】解（1）设该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为x，
根据题意得∶75(1+x) 2=108，
解得∶x =0.2=20% ，x =−2.2(舍去)．
1 2
答∶该商城7、8两个月售出空调数的月平均增长率为20%；
4m
（2）设该商城每台空调降价m元，则每天可多售 台， 每天的利润为w元，
50
( 4m)
根据题意得出：W =(3000−m−2500) 8+
50
2
=− m2+32m+4000
25
2
=− (m−200) 2+7200，
25
当m=200时，w取得最大值，最大值为5000，
此时3000−m=2800，
答∶该商城将空调定价为2800元时，每天的利润最大，最大利润是7200元．
题型二： 行程问题
1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距225km的A、B两地同时出发，甲货车
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，
但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、
乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h，乙货车的速度是 km/h；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解
析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2)EF的函数解析式是y=80x−215(4≤x≤5.5)
45
(3)经过1.5h或 h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
14
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数
图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，乙货车到达配货站路程为120km，
到达后返回，所用时间为6h，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知
E(4,105)和点F(5.5,225)，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，
半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货
站之前的速度是105÷3.5=30（km/h）
∴乙货车到达配货站路程为225−105=120(km)，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总
路程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度=240÷6=40km/h，
故答案为：30；40
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知E(4,105)和点
F(5.5,225)
设y =kx+b(4≤x≤5.5)
EF
∴¿
解得：¿，
∴甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解析式y=80x−215(4≤x≤5.5)
（3）设甲货车出发xh，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：105−30x=120−40x，
3
解得：x=
,
2
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：105−30x=40x−120，
45
解得：x= ，
14
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：80x−215−105=40x−120，
解得：x=5，
45
答：经过1.5h或 h或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等．
14
2．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点
的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段
1
长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀速
12
行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度
为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图
象如图所示．
(1)a的值为________；
1
(2)当 ≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式；
12
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
1
【答案】(1)
5
( 1 1)
(2)y=90x+2 ≤x≤
12 5
(3)没有超速
【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数
关系式是解题的关键．
（1）由题意可得：当以平均时速为100千米/时行驶时，a小时路程为20千米，据此即可解答；
（2）利用待定系数法求解即可；
1
（3）求出先匀速行驶 小时的速度，据此即可解答．
12
1
【详解】（1）解：由题意可得：100a=20，解得：a= ．
5
1
故答案为： ．
5
1 1
（2）解：设当 ≤x≤ 时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
12 5
则：¿，解得：¿，
( 1 1)
∴y=90x+2 ≤x≤ ．
12 5
1 1
（3）解：当x= 时，y=90× +2=9.5，
12 12
1 1
∴先匀速行驶 小时的速度为：9.5÷ =114（千米/时），
12 12
∵114＜120，
∴辆汽车减速前没有超速．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速
度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人
机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机
按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速
度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间
的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
(1)a= ______米/秒，t= ______秒；
(2)求线段MN所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)
【答案】(1)8，20
(2)y=8x−56；
(3)2秒或10秒或16秒．
【分析】本题主要考查求一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据图形计算即可求解；
（2）先求得甲无人机单独表演所用时间为19−12=7秒，得到M(13,48)，利用待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法分别求得线段OB、线段AN、线段BM所在直线的函数解析式，再分三种情况讨论，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
列式计算即可求解
【详解】（1）解：由题意得甲无人机的速度为a=48÷6=8米/秒，
t=39−19=20，
故答案为：8，20；
（2）解：由图象知，N(19,96)，
∵甲无人机的速度为8米/秒，
甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8=12秒，
甲无人机单独表演所用时间为19−12=7秒，
∴6+7=13秒，
∴M(13,48)，
设线段MN所在直线的函数解析式为y=kx+b，
将M(13,48)，N(19,96)代入得¿，
解得¿，
∴线段MN所在直线的函数解析式为y=8x−56；
（3）解：由题意A(0,20)，B(6,48)，
同理线段OB所在直线的函数解析式为y=8x，
线段AN所在直线的函数解析式为y=4x+20，
线段BM所在直线的函数解析式为y=48，
当0≤t≤6时，由题意得|4x+20−8x|=12，
解得x=2或x=8（舍去），
当64时，求s关于t的函数表达式．
(3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什
么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明．
【答案】(1)m=22.5
(2)s=15t−37.5
(3)T大于3.9秒才能使车人不相撞，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系
起来，理解摩托车与汽车不相撞的条件，列出不等式关系式即可求解．
（1）将题干中已知坐标(3,10)代入解析式求出a的值，再令t=4，即可求出m的值．
（2）观察图二可发现，当t>3时，速度始终为15 m/s，理解题意，将速度代入关系式中，即可得出s关于
t的函数表达式．
（3）根据已知条件，需要求出另一侧绿灯亮时，摩托车通过路口的行驶时间， 再求出汽车到路口MN行
驶时间，摩托车通过路口要比汽车通过MN线要早一些方可避免碰撞事故，所以满足摩托车通过路口的行
驶时间大于汽车到路口MN行驶时间即可．
【详解】（1）解：（1）将(3,10)代入s=a(t−1) 2，
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴10=4a，
∴a=2.5，
即s与t的关系式为s=2.5(t−1) 2，
∴m=2.5(4−1) 2=22.5．
（2）由题意得，当t＞4时，v=15m/s
∴s=22.5+(t−4)×15=15t−37.5．
（3）BM=FN=(64−16)÷2=24（米），
当绿灯亮时骑车出发到另一侧绿灯亮时，摩托车可骑行路程BP=5T，
40−5T
此时摩托车到FG线的剩余路程为（40−5T），需要骑行时间 =8−T（秒）．
5
又∵汽车到路口MN行驶路程FN=24米＞22.5米，
∴当s=24时，15t−37.5=24，解得t=4.1，
∴汽车到路口MN行驶时间t=4.1秒．
∵要保证安全，摩托车需及时通过路口，
∴ 8−T≤4.1，解得T≥3.9，
∴ T大于3.9秒才能使车人不相撞．
题型三： 方案选择问题
1．（2024·山东日照·中考真题）【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供
更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
2
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的 ．
3
【问题解决】
(1)问题一：求出A,B两种书架的单价；
(2)问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买
方案；
1
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价 m元，按问
3
题二的购买方案需花费21120元，求m的值．
【答案】(1)1200元；1000元
(2)w=200a+20000(a≥8)；购买A种书架8个，B种书架12个
(3)120
【分析】本题考查运用分式方程，一次函数，一元一次方程解决实际问题．
18000
（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1+20%)x元，用18000元购买A种书架
(1+20%)x
9000
个，用9000元购买B种书架 个，根据素材二即可列出方程，求解并检验即可解答；
x
（2）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用即可列出函数，根据资料三求出自变量a的取值
范围，再根据一次函数的增减性即可求出总费用的最小值；
（3）根据总费用＝A种书架的总费用＋B种书架的总费用列出一元一次方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为(1+20%)x元．
18000 9000
由题意得 − =6，
(1+20%)x x
解得x=1000，
经检验，x=1000是分式方程的解，且符合题意，
∴(1+20%)x=1200．
答：A,B两种书架的单价分别为1200元，1000元．
（2）解：购买a个A种书架时，购买总费用w=1200a+1000(20−a)，
即w=200a+20000，
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2
由题意得，a应满足：a≥ (20−a)，解得a≥8．
3
∵200>0，
∴w随着a的增大而增大，
当a=8时，w的值最小，最小值为200×8+20000=21600，
∴费用最少时购买A种书架8个，B种书架12个．
（3）解：由题意得
( 1 )
(1200−m)×8+ 1000+ m ×12=21120，
3
解得m=120．
2．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．
背景 ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1
1 件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生产背
景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平
