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重难点 01 规律探索问题
（4 种类型 16 种题型+专项训练）
►题型01 数式规律
1）周期规律
1．（2023·山东·中考真题）已知一列均不为1的数a ，a ，a ，⋯，a 满足如下关系：
1 2 3 n
1+a 1+a 1+a 1+a
a = 1，a = 2 ，a = 3，⋯，a = n ，若a =2，则a 的值是（ ）
2 1−a 3 1−a 4 1−a n+1 1−a 1 2023
1 2 3 n
1 1
A．− B． C．−3 D．2
2 3
【答案】A
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1 1
【分析】根据题意可把a =2代入求解a =−3，则可得a =− ，a = ，a =2……；由此可得规律求解．
1 2 3 2 4 3 5
【详解】解：∵a =2，
1
1 1
1− 1+
1+2 1−3 1 2 1 3
∴a = =−3，a = =− ，a = = ，a = =2，…….；
2 1−2 3 1+3 2 4 1 3 5 1
1+ 1−
2 3
1 1
由此可得规律为按2、−3、− 、 四个数字一循环，
2 3
∵2023÷4=505.....3，
1
∴a =a =− ；
2023 3 2
故选A．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．
2x 2×2 4
2．（2023·四川内江·中考真题）对于正数x，规定f(x)= ，例如：f(2)= = ，
x+1 2+1 3
1 1
2× 2×
(1) 2 2 2×3 3 (1) 3 1
f = = ，f(3)= = ，f = = ，计算：
2 1 3 3+1 2 3 1 2
+1 +1
2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) (1)
f +f +f +⋯+f +f +f(1)+ f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)=（
101 100 99 3 2
）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
(1) (1)
【分析】通过计算f(1)=1,f(2)+f =2,f(3)+f =2，…可以推出
2 3
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) (1)
f +f +f +⋯+f +f +f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)结果．
101 100 99 3 2
2
【详解】解：∵f(1)= =1,
1+1
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1
2×
4 4 (1) 2 2 (1)
f(2)= = ,f = = ,f(2)+f =2,
1+2 3 2 1 3 2
1+
2
1
2×
2×3 3 (1) 3 1 (1)
f(3)= = ,f = = ,f(3)+f =2,
1+3 2 3 1 2 3
1+
3
…
1
2×
2×100 200 1 100 2 1
f(100)= = ，f( )= = ，f(100)+f( )=2，
1+100 101 100 1 101 100
1+
100
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (1) (1)
f +f +f +⋯+f +f +f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(99)+f(100)+f(101)
101 100 99 3 2
=2×100+1
=201
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．
3．（2022·内蒙古·中考真题）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，
…根据其中的规律可得70+71+⋯+72022的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】C
【分析】观察等式，发现尾数分别为：1，7，9，3，1，7，9，3…每4个数一组进行循环，所以
2023÷4=505…3，进而可得70+71+…+72022的结果的个位数字．
【详解】解：观察下列等式：
70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，…，
发现尾数分别为：
1，7，9，3，1，7，…，
所以和的个位数字依次以1，8，7，0循环出现，
(2022+1)÷4=505……3，
每4个数一组进行循环，
所以2023÷4=505……3，
而1+7+9+3=20，
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505×20+1+7+9=10117，
所以70+71+…+72022的结果的个位数字是7．
故选：C．
【点睛】本题考查了尾数特征、有理数的乘方，解题的关键是根据题意寻找规律．
2）等式规律
4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）观察下列等式：1=12−02，3=22−12，5=32−22，…按此规律，则第n
个等式为2n−1= ．
【答案】n2−(n−1) 2．
【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连
续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】解：∵1=12−02，
3=22−12，
5=32−22，
…
∴第n个等式为：2n−1=n2−(n−1) 2
故答案是：n2−(n−1) 2．
【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问
题的关键．
5．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：
第1个：1×2−2=22×0
第2个：4×3−3=32×1
第3个：9×4−4=42×2
第4个：16×5−5=52×3
按照以上规律，第n个等式为 ．
【答案】n2(n+1)−(n+1)=(n+1) 2(n−1)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等
于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案．
【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号
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减1，
所以第n个等式为：n2(n+1)−(n+1)=(n+1) 2(n−1)，
故答案为：n2(n+1)−(n+1)=(n+1) 2(n−1)．
6．（2021·湖南怀化·中考真题）观察等式：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，
……，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，……，2199，若2100=m，用含m的代数式表示这
组数的和是 ．
【答案】m2−m
【分析】根据规律将2100，2101，2102，……，2199用含m的代数式表示，再计算20+21+⋯+299的和，即可
计算2100+2101+2101+⋯+2199的和．
【详解】由题意规律可得：2+22+23+⋯+299=2100−2．
∵2100=m
∴2+22+23+⋯+299+2=2100=m=20m，
∵2+22+22+⋯+299+2100=2101−2，
∴2101=2+22+23+⋯+299+2100+2 =m+m=2m=21m．
2102=2+22+23+⋯+299+2100+2101+2 =m+m+2m=4m=22m．
2103=2+22+23+⋯+299+2100+2101+2102+2 =m+m+2m+4m=8m=23m．
……
∴2199=299m．
故2100+2101+2101+⋯+2199=20m+21m+⋯+299m．
令20+21+22+⋯+299=S①
21+22+23+⋯+2100=2S②
②-①，得2100−1=S
∴2100+2101+2101+⋯+2199=20m+21m+⋯+299m=(2100−1)m=m2−m
故答案为：m2−m．
【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
3）新定义类规律
7．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，
则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用
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进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个
m2−n2=(m+n)(m−n)
智慧优数是 ．
【答案】 15 57
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当m=3，n=1，则第1个一个智慧优数为32−12=8
当m=4，n=2，则第2个智慧优数为42−22=14
当m=4，n=1，则第3个智慧优数为42−12=15，
当m=5，n=3，则第4个智慧优数为52−32=16，
当m=6，n=4，则第5个智慧优数为 62−42=20
当m=5，n=2，则第6个智慧优数为52−22=21
当m=5，n=1，则第7个智慧优数为52−12=24
……
m=6时有4个智慧优数，同理m=7时有5个，m=8时有6个，
列表如下，
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3 8
4 15 12
5 24 21 16
6 35 32 27 20
7 48 45 40 33 24
8 63 60 55 48 39 28
9 80 77 72 65 56 45 32
10 99 96 91 84 75 64 51 36
11 120 117 112 105 96 85 72 57 40
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观察表格可知当m=12时，n=10时，智慧数为44，
m=13,n=11时，智慧数为48，
m=14，n=12时，智慧数为52，
m=15，n=13时，智慧数为56，
第1至第10个智慧优数分别为：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，
第11至第20个智慧优数分别为：33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，
第21个智慧优数55，第22个智慧优数为56，第23个智慧优数为57
故答案为：15，57．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
8．（2024·山东济南·模拟预测）若把第n个位置上的数记为x ，则称x ，x ，x ，…，x 有限个有序放置
n 1 2 3 n
的数为一个数列A．定义数列A的“伴生数列”B是：y ，y ，y ，…，y ，其中y 是这个数列中第n个
1 2 3 n n
位置上的数，n=1，2，…，k且y =¿并规定x =x ，x ❑ =x ．如果数列A只有四个数，且x ，x ，x ，
n 0 n n +1 1 1 2 3
x 依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”B是（ ）
4
A．0，1，0，1． B．1，0，1，0． C．1，0，0，1． D．0，1，1，0．
【答案】A
【分析】本题主要考查了新定义题型，数字的变化规律，根据“伴生数列”的定义取n=4，依次求出x ，
0
x ，…，x ，再求出对应的y 即可，解题的关键在于理解新定义的概念．
1 5 n
【详解】解：由题意得：x =x =1，x =x =3，
0 4 5 1
∵x =x =1，
0 2
∴y =0，
1
∵x =3，x =2，
1 3
∴y =1，
2
∵x =1，x =1，
2 4
∴y =0，
3
∵x =2，x =x =3，
3 5 1
∴y =1，
4
∴“伴生数列”B是0，1，0，1，
故选：A．
9．（2024·河北保定·一模）观察下列式子，定义一种新运算：5#3=2×5−3；3#(−1)=2×3+1；
−4#(−3)=2×(−4)+3．
(1)这种新运算是：x# y=_______（用含x，y的代数式表示）；
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(2)若m#(−3)>3#m，求m的最小整数值；
(3)若a，b均为整数，试判断(a#b−b#a)#3a是否能被3整除，并说明理由．
【答案】(1)2x−y
(2)2
(3)能，理由见解析
【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式，找到定义中数的关系式，代入得到一元一
次不等式求解是解题的关键．判断能不能被3整除，把式子化简成几个整数因式乘积的形式，里面有是3
的倍数的数，即可证明能被3整除．
（1）根据定义新运算的形式代入即可；
（2）根据定义新运算的形式，代入即可列式出关于m的一元一次不等式，解不等式可得答案；
（3）根据定义新运算的形式，列出式子化简后，即可判断．
【详解】（1）解∶根据题意，得x# y=2x−y，
故答案为∶ 2x−y；
（2）解：根据题意，得2m−(−3)>2×3−m，
解得m>1，
∴最小整数m为2；
（3）解：(a#b−b#a)#3a
=[2a−b−(2b−a)]#3a
=(3a−3b)#3a
=2(3a−3b)−3a
=6a−6b−3a
=3a−6b
=3(a−2b)，
∵a，b为整数，
∴3(a−2b)能被3整除，
∴(a#b−b#a)#3a能被3整除．
4）计数类规律
10．（2020·四川·中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，
12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第
m组第n个数字，则m+n＝ ．
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【答案】65
【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求
出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，
16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，
∵2020＝2×1010，
∴2020是第1010个偶数，
44×(44+1) 45×(45+1)
∵1+2+3+…+44＝ ＝990，1+2+3+…+45＝ ＝1035，
2 2
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，
∴m＝45，n＝20，
∴m+n＝65．
故答案为：65．
【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．
11．（2023·湖北随州·中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，
每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人
把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所
有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终
状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和
第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．
【答案】10
【分析】
灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定 1-100中，
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各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，
81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．
【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．
►题型02 数阵与数表规律
1）三角阵
12．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如
图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b) 7展开的多项式中各项系数之和为 ．
【答案】128
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得：(a+b) 5展开后系数为：1,5,10,10,5,1，
系数和：1+5+10+10+5+1=32=25，
(a+b) 6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1，
系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26，
(a+b) 7展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1，
系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27，
故答案为：128．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律．
13．（2023·四川·中考真题）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图
的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三
个数为 ．
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【答案】21
【分析】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解．
【详解】解：根据规律可得第七行的规律为1,6,15，20,15,6,1
第八行的规律为1,7,21,35,35,21,7,1
∴根据规律第八行从左到右第三个数为21，
故答案为：21．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
14．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b) n（n 为非负整
数）展开式的项 数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．
(a+b) 0=1
(a+b) 1=a+b
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b) 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
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1 5 10 10 5 1
……
则(a+b) 2024展开式中所有项的系数和是 ．（结果用指数幂表示）
【答案】22024
【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，
得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出(a+b) n（n为非负整数）
展开式的项系数和为2n，求出系数之和即可．
【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，
当n=1时，展开式中所有项的系数和为1+1=2=21，
当n=2时，展开式中所有项的系数和为1+2+1=4=22，
当n=3时，展开式中所有项的系数和为1+3+3+1=8=23
…，
❑
由此可知(a+b) n展开式的各项系数之和为2n，
则(a+b) 2024展开式中所有项的系数和是22024，
故答案为：22024．
15．（2022·重庆巴南·模拟预测）“杨辉三角”给出了(a+b) n展开式的系数规律（其中n为正整数，展开
式的项按a的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个
数之和．例如：(a+b) 2=a2+2ab+b2展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式的项的系数1，3，3，1．与“杨辉三角”第四排对应；依此类
推……判断下列说法正确的是（ ）
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①“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1；
②当a=2,b=−1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值为−1；
③(a+b) 2022展开式中所有系数之和为22022；
④当代数式a4−8a3+24a2−32a+16的值为1时，a=1或3．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】运用杨辉三角形的排列规律，及展开式的系数规律采用赋值法逐一验证即可求解．
【详解】如图，依次规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确；
当a=2,b=−1时，a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b) 3=(2−1) 3=1，故②说法错误；
令a=1,b=1，则(a+b) 2022 =(1+1) 2022=22022，故说法③正确；
当代数式a4−8a3+24a2−32a+16的值为1时，
即a4−8a3+24a2−32a+16=1，
∴a4+4×(−2) 1a3+6×(−2) 2a2+4×(−2) 3a+(−2) 4=(a−2) 4=1，
∴(a−2) 2=1或(a−2) 2=−1（不合题意，舍去），
∴a−2=±1，
解得a=3或1，
故说法④正确，
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综上可得，说法正确的有①③④，
故选：C
【点睛】本题考查了杨辉三角的规律与展开式的系数规律，正确把握其中的关系以及合理使用赋值法是解
题的关键．
16．（2023·河南平顶山·二模）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角．
杨辉三角如果将(a+b) n (n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面
的等式：
(a+b) 0=1，它只有一项，系数为1；
(a+b) 1=a+b，它有两项，系数分别为1，1；
(a+b) 2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1；
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
将上述每个式子的各项系数排成该表．
观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数
都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写．
该表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪
著的《开方作法本源》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这
个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡（B．Pascal，1623——1662）是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393
年，比贾宪迟600年．
(1)应用规律：
①直接写出(a+b) 4的展开式，(a+b) 4= ；
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②(a+b) 6的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ；
(2)代数推理：
已知m为整数，求证：(m+3) 3−(m−3) 3能被18整除．
【答案】(1)①a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；②7，64
(2)见解析
【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键．
（1）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案；
（2）直接利用已知式子中系数变化规律进而得出答案．
【详解】（1）解：根据规律得：
①(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
②∵(a+b) 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
∴(a+b) 6的展开式中共有7项，所有项的系数和为1+6+15+20+15+6+1=64；
故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，7，64；
（2）证明：∵(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3，
∴(m+3) 3−(m−3) 3
=(m3+9m2+27m+27)−(m3−9m2+27m−27)
=m3+9m2+27m+27−m3+9m2−27m+27
=18m2+54
=18(m2+3)，
∴(m+3) 3−(m−3) 3能被18整除．
2）螺旋阵
17．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把
位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；(31,37)…
如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数
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对： ．
【答案】(n2+n+1,n2+2n+2)
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n个数对的第
一个数为：n(n+1)+1，第n个数对的第二个位：(n+1) 2+1，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，…
则第n个数对的第一个数为：n(n+1)+1=n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1…，
则第n个数对的第二个位：(n+1) 2+1=n2+2n+2，
∴第n个数对为：(n2+n+1,n2+2n+2)，
故答案为：(n2+n+1,n2+2n+2)．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．
18．（2024·山东泰安·二模）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同
一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)，(7,10)，(13,17)，(21,26)，(31,37)，⋯，如
果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律、请写出第50个数对：
．
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【答案】(2551,2602)
【分析】此题考查数字的变化规律，根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研
究，可发现第n个数对的第一个数为：n(n+1)+1，第n个数对的第二个位：(n+1) 2+1，当n=50时代入即
可求解，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解题的关键．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，…
则第n个数对的第一个数为：n(n+1)+1=n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1…，
则第n个数对的第二个数为：(n+1) 2+1=n2+2n+2，
∴第n个数对为：(n2+n+1,n2+2n+2)，
当n=50时，即第50个数对为(2551,2602)，
故答案为：(2551,2602)．
3）乘方阵
19．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
−2，4，−8，16，−32，64，……①
0，7，−4，21，−26，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的
和为 ．
【答案】 1024 −22024+2024
【分析】通过观察第一行数的规律为(−2) n，第二行数的规律为(−2) n+n+1，代入数据即可.