均每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
风 y 2 24
信息整理
雅 x 1
正 1 48
任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探究任
务
任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
2
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
1 70
【答案】任务1：y=− x+ ；任务2：w=−2x2+72x+3360(x≥10)；任务3：安排19名工人加工
3 3
“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．
任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有
(70−x−y)人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2(x−10)]，然后将2种服装的获利求和即可得出
结果；
任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．
【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有(70−x−y)人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴(70−x−y)×1=2y，
1 70
整理得：y=− x+ ；
3 3
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：x[100−2(x−10)]，
∴w=2y×24+(70−x−y)×48+x[100−2(x−10)]，
整理得：w=(−16x+1120)+(−32x+2240)+(−2x2+120x)
∴w=−2x2+72x+3360(x≥10)
任务3：由任务2得w=−2x2+72x+3360=−2(x−18) 2+4008，
∴当x=18时，获得最大利润，
1 70 52
y=− ×18+ = ，
3 3 3
∴x≠18，
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵开口向下，
∴取x=17或x=19，
53
当x=17时，y= ，不符合题意；
3
51
当x=19时，y= =17，符合题意；
3
∴70−x−y=34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得
最大利润．
先根据已知条件得到方程，再根据未知数之间的关系得到多种方案，选择最优方案进行解题
1．（2024·河南·模拟预测）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10
台B型电脑的利润为3500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进
A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（00，y随x的增大而增大，
∴当x=70时，y取得最大值，最大利润y>15000，
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大，
综上所述，商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
2．（2024·山东临沂·二模）某商场准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A商品的件数是用7500
元采购B商品的件数的2倍，一件A商品的进价比一件B商品的进价多10元．
(1)求一件A，B商品的进价分别为多少元？
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若该商场购进A，B商品共250件进行试销，其中A商品的件数不大于B商品的件数，且不小于20件．
A商品的售价与A商品销量之间的关系如下表所示：
A型商品的销量（件） 0 5 10 15 20 …
A型商品的售价（元/件） 240 230 220 210 200 …
B商品的售价降为210元/件，且全部售出．设购进A商品m件，求出这批商品的最大利润，并求出此时的
进货方案．
【答案】(1)160元，150元
(2)最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进20件，B商品进230件
【分析】（1）设一件B商品的进价为x元，则一件A商品的进价为(x+10)元，根据题意，得
16000 7500
= ×2，解方程即可．
x+10 x
（2）设商场购进A型商品m件，则商场购进B型商品(250−m)件，建立不等式组，运用一次函数的性质
解答即可．
本题考查了分式方程的应用，方案设计问题，正确理解题意，列出方程是解题的关键．
【详解】（1）设一件B商品的进价为x元，则一件A商品的进价为(x+10)元．
16000 7500
由题意： = ×2，
x+10 x
解得x=150，
经检验x=150是分式方程的解，
∴x+10=160，
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．
（2）设商场购进A型商品m件，则商场购进B型商品(250−m)件，
由题意：¿，
解得，20≤m≤125，
由表中数据可知，商品A的售价y与销量m是一次函数关系，可设为y=km+b(k≠0)，
代入两组数据得：¿，
解得¿，
∴y=−2m+240，
设总利润为w元，根据题意得，
w=m(−2m+240−160)+(210−150)(250−m)=−2m2+20m+15000=−2(m−5) 2+15050，
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵−2<0，
∴当m>5时，w随m的增大而减小，
∵20≤m≤125，
∴当m=20时，w有最大值为w=−2×(20−5) 2+15050=14600，
答：这批商品的最大利润为14600元，此时的进货方案是A商品进20件，B商品进货230件．
题型四： 几何图形面积问题
1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，
AF:BF=3:4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，
BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF=x米，
BE= y米．
(1)求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．
17x( 32)
【答案】(1)y=4− 0S
1 1 2
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点P(6,4)，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；
（2）令y=3可得x=3或x=9，故BC=6m，S =AB⋅BC=18m2；再比较S ，S 的大小即可．
1 1 2
1 1
【详解】（1）解：由题意知，PE=4m，OE= ON= ×12=6m，
2 2
∴方案一中抛物线的顶点P(6,4)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−6) 2+4，
把O(0,0)代入得，0=a(0−6) 2+4，
1
解得：a=− ，
9
1 1 4
∴y=− (x−6) 2+4=− x2+ x，
9 9 3
1 4
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=− x2+ x；
9 3
1 4
（2）解：在y=− x2+ x中，
9 3
1 4
令y=3得：3=− x2+ x；
9 3
解得x=3或x=9，
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴BC=9−3=6m，
∴S =AB·BC=3×6=18m2 ，
1
∵18>12√2，
∴S >S ．
1 2
2．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索L 与缆索L 均呈抛物线型，
1 2
桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y
轴，建立平面直角坐标系．
已知：缆索L 所在抛物线与缆索L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m，
1 2
AO=BC=17m，缆索L 的最低点P到FF'的距离PD=2m（桥塔的粗细忽略不计）
1
(1)求缆索L 所在抛物线的函数表达式；
1
(2)点E在缆索L 上，EF⊥FF'，且EF=2.6m，FO6，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3<6，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−4.8．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6×(5−1)>6，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6×(4−1)<6，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−5.6．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2025·陕西西安·二模）如图，蔬菜大棚顶部AB段是抛物线的一部分，下方是一长方形，已知长方形
的宽AB=4m，高BC=3m，大棚顶部最高处P距离地面4m高，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求出大棚顶部所在抛物线的函数表达式；
(2)如图阴影部分所示，若准备在大棚一侧开一扇正方形的活动门，方便天气好时打开透气，则这个正方形
的边长为多少？
1
【答案】(1)y=− x2+4
4
(2)(8√2−8)m
【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据题意可得：A的坐标为(2,3)，顶点P的坐标为(0,4)，然后设y=ax2+4，再利用待定系数法求出
二次函数解析式进行计算，即可解答；
（2）根据题意可设OF=OE=a，则EF=FG=2a，从而可得点G ( a,− 1 a2+4 ) ，进而可得
4
1
FG=− a2+4，然后根据正方形的性质列出关于a的方程，进行计算即可解答．
4
【详解】（1）解：由题意得：A点的坐标为(2,3)，顶点P的坐标为(0,4)，
∴设y=ax2+4，
把A(2,3)代入y=ax2+4中，得：3=4a+4，
1
解得：a=− ，
4
1
∴y=− x2+4；
4
（2）解：如图：
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
设OF=OE=a，则EF=FG=2a，
∴点G ( a,− 1 a2+4 ) ，
4
1
∴FG=− a2+4，
4
1
∴2a=− a2+4，
4
解得：a =−4−4√2（舍去），a =−4+4√2，
1 2
∴EF=FG=2a=(8√2−8)m，
∴这个正方形的边长为(8√2−8)m．
题型六： 隧道问题
1．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC
为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标
系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
P P
(2)在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 1， 4
在x轴上，MN与矩形P P P P 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P P ，P P ，P P ，MN
1 2 3 4 1 2 2 3 3 4
长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点
P
2
，
P
3
在抛物线AED上．设点
P
1
的横坐标为m(05，即可得出结论；
2 32 32
1
（3）设OB=x，则BC=16−2x，根据矩形的性质得出AD=BC=16−2x，AB=DC=− x2+2x，设
8
l=AB+AD+DC，进而表示出l的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点，
∴点M(16,0)，顶点P(8,8)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx．
把点M(16,0)，点P(8,8)代入得：
¿
解得¿
1
∴抛物线的解析式为y=− x2+2x
8
∵OM=16，M(16,0)，
∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16；
9 1 (9) 2 9 207
（2）解：当x=8−2.5−1= 时，y=− × +2× = >5，
2 8 2 2 32
∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆．
（3）解：设OB=x，则BC=16−2x，
∵四边形ABCD是矩形，
1
∴AD=BC=16−2x，AB=DC=− x2+2x
8
1
设l=AB+AD+DC，则l=− x2+4x+16−2x
4
1
∴l=− x2+2x+16
4
1
∵− <0，
4
b 4ac−b2
∴当x=− =4时，l有最大值为 =20．
2a 4a
答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米．
题型七： 喷水问题