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【详解】第一行数的规律为(−2) n，∴第①行数的第10个数为(−2) 10=1024；
第二行数的规律为(−2) n+n+1，
∴第①行数的第2023个数为(−2) 2023，第②行数的第2023个数为(−2) 2023+2024，
∴−22024+2024，
故答案为：1024；−22024+2024．
【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.
20．（2020·青海·中考真题）观察下列各式的规律：①1×3−22=3−4=−1；②2×4−32=8−9=−1；
③3×5−42=15−16=−1．请按以上规律写出第4个算式 ．用含有字母的式子表示第n个算式
为 ．
【答案】 4×6−52=24−25=−1 n×(n+2)−(n+1) 2=−1
【分析】（1）按照前三个算式的规律书写即可；
（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即
可；
【详解】（1）1×3−22=3−4=−1，
②2×4−32=8−9=−1，
③3×5−42=15−16=−1，
④4×6−52=24−25=−1；
故答案为4×6−52=24−25=−1．
（2）第n个式子为：n×(n+2)−(n+1) 2=−1．
故答案为n×(n+2)−(n+1) 2=−1．
【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．
21．（2023·云南昆明·一模）观察下列按一定规律排列的单项式：x,−3x2,5x3,−7x4,9x5,−11x6,⋯，
按这个规律，第15个单项式是（ ）
A．15x15 B．−15x15 C．29x15 D．−29x15
【答案】C
【分析】本题考查数字的变化规律，通过所给的单项式，探索出系数与次数的关系是解题的关键．
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由所给的单项式可得第n个单项式为(−1) n+1 (2n−1)xn，当n=15时即可求解．
【详解】解：∵x,−3x2,5x3,−7x4,9x5,−11x6,⋯，
∴第n个单项式为(−1) n+1 (2n−1)xn，
∴第15个单项式为：29x15，
故选：C．
4）幻方表
22．（2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——
九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例
如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．
【详解】解：设如图表所示：
根据题意可得：x+6+20=22+z+y，
整理得：x-y=-4+z，
x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，
整理得：x=-2+z，y=2z-22，
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∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，
解得：z=12，
∴x+y
=3z-24
=12
故选：D．
【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解
题关键．
23．（2021·陕西·中考真题）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列
及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 ．
-1 -6 1
0 a -4
-5 2 -3
【答案】-2
【分析】先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个
数之和得到a的值．
【详解】解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为−1−6+1=−6，
∴−6+a+2=−6，
∴a=−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了数字之间的关系，解决本题的关键是读懂题意，正确提取表中数据，找到它们之间的
关系等，该题对学生的观察分析能力有一定的要求，同时也考查了学生对有理数的和差计算的基本功．
24．（2024·四川德阳·二模）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫
格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，表1是一个已
完成的幻方．表2是一个未完成的幻方，其中A−B的值为 ．
表1
2 7 6
9 5 1
4 3 8
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表2
x−7 x+5 −4
−2 A B
【答案】−6
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及数学常识，列出关于x，A，B（y可以消掉）的三元一次
方程组，并解出可用含x的代数式表示出A，B的值是解题的关键．
设左下角的空格中的数字为，根据每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，可列出关于x，A，
B（y可以消掉）的三元一次方程组，解出可用含x的代数式表示出A，B的值，再将其代入A−B中，即
可求出结论．
【详解】设左下角的空格中的数字为y，
根据题意得：¿，
解得：¿，
∴A−B=x−5−(x+1)=−6．
故答案为：−6．
25．（2023·福建·一模）关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说，相传在远古时期，伏曦氏取
得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献
给他，这就是“河图”，也是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现有−6、−4、−2、
0、3、5、7、9分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则
x−2y= ．
【答案】−12
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【分析】设大圈上的空白圆内的数字为z，根据题意，列出等式，求出x，y的值，进行求出x−2y的值即
可．
【详解】解∶设大圆上的空白圆内的数字为z，
则∶由题意，得∶−4+5+7+z=z+0+ y+5,−4+5+7+z=−4+x+9+7，
∴y=3,z=x+4
∵共有−6、−4、−2、0、3、5、7、9个数字，还剩下−6,−2两个数字的位置没有确定，
∴x+z=−6−2=−8
即∶x+x+4=−8，
∴x=−6,
∴x−2y=−6−2×3=−12
故答案为∶−12
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，代数式求值．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
5）月历表
26．（2024·河北邢台·模拟预测）如图所示的是2024年2月份的月历，其中“U型”、“十字型”两个阴
影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移
动），设“U型”覆盖的五个数字之和为S ，“十字型”覆盖的五个数字之和为S ．若S +S =176，则
1 2 1 2
S −S 的最大值为（ ）
2 1
A．39 B．44 C．65 D．71
【答案】B
【分析】本题考查了数字类规律探索，整式的加减的应用，设“U型”中间数为x，“十字型”中间数为y，
则5x−14+5 y=176，求出x+ y=38，表示出S −S =5(y−x)+14，由图形可得：y的最大值为22，此
2 1
时x=38−y=16，代入计算即可得出答案．
【详解】解：设“U型”中间数为x，“十字型”中间数为y，
由题意得：S =x+x−1+x−8+x+1+x−6=5x−14,S = y+ y−1+ y+1+ y−7+ y+7=5 y,
1 2
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∵S +S =176，
1 2
∴5x−14+5 y=176，
∴x+ y=38，
∴S −S =5 y−(5x−14)=5(y−x)+14，
2 1
由图形可得：y的最大值为22，此时x=38−y=38−22=16，
∴S −S =5(y−x)+14=5×(22−16)+14=44，
2 1
∴S −S 的最大值为44，
2 1
故选：B．
27．（2022·河北保定·一模）图①、图②是某月的月历
(1)图①中带阴影的方框中的9个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由．
(2)如果将带阴影的方框移至图②的位置，（1）中的关系还成立吗？若成立，说明理由．
(3)甲同学说，所求的9个数之和可以是90，乙同学说，所求的9个数之和也可以是290，甲、乙的说法对
吗？若对，求出方格中最中间的一个数，若不对，说明理由．
【答案】(1)九倍关系，理由见解析
(2)成立，理由见解析
(3)甲对，中间数为10，乙不对，理由见解析
【分析】（1）直接进行实数运算，算出阴影中9个数的和在与方框中心的数比较，即可得解；
（2）方法同（1）；
（3）根据（1）和（2）中的结果可知，9个数字之和需要是9的倍数才能满足要求，即用此方法去验证即
可得解
【详解】（1）九倍关系，
理由：
3+4+5+10+11+12+17+18+19=99，
99÷11=9，
即：九倍关系；
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（2）成立，
理由如下：
∵8+9+10+15+16+17+22+23+24=144，
144÷16=9，
∴九倍关系成立；
（3）甲说法正确，