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一
侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置OA的高度是2米，
水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时
距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防
水罩的一端固定在喷水装置上的点M处，另一端与路面的垂直高度NC为1.8米，且与喷泉水流的水平距
离ND为0.3米．点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米，求步行通道的宽OE．（结果精确到0.1米）参考
数据：√2≈1.41
【答案】3.2米
【分析】先以点O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则
A(0,2)，B(2,3.6)，设设抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+3.6，把A(0,2)代入，求得a=−0.4，即
1.8=−0.4(x−2) 2+3.6，再求出点D的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由题意知：A(0,2)，B(2,3.6)，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+3.6，
把A(0,2)代入，得2=a(0−2) 2+3.6，
解得a=−0.4，
∴抛物线的解析式为y=−0.4(x−2) 2+3.6，
令y=1.8，则1.8=−0.4(x−2) 2+3.6，
3√2
解得：x=2± ，
2
( 3√2 )
∴D 2+ ,1.8 ，
2
3√2
OE=x −ND−CE=2+ −0.3−06≈3.2 (米)，
D 2
∴
答：步行通道的宽OE的长约为3.2米．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用．熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解题
的关键．
2．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷
水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平
面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=a(x−h) 2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y
（m）是水柱距地面的高度．
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好
接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)y=−0.1(x−5) 2+3.2
(2)2或6m
【分析】（1）根据顶点(5,3.2)，设抛物线的表达式为y=a(x−5) 2+3.2，将点P(0,0.7)，代入即可求解；
（2）将y=1.6代入（1）的解析式，求得x的值，进而求与点(3,0)的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为(5,3.2)，
设抛物线的解析式为y=a(x−5) 2+3.2，
将点(0,0.7)代入，得0.7=25a+3.2，
解得a=−0.1，
∴抛物线的解析式为y=−0.1(x−5) 2+3.2，
（2）由y=−0.1(x−5) 2+3.2，令y=1.6，
得1.6=−0.1(x−5) 2+3.2，
解得x =1,x =9，
1 2
∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为3−1=2(m)，或9−3=6(m)．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
1．（2025·甘肃嘉峪关·一模）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋
头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图2，已知车棚建在AD，BC两面墙之间，CD为水平地面，
AD⊥CD，BC⊥CD．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶AB上，其到墙面AD的水平距离
AM为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面AD上的点E处，DE=1米．
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)请建立适当的平面直角坐标系，并写出点M的坐标为_________．
(2)在（1）的条件下，求最外层水柱所在抛物线的函数表达式．
(3)已知车棚的宽度CD为7米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1
米高的全部范围．工作人员想在棚顶AB上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头N，请
确定消防喷淋头N与点B的距离BN的取值范围，并说明理由．
【答案】(1)(2,3)
1
(2)y=− (x−2) 2+3
2
(3)1米≤BN≤2米，见解析
【分析】（1）建立以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系即可
知点M的坐标；
（2）根据（1），可知抛物线顶点M的坐标，且过点E(0,1)．设抛物线的函数表达式为y=a(x−2) 2+3．
代入求解即可；
（3）结合（1）和（2），过点E作CD的平行线，交（1）中的抛物线于点P，交BC于点Q，则点Q的坐
标为(7,1)，进一步求得点P的坐标为，记顶点为M的抛物线为L ，顶点为N的抛物线为L ，由题意，可
M N
知抛物线L 可看作由抛物线L 向右平移得到的．
N M
解法一：根据抛物线的对称性，可知当抛物线L 过点时，过点P作PH⊥AB于点H，则
N
MH=NH=2,BN=1．即可知当抛物线L 过点Q(7,1)时，BN=AM．
N
1
解法二：根据抛物线的平移吗，设抛物线L 的函数表达式为y=− (x−2−d) 2+3．当抛物线L 经过点
N 2 N
P(4,1)时，解得d，则可求得MN和BN．当抛物线L 经过点Q(7,1)时，解得d，即可求得MN和BN．
N
总述即可得到消防喷淋头N与点B的距离BN的取值范围．
【详解】（1）解：如图1，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立平面直角坐标
系．
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则点M(2,3)；
（2）解：由图1，可知抛物线顶点M的坐标为(2,3)，且过点E(0,1)．
设抛物线的函数表达式为y=a(x−2) 2+3．
1
将(0,1)代入，得4a+3=1，解得a=− ．
2
1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2) 2+3；
2
（3）解：如图2和图3，过点E作CD的平行线，交（1）中的抛物线于点P，交BC于点Q，则点Q的坐
标为(7,1)，
1
令− (x−2) 2+3=1，解得x=0或x=4．
2
∴点P的坐标为(4,1)．
记顶点为M的抛物线为L ，顶点为N的抛物线为L
M N
由题意，可知抛物线L 可看作由抛物线L 向右平移得到的．
N M
解法一：根据抛物线的对称性，可知当抛物线L 过点时，如图2，过点P作PH⊥AB于点H，则
N
MH=NH=2．
∴BN=1．
如图3，当抛物线L 过点Q(7,1)时，BN=AM=2．
N
1
解法二：设抛物线L 的函数表达式为y=− (x−2−d) 2+3．
N 2
1
当抛物线L 经过点P(4,1)时，如图2，则1=− (4−2−d) 2+3，解得d=4或d=0（舍去）．
N 2
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴MN=4．
∴BN=7−2−4=1．
1
当抛物线L 经过点Q(7,1)时，如图3，则1=− (7−2−d) 2+3，解得d=3或d=7（舍去）．
N 2
∴MN=3．
∴BN=7−2−3=2．
∴1≤BN≤2．
∴消防喷淋头N与点B的距离BN的取值范围为1米≤BN≤2米．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及建立坐标系、待定系数法求解析式、二次函数的对称性和二
次函数的平移等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质．
2．（2024·河北石家庄·模拟预测）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷
水景观（如图1）．为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路
面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），当水柱离喷水口
O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米．
以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明
理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水
花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
①河水离地平面AD距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处？
②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，
喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．
3
【答案】(1)水柱所在抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+3
4
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)水柱不会喷射到护栏上，理由见详解
7
(3)①河水离地平面AD距离为 米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处；②m与h的关
3
系式为3h2+2h−21=16m
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析，二次函数图形的平移，解直角三角形的
计算是解题的关键．
（1）根据题意可得，抛物线的顶点坐标为(2,3)，且过O(0,0)，设抛物线解析式为y=a(x−2) 2+3(a≠0)，
把点O(0,0)代入，运用待定系数法即可求解；
3 21
（2）根据题意，当x=3.5时，y=− ×(3.5−2) 2+3= ≈1.3（米），再与护栏高度进行比较，即可求
4 16
解；
（3）①根据坡比得到BE=2.5（米），则点B到原点O的水平距离为3.5+2.5=6（米），即B(6,−5)，且
3
A(3.5,0)，可求出直线AB的解析式为y =−2x+7(3.5≤x≤6)，联立方程得−2x+7=− (x−2) 2+3，
1 4
由此求解即可；
3 3
②将抛物线y=− (x−2) 2+3向上平移m米，得到y=− (x−2) 2+3+m，当坝中水面离地面平面距离为
4 4
h米（取HG=h米），则坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为−h，根据坡比得到
( 1 )
G 3.5+ h,−h ，代入计算即可求解．
2
【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米，
∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，
以O为原点建立平面直角坐标系，
∴点O(0,0)，
设抛物线解析式为y=a(x−2) 2+3(a≠0)，把点O(0,0)代入得，a(0−2) 2+3=0，
3
解得，a=− ，
4
3
∴水柱所在抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+3；
4
（2）解：水柱不会喷射到护栏上，理由如下，
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3
水柱所在抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+3，对称轴直线为x=2，
4
∴当x=4时的函数值与x=0时的函数值相等，
绿道路面宽OA=3.5米，护栏高度为1.25米，
3 21
∴当x=3.5时，y=− ×(3.5−2) 2+3= ≈1.3（米），
4 16
21
∵ >1.25，
16
∴水柱不会喷射到护栏上；
（3）解：①河道坝高AE=5米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），
AE
∴ =1:0.5，
BE
∴BE=2.5（米），
∴点B到原点O的水平距离为3.5+2.5=6（米），即B(6,−5)，且A(3.5,0)，
设直线AB的解析式为y =kx+b(k≠0)，
1
∴¿，
解得，¿，
∴直线AB的解析式为y =−2x+7(3.5≤x≤6)，
1
3
∴−2x+7=− (x−2) 2+3，
4
14
解得，x =2（不符合题意，舍去），x = ，
1 2 3
14 7
∴当x= 时，y=− ，
3 3
7
∴河水离地平面AD距离为 米时，刚好使水柱落在坝面截线AB与水面截线的交点处；
3
3
②将抛物线y=− (x−2) 2+3向上平移m米，