理由如下：
∴90÷9=10，
∴甲正确，
∴中间数为10；
乙说法错误，
理由：
2
∵290÷9=32 ，
9
∴290不是9的整数倍，
∴乙说法错误．
【点睛】本题主要考查了寻找实数之间的规律的知识，通过对阴影部分的观察并进行实数运算最后总结规
律是解答本题的基础．
28．（2022·陕西宝鸡·模拟预测）根据2021年11月份的月历表，思考并回答如下问题：
(1)2022年1月1日是星期几；
(2)5月1日是星期六，在2021年的月历中，1日恰好也是星期六的月份有哪个；
(3)有一种计算机病毒叫做黑色星期五，当计算机的日期是13日又是星期五时，这种病毒就发作．已知
2021年8月13日是黑色星期五，请找出来接下来的三个“黑色星期五”．
【答案】(1)星期六；
(2)5月；
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(3)2022年5月13日是黑色星期五，2023年1月13日是黑色星期五，2023年10月13日是黑色星期五．
【分析】考查了应用类问题，本题关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件求解．
（1）先求出2021年11月1日到2022年1月1日经过的天数，再用这些天数除以7，求出有几周还余几天，
再根据余数判断即可；
（2）依次推导出在2021年的月历中，1日是星期几，再判断即可；
（3）找到2021年8月13日后面日期是13日又是星期五的三个“黑色星期五”的天数求解即可．
【详解】（1）30+31+1=62（天），
∵62÷7=8（星期）…6（天），
∴2022年1月1日是星期六；
（2）根据（1）的算理或日历表可知：
2021年1月1日是星期五，
2021年2月1日是星期一，
2021年3月1日是星期一，
2021年4月1日是星期四，
2021年5月1日是星期六，
2021年6月1日是星期二，
2021年7月1日是星期四，
2021年8月1日是星期日，
2021年9月1日是星期三，
2021年10月1日是星期五，
2021年11月1日是星期一，
2021年12月1日是星期三
在2021年的月历中，1日恰好也是星期六的月份只有5月，
（3）根据（1）的算理或日历表可知：
2022年5月13日是黑色星期五，2023年1月13日是黑色星期五，2023年10月13日是黑色星期五．
►题型03 图形规律
1）等差
29．（2024·重庆·中考真题）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图
案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，
菱形的个数是（ ）
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A．20 B．21 C．23 D．26
【答案】C
【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应
的规律，进行求解即可．
【详解】解：第①个图案中有1+3×(1−1)+1=2个菱形，
第②个图案中有1+3×(2−1)+1=5个菱形，
第③个图案中有1+3×(3−1)+1=8个菱形，
第④个图案中有1+3×(4−1)+1=11个菱形，
⋮
∴第n个图案中有1+3(n−1)+1=3n−1个菱形，
∴第⑧个图案中菱形的个数为3×8−1=23，
故选：C．
30．（2023·四川遂宁·中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、
润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷
（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为CH ，乙烷
4
的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式
2 6 3 8
为 ．
【答案】C H
12 26
【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．
【详解】解：甲烷的化学式为CH ，
4
乙烷的化学式为C H ，
2 6
丙烷的化学式为C H ……，
3 8
碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，
十二烷的化学式为C H ，
12 26
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故答案为：C H ．
12 26
【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．
31．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四
种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2
种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型
中氢原子的个数是 ．
【答案】22
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子的个数依次增加2是解题的关键．根据所
给图形，依次求出模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【详解】由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：4=1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：6=2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：8=3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为：10=4×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n+2)个，
当n=10时，2n+2=22（个），
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个．
故答案为：22．
2）双等差规律
32．（2024·山西阳泉·三模）如图，四边形OABC 是正方形，曲线C C ，C C ，C C ，C C ，⋯
1 1 2 2 3 3 4 4 5
叫作“正方形的渐开线”，其中C´C ，C´C ，C ´C ，C´C ，⋯的圆心依次按O，A，B，C 循环，
1 2 2 3 3 4 4 5 1
当OA=1时，弧C C 的长为（ ）
2024 2025
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A．1012π B．1022.5π C．2024π D．2025π
【答案】A
【分析】本题考查弧长的计算．依次求出C´C ，C´C ，C´C ，…，的长度，发现规律即可解决问题．
1 2 2 3 3 4
【详解】解：因为四边形OBAC 是正方形，且AB=1，
1
所以O为圆心的圆的半径为1，
90⋅π⋅1 1
则C´C = = π；
1 2 180 2
同理可得，
90⋅π⋅2
C´C = =π；
2 3 180
90⋅π⋅3 3
C´C = = π；
3 4 180 2
90⋅π⋅4
C´C = =2π；
4 5 180
…，
90⋅π⋅n nπ
依次类推，C C´ = = (n为大于1的正整数)，
n n+1 180 2
90⋅π⋅2024
C ´C = =1012π．
2024 2025 180
故选：A．
1
33．（2024·河南三门峡·一模）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA B C D A …是由多
2 1 1 1 1 2
段 的圆心角所对的弧组成的．其中， 的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为 ；
90° D´A A AD A´B B BA
1 1 1 1
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的圆心为 ，半径为 ； 的圆心为 ，半径为 ，…， ， ， ， …的
B´C C CB C ´D D DC D´A A´B B´C C ´D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
圆心依次为A，B，C，D循环，则 的长是（ ）
A ´B
2024 2024
4047π 2024π
A． B．2024π C． D．2023π
2 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了图形类规律探索，弧长的计算，找到的圆心角所对的弧的半径变化规律是解本题
的关键．
观察图形知曲线DA B C D A …是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．并且每一段弧的半径每次比前
1 1 1 1 2
1
一段弧半径+ ，得出半径规律，再计算弧长即可，
2
1
【详解】∵四边形ABCD是边长为 的正方形
2
3 5
由已知可得；A´B 的半径为1；B´C 的半径为 ，C ´D 的半径为2；D´A 的半径为 ，A´B 的半径为
1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2
3，⋯，
1
∴每一段弧的半径每次比前一段90°的圆心角所对的弧半径大 ， 360°半径增加2，
2
∴ A´B 的半径为3；A´B 的半径为5， A´B 的半径为7⋯；
2 2 3 3 4 4
∴ A ´B 的半径为2×2024−1=4047，
2024 2024
90 4047π
∴ A ´B 的长是 ×2π×4047= ．
2024 2024 360 2
故选：A．
3）乘积规律
34．（2024·安徽合肥·模拟预测）某广场铺设的地砖为正方形，如图①所示且带有图案，铺设地砖拼成一
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圈的图案如图②所示．