4
3
∴平移后的解析式为y=− (x−2) 2+3+m，
4
当坝中水面离地面平面距离为h米（取HG=h米），则坝面截线AB与水面截线的交点G的纵坐标为−h，
如图所示，
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），
GH
∴tan∠ABE=tan∠GAH= =1:0.5，
AH
1
∴AH= h，
2
( 1 )
∴G 3.5+ h,−h ，
2
( 1 ) 3( 1 ) 2
把点G 3.5+ h,−h 代入平移后的抛物线解析得，− 3.5+ h−2 +3+m=−h，
2 4 2
整理得，3h2+2h−21=16m，
m与h的关系式为3h2+2h−21=16m．
∴ 题型八： 投球问题
1．（2024·甘肃兰州·中考真题）在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某
型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线．为了解水火箭的相关性能，同学
们进一步展开研究．如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处．科普员提供了该型号水火
箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平
距离x(m)的几组关系数据如下：
水平距
0 3 4 10 15 20 22 27
离x(m)
竖直高
0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
度y(m)
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；
(2)请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度．
1 6
【答案】(1)抛物线的表达式y=− x2+ x
25 5
(2)水火箭距离地面的竖直高度5米
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
(1)根据题意可设抛物线的表达式y=ax2+bx(a≠0)，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为(15,9)，代入求
解即可；
(2)由题意知x=5，代入抛物线的表达式即可求得水火箭距离地面的竖直高度．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式y=ax2+bx(a≠0)，
由表格得抛物线的顶点坐标为(15,9)，则¿，解得¿，
1 6
则抛物线的表达式y=− x2+ x，
25 5
1 6
（2）解：由题意知x=5，则y=− ×52+ ×5=5，
25 5
那么，水火箭距离地面的竖直高度5米．
2．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=−5t2+v t，其中
0
t(s)是物体运动的时间，v (m/s)是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向
0
上发射小球．
(1)小球被发射后_________s时离地面的高度最大（用含v 的式子表示）．
0
(2)若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的
时间为3s．”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
v
【答案】(1) 0
10
(2)20(m/s)
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)小明的说法不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
v
（2）把t= 0，h=20代入h=−5t2+v t求解即可；
10 0
（3）由（2），得h=−5t2+20t，把h=15代入，求出t的值，即可作出判断.
【详解】（1）解：h=−5t2+v t
0
( v ) 2 v 2
=−5 t− 0 + 0 ，
10 20
v
∴当t= 0时，h最大，
10
v
故答案为： 0；
10
（2）解：根据题意，得
v
当t= 0时，h=20，
10
(v ) 2 v
∴−5× 0 +v × 0 =20，
10 0 10
∴v =20(m/s)（负值舍去）；
0
（3）解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得h=−5t2+20t，
当h=15时，15=−5t2+20t，
解方程，得t =1，t =3，
1 2
∴两次间隔的时间为3−1=2s，
∴小明的说法不正确．
1．（2024·四川泸州·一模）足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．
当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高OB为2.4米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
1
【答案】(1)y=− (x−3) 2+3
12
(2)球能射进球门
【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解题的的关键．
1
（1）求出抛物线的顶点坐标为(3,3)，设抛物线y=a(x−3) 2+3，把点A(9,0)代入求得a=− ，即可得
12
到抛物线的函数表达式；
（2）求出抛物线与y轴交点的纵坐标，与球门高度比较后即可得到结论．
【详解】（1）解：∵9−6=3（米），
∴抛物线的顶点坐标为(3,3)，
∴设抛物线y=a(x−3) 2+3，把点A(9,0)代入得：
36a+3=0，
1
解得a=− ，
12
1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−3) 2+3；
12
1 1 9
（2）解：当x=0时，y=− (x−3) 2+3=− ×(0−3) 2+3= <2.4，
12 12 4
∴球能射进球门．
2．（2024·江西·模拟预测）弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏
成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度
为1m的点A处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面2m时，弹球与甲的水平距离为2m．弹球在B
处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点C处．
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．（不要求写出x的取值范围）
(2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点O的距离．
(3)如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，那么甲能投球成功吗？
1
【答案】(1)y=− (x−2) 2+2
4
(2)(6+2√2)m
(3)不能
【分析】（1）由题意可以用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解；
（2）利用第一次着地前抛物线的解析式求出点B坐标，再用同（1）法求得第二段抛物线的解析式，求出
它的对称轴，利用对称性求出点C的坐标，进而即可求解；
（3）把x=9代入第二段抛物线的解析式求出y的值即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，根据题意，利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为(2,2)，
故可设抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+2，
1
将A(0,1)代入得，a=− ，
4
1
∴弹球第一次着地前抛物线的解析式为y=− (x−2) 2+2；
4
1
（2）解：当y=0时，− (x−2) 2+2=0，
4
解得x =2+2√2，x =2−2√2，
1 2
∴B(2+2√2,0)，
由从点B弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为1，故可设该抛物
1
线的解析式为y=− (x−b) 2+1，
4
1
将B(2+2√2,0)代入得，− (2+2√2−b) 2+1=0，
4
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得b =2√2(不合，舍去)，b =4+2√2，
1 2
1
∴y=− (x−4−2√2) 2+1，且对称轴为直线x=4+2√2，
4
∴C(6+2√2,0)，即OC=(6+2√2)m，
∴弹球第二次着地点到点O的距离为(6+2√2)m；
1
（3）解：当x=9时，y=− (9−4−2√2) 2+1≈−0.18<0，
4
∴甲不能投球成功．
题型九： 新考法问题
1．（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商
场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：P=10x．预计
(x+2)(x+4)
该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：T=21− ，其中
8
0≤x≤9．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）．
(1)若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度；
(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t（万元），且t= y+x2，当172≤t≤192时，求隔热层厚度
x(cm)的取值范围．
【答案】(1)该商场建造的隔热层厚度为6cm
(2)3≤x≤8
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，
二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键．
（1）根据题意可以得出y=−x2+4x+160，再令y=148，解一元二次方程求解即可；
（2）将（1）中y=−x2+4x+160代入t= y+x2，可得出t与x的关系式t=4x+160，然后利用一次函数的
性质，即可求出x的取值范围．
[ (x+2)(x+4)]
【详解】（1）由题意得：y=P+8T=10x+8× 21−
8
51关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
整理得y=−x2+4x+160，
当y=148时，则−x2+4x+160=148，
解得：x =6,x =−2．
1 2
∵0≤x≤9，
∴x =−2不符合题意，舍去，
2
∴该商场建造的隔热层厚度为6cm．
（2）由（1）得y=−x2+4x+160，
∵t= y+x2，
∴t=−x2+4x+160+x2=4x+160 (172≤t≤192)．
∵4>0，
∴t随x的增大而增大，
当t=172时，4x+160=172，解得x=3；
当t=192时，4x+160=192，解得x=8；
∴x的取值范围为3≤x≤8．
2．（2024·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分
与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同
花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶
点，且PO=9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串
红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿
DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在
第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP
所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
52关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2
设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出
符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】(1)图见解析，y=−x2+9(−3≤x≤3)
(2)DE的长为4米，CF的长为2米
33
(3)矩形周长的最大值为 米
2
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据OP垂直平分AB，得出B(3,0)，根据OP=9设抛物线的函
数表达式为y=ax2+9，将B(3,0)代入求出a的值即可；
（2）设点E的坐标为(m，−m2+9)，可得DF=EF=m，OF=−m2+9，CF=OF−OC=−m2+6，根
据DE+CF=6求出m的值即可；
33 33
（3）由矩形周长=2(GH+GL)=2(−2m−m2+9−m−3)=−(m+1.5) 2+ ≤ ，即可求解．
2 2
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
53关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=6，
1 1
∴OA=OB= AB= ×6=3．
2 2
∴点B的坐标为(3,0)，
∵OP=9，