【观察思考】如图②，当地砖铺设了1圈时，地砖用了4块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有1个；如
图③，当地砖铺设了2圈时，地砖用了12块，且地砖上的曲线围成的封闭图形有2个；…
【规律总结】
(1)当地砖铺设了5圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个；
(2)当地砖铺设了n（n为正整数）圈时，则所用的地砖为______块，曲线围成的封闭图形有______个（用
含n的代数式表示）；
(3)若每块地砖的价钱为18元，当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，则铺设的地砖共需要花
费多少元？
【答案】(1)60，5
(2)2n2+2n，n
(3)当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元
【分析】本题主要考查图形的规律，理解题意找到规律是解题的关键．
（1）根据一直推行进行推理即可得到答案；
（2）设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，即可求出当地砖铺设了n圈时，地砖的总数
y=2n(n+1)=2n2+2n；根据铺设了多少圈即可得出围成了多少的封闭图形；
（3）根据曲线围成的封闭图形有25个，地砖铺设了25圈，进行就算即可．
【详解】（1）解：∵当地砖铺设了1圈时，共用地砖2×2=4（块），曲线围成的封闭图形的个数有1个；
当地砖铺设了2圈时，共用地砖2×2+2×4=12（块），曲线围成的封闭图形的个数有2个；
当地砖铺设了3圈时，共用地砖2×2+2×4+2×6=24（块），曲线围成的封闭图形的个数有3个；…，
∴当地砖铺设了5圈时，共用地砖2×2+2×4+2×6+2×8+2×10=60（块），曲线围成的封闭图形的
个数有5个．
（2）解：2n2+2n，n；
设当地砖铺设了n圈时，地砖的总数为y，
铺设1圈形成如题图②所示的图案共用4块地砖，即4=2×(1×2)；曲线围成的封闭图形的个数有1个；
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铺设2圈形成如题图③所示的图案共用12块地砖，即12=2×(2×3)；曲线围成的封闭图形的个数有2个；
铺设3圈形成如题图④所示的图案共用24块地砖，即24=2×(3×4)；曲线围成的封闭图形的个数有3个；
当地砖铺设了n圈时，地砖的总数y=2n(n+1)=2n2+2n．
曲线围成的封闭图形有n个；
（3）解：∵曲线围成的封闭图形有25个，
∴地砖铺设了25圈，
∴当n=25时，y=2×25×(25+1)=1300（块）．
∵每块地砖的价钱为18元，
∴共需花费的费用为1300×18=23400（元）．
答：当铺设的地砖中，曲线围成的封闭图形有25个时，铺设的地砖共需花费23400元．
35．（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在△A C O中，A C =A O=2，∠A OC =30°，过点A 作
1 1 1 1 1 1 1 1
A C ⊥OC ，垂足为点C ，过点C 作C A ∥C A 交OA 于点A ，得到△A C C ；过点A 作
1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2
A C ⊥OC ，垂足为点C ，过点C 作C A ∥C A 交OA 于点A ，得到△A C C ；过点A 作
2 3 1 3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 2 3
A C ⊥OC ，垂足为点C ，过点C 作C A ∥C A 交OA 于点A ，得到△A C C ；……按照上面的
3 4 1 4 4 4 4 1 1 1 4 4 4 3
作法进行下去，则△A ❑ C ❑ C 的面积为 ．（用含正整数n的代数式表示）
n +1 n +1 n
√3
【答案】
4n
【分析】由勾股定理得出 ，易证 ，得出A C OC ，
C C =√A C 2−A C 2=√3 △OA C ∽△OA C 2 2= 2
1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 A C OC
1 1 1
1 1 1 1 √3
则A C = A C =1，同理，A C = A C = ，则S = C C ⋅A C = ，同理，
2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 2 △A 2 C 2 C 1 2 1 2 2 3 4
√3 1 1 1 1
C C =√A C 2−A C 2= ，A C = A C = ，A C = A C = ，则
2 3 2 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 4 2 2 3 4
1 √3 √3 1 1
S = C C ⋅A C = ，同理，C C =√A C 2−A C 2= ，A C = A C = ，
△A 3 C 3 C 2 2 2 3 3 4 42 3 4 3 3 3 4 4 4 4 2 3 3 4
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1 1 1 √3 √3
A C = A C = ，则S = C C ⋅A C = ，同理推出S = ．
4 5 2 3 4 8 △A 4 C 4 C 3 2 3 4 4 5 43 △A n+1 C n+1 C n 4n
1
【详解】由等腰三角形的性质得出OC =C C ，由含30°角直角三角形的性质得出A C = OA =1，
2 2 1 1 2 2 1
解：∵A C =A O=2，A C ⊥OC ，
1 1 1 1 2 1
∴OC =C C ，
2 2 1
∵∠A OC =30°，
1 1
1
∴A C = OA =1，
1 2 2 1
∴C C =√A C 2−A C 2=√22−12=√3，
1 2 1 1 1 2
∵C A ∥C A ，
2 2 1 1
∴△OA C ∽△OA C ，
2 2 1 1
A C OC
∴ 2 2= 2 ，
A C OC
1 1 1
1
∴A C = A C =1，
2 2 2 1 1
1 1
同理，A C = A C = ，
2 3 2 1 2 2
1 1 1 √3
∴S = C C ⋅A C = ×√3× = ，
△A 2 C 2 C 1 2 1 2 2 3 2 2 4
同理，C C =√A C 2−A C 2=
√
12−
(1) 2
=
√3
，
2 3 2 2 2 3 2 2
1 1
A C = A C = ，
3 3 2 2 2 2
1 1 1 1
A C = A C = × = ，
3 4 2 2 3 2 2 4
1 1 √3 1 √3
∴S = C C ⋅A C = × × = ，
△A 3 C 3 C 2 2 2 3 3 4 2 2 4 42
同理，C C =√A C 2−A C 2=
√ (1) 2
−
(1) 2
=
√3
，
3 4 3 3 3 4 2 4 4
1 1
A C = A C = ，
4 4 2 3 3 4
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1 1
A C = A C = ，
4 5 2 3 4 8
1 1 √3 1 √3
∴S = C C ⋅A C = × × = …，
△A 4 C 4 C 3 2 3 4 4 5 2 4 8 43
√3
∴S = ，
△A n+1 C n+1 C n 4n
√3
故答案为 ．
4n
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性
质、三角形面积公式等知识，熟练掌握等腰三角形与直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质是解
题的关键．
36．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图
案中有3个“ ”，第2个图案中有9个“ ”，第3个图案中有18个“ ”……按此规
律，第n个图案中有 个“ ”．（用含n的代数式表示）
3n(n+1)
【答案】
2
【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第n个图案中图形的个数是解题的关键．根据图案
找出规律即可．
【详解】
解：第1个图案中有：3=3×1个
，
第2个图案中有：9=3×(1+2)个
，
第3个图案中有：18=3×(1+2+3)个
，
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第4个图案中有：30=3×(1+2+3+4)个
，
……
3n(n+1)
∴第n个图案中有3(1+2+3+…+n)= 个 ；
2
3n(n+1)
故答案为：
2
4）递推法找规律
37．（2024·山西临汾·一模）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1个图案中
有5个圆片，第2个图案中有11个圆片，第3个图案中有17个圆片，……，依此规律，第n个图案中有
个圆片（用含n的代数式表示）
【答案】(6n−1)
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，列代数式，根据图案的变化规律可得2n−1+4n=6n−1，
进而可以解决问题．
【详解】解：∵第1个图案中有6×1−1=5个圆片，
第2个图案中有6×2−1=11个圆片，
第3个图案中有6×3−1=17个圆片，
……，
∴第n个图案中有(6n−1)个圆片，
故答案为：(6n−1)．
38．（2022·湖北黄冈·三模）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，
他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个
数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a =1，第2个五角形数记作a =5，第
1 2
3个五角形数记作a =12，第4个五角形数记作a =22，…，若按此规律继续下去，则a = .
3 4 6
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【答案】51
【分析】将第1个五角形数写成3×1-2，第2个五角形数写成3×2-2，即可知其数字变化规律，再写出第6
个五角形数得出答案即可．
【详解】第1个五角形数记作a=3×1-2=1；
1
第2个五角形数记作a=a+3×2-2=1+3×2-2=5；
2 1
第3个五角形数记作a=a+3×3-2=5+3×3-2=12；
3 2
第4个五角形数记作a=a+3×4-2=12+3×4-2=22；
4 3
第5个五角形数记作a=a+3×5-2=22+3×5-2=35；
5 4
第6个五角形数记作a=a+3×6-2=35+3×6-2=51．
6 5
故答案为：51．
【点睛】本题主要考查了数字变化规律问题，根据数字变化的特点得出规律是解题的关键．
5）方程思想
39．（2022·湖北恩施·二模）元宵节，广场上要设计一排灯笼增强气氛，其中有一个设计由如图所示图案
逐步演变而成，其中圆圈代表灯笼，n代表第n次演变过程，s代表第n次演变后的灯笼的个数．仔细观察
下列演变过程，当s=190时，n= ．
【答案】7
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【分析】根据图形的变化规律，结合数字规律列出式子求解即可．
【详解】解：∵S =1，
1
S =S +3=4=3×(2−1)+1，
2 1
S =S +6=10=3×(22−1)+1，
3 2
S =S +6=22=3×(23−1)+1，
4 3
…，
S =3×(2n−1−1)+1
n
∴当S=190时，3×(2n−1−1)+1=190，
解得n=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了图形和数字规律，解题的关键是找到合适的规律列出代数式．
40．（2020·四川遂宁·中考真题）如图所示，将形状大小完全相同的“
▱
”按照一定规律摆成下列图形，
第1幅图中“
▱
”的个数为a
1
，第2幅图中“
▱
”的个数为a
2
，第3幅图中“
▱
”的个数为a
3
，…，以此类
2 2 2 2 n
推，若 + + +…+ ＝ ．（n为正整数），则n的值为 ．
a a a a 2020
1 2 3 n
【答案】4039
1 1 1
【分析】先根据已知图形得出an＝n（n+1），代入到方程中，再将左边利用 = − 裂项化简，
n(n+1) n n+1
解分式方程可得答案．
【详解】解：由图形知a＝1×2，a＝2×3，a＝3×4，
1 2 3
∴an＝n（n+1），
2 2 2 2 n
∵ + + +…+ ＝ ，
a a a a 2020
1 2 3 n
2 2 2 2 n
∴ + + +…+ = ，
1×2 2×3 3×4 n(n+1) 2020
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1 1 1 1 1 1 1 n
∴2×（1﹣ + ﹣ + ﹣ +……+ ﹣ ）= ，
2 2 3 3 4 n n+1 2020
1 n
∴2×（1﹣ ）＝ ，
n+1 2020
1 n
1﹣ ＝ ，
n+1 4040
解得n＝4039，
经检验：n＝4039是分式方程的解．
故答案为：4039．
1 1 1
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形得出an＝n（n+1）及 = − 是解题的
n(n+1) n n+1
关键.
41．（2024·云南昆明·一模）如图三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个
点…第n行有n个点，已知前k行共有210个点，则k的值为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了图形的变化规律、一元二次方程的应用，解决本题的关键是结合图形，找出数字的运
算规律，利用规律列出一元二次方程解决问题．
【详解】解：∵第一行有1个点，第二行有2个点…第k行有k个点，
根据前k行共有210个点，
k(k+1)
可得： =210，
2
整理得：k2+k−420=0，
分解因式可得：(k−20)(k+21)=0，
解得：k =20，k =−21(舍去)，
1 2
∴k的值为20．
故答案为：20 ．
2×3
42．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为1×2，“★”的个数为 ，图案2中
2
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3×4 4×5
“☆”的个数为2×3，“★”的个数为 ，图案3中“☆”的个数为3×4，“★”的个数为 ；…．
2 2
(1)图案5中“☆”的个数为 ；
(2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示）
2
(3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的 ，求n的
3
值．
【答案】(1)30
(n+1)(n+2)
(2)
2
(3)n的值为6
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题；
（2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题；
（3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题．
【详解】（1）第1个图案中“☆”的个数为1×2；
第2个图案中“☆”的个数为2×3；
第3个图案中“☆”的个数为3×4；
……
第n个图案中“☆”的个数为n(n+1)；
即图案5中“☆”的个数为5×6=30
故答案为：30
（2）由题知，
2×3
第1个图案中“★”的个数为 ；
2
3×4
第2个图案中“★”的个数为 ；
2
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4×5
第3个图案中“★”的个数为 ；
2
……
(n+1)(n+2)
第n个图案中“★”的个数为 ；
2
(n+1)(n+2)
故答案为： ．
2
（3）由题知，
(n+1)(n+2) 2
= n(n+1)，
2 3
解得n=−1或6，
因为n为正整数，
所以n=6．
故正整数n的值为6．
43．（2024·河北唐山·二模）如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计
了一道数学题，请解答这道题．
在第1行两个正六边形内填上数字3、−5，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数
字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：0+3=3；第2行第2个：
3+(−5)=−2．
(1)填空：a= _______，b= _________．
(2)求c+d+e的值．
(3)按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为19．若能，求出n的
值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)1；−7
(2)14
(3)3n−8；能；9
【分析】本题考查了图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．
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进行列式计算，即可作答．
（2）同理分别计算出c，d，e，再代入c+d+e，进行计算，即可作答．
（3）找出规律：第n行第2个数字为3n−8，根据3n−8=19进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，a=3+(−2)=1，b=(−5)+(−2)=−7；
故答案为：1；−7
（2）解：依题意，c=3+a=3+1=4；
d=a+b=1+(−7)=−6；
e=b+(−5)=(−7)+(−5)=−12
∴c+d+e=4+(−6)+(−12)=−14；
（3）解：第1行第2个数字为3×1−8=−5
第2行第2个数字为3×2−8=−2
第3行第2个数字为3×3−8=1
以此类推
第n行第2个数字为3n−8
这个数字能为19
令3n−8=19，解得n=9，
故n 的值为9
►题型04 实践操作
1）分类找规律
44．（2020·湖北武汉·中考真题）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成
的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，
使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方
形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种
不同放置方法，则n的值是（ ）
A．160 B．128 C．80 D．48
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【答案】A
【分析】先计算出6×6方格纸片中共含有多少个3×2方格纸片，再乘以4即可得．
【详解】由图可知，在6×6方格纸片中，3×2方格纸片的个数为5×4×2=40（个）
则n=40×4=160
故选：A．
【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确得出在6×6方格纸片中，3×2方格纸片的个数是解题关键．
45．（2021·山东青岛·三模）【问题提出】
每对小兔子在出生后1个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出1对小兔子来，如果1个人在1月
份买了1对小兔子，假设每对兔子均可成活，且具有繁殖能力，那么理论上12月份的时候他共有多少对兔
子？
(1)【问题探究】
1月份，有1对小兔子；
2月份，长成大兔子，所以还是1对；
3月份，大兔子生下1对小兔子，所以共有2对；
4月份，刚生下的小兔子长成大兔子，而原来的大兔子又生下1对小兔子，共3对；
…
依此类推，请填下表：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 7月份 … 12月份
兔子对数 1 1 2 3 …
(2)【类比应用】
树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵苗在1
年后长出1条新枝，第2年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过1年的同时萌发
新枝，当年生的新枝则依次“休息”，这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么，10年后树上有
条树枝．
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(3)【综合应用】
如图①，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共
有 种回家的方法；
(4)如图②，在正五边形ABCDE上，一只青蛙从点A开始跳动，每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个
上，跳到点D上就停止跳动．青蛙在6次之内（含6次）跳到点D有 种不同的跳法．
【答案】(1)5；8；13；144
(2)89
(3)89
(4)12
【分析】从3月份开始，共有兔子的对数是前面两个月的和；
【类比应用】由问题探究的规律即可求解；
【综合应用】（1）根据问题探究的规律即可求解；
（2）根据问题探究的规律即可求解.