∴点P的坐标为(0,9)，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+9，
∵点B(3,0)在抛物线y=ax2+9上，
∴9a+9=0，
解得：a=−1．
∴抛物线的函数表达式为y=−x2+9(−3≤x≤3)；
（2）解：∵点D，E在抛物线y=−x2+9 上，
∴设点E的坐标为(m，−m2+9)，
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF=EF=m，OF=−m2+9，
∴DE=2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OA=OB，
1 1
∴OC= AB= ×6=3．
2 2
∴CF=OF−OC=−m2+9−3=−m2+6，
根据题息，得DE+CF=6，
∴−m2+6+2m=6，
解得：m =2，m =0（不符合题意，舍去），
1 2
54关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴m=2．
∴DE=2m=4，CF=−m2+6=−22+6=2
答：DE的长为4米，CF的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为GHML，
∵OC=3 OA=3
， ，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴C(0,3)，A(−3,0)，
设直线AC解析式为y=kx+b，
将C(0,3)，A(−3,0)代入，得：¿，
解得¿，
∴直线AC解析式为y=x+3，
同理可得，直线BC的表达式y=−x+3，
设点G(m，−m2+9)、H(−m，−m2+9)、L(m,m+3)、M(−m,−m+3)，
33 33
则矩形周长=2(GH+GL)=2(−2m−m2+9−m−3)=−(m+1.5) 2+ ≤ ，
2 2
33
故矩形周长的最大值为 米．
2
3．（2023·山东济南·中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用
木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
55关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的(x,y)可看成是反比例函数
8
y= 的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+ y=10，满足条件的(x,y)可看成一次函
x
数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的(x,y)就可以看成两个函数图象交点
的坐标．
8
如图2，反比例函数y= (x>0)的图象与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和_________，因此，木
x 1
栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=
__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通
8
过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线y=−2x+a与反比例函数y= (x>0)的图象有唯一
x
交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
56关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交
x
点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(4,2)；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，a=8；（4）8≤a≤17
【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；
（2）根据a=6得出，y=−2x+6，在图中画出y=−2x+6的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，
若有交点，则能围成，否则，不能围成；
（3）过点(2,4)作l 的平行线，即可作出直线y=−2x+a的图象，将点(2,4)代入y=−2x+a，即可求出a
1
的值；
8
（4）根据存在交点，得出方程−2x+a= (a>0)有实数根，根据根的判别式得出a≥8，再得出反比例函
x
8
数图象经过点(1,8)，(8,1)，则当y=−2x+a与y= 图象在点(1,8)左边，点(8,1)右边存在交点时，满足题
x
意；根据图象，即可写出取值范围．
8
【详解】解：（1）∵反比例函数y= (x>0)，直线l ：y=−2x+10，
x 1
∴联立得：¿，
解得：¿，¿，
∴反比例函与直线l ：y=−2x+10的交点坐标为(1,8)和(4,2)，
1
当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=4m，BC=2m．
故答案为：(4,2)4；2．
（2）不能围出．
∵木栏总长为6m，
∴2x+ y=6，则y=−2x+6，
画出直线y=−2x+6的图象，如图中l 所示：
1
8
∵l 与函数y= 图象没有交点，
1 x
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l 所示，l 即为y=−2x+a图象，
1 3
将点(2,4)代入y=−2x+a，得：4=−2×2+a，
解得a=8；
57关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
8
（4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， y=−2x+a与y= 图象在第一象限内交点的存在
x
问题，
8
即方程−2x+a= (a>0)有实数根，
x
整理得：2x2−ax+8=0，
∴Δ=(−a) 2−4×2×8≥0，
解得：a≥8，
8 8
把x=1代入y= 得：y= =8，
x 1
∴反比例函数图象经过点(1,8)，
8 8
把y=1代入y= 得：1= ，解得：x=8，
x x
∴反比例函数图象经过点(8,1)，
令A(1,8)，B(8,1)，过点A(1,8)，B(8,1)分别作直线l 的平行线，
3
8
由图可知，当y=−2x+a与y= 图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意；
x
58关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把(8,1)代入y=−2x+a得：1=−16+a，
解得：a=17，
∴8≤a≤17．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关
系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．
1．（2025·广东清远·模拟预测）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的
原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容
器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】（1）下表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
59关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确
定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米
时是几点？
【答案】（1）见解析 ；（2）y=4x+2；（3）圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午12：30
【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题：
（1）将各点在坐标系中直接描出，再用光滑的线连接即可；
（2）利用待定系数法解答，即可求解；
（3）令y=20，求出x的值，即可求解．
【详解】解：（1）画出函数图象，如下：
（2）由图可知该图象是一次函数，设该函数的表达式为y=kx+b．
∵点(1，6)、(2，10)在该图象上
∴¿，解得¿，
∴y与x之间的函数表达式为y=4x+2．
（3）当y=20时，即4x+2=20，
解得：x=4.5，
则8+4.5=12.5
∴圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午12：30．
2．（24-25九年级上·河南安阳·期末）2024年7月31日，巴黎奥运会跳水项目女子双人10米台决赛结束，
中国组合陈宇汐/全红婵以359.10分领先第二名43.20分的巨大优势夺冠，获得中国代表团奥运会第7金．
60关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
跳水运动员起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，跳水运动员甲从起跳到入水的过程中，她到水面
的垂直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系y=a(x−h) 2+k(a<0)．
(1)如图2，在完成一次跳水动作的过程中，运动员甲的水平距离x与到水面的垂直高度y的几组数据记录如
下：
水平距离
0 3 3.5 4 4.5
x/m
垂直高度
10 10 k 10 6.25
y/m
①根据上述数据，直接写出该函数图象的对称轴______；
②直接写出该函数的解析式______；
(2)某次跳水过程中，运动员乙到水面的垂直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−5x2+40x−68，
记她的入水点的水平距离为d ．若运动员甲的入水点的水平距离为d ，则d ______d ；（填“>”“=”或
2 1 1 2
“<”）
(3)在（2）的情况下，运动员乙某次起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水面的垂直高度为c，则她到
水面的垂直高度y与时间t之间近似满足y=−5t2+c，如果运动员乙在达到最高点后需要1.6秒的时间才能
完成跳水动作．请通过计算说明，她此次跳水能否成功完成此动作？
【答案】(1)直线x=3.5，y=−5(x−3.5) 2+11.25；
(2)<；
(3)她不能成功完成此动作，见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据表格可求函数对称轴，然后再从表格中代入三个点的坐标进行求解函数解析式即可；
61关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2√15
（2）由题意易得d =5米，然后可得d = +4，进而问题可求解；
1 2 5
（3）由题意易得B(4,12)，则有y=−5t2+12，然后把t=1.6代入进行求解即可
【详解】（1）解：由表格可知，图象过点(3,10)，(4,10)，(4.5,6.25)，
3+4
∴h= =3.5，
2
∴y=a(x−3.5) 2+k，
∴¿，
解得：¿，
∴y=−5(x−3.5) 2+11.25；
故答案为：直线x=3.5，y=−5(x−3.5) 2+11.25；
（2）解：∵y=−5(x−3.5) 2+11.25，
当y=0时：0=−5(x−3.5) 2+11.25，
解得：x=5或x=2（不合题意，舍去）
∴d =5米；
1
∵y=−5x2+40x−68，
当y=0时：−5x2+40x−68=0，
2√15 2√15
解得：x= +4或x=− +4（不合题意，舍去）
5 5
2√15
∴d = +4>5，
2 5
∴d 0，
63关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴w随m的增大而增大，
∴当m=50时，w取得最大值，最大值为3×50+400=550，此时200−m=200−50=150（个）．
答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元．
2．（2024·山西朔州·模拟预测）2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米SU7，上市首日
27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和
有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练
工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工
每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时
工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？
【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车
(2)200名
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，找出数量关系列出方程组和函
数解析式是解答本题的关键．
（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，列出方程组求解即可；
（2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，根据一个月至少生产安装1000台汽车求出m的取值范围，然
后列出函数解析式，利用一次函数的增减性求解．
【详解】（1）解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，
根据题意得：¿，
解得：¿
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车．
（2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，
根据题意得：2m+3(400−m)≥1000，
解得m≤200
64关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
W =5600m+(400−m)×6200=−600m+2480000．
∵−600<0．
∴当m=200时，W取最小值，最小值为2360000．
答：为按时完工工厂应招聘200名新工人，此时工厂每月支出的工资总额最少．
1．（2025·陕西西安·二模）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人
机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲
无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无
人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离
地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒；
(2)求线段PQ对应的函数表达式；
(3)甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
【答案】(1)6，3
(2)y=6x−48(14≤x≤20)
(3)17秒
【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，
待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键．
（1）根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）根据时间=路程÷速度求出乙无人机飞行PQ段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求
出线段PQ对应的函数表达式即可；
（3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的
65关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
绝对值为9列方程并求解即可．
【详解】（1）解：甲无人机的速度是36÷6=6（米/秒），乙无人机的速度是(72−12)÷20=3（米/秒）．
故答案为：6，3．
（2）解：甲无人机飞行PQ段用时(72−36)÷6=6（秒），20−6=14（秒），
∴P(14，36)，
设线段PQ对应的函数表达式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标P(14，36)和Q(20，72)分别代入y=kx+b，
¿，
解得：¿，
∴线段PQ对应的函数表达式为y=6x−48(14≤x≤20)．
（3）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y=k'x+b'，
将(0,12)、(20,72)代入，得¿，解得¿，
∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为y=3x+12(0≤x≤20)．
当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，14≤x≤20，
由与乙无人机的高度差为9米得：3x+12−(6x−48)=9，
解得x=17，
∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒．
2．（2023·浙江温州·三模）根据以下素材，探索完成任务．
如何设置“绿波带”？
素材1：某市为新路段设置“绿波带”，车辆驶入绿波带后，若以一定速度行驶，到达下个路口时会遇到
绿灯，可节约能源．如图，A，B两路口停车线之间距离为900米，两个交通信号灯的绿灯持续时间均为a
秒，A处绿灯亮起53秒后B处绿灯第一次亮起．
素材2：第1辆车的车头与停车线平齐，后面相邻两车的车头相距5米，绿灯亮起时第一辆车立即启动，后
面每一辆车在前一辆车启动2秒后再启动．车辆启动后，先加速，到一定速度后匀速行驶．在加速阶段，
vt
汽车的速度(v)与时间(t)的关系如下表所示，行驶路程(s)与速度、时间的关系满足s= ．
2
66关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
t（秒） 0 1 2 3 4 …
v
0 3 6 9 12 …
（米/秒）
素材3：A路口车流量显示：绿灯持续时间a应少于25秒（a为整数），每一次绿灯一个车道内能通过的等
候车辆数为10辆（车头超过停车线即为通过），且每辆车加速通过A路口．
任务1：用含t的代数式表示v，并求s关于t的函数表达式：
任务2：求第10辆车从启动到车头到达停车线1的时间以及绿灯持续时间a的值．
任务3：A路口绿灯亮起后，第一辆车的匀速车速处于什么范围时，可在B路口绿灯第一次亮起期间通过停
车线2？
3
【答案】任务1：v=3t，s= t2 ；任务2：第10辆车从启动到车头到达停车线1的时间为√30秒，绿灯持
2
续时间a的值为24；任务3：当120），
∵a为整数，√30<6，
∴总时间为6+9×2=24秒<25秒，
∴a=24，
∴第10辆车从启动到车头到达停车线1的时间为√30秒，绿灯持续时间a的值为24．
任务3：解：由题意，第一辆车启动至到达B绿灯所需时间t满足53≤t<77秒
设加速阶段用时为t秒，则匀速阶段速度为3t米/秒
67关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3
令
t2+3t(53−t)=900，
2
解得：t =100（舍去），t =6，
1 2
∴匀速阶段速度为3t=18米/秒
3
令
t2+3t(77−t)=900，
2
解得：t =150（舍去），t =4
1 2
∴匀速阶段速度为3t=12米/秒
∴当121.50，
9
∴从甲持绳手的右侧距离甲1m处进入游戏能通过跳绳．
（3）解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少0.5米，则首尾两位同学的
距离是0.5×8=4（米），
最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米，
当x=3时，y=2>1.78
1 14
将x=3−2=1代入得，y=− (1−3) 2+2= >1.53>1.5，
9 9
1
将x=3−1.5=1.5代入得，y=− (1.5−3) 2+2=1.75>1.68>1.61，
9
1 17
将x=3−1=2代入得，y=− (2−3) 2+2= >1.7>1.68，
9 9
1 71
将x=3−0.5=2.5代入得，y=− (2.5−3) 2+2= >1.77>1.75，
9 36
∴此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶；
队列安排方案可以为：距离两侧持绳手0.5m处分别为①④号；距离两侧持绳手1m处分别为②⑤号；距离
两侧持绳手1.5m处分别为⑦⑧号；距离两侧持绳手2m处分别为③⑥号；最中间的是⑨号（方案不唯一）．
【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由
自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函
数解析式解决实际问题．
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）东北地区的冻梨以其独特的地域风貌与味道而出名，在好奇心的驱动下，
住在东北地区的林同学前往调查了冻梨的价格，以下是他走访20个摊位后整理的数据，请你根据数据回答
下列问题：
71关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)扇形统计图中，5元/斤的摊位占统计总数的 %
(2)这20个样本的平均值为 众数为 ．
(3)林同学通过询问还了解到，冻梨的进价为1.5元/斤，且冻梨的售价与销量成某种关系，以4元/斤为基
础售价，日销量为20斤，每提高1元/斤，日销量便减少2斤，但是价格不能超过5.5元/斤，则你认为冻
梨的售价应定为多少可达到最大日利润？最大日利润为多少？
【答案】(1)30
(2)3.9；4
(3)冻梨的售价应定为5.5元时，可达到最大日利润，最大日利润为68元
【分析】本题考查了数据的统计分析，二次函数的应用，
（1）由条形统计图可知5元/斤在的摊位有6个，由此即可计算5元/斤的摊位占统计总数的百分比；
（2）由条形统计图中数据计算平均值，其中可知4元/斤的摊位最多，故众数为4；
（3）根据等量关系“利润=(=(售价−-进价)×)×销量”列出函数关系式．再根据函数关系式求得利润最大值．
6
【详解】（1）解：5元/斤的摊位占统计总数的百分比为 ×100%=30%，
20
故答案为30；
2×2+3×4+4×8+5×6
（2）解：20个样本的平均值为 =3.9，出现次数最多的是4，故众数为4．
20
故答案为3.9；4．
（3）解：解：设冻梨的售价为x元，利润为y，依题意得：
y=(x−1.5)[20−2(x−4)]
y=−2x2+31x−42
31 2 625
y=−2(x− ) + ，
4 8
∴当4≤x≤5.5时，y随x增大而增大，
72关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴当售价定为x=5.5时，y=(5.5−1.5)[20−2(5.5−4)]=68元，
答：冻梨的售价应定为5.5元时，可达到最大日利润，最大日利润为68元．
4．（2025·贵州遵义·一模）高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动．如图，是小美在某高尔夫俱乐部中
的一次击球．已知：小美击球点O到坡脚A的距离OA=15米，CD:AD=2:5，洞口C距离坡脚A的距离
AC=3√29米，小美从O点打出一球向球洞C点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达
到最大高度8米时，球移动的水平距离为20米．
(1)如图1，建立直角坐标系，求抛物线解析式；
(2)判断小美这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞C点，请说明理由；
1 4
(3)如图2，小美打完第一杆后，再次挥出第二杆，此时球的飞行路线为y=− x2+ x，求此次挥杆中
100 5
小球离斜坡AC的最大竖直高度MN．
1
【答案】(1)y=− (x−20) 2+8
50
(2)能，理由见解析
(3)10米
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）以小美击球点O为坐标原点(0,0)，则顶点为(20,8)，设抛物线的解析式为y=a(x−20) 2+8，代入
(0,0)计算即可得解；
（2）为2b，则AD为5b，由题得(2b) 2+(5b) 2=(3√29) 2，求解得出C(30,6)，再结合二次函数的解析
式判断即可得解；
2
（3）求出y = x−6(15≤x)．从而可得MN= y−y ，最后结合二次函数的性质即可得解．
AC 5 AC
【详解】（1）解：以小美击球点O为坐标原点(0,0)，则顶点为(20,8)；
设抛物线的解析式为y=a(x−20) 2+8．
73关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
把原点(0,0)代入y=a(x−20) 2+8中得：400a+8=0，
1
解得a=− ，
50
1
则抛物线的解析式为：y=− (x−20) 2+8；
50
（2）解：∵CD:AD=2:5，
∴设CD为2b，则AD为5b，
由题得：(2b) 2+(5b) 2=(3√29) 2
解得b=3
∴CD=6，AD=15，
∵OA=15，
∴C(30,6)，
1
把x=30代入y=− (x−20) 2+8中得y=6，
50
∴小美这一杆能把高尔夫球从O点直接打入球洞C点
（3）解：由题知A(15,0)，C(30,6)，
设直线AC的解析式为y =dx+e(15≤x)
AC
把A(15,0)，C(30,6)代入得：¿，
解得：¿，
2
∴y = x−6(15≤x)．
AC 5
∴MN= y−y
AC
1 4 2
=− x2+ x− x+6
100 5 5
1 2
=− x2+ x+6
100 5
1
=− (x−20) 2+10，
100
1
∵− <0，
100
∴x=20时，MN有最大值10米．
5．（2025·山东青岛·模拟预测）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边
74关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，
花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
(2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元
购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多
少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元
(2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是(x+5)元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进B款n个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得n≤50；再设总利润为w，则
w=2n+200，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是(x+5)元，
500 750
根据题意，可得 = ，
x x+5
解得x=10，