【详解】（1）解：2+3＝5；3+5＝8；5+8＝13；8+13＝21；13+21＝34；21+34＝55；34+55＝89；55+89
＝144；
填表如下：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6份份 7月份 ⋯ 12月份
兔子
1 1 2 3 5 8 13 ⋯ 144
对数
故答案为：5；8；13；144.
（2）根据题意，第2年为2枝，第3年为1+2=3枝，第4年2+3＝5枝，
第5年为3+5＝8枝；第6年为5+8＝13枝；第7年为8+13＝21枝；
第8年为13+21=34枝；第9年为21+34＝55枝；第10年为34+55＝89枝；
故10年后树上有89条树枝．
故答案为：89.
（3）蜜蜂每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，意味蜜蜂只能从小号码的蜂房爬到相邻
大号码的蜂房，按照以上规律可得：
1+1＝2，
1+2＝3，
2+3＝5，
3+5＝8，
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5+8＝13，
…
故共有89种回家的方法．
故答案为：89.
（4）从A到D可能的情况是：
①只跳两次：AED一种；
②只跳三次：ABCD一种；
③正好跳四次：ABAED，AEAED两种；
④正好跳五次：ABABCD、ABCBCD、ABCBCD共3种；
⑤正好跳六次：AEAEAED，ABABAED，ABCBAED，AEABAED，ABAEAED共5种．
故可能出现的不同跳法的种数是1+1+2+3+5＝12（种）．
答：青蛙在6次之内（含6次）跳到D点有12种不同跳法．
故答案为：12．
【点睛】本题考查找规律问题，数字和图形的规律探究，由特殊到一般是解题的关键.
46．（23-24七年级下·广东揭阳·期中）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王
按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2024个这样的图形（图1）拼
出来的图形的总长度是 ．（结果用m，n表示）
【答案】m+2023n
【分析】先分别求出用1、2、3、4个这样的图形拼出来的图形的总长度，再归纳类推出一般规律，由此即
可得出答案．本题考查了整式与图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【详解】由题意，用1个这样的图形拼出来的图形的总长度为m，
m−n
用2个这样的图形拼出来的图形的总长度为2m−2× =m+n，
2
m−n
用3个这样的图形拼出来的图形的总长度为3m−4× =m+2n，
2
m−n
用4个这样的图形拼出来的图形的总长度为4m−6× =m+3n，
2
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m−n
则用2024个这样的图形拼出来的图形的总长度为2024m−(2024−1)×2× =m+2023n，
2
故答案为：m+2023n．
2）递推找规律
47．（2022·贵州六盘水·中考真题）为倡导“全民健身，健康向上”的生活方式，我市教育系统特举办教
职工气排球比赛．比赛采取小组循环，每场比赛实行三局两胜制，取实力最强的两支队伍参加决赛，从C
组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场．
教职工气排球比赛比分胜负表
(1)根据表中数据可知，一中共获胜___________场，“四中VS五中”的比赛获胜可能性最大的是
___________；
(2)若A处的比分是21 10和21 8，并且参加决赛的队伍是二中和五中，则B'处的比分可以是___________和
___________；（两局∶结束比赛∶，根据自己的理解填写比分）；
(3)若A'处的比分是10 21和8 21，B处的比分是21 18，15 21，15 12，那么实力最强的是哪两支队伍，请
说明理由． ∶ ∶ ∶ ∶ ∶
【答案】(1)2，五中
(2)21:18,19:16（答案不唯一）
(3)二中和六中，理由见解析
【分析】（1）根据从C组的比分胜负表中知道二中胜4场负1场，可知表格中比分第一个数字是纵向表格
的单位，第二个数字是横向表格中的单位，据此可得一中获胜场次，
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（2）根据表格数据分析二中和五中，各自获得的总比分，列出二元一次方程组即可求解．
（3）根据题意，求得六中的总分数，发现分数高于二中，由（2）可知二中分数比五中高，即可求解．
【详解】（1）根据表格可知，一中VS二中：输，一中VS三中：赢，一中VS四中：赢，一中VS五中：
输，一中VS三中：输，即获胜2场，
同理可得四中与一中、二中、三中、六中比赛中，4场皆输，五中与一中、二中、三中、六中比赛中，胜2
场负2场，
∴“四中VS五中”的比赛获胜可能性最大的是五中
故答案为：2，五中
（2）若A处的比分是21 10和21 8，
则二中获得的总分数为：∶16+21+∶ 15+21+21+21+21+14+19+22+19+16=226
五中获得的总分数为：24+21+21+21+18+21+15+21+21+21+18=222
设B'出的比分为n:m，b:a，则B处的比分为m:n，a:b
根据表格已知数据，三中胜1负3，六中胜2负2，而参加决赛的没有三中和六中，则三中和六中的比赛中
三中获胜，三中和六中成绩都为胜2负3，则mm+a>34
∴ B'处的比分可以是：21:18,19:16（答案不唯一，只要满足m+a≤34,m0)的图象于点
n
1 1 1
A ，交直线y=−ax于点B ．则 + +⋅⋅⋅+ 的值为（ ）
n n A B A B A B
1 1 2 2 2024 2024
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2022 2023 2025a 2024
A． B． C． D．
2023a 2024a 2024 2025a
【答案】D
【分析】令x=n，可得∶A 纵坐标为an2，B 纵坐标为−an ，利用阅读学习的知识迁移计算解答即可．
n n
本题考查了交点问题，距离规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．
【详解】∵过点P (n,0)(n=1、2、⋯)的垂线，交y=ax2(a>0)的图象于点A ，交直线y=−ax于点B ；
n n n
∴令x=n，可得∶A 纵坐标为an2，B 纵坐标为−an ，
n n
∴A P =an2 ，B P =an，∴A B =an2+an．
n n n n n n
1 1 1 1 1(1 1 )
= = · = − ，
A B a(n2+n) a n(n+1) a n n+1
n n
1 1 1 1( 1 1 1 1 1 1 1 )
∴ + +⋅⋅⋅+ = 1− + − + − +⋯+ −
A B A B A B a 2 2 3 3 4 n n+1
1 1 2 2 n n
1( 1 )
= 1−
a n+1
1 n
= ·
a n+1
n
=
a(n+1)
当n=2024时．
2024
原式=
2025a
故选D．
4）结合图像找规律
55．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，
OA=OB=4，连接AB，过点O作OA ⊥AB于点A ，过点A 作A B ⊥x轴于点B ；过点B 作
1 1 1 1 1 1 1
B A ⊥AB于点A ，过点A 作A B ⊥x轴于点B ；过点B 作B A ⊥AB于点A ，过点A 作A B ⊥x
1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
轴于点B ；…；按照如此规律操作下去，则点A 的坐标为 ．
3 2023
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( 1 1 )
【答案】 4− ,
22021 22021
【分析】根据题意，结合图形依次求出A ,A ,A 的坐标，再根据其规律写出A 的坐标即可．
1 2 3 2023
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA=OB=4，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OBA=45°，