经检验，x=10是该方程的解，
∴x+5=15，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
1000−15n ( 3 )
（2）解：设购进B款n个，则购进A款 = − n+100 个，
10 2
又A款的数量不小于B款的一半，
3n 1
∴− +100≥ n，
2 2
解得：n≤50，
( 3 )
设总利润为w，则w=(12−10) − n+100 +(20−15)n=2n+200，
2
∵2>0，
∴w随n的增大而增大，
∴当n取得最大整数解50时，w取得最大值，最大值为2×50+200=300，
3
此时n=50，则− ×50+100=25，
2
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
75关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
6．（2023·四川遂宁·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华
民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．
每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种
粽子的个数相同．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的
利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
( 1)
(2)①w与m的函数关系式为w=−m+600 m≥133 ；②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大
3
利润，最大利润为466元．
【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为(x+2)元，根据“用1000元购进甲种
粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子(200−m)个，，由题意得w=−m+600，再由甲种粽子的个数不低
于乙种粽子个数的2倍，得m≥2(200−m)；
②由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为(x+2)元，
1000 1200
由题意得： = ，
x x+2
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，
则x+2=12，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子(200−m)个，利润为w元，
由题意得：w=(12−10)m+(15−12)(200−m)=−m+600，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2(200−m)，
1
解得：m≥133 ，
3
76关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
( 1)
∴w与m的函数关系式为w=−m+600 m≥133 ；
3
1
②∵−1<0，则w随m的增大而减小，m≥133 ，即m的最小整数为134，
3
∴当m=134时，w最大，最大值=−134+600=466，
则200−m=66，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
7．（2025·河南周口·一模）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太
空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模
型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元．
(1)求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价；
(2)该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．
若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，
销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元
(2)当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，则设“神舟”模型的进货单价为x元，“天宫”模型的进货单价为y元．因为购进1个
“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要
165元，然后列式计算，即可作答．
（2）先根据该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量
1
的一半．列出m≥ (200−m)，再结合每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68
2
元，进行列式计算，最后结合一次函数的性质，即可作答．
【详解】（1）解：设“神舟”模型的进货单价为x元，“天宫”模型的进货单价为y元．
由题意得¿，
解得¿，
答：“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元．
77关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）解：设购进m个“神舟”模型，则购进(200−m)个“天宫”模型．
1
由题意得m≥ (200−m)．
2
200
解得m≥ ，
3
依题意，设利润为w元．
由题意得w=(80−60)m+(68−45)(200−m)=−3m+4600．
∵−3<0，
∴w随m的增大而减小．
∵m为正整数，
∴当m取最小值67时，利润w取得最大值，为−3×67+4600=4399（元）．
答：当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元．
8．（2025·陕西榆林·一模）如图①是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机．如图②，A是其弹
射出口，发球机能将羽毛球以固定的方向和速度弹出．在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线
状，B是羽毛球落地点．以O为原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已
知OA=1.25m，OB=5m，羽毛球在飞行过程中运动路径的抛物线的函数表达式为y=−0.25x2+bx+c．
(1)求羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度；
(2)为了训练学员的后场应对能力，可以通过调整弹射出口A的高度来改变羽毛球的落地点，此过程中抛物
线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.6m，则发球机的弹射
出口高度OA应调整为多少米？
【答案】(1)羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度为2.25m；
(2)发球机的弹射出口高度OA应调整为2.24m．
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化
为一元二次方程求解是解题的关键．
（1）将A(0,1.25)，B(5,0)两点坐标代入解析式，求得c、b的值，用顶点公式求最大值即可；
78关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）抛物线形状和对称轴不变，即a不变，设调整后抛物线的表达式为y=−0.25(x−2) 2+k，求出k的值，
代入解析式，当x=0时即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，A(0,1.25)，B(5,0)，
∵y=−0.25x2+bx+c，
∴ ¿
解得，¿
∴y=−0.25x2+x+1.25=−0.25(x−2) 2+2.25，
∴羽毛球在飞行过程中距离地面OB的最大高度为2.25m．
（2）解：设调整后抛物线的表达式为y=−0.25(x−2) 2+k，
∵发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.6m，
∴x=5+0.6=5.6时，y=0，
∴0=−0.25×(5.6−2) 2+k，
解得，k=3.24，
∴ y=−0.25(x−2) 2+3.24．
当x=0时，y=−0.25×(0−2) 2+3.24=2.24，
∴发球机的弹射出口高度OA应调整为2.24m．
9．（2025·河北沧州·模拟预测）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人选择
自行车作为出行工具． 小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，
休息了5分钟，再加速骑行到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（单位：米）与时
间x（单位：分钟）的关系如图．
(1)a= ，b= ；
(2)求BC线段所在直线的函数解析式；
79关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)若小明的速度是120米/分，求爸爸自第二次出发开始计时至到达图书馆前，与小明相距100米时的骑行
时间；
(4)若小明的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v
的取值范围．
【答案】(1)10；15
(2)y=200x−1500
(3)爸爸自第二次出发至到达图书馆前，骑行2.5分钟和5分钟时与小明相距100米
400
(4)1000)上一点，
x
80
设C(a, )，连接BC，AC，OC，
a
∴S ❑ =S ❑ +S ❑ −S ❑
△ ABC △ OBC △ OAC △ AOB
1 1 1
= OB⋅x + OA⋅y − OA⋅OB
2 C 2 C 2
1 1 80 1
= ×2⋅a+ ×20× − ×2×20
2 2 a 2
800
=a+ −20，
a
∵S =46，
△ABC
800
∴a+ −20=46，
a
整理得：a2−66a+800=0，
解得a =50，a =16，
1 2
经检验，a=50或a=16是原方程的根，
80 8 80
∴a=50时 = ；a=16时， =5，
a 5 a
8
∴点C的坐标为(50, )或(16,5)．
5
【点睛】本题是反比例函数的综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，反
比例函数的性质和图像，正确理解题意是解题的关键．
83关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
1．（2024·山东德州·中考真题）某校开设棋类社团，购买了五子棋和象棋．五子棋比象棋的单价少8元，
用1000元购买的五子棋数量和用1200元购买的象棋数量相等．
(1)两种棋的单价分别是多少？
(2)学校准备再次购买五子棋和象棋共30副，根据学生报名情况，购买五子棋数量不超过象棋数量的3倍．
问购买两种棋各多少副时费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元
(2)购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，
找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键．
（1）设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是(x+8)元，根据用1000元购买的五子棋数量和用
1200元购买的象棋数量相等．列出分式方程求解并检验即可；
（2）设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋(30−m)副，根据购买五子棋数量不超过
象棋数量的3倍，列出不等式，求出m的取值范围；再列出购买两种棋的费用的关系式，根据一次函数的
性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买五子棋的单价是x元，则购买象棋的单价是(x+8)元，根据题意得：
1000 1200
=
x x+8
解得：x=40，
经检验x=40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+8=48．
答：五子棋的单价是40元，象棋的单价是48元；
（2）解：设购买两种棋的费用为w元，购买五子棋m副，则购买象棋(30−m)副，根据题意得：
m≤3(30−m)，
1
解得：m≤22 ，
2
w=40m+48(30−m)=−8m+1440，
∵−8<0，
∴w随m的增大而减小，
1
∴在m≤22 中，
2
∵m为正整数，
∴当m=22时，w有最小值，最小值为−8×22+1440=1264（元），
84关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
则30−22=8（副）
答：购买五子棋22副，象棋8副时，费用最低，最低费用是1264元．
2．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃
的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园
第x天的单价、销售量与x的关系如下
表：
单价 销售量
（元/盒） （盒）
B樱桃园
第1
50 20 第x天的利润y 2 （元）与x的关系可以近似地用二次函数
天
y =ax2+bx+25刻画，其图象如图：
2
第2
48 30
天
第3
46 40
天
第4
44 50
天