∵OA ⊥AB，
1
∴△OA B是等腰直角三角形，
1
同理可得：△OA B ,△A❑B❑ B均为等腰直角三角形，
1 1 1 1
∴A (2,2)，
1
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
1 1 1 1
依次可得：A (3,1),A (4− , ),A (4− , ),
2 3 2 2 4 22 22
( 1 1 )
由此可推出：点A 的坐标为 4− , ．
2023 22021 22021
( 1 1 )
故答案为： 4− , ．
22021 22021
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形
的性质，解题的关键是依次求出A ,A ,A 的坐标，找出其坐标的规律．
1 2 3
56．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形A B C D 的位置如图所示，点B 的坐
1 1 1 1 1
标为(0,2)，点C 的坐标为(1,0)，延长A D 交x轴于点C ，作正方形D C D A ，延长A D 交x轴于点
1 1 1 2 1 2 2 2 2 2
C ，作正方形D C D A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅按这样的规律进行下去，则点A 到x轴的距离是 ．
3 2 3 3 3 4
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3
【答案】 /0.375
8
【分析】根据勾股定理可得正方形A B C D 的边长为√22+12=√5，根据相似三角形的性质可得后面正
1 1 1 1
1
方形的边长依次是前面正方形边长的 ，依次得到第四个正方形和第五个正方形的边长，进一步得到点A
2 4
到x轴的距离．
【详解】解：在Rt△OB C 中，OB =2，OC =1，
1 1 1 1
正方形A B C D 的边长为√22+12=√5，
1 1 1 1
∵∠B OC =∠C D C =90° ∠1+∠2=∠2+∠3=90°
1 1 1 1 2
， ，
∴∠1=∠3，
∴ △B OC ∽△C D C ，
1 1 1 1 2
OC B O
∴ 1 = 1 ，
D C C D
1 2 1 1
1
∴D C = √5，
1 2 2
过A 作A H⊥x轴于H，
1 1
∵∠1=∠3，
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2 A H
∴sin∠3=sin∠1= = 1 ，
√5 A C
1 2
2 3
∴D H= × √5=3，
1 √5 2
1 1 1
依此可得D C = √5，D C = √5，D C = √5，
2 3 4 3 4 8 4 5 16
3
∴A C = √5，
4 5 16
2 3 3
同理可得：点A 到x轴的距离是 × √5= ．
4 √5 16 8
3
故答案为： ．
8
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函
数的应用．掌握以上基础知识是解本题的关键．
57．（2023·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为
(1,0)，点D的坐标为(0,2)，延长CB交x轴于点A ，做第1个正方形A B C C；延长C B 交x轴于点A ，
1 1 1 1 1 1 2
做第2个正方形A B C C …，按这样的规律进行下去，第2023个正方形的面积为（ ）
2 2 2 1
(3) 4046 (9) 2003 (3) 2022 (9) 4044
A．5× B．5× C．5× D．5×
2 4 2 4
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，点的坐标规律．解此题的关键是计算前三
(3) 2n
个正方形的面积，从中找出规律S =5× ．根据相似三角形的判定原理，得出△A A B∽ △A A B ，
n 2 1 1 2 1
继而得知∠BA A =∠B A A ；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算前
1 1 1 2
三个正方形的面积，从中找出规律．数形结合找出规律是解决问题的关键．
【详解】解：设正方形的面积分别为S，S ，S …，S ，
1 2 n
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根据题意得AD∥BC∥C A ∥C B ，
1 2 2 2
∴∠BA A =∠B A A =∠B A x（同位角相等）．
1 1 1 2 2 2
∵∠ABA =∠A B A =∠A B x=90°，
1 1 1 2 2 2
∴△BA A ∽ △B A A ，
1 1 1 2
OA 1
在Rt△ADO中，根据勾股定理得AD=√OA2+OD 2 ❑=√5，tan∠ADO= = ，
❑ OD 2
BA
∵tan∠BA A = 1=tan∠ADO，
1 AB
1 √5
∴BA = AB= ，
1 2 2
√5 3
∴C A =√5+ = √5，
1 2 2
(3 ) ( 1)
同理，得C A = √5 × 1+ ，
1 2 2 2
由正方形的面积公式，得S=(√5) 2=5，
S =(√5) 2 × ( 1+ 1) 2 =5× (3) 2 ，
1 2 2
S =(√5) 2 × ( 1+ 1) 4 =5× (3) 4 ，
2 2 2
S =(√5) 2 × ( 1+ 1) 6 =5× (3) 6 ，
3 2 2
⋯
由此可得S =(√5) 2 × ( 1+ 1) 2n =5× (3) 2n ．
n 2 2
(3) 2×2023 (3) 4046
∴第2023个正方形的面积为5× =5× ，
2 2
故选：A．
58．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线y=x2的内部依次画正方形，使对角线在y轴上，另两
个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第2024个正方形的边长是 ．
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【答案】2024√2
【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线OA 的表达式
1
为y=x，联立方程求得A 的坐标，进而求得第一个正方形的边长和B 的坐标，即可得到直线B A 的表达
1 1 1 2
式为：y=x+2，联立方程求得A 的坐标，进而求得第二个正方形的边长和B 的坐标，即可得到直线
2 2
B A 的解析式为：y=x+6，联立方程求得A 的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第
2 3 3
2024个正方形的边长是2024√2．
【详解】∵正方形的对角线在y轴上
∴∠A OB =45°，A 和C 关于y轴对称，A 和C 关于y轴对称，A 和C 关于y轴对称⋯
1 1 1 1 2 2 3 3
∴A 到x轴和y轴的距离相等
1
∴直线OA 的表达式为y=x
1
∴列方程组：¿
解得¿或¿
∴A (1,1),C (−1,1)
1 1
∴根据两点间距离公式：OA =√2
1
∵∠B A O=90°,∠A OB =45°
1 1 1 1
∴A B =OA =√2
1 1 1
∴OB =√A B 2+OA 2=2
1 1 1 1
∴B (0,2)
1
设B A 的表达式为：y=kx+b
1 2
∵C (−1,1),B (0,2)在函数上
1 1
∴¿
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解得：¿
∴直线B A 的表达式为：y=x+2
1 2
∴列方程组：¿
解得¿或¿
∴A (2,4)
2
同理可得：A B =2√2，OB =6
2 1 2
∴直线B A 的表达式为：y=x+6
2 3
∴列方程组：¿
解得¿或¿
∴A (3,9)
3
同理可得：A B =3√2，OB =12
3 2 3
⋯
按此规律类推，第n个正方形的边长为2n，第2024个正方形的边长是2024√2
故答案为：2024√2
57