… … …
第x
10x+10
天
第x天的单价与x近似地满足一次函数关
系，已知每天的固定成本为745元．
(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润y （元）与x的函数关系式；（利润=单价×销售量−固定成本）
1
(3)①y 与x的函数关系式是______；
2
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y + y ）最大，最大是多少元？
1 2
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润y 比A樱桃园的利润y 大．
2 1
【答案】(1)(−2x+52)
(2)y =−20x2+500x−225
1
(3)①y =−30x2+500x+25；②第10天两处樱桃园的利润之和（即y + y ）最大，最大是4800元；
2 1 2
(4)4
85关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求结合利润=单价×销售量−固定成本进行求解即可；
（3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出y + y 的结果，再利用二次函数的性质求解即可；
1 2
（4）根据题意建立不等式−30x2+500x+25>−20x2+500x−225，求出不等式的正整数解即可得到答
案．
【详解】（1）解：第x天的单价与x满足的一次函数关系式为y=kx+b，
把(1,50)，(2,48)代入y=kx+b中得¿，
∴¿，
∴第x天的单价与x满足的一次函数关系式为y=−2x+52，
∴A樱桃园第x天的单价是(−2x+52)元/盒，
故答案为：(−2x+52)；
（2）解：由题意得，y =(−2x+52)(10x+10)−745=−20x2+500x−225
1
（3）解：①把(1,495)，(2,905)代入y =ax2+bx+25中得：¿，
2
解得¿，
∴y =−30x2+500x+25；
2
②∵y =−20x2+500x−225，y =−30x2+500x+25，
1 2
∴y + y =−20x2+500x−225−30x2+500x+25
1 2
=−50x2+1000x−200
=−50(x−10) 2+4800，
∵−50<0，且1≤x≤15（x为正整数），
∴当x=10时，y + y 有最大值，最大值为4800，
1 2
∴第10天两处樱桃园的利润之和（即y + y ）最大，最大是4800元；
1 2
（4）解：当y >y 时，则−30x2+500x+25>−20x2+500x−225，
2 1
∴10x2<250，
∴x2<25，
∴1≤x<5，
86关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵x的正整数解有4个，
∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润y 比A樱桃园的利润y 大．
2 1
3．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递
分拣．
相关信息如下：
信息一
A型机器人台 B型机器人台 总费用（单位：万
数 数 元）
1 3 260
3 2 360
信息二
(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；
(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，
能使每天分拣快递的件数最多?
【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元
(2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不
等式的应用是解题的关键．
（1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结
果即可；
（2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10−a)台，先求出a的取值范围，再得出每天
分拣快递的件数=22a+18(10−a)=4a+180,当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多．
【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，
¿
解得¿，
答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
87关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人(10−a)台，
∴80a+60(10−a)≤700，
∴a≤5，
∵每天分拣快递的件数=22a+18(10−a)=4a+180，
∴当a=5时，每天分拣快递的件数最多为4×5+180=200万件，
∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台．
4．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒
黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1
辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元．
(1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准
备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．为保障该线路的年均载客总量最大，
请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值．
【答案】(1)购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能源公交车每辆需80万元；
(2)方案为购买A型公交车8辆，B型公交车2辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为760万人．
【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的
数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键．
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“购买A型公交车3辆，B型公
交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元”列出方程组解决问题即
可；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10−a)辆，由“公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交
车，总费用不超过650万元”列出不等式求得a的取值，再求出线路的年均载客总量为w与a的关系式，根
据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，
由题意得：¿，
解得¿，
答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能源公交车每辆需80万元；
（2）解：设购买A型公交车a辆，则B型公交车(10−a)辆，该线路的年均载客总量为w万人，
由题意得60a+80(10−a)≤650，
解得：a≥7.5，
∵a≤10，
88关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴7.5≤a≤10，
∵a是整数，
∴a=8，9，10；
∴线路的年均载客总量为w与a的关系式为w=70a+100(10−a)=−30a+1000，
∵−30<0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a=8时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为w=−30×8+1000=760（万人次）
∴10−8=2（辆）
∴购买方案为购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
5．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小
组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一
个函数关系，部分数据如下表：
脚长x(cm) … 23 24 25 26 27 28 …
身高y(cm) … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y)；
k
(2)根据表中数据，从y=ax+b(a≠0)和y= (k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长
x
的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）；
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个
人的身高．
【答案】(1)见解析
(2)y=7x−5
(3)175.6cm
89关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键．
（1）根据表格数据即可描点；
（2）选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，将点(23,156),(24,163)代入即可求解；
（3）将25.8cm代入y=7x−5代入即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：由图可知：y随着x的增大而增大，
因此选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，
将点(23,156),(24,163)代入得：
¿，
解得：¿
∴y=7x−5
（3）解：将25.8cm代入y=7x−5得：
y=7×25.8−5=175.6cm
∴估计这个人身高175.6cm
6．（2023·浙江衢州·中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一
行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b
（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
90关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ，视
1
力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n= (0.5≤θ≤10)．
θ
探究2 当n≥1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角θ的范围．
素材3 如图3，当θ确定时，在A处用边长为b 的I号“E”测得的视力与在B处用边长为b 的Ⅱ号“E”测得
1 2
的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究1:检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的
“E”形图边长为6mm；
探究2: 0.5≤θ≤1.0；
18
探究3：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
7.2
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可得n= ，将n=1.2
b
7.2
代入n= 得：b=6；
b
1
探究2：由n= ，知在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，故当n≥1.0时，0<θ≤1.0，即可得
θ
0.5≤θ≤1.0；
6 b
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得 = 2，即可解得答案．
5 3
【详解】探究1:
由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，
91关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
k k
设n= (k≠0)，将其中一点(9,0.8)代入得：0.8= ，
b 9
解得：k=7.2，
7.2
∴ n= ，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
b
7.2
将n=1.2 代入n= 得：b=6；
b
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为6mm，视力值1.2所对应行的“E”形图
边长为6mm；
探究2:
1
∵ n= ，
θ
∴在自变量θ的取值范围内，n随着θ的增大而减小，
∴当n≥1.0时，0<θ≤1.0，
∵0.5≤θ≤10，
∴0.5≤θ≤1.0；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得
b b
1 = 2 ，
检测距离 检测距离
1 2
由探究1知b =6，
1
6 b
∴ = 2，
5 3
18
解得b = ，
2 5
18
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为 mm．
5
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性
质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
92
